Исследование модели параллельного обслуживания кратных заявок в нестационарном режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Управление, вычислительная техника и информатика № 3(12)

УДК 519.872

И.А. Ивановская, С.П. Моисеева ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ КРАТНЫХ ЗАЯВОК В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ1

В работе построена модель параллельного обслуживания заявок в системе массового обслуживания, состоящей из нескольких блоков обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов. Найдено аналитическое выражение для производящей функций многомерного распределения вероятностей состояний цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме) в нестационарном режиме.

Ключевые слова: немарковские системы с неограниченным числом обслуживающих приборов, пуассоновский поток кратных заявок.

Параллельность процессов вычислений и обработки информации является одним из основных принципов, используемых при проектировании современных компьютерных сетей. Это позволяет достигать максимальной скорости в работе и существенной экономии времени. При оценке производительности первостепенное значение имеет продолжительность вычислительных процессов. Случайный характер процессов формирования, обработки и передачи данных обуславливает необходимость применения стохастических моделей, в качестве которых широко используются модели массового обслуживания. Использование аппарата теории массового обслуживания позволяет построить математические модели коммутационных сетей и провести теоретические исследования параметров функционирования реальной вычислительной системы[1, с. 9 - 13; 2, с. 19 - 21].

Одним из основных принципов при проектировании современных компьютерных сетей является параллельность процессов обработки информации. Поэтому анализ математических моделей с параллельно функционирующими блоками обслуживания и общими входящими потоками имеет практическое значение [3 - 5].

1. СМО с параллельным обслуживанием сдвоенных заявок

Рассмотрим систему с двумя блоками обслуживания (рис. 1), каждый из которых содержит неограниченное число приборов. На вход системы поступает простейший с параметром X поток сдвоенных заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки.

Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая - во второй блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется ее обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметрами и ц2 соответственно.

Состояние системы определим вектором {/1,/2}, где 1к - число заявок в к-м блоке. Тогда случайный процесс {¿1(0,г2(0} изменения во времени состояний системы является двумерной эргодической цепью Маркова [1].

1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», проект № 4761

Обозначим P(i, j, t) = P{i\(t) = i, i2(t) = j} - распределение вероятностей состояний двумерной цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме) в момент времени t.

X

М1

м-1

м 2

Рис. 1. СМО с параллельным обслуживанием сдвоенных заявок

1.1. Система дифференциальных уравнений Колмогорова

Составим At-методом прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова [4]. По формуле полной вероятности запишем равенства

P(i, j, t + At) = (1 - XAt)(1 - i^j At)(1 - j|a2 At)P(i, j, t) + XAtP(i -1, j -1, t) + +(i + 1)|aj AtP(i +1, j, t) + ( j + 1)ц2 AtP(i, j +1, t) + o(At).

Откуда получаем систему дифференциальных уравнений:

---(-, j, ) = -(^ + г М-1 + jH-2 )P(i, .¡, t) + ^P(i - 1, j - 1, t) +

dt

+(i + 1)^P(i + 1, j, t) + ( j + 1)^2P(i, j + 1, t). (1)

Определим производящую функцию двумерного распределения P(i, j, t) в виде [3]

œ œ

F ( x, y, t ) = XXx‘yJP(i, j, t ).

i=0 j=0

Из системы дифференциальных уравнений Колмогорова (1) имеем

dF (x, y, t )

■ = ~^F (x, y, t )-Mi SSiX У]р C1t )-M 2 SS Jy1 XP C 1t )

dt i=0 J=1 i=1 J=0

+

+xss*v^-1 j-1,1 )+h SS(+1)x!>,;p(+1, j1 )+^2 SSC+1)xг>’;p(, j+1,1)

i=1 j=1 i=0 j=0 i=0 j=0

откуда получаем линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для функций F(x,y,t):

dF (x, y, t) л . 4 F (x, y, t) F (x, y, t)

У’У’ >=-XF(x,y,t) —цx ^ — Ц2У d ^ +

dt or dy

. . F (x, y, t) F (x, y, t)

+XxyF (x, y, t ) + ^——’- — ^ —^, or dy

отсюда

dF<dM + M x — 1) dF(dxy,'> +M.y — 1) = >.( xy — 1) F (x, y, t). (2)

dt dx dy

1.2. Вид производящей функции при нестационарном функционировании СМО

Поставим задачу нахождения производящей функции при нестационарном функционировании рассматриваемой СМО.

F(x,y,t) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с частными производными первого порядка.

Для нахождения начальных условий воспользуемся тем фактом, что производящая функция нестационарного распределения вероятностей числа занятых приборов в системе MlMiro определяется выражением [4, с. 70 - 72]:

ад Г х 1

F(x, t) = V XP(i, t) = exp j — (x - 1)t i-.

i=0 1ц J

Тогда для производящих функций одномерных маргинальных распределений имеем

ад ад ад f л

F (x,1, t) = VV x!P(i, j, t) =VxiP(i, t) = exp j — (x - 1)t

i=0 j=0 j=0 I M-1

ад ад ад f л

F(1, y, t) = VV yjP(i, j.t) = V yj P( j, t) = exp j — (y -1)t

i=0 j =0 j =0 l>2

(3)

р (1,1, ґ ) = 1, р (х, у,0 ) = 1.

