CC BY
30
РАЗДЕЛ II
СТРОИТЕЛЬСТВО. СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИЗДЕЛИЯ
УДК 519.6
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРУЕМОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО ДВУТАВРА В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ
Г. Л. Горынин, О. Г. Горынина
Аннотация. На основе GN-теории изгиба композитных балок для произвольного симметричного сечения [1] рассмотрена трехслойная балка двутаврового сечения. Произведено сравнение прогибов балки, вычисляемых по GN-теории, к прогибам, вычисляемым по теории Эйлера-Бернулли.
Ключевые слова: GN-теория изгиба балок, композит, двутавр, метод жест-костных функций, прогиб.
Введение
Исследование напряженного состояния многосоставных композитных конструкций является актуальной задачей, т.к. сфера их применения все время расширяется за счет отказа от использования чисто однородных конструкций. Трудности такого исследования связаны с тем, что в композитных конструкциях заранее невозможно пренебречь теми или иными компонентами тензора напряжений, и тем самым упростить задачу исследования. В работах [2]-[4] разработан метод исследования композитных конструкций в пространственной постановке. На его основе в работе разработана GN-теория изгиба слоистых балок, имеющих симметричное поперечное сечение. Данная работа ставит своей целью применение указанной теории к исследованию пространственного напряженно-деформированного состояния трехслойной балки двутаврого сечения.
Основная часть.
Рассмотрим двутавровую балку, для которой полки выполнены из одного материала, а стенка из другого, причем Ь, h - ширина и высота полок, d,H - ширина и высота стенки двутавра; Еп , Ес - модули Юнга для полок и для стенки соответственно, коэффициент Пуассона V для полок и стенки совпадают (рис. 1). Балка находится под воздействием сосредоточенной или равномерно распределенной нагрузки при произвольном оперении.
^ к
н 0 К,
X
ж!
М-►
Рис. 1. Поперечное сечение балки
Введем безразмерные переменные и неизвестные величины, которые будут обозначаться также как размерные, и связаны с ними соотношениями:
х о x/h,y о у/Ъ, ъ о ъ/Ь,иао иа/и ,
Е1 оЕ^Е,
(стаД ^(стар)7Е , Ра° Ра/^ ,
Qx о Qx/h2Е , Му о Му/И3Е , (1)
где h, Ь, Е - характерные значения поперечного размера балки, продольного размера и модуля Юнга материала одного из слоев балки.
В соответствии с общей теорией [1] решение задачи об изгибе такой балки в поста-
новке пространственной задачи теории упругости в безразмерных переменных имеет вид:
(CTaz )i = (xaz )i
d3u
0 83 + -
dz3
(CTaP)i = (таД
D, dz
e , a,Pe(x,y),
d2u,
(ct zz )i = (tzz )i
d2u
dz2
0 e2 +
dz
(tzz )i
0 e2 +
D,
*
Px ■
D
*
p*x,
(2)
где (aap)i - компоненты тензора напряжений для слоя с номером i; u0 (z) - функция прогиба;
(Tap)i ■ W ■ (uz)i ■ (ux)i ■ (uy )iжесткостные функции, зависящие только от переменных сечения; e - малый параметр, равный отношению высоты балки к ее длине.
