CC BY
28
Цветкова Инна Владимировна
Zvetkova Inna Vladimirovna Ростовский государственный строительный университет,
кафедра «Высшая математика» Rostov State University of Civil Engineering, cathedra of high mathematics ассистент кафедры «Высшая математика», assistant of the cathedra of of high mathematics E-Mail: [email protected]
Шамраева Виктория Викторовна
Shamraeva Victoria Victorovna Ростовский государственный строительный университет,
кафедра «Высшая математика» Rostov State University of Civil Engineering, cathedra of high mathematics доцент кафедры «Высшая математика» associate professor of the cathedra of of high mathematics
E-Mail: [email protected]
05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
Исследование модели финансового рынка с бесконечным числом скупщиков акций с помощью аргументов двойственности
Investigation of a model of financial market with infinite number of buyers-up of
stocks with the help of duality arguments
Аннотация: С помощью построения двойственной задачи исследуются финансовые рынки с бесконечным числом скупщиков акций. Полученные результаты дают возможность продвинуть решение вопроса о нахождение достаточных условий, гарантирующих существование мартингальных мер, удовлетворяющих СУХЕ (ОСУХЕ). Это позволит преобразовывать неполные и безарбитражные рынки в полные безарбитражные, что в финансовой математике является весьма актуальной задачей.
The Abstract: With the help of duality arguments markets with infinite number of buyers-up of stocks are investigated. The obtained results give the possibility to more the solution to the question to find the sufficient conditions on the existing of martingale measures satisfying the VPHV (WVPHV). All this permits to transform of incomplete and arbitrage free markets to complete and arbitrage free ones. This task is very important in the domain of financial mathematics.
Ключевые слова: Финансовый рынок, счётное число состояний, мартингальные ме-
ры, финитно-определённая система ограничений, двойственная задача, свойство универсальной хааровской единственности (СУХЕ), ослабленное свойство универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ).
Keywords: Financial market, infinite number of buyers-up of stocks, martingale measures, duality arguments, VPHV (WVPHV).
Рассмотрим одношаговый финансовый рынок, заданный на стохастическом базисе (О, Е), где Г = (Р о, Р^ - одношаговая фильтрация, причём Р0 = {О, 0}, ар! - порождена
разбиением О на счетное число атомов А-, г = 1,2, к . Рассмотрим Б-адаптированный случайный процесс Z = (2п, Р )П=о, который мы мыслим как дисконтированную стоимость акции.
Введём следующие множества вероятностных мер: Р = {Р = (р1,р2,--.,р1 ,...): рг>0,
го |О= а, ZJД = Ъг р (г, ¥) = {р е р : £ | Ъг | рг <~ £ Ъгрг = а}.
1 г=1 г=1
Для элементов Р=(р1,р2,...,рг,...) и С=(с1,с2,...,сг-,...) обозначим скалярное произведение (С, Р) = ^ сгрг . Пусть, далее, Л(Р)=(С,Р) цена финансового обязательства Л = ^ сг1А , вычис-
г=1 г=1
ленная по мартингальной мере Р е Р (г, ¥).
Таким образом, мы приходим к следующей задаче I: Л(Р)=(С,Р) ^ sup(inf)
Pi + Р2 + ••• + Рг + ••• = 1 b1 Pi + Ь2 Р2 + •• + ЬгРг + ••• = a,
Pi ^ 0, г = 1, с
Исследование финансовых рынков со счётным числом состояний было проведено в [1]. При этом использовался принципиально новый метод перехода от неполных рынков к полным - метод интерполяции, оперирующий такими понятиями как СУХЕ (свойство универсальной хааровской единственности) и ОСУХЕ (ослабленное свойство универсальной хааров-ской единственности) [2]. Однако в упомянутой работе остался нерешённым вопрос о нахождение достаточных условий (на а, Ъ1, Ъ2, ...), гарантирующих существование мартингальных мер Р, удовлетворяющих СУХЕ (ОСУХЕ). В данной статье применяется иной подход к решению этой проблемы при помощи построения двойственной к I задачи II: g(U)=u1+a■u2 ^ тА^ир) при и = {Ы\ + Ъ]ы1 > с ], ] = 1,2,...}. Приведём результаты, которые получены на данный момент, и наметим дальнейшие пути решения поставленной задачи.
ОбозначимМ^ир{ДР): Ре Р }, #:=^^(Ц): ие и }. Считаем, чтоМ=-¥ при Р=0 и
Ы=+¥ при и =0.
Определение 1. Говорят, что задача ЦП) разрешима, если М < ¥ и $ Ре Р : Л(Р)=М (N>-¥ и $ ие и : g(U)=N). (Заметим, что в случае, если задача ДГТ) разрешима, то Р ^0 (и ^0).)
Определение 2. Задача II имеет финитно-определённую систему ограничений, если существует конечная подсистема из и, для которой g(U)>N, "О е О .
Утверждение 1. М<Ж
Утверждение 2. Пусть II - финитно-определена. Если .^-¥, то II разрешима не всегда.
«А*
В дальнейшем будем предполагать, что задача II имеет финитно-определённую систему ограничений. Для простоты изложения считаем, что первые ^ уравнений из и это та конечная подсистема из определения 2, для которой g(U)>N, Vи є и . Обозначим
и :
и1 + Ьщ2 > с1з и1 + Ь2и2 > с2,
щ + Ьщ2 > с],
иі + Ь и2 > с.
и. (і):
и1 + Ь1и2 > с1/, и1 + Ь2и2 > с2і,
щ + Ьщ2 > суі,
и1 + ЬЩ2 > сЛ і > 0.
Рассмотрим систему векторов
(1Л ( 1 Л ( 1 Л ( 1 Л
V а У
V Ь1У
V Ь2 У
. Максимальное число линейно
независимых векторов среди них равно двум. Значит ранг г = г (ии {g (О) > N}) = 2 . Предположим, что Ъ1 < а < Ъ2.
Возможно следующие