Запишем систему уравнений (2) в частных производных первого порядка [4, с. 71; 6, с. 241]:

йґ йх йу dF

1 (х-1) М"2 (У-1) ^(хУ-^

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений перепишем в следующем виде:

йґ йх йу dF

7 =и( х -1) У -1) ~М( х -1)( у -1) + (х -1) + (у -1) ] •

Найдем два первых интеграла этой системы. Один из них найдем из уравнения

йх

йґ =---------.

Ь( х -1)

Очевидно, имеем

ц-jt = ln(x-1)-lnC1,

откуда получаем выражения

x -1 = C^1,

C1 =(x - 1)e~-i1. (4)

Другой первый интеграл найдем из уравнения

dt=—^y—.

-2( y -1)

Имеем

-2t = ln (y - 1)- ln C2 ,

откуда получаем выражения

y -1 = C2e^2i,

C2 =(y -1) . (5)

Последний интеграл найдем из уравнения

dF dt

XF [(x -1)( y -1) + (x -1) + (y -1)] = 7,

dF = dt

XF ((^ • C2^2t + C^ + C2e-2t) 1 ,

— = X • C2e^2‘ + C1e-t + C2e^2‘) ),

F

lnF - lnC3 =—X— C1C2e{-1 +-2]) +—C1e^1i +—C2e-2t,

-1 + Ц2 -1 -2

F = C3 • exp j—X— C1C2e(-1+-2 ]) + — Qe-1' + — C2e-2t} . (6)

1-1 + -2 -1 -2 J

Подставляя выражения (4), (5) для Ci и C2 , общее решение уравнения (6) мож-

но записать следующим образом:

F (x, y,t )=ф((x-1)e-k1i ,(y-1)e-k2i )exp iX(x 1)(y 1) +-(x-1)+—(y-1)

I -1 +-2 -1 -2

где Ф^,у) - произвольная дифференцируемая функция.

Для того чтобы найти Ф^у), воспользуемся начальными условиями (3):

F (x, y,0 ) = Ф(x-1, у -1) • exp JX(x - 1)(У -1) + -—(x-1)+—(у-1)1 = 1,

I -1 +-2 -1 -2 J

Ф( -1, У -1 ) = exp i-iX(x-1)(У -1) +—(x -1 ) +—(у -1)!}.

I I -1 +-2 -1 -2 JJ

Следовательно,

Ф( -1(^ ,(y—1)е-ц2‘ )xp J—X(x 1)(y 1) e~(-1+-2> —X(x—^e^ —~(y—1)е^ 1.

I -1 + -2 -1 -2 J

Подставляя полученное выражение в (7), запишем вид производящей функции

F(x,y,t):

F(x,y,t)=exp{-^—(x—1)(y—1)(1—e~(-1+-2 > )+—(x—1)1—e^ )+J^^y—1)(1—e--2t)1. (8)

1-1 +-2 -1 -2 J

Из (8) можно получить основные вероятностные характеристики двумерной цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме) в момент времени.

Для этого возьмем производные соответствующих порядков.

Учитывая, что

dF (x, y, t) Г X

dx 1-1 +-2

dF (x, y, t) 1 ' X

dy 1 v-1 +-2

d 2 F (x, y, t) Г X

ex2 1-1 +-2

d 2 F (x, y, t) =1 X

(y — 1) (1 — e^-1+-2 )t) +—(1 — є~-))F F(x, y, t),

-1 J

) A(1—e--2t ) (x, j, t h

-2 J

_e-(-1 +-2 )t'1

d 2 F (x, y, t) dxdy

dy2

X

_e“(-1 + -2 ))

-1 +-2

) )F F(x,y,t),

-2 J

(1 — e“(-1+-2 ) ) + f_^_ (y — 1) (1 — e-^1 + -2 ) W —(1 — e^ )F v ’ 1-1 +-2 V ’ -1 fJ

(x — 1) (1 — e—-1+-2 )) +—( — e~-2t)

-2 J_

F (x, y, t),

получаем

1) математическое ожидание числа заявок:

а) в первом блоке системы:

М1 = —(1 - ),

-1

б) во втором блоке системы:

МІ2 = —(1 — e--2t); -2

2) дисперсия числа заявок:

а) в первом блоке системы:

М1 — Mi1 =j^-X(1 — e-^ )J

б) во втором блоке системы:

М22 -M2 = ^(і - ) ;

3) корреляционный момент двумерной случайной величины {¿ь/г}

M {/■1/2 } = -^(1 - е--+-2)t )+А(1 - )+—(1 - ё-м).

-1 + -2 -1 -2

Если в (8) t ^ да, то получим вид производящей функции для стационарного распределения вероятностей

F(x, у) = exp|—-— (x -1)(у -1) + —(x -1) + —(у -1) |.