Жесткостные функции являются решениями следующих краевых задач в плоскости сечения стержня:
Краевая задача в сечении для нахождения
функции (uz)i : уравнение:
М + %! + (, . ) = 0. (3)
ox dy
условия на боковой поверхности стержня:
(tzx )inx +(xzy )iny = 0 . (4)
условия сопряжения жесткостных функций на границах между слоями стержня:
(tzx )i nx +(Tzy )i ny = (tzx )j nx +(Tzy )Jny ■
(Uz 1 =(Uz)j, i,j = [l,s]. (5)
условия связи жесткостных функций тензора напряжений и вектора перемещений функций:
(т zx )i zx )i
^ )i
dx
+ (Ux )i
(t,) 4, ) ^U^+U)
d(U
dy
(6)
Краевая задача в сечении для нахождения функций. (их ), (иу ): система уравнений:
З(т«х )* + д(тау )1
- + -
- +
(Tza)i = 0 ■ a G {x,y} ;
dx dy
условия на боковой поверхности стержня:
(7)
(Тах)Я +(хау|пу = D1faq(Г) , ае{х,у}, (8)
условия сопряжения характеристических функций на границах между слоями стержня:
(тах 1 пх + (тау } пу = (тах )* пх + (тау )* пу ,
Ы =(иа)1, У = м, а е {х,у}, (9)
условия связи жесткостных функций тензора
напряжений и вектора перемещений функций:
фу )1
(xaa ) = (Eax )i (^x ! + (Eay )i'
dy
"(Eza)i (Uz)i
(t xy )* = (^ xy )i
, ae{x,y},
it \* / \* \
(10)
д(и )* + д(иу )* ду дх
V
Для функции (х22) справедливо следующее выражение
)* = (Vxz ) (тхх )* +(У yz)i (туу )* +(Е2 )i (и2 )i , (11)
где (V^)i, (Vуъ)i, (еz) - анизотропные коэффициенты Пуассона и модуль Юнга материала \-го слоя. На основе решений краевых задач в сечении вычисляются следующие константы
KФ=-'JSjx(uz)idF , DJ = -£]"x(Tzz)idF ,
J i=j F i=1 F
F 1 1 i
Sj x(Tzz Jeff . (12)
D2 =-
Функция прогиба подчиняется уравнению изгиба:
D,
d4u,
0 e4 = px , Px = Px-Z^re2, C = ^L (13)
dz^ - — - - - dz2 ' Dl
Для уравнения изгиба краевые условия ставятся на величины прогибов и0, угла поворота сечения ф, поперечного усилия Qx, изгибающего момента Му , для которых справедливы равенства
duo dz
d3u0 з
Ф = —- e + K Ф-e3
Ф dz3
Qx = -D
du0 e3 Z dPx p
dz3 dz
My = -Dj
d2u,
0 „2
dz2
e2 -Zpx ■
(14)
Для решения краевых задач в сечении введем операцию усреднения произвольной функции по ширине сечения
0.5Ь,
= | f (а^
(15)
-0.5ЬВ
где s, Ь8- координата в направлении ширины сечения и ширина сечения соответственно. Будем рассматривать только тонкостенные двутавры, тогда искомые напряжения будут слабо меняться в пределах тонкой стенки, и можно считать, что их средние величины почти совпадают с самими величинами.
Усредним уравнение (3) по ширине верхней и нижней полок двутавра по отдельности:
М О
■ = ±кп , при x = ±0.5(н + Ь),
¿У
кп = 0.5Еп (н + h) .
(16)
Проинтегрируем данное уравнение и учтем нулевые краевые условия на левой и правой границах полок:
/ \| =|± кп (у + 0.5Ь), при - 0.5Ь < у < 0 (17)
\ ъу/1х=±0.5(н+ь) {+ кп (у - 0.5Ь), при 0 < у < 0.5Ь '
На рис.2. показано место стыковки стенки и нижней полки двутавра, стык происходит по прямой CD. Проинтегрируем уравнение (3) по прямоугольнику АВСD (рис.2.) и учтем формулы (17):
= -кпЬЬ/а.
(18)
Рис .2. Область ABCD
В пределах стенки двутавра усредним уравнение (3) и проинтегрируем его с учетом равенства (18):
| = -кп№/а + 0.5ЕС (х2 -0.25Н2),
х е {- 0.5Н,0.5Н}. (19)
В работе [2] установлено, что для жест-костных функций их и иу для балки произвольного симметричного сечения справедливы равенства:
И = ^(-у2 + х2 + с2), иу
= Vyx ,
я
и^ = 0.
(20)
Для их усредненных значений справедливы формулы:
С2 - + х2 2 12
при
-0.5Н <х < 0.5Н , (21)
(Пу)
--7—1-г (¿3н- ¿Н3 - 2b3h + 8ЬЬ(0.75Н2 + 1.5НЬ + Ь2));(22)
12(2bh + '
= ±0.5у(н + Ь )у,
х=±0.5(н+Ь) 4 7 . (23)
при - 0.5Ь < у < 0.5Ь Усредним формулы (7), первую по ширине стенки двутавра, а вторую по ширине его полки и с помощью их выразим усредненные значения функции , учитывая их непрерывность в местах стыка стенки и полки:
Ы (х ) = 1 (& т -{ > + С3 •
0 4 у
ЫИ^=.05,Н.Ь, + ((^'О-{^ ^
Подставим формулы (21) и (23) в первое и второе равенства (24) соответственно
т
х=±0.5Н
Р
(2 + V) -((1 + V/0.25Н2 + |Ь- (Н + Ь)Ь -
(Uz>|
V
4 С2 - *
21 2 12,у
х +
С3, - 0.5(Н+Ь)< х < 0.5(Н+Ь),
(25)
хп ± 0.5(Н+Ь )((1 + 0.5v)y2-(Мь|у|) при - 0.5Ь < у < 0.5Ь, х = ±0.5(Н + Ь),
Момент инерции сечения двутавра вычисляется по формуле
J = | х^ = ^ (Н+Ь )2 +
Ш3 12
(26)
Усредним уравнение (7) при а = х при по толщине стенки двутавра, а при а = у по толщине полок двутавра:
^ т
+ т
^ т
= о ,
уу
+ т
¿х \ 1 ' ¿х ^ ^ Проинтегрируем эти уравнения:
= 0. (27)
= -Ь, -
-0.5Н
<4)1
/{т^х - /{т„>1х, (28)
[ -0.5Н
У
^¿у, при - 0.5Ь < у < 0
х=±0.5(Н+Ь)
-0.5Ь
У
.(29)
Кт z^>dУ'
при 0 < у < 0.5Ь
Подставим формулы (17) в (29), тогда получим выражение в полках балки
=±0.5(Н+Ь)
= -0.5(± к )|(у + 0'5Ь)2,при - 0.5Ь < у < 0 . (30)
(у- 0.5Ь)2, при 0 < у < 0.5Ь
Кроме того, внутри стенки двутавра в силу антисимметрии функции т уу ее среднее зна-
чение равно нулю
т 1 = 0 , -0.5Н < х < 0.5Н,
а в полках справедливы равенства
(31)
(С) =|- ■1о1,прих = -0.5(Н + Ь). (32) [ 0, при х = 0.5(Н + Ь)
Усредним формулу (11) в стенках и полках двутавра:
= ^хх> +^т уу) +E(Uz
к
(33)
Равенства (28), (30)-(32), подставленные в равенство (33), позволяют получить выраже-
ние для в стенках и полках двутавра,
условие на нахождение константы С3 имеет вид:
= 0.
(34)
Для четырех случаев опирания и нагруже-ния балки сосредоточенной и распределенной нагрузками (рис. 3.) рассмотрим величину относительного превышения максимальных прогибов балки, вычисляемых по GN-теории, к прогибам, вычисляемых по теории Эйлера-Бернулли:
Аi =(Ч0 - иэ Уиэ , (35)
где i - номер балки (рис.3). Решая для этих балок уравнение изгиба (13) с краевыми условиями, задаваемыми с помощью формул (14)-(15), и решая уравнение изгиба и соответствующие формулы теории Эйлера-Бернулли, и подставляя найденные решения в равенство (35), получим следующие выражения
Д, = 1.5Кф82 , Д2 = 3Кф82 Д3 = 2 , Д4 = 9.6^82 .
(36)
Рис. 3. Шарнирно-опертые и консольные балки под действием сосредоточенной и распределенной нагрузок
*
т
к
*
*
хх
0.5Н
х
к
*
т
хх
0.5Ь
т
уу
В Таблице 1 и Таблице 2 приведены значения констант а , р , Кф, ^ при v = 0.25 для трехслойной балки двутаврового сечения, и соответствующие им Д1, вычисляемые по формулам (36). Из анализа таблиц следует, что учет пространственных эффектов для рассмотренных двутавров имеет существенно
большее значение для трехслойных двутавров, чем для однородных. Так для двутавра №60 уже при длине балки равной шести метрам, разница в прогибах по сравнению с теорией Эйлера-Бернулли составляет более 12 %, для однородного двутавра такая разница составляет примерно 4 %.
Таблица 1 - Величина относительного превышения прогибов балки при Еп = Ес = 1
Номер двутавра a ß K ф Z Ai A2 A3 A4
10 1.156 1.095 0.397 0.377 0.59s2 1.19s2 3.01s2 3.61s2
12 1.159 1.1 0.408 0.387 0.612s2 1.224s2 3.1s2 3.72s2
14 1.159 1.101 0.414 0.393 0.621s2 1.242s2 3.14s2 3.77s2
16 1.159 1.098 0.401 0.379 0.601s2 1.203s2 3.03s2 3.64s2
24 1.198 1.151 0.52 0.5 0.78s2 1.56s2 4s2 4.8s2
30 1.187 1.139 0.506 0.486 0.759s2 1.518s2 3.89s2 4.67s2
40 1.164 1.113 0.48 0.459 0.72s1 1.44s2 3.67s2 4.41s2
50 1.138 1.084 0.449 0.428 0.67s2 1.34s2 3.42s2 4.19s2
60 1.126 1.07 0.433 0.411 0.65s2 1.3s2 3.29s2 3.95s2
Таблица 2 - Величина относительного превышения прогибов балки при Еп = 10, Ес = 1
Номер двутавра a ß k ф Z A1 A2 A3 A 4
10 3.341 1.62 1.751 0.849 2.63s2 5.25s2 6.8s2 8.15s2
12 3.431 1.674 1.822 0.889 2.73s2 5.46s2 7.11s2 8.53s2
14 3.489 1.717 1.873 0.921 2.81s2 5.62s2 7.37s2 8.84s2
16 3.343 1.638 1.79 0.877 2.69s2 5.37s2 7.02s2 8.42 s 2
24 4.904 2.858 2.724 1.587 4.09s2 8.17s2 12.696s2 15.24s2
30 4.737 2.714 2.649 1.518 3.97s2 7.95s2 12.15s2 14.57s2
40 4.567 2.616 2.546 1.458 3.82s2 7.64s2 11.664s2 13.996s2
50 4.282 2.416 2.373 1.139 3.56s2 7.12s2 9.12s2 10.93s2
60 4.13 2.312 2.279 1.276 3.42s2 6.84s2 10.21s2 12.25s2
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, код проекта 12-01-90405-УКР_а.
Библиографический список
1. Горынин Г. Л., Немировский Ю. В. GN-теория расчета композитной балки при изгибе. Общая теория// Известия вузов. Строительство. -2012. -№ 6. - С. 3-12.
2. Горынин Г. Л., Немировский Ю. В. Пространственные задачи изгиба и кручения слоистых конструкций. Метод асимптотического расщепления. - Новосибирск: Наука, 2004. - 408 с.
3. Горынин Г. Л. Пространственные задачи слоистых анизотропных конструкций: монография. - Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008. - 262 с.
4. Gorynin G. L., Nemirovskii Yu. V. Deformation
of laminated anisotropic bars in the three-dimensional statement I.Transverse-longitudinal bending and edge compatibility condition // Mechanics of Composite Materials, Vol. 45, № 3, 2009. - pp. 257-280.
THE STUDY OF THE STRESS-STRAIN STATE IN A THREE-LAYER I-BEAM IN A THREE-DIMENSIONAL FORMULATION
G. L. Gorynin, O. G. Gorynina
In this paper we study a three-layer beam of I-section based on GN-theory of bending of beams for arbitrary symmetric section. We made comparison of deflection of the beam, calculated by GN-theory and the deflection is calculated by the Euler-Bernoulli theory.
Горынин Гпеб Леонидович - доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Строительные технологии и конструкции» Сургутский государственный университет. Основное направление научных исследований -механика композитных конструкций. Общее количество публикаций - свыше 80. e: mail: [email protected].
Горынина Ольга Глебовна - магистрант кафедры «Механика твердого деформируемого тела». Институт теоретической и прикладной механики СО РАН. Основное направление научных исследований - механика композитных конструкций. Общее количество публикаций - 1. e: mail: -olya-gorynina@yandex. ru.
УКД 699.86
ИННОВАЦИОННЫЙ ПОДХОД В СОХРАНЕНИИ И ВОССОЗДАНИИ ОБЛИКА КАЗАЧЬЕЙ СЛОБОДЫ В СОВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЕ ОМСКА
А. М. Каримов, Е. В. Цыганкова
Аннотация. Рассматривается проблема сохранения и восстановления Казачьей слободы - территории исторического центра Омска как уникальной градостроительной среды. Места, которое является архитектурным раритетом деревянного зодчества города. В статье выполнен исторический обзор развития территории Казачьей слободы, а также выделены архитектурные и градостроительные особенности данного места. Для решения этой проблемы предлагается принципиально новый инновационный подход, который заключается в создании информационных моделей зданий с помощью компьютерного моделирования, реализующего принципы создания современной градостроительной среды, и новых зданий в исторической части города на «генном архитектурном уровне», а также реконструкции старых.
Ключевые слова: Омск, Казачья слобода, деревянное зодчество, информационное моделирование зданий.
Введение
В последнее время мировое сообщество придает большое значение охране традиционной культуры. Сибирь, а в частности г. Омск имеет большую ценность для реализации данного направления.
В связи с приближением знаменательной даты - 300-летия с момента постройки оборонительных редутов Первой Омской крепости -эта проблема становится еще более актуальной. Необходимы мероприятия по сохранению и возрождению наиболее значимых архитектурных памятников и ансамблей города, одним из которых является «Казачья Слобода». Сегодня это место - условно названная территория исторического центра г. Омска. Она занимает часть Казачьего и Новослободского форштадтов в границах современных улиц, Куйбышева, Лермонтова, Масленникова, проспект К. Маркса, представляет собой ценное наследие деревянного зодчества Омска, является местом, где родились и жили многие известные люди, и подлежит сохранению как памятник истории, причем не виде отдельных зданий, а всей градостроительной среды. В 1993г. в г. Омске была проведена конферен-
ция «Казачья Слобода» - прошлое и будущее», где было рекомендовано «учитывая градостроительную, архитектурную и историческую значимость участка города Казачья слобода, объявить его историко-архитектурным памятником».
Обзор современного состояния территории Казачьей Слободы
Застройка Казачьей Слободы представлена малоэтажными домами с усадебными участками. Качественный состав среды -объекты исторической, архитектурно-художественной значимости, рядовая (фоновая) застройка. Большая часть памятников архитектуры и истории сосредоточена на ул. Красных Зорь. Современное состояние территории - около 50 % зданий характеризуются высоким процентом износа и являются ветхой застройкой. По улице Красных Зорь в границах улиц Куйбышева и М. Жукова многие дома не подлежат реставрации, отсутствует система необходимого благоустройства улицы. Новая застройка хаотична и не соответствует стилевому решению исторической застройки.
Необходим новый подход к реконструкции и восстановлению архитектурного наследия