1-1 +-2 -1 -2 J

2. СМО с параллельным обслуживанием кратных заявок (при к = 3)

Рассмотрим систему с тремя блоками обслуживания (рис.2), каждый из которых содержит неограниченное число приборов. На вход системы поступает простейший с параметром поток строенных заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают три заявки.

-і

-і

-2

-2

-3

-3

Рис. 2. СМО с параллельным обслуживанием строенных заявок

Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, вторая - во второй, а третья - в третий блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется ее обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметрами ^, ц2 и ц3 соответственно.

Состояние системы определим вектором {/'і,/2,/3}, где ік - число заявок в к-м блоке. Тогда случайный процесс {і1(ґ),і2(ґ),і3(ґ)}, изменения во времени состояний системы является трехмерной эргодической цепью Маркова [1. С. 29 - 31].

Обозначим

Р (i, ], к, І) = Р {іі (І) = i, і2 (І) = j, і3 (ї) = к}

- распределение вероятностей состояний трехмерной цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме) в момент времени І.

Ставится задача нахождения производящей функции при нестационарном функционировании рассматриваемой СМО.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова будет иметь вид

дР к ’1 ) = - ( + г>1 + •/> 2 + к ^3 )Р (^ j, к , ^) + ( + !) -1Р (г + 1 j,к , ^) +

д(

+ ( + 1)ц2Р(г, j +1,к,/) + (к +1 )ц3Р(г,j,к +1,/) + ХР(г -1, j -1,к -1,/) . (9)

Определим производящую функцию трехмерного распределения Р(г, j, к, 0 в виде

ад ад ад

F (x у, z, f) = XX X x'yJzkp ( І,k, f) •

i=0 І=0 k =0

Из системы дифференциальных уравнений Колмогорова (9) для распределений P(ij',k,f) нетрудно получить дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для функций F(x,y,z,f) следующего вида:

dF ( Х, y-z-f) + -( X-1) dF ( Х,у-Z,f ) + -2( у-1) dF ( х-у,*f ) + -1) dF ( х- y,z-f ) =

df дх ду dz

= -(xyz -1)F(х, у, z, f) •

Затем, проведя аналогичные выкладки так же, как в разделе 1, получим следующие результаты.

Выражение для производящей функции F(x,y,z,f) запишем в виде

F (х, y, z, f) = exp J- -----(x -1) (y -1) (z -1) (1 - +-2+-3 ^ ) +

1-1 +-2 + -3

+ ^^(x - 1) (y -1) (1 - e^-1 + -2 )f) + - (y - 1) (z - 1) (1 - e-(-2 +-3 )f ) +

-1 +-2 -2 + -3

+—-—(x -1) (z -1)( - e^-1+-3 )f) +—(x-1)(1 - e~-f) +

-1 +-3 -1

+—(y -1) (1 - e--2f) +—(z -1) (1 - e--3f). (10)

-2 -3 J

Из полученной производящей функции (10) получим основные вероятностные характеристики трехмерной цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме) в момент времени.

1) математическое ожидание числа заявок:

а) в первом блоке системы:

Mij = —(1 - e^),

-1

б) во втором блоке системы:

Mi,

в) в третьем блоке системы:

Mi2 = —(1 - e--2f) -2

Mi3 = — (1 - e~-3f);

-3

2) дисперсия числа заявок:

а) в первом блоке системы:

Mj2 -M/j =(^—(l - ) ,

б) во втором блоке системы:

M/22 - M/2 =^(l - e^ )) ,

в) в третьем блоке системы:

M32 - Mi3 = (^— ( - )J .

Если рассматривать стационарный режим, то получим следующий вид производящей функции F(x,y,z):

F (x, y, z ) = exp {-- ------(x - 1)(y -1) (z -1) + —-—(x - 1)(y -1) +

1-1 +-2 + -3 -1 +-2

+—+-----(y - 1)(z -1)+—-—(x - 1)(z - 1)+--(x - ^+—(У - 1)+--^(z -1)|.

-2 + —3 -1 + —3 -1 -2 -3 J

Заключение

Таким образом, в работе рассмотрены системы массового обслуживания с параллельным обслуживанием кратных заявок с двумя и тремя блоками обслуживания. Получены выражения для производящих функций и числовые характеристики цепи Маркова при нестационарном функционировании рассматриваемых СМО.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 4-е изд., испр. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 400 с.

2. Эндрюс Г.Р. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования: пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. 512 с.

3. Ивановская И. А.., Моисеева С.П. Математическая модель параллельного обслуживания заявок в распределенных вычислительных системах // Сб. науч. статей. Минск, 2010. Вып. 3. С.123 - 128.

4. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: учеб. пособие. Томск: Изд-во НТЛ. 2004. 228 с.

5. Чечельницкий А.А., Кучеренко О.В. Стационарные характеристики параллельно функционирующих систем обслуживания с двумерным входным потоком // Сб. науч. статей. Минск, 2009. Вып. 2. С.262 - 268.

6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

Ивановская Ирина Анатольевна

Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске Моисеева Светлана Петровна Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 24 февраля 2010 г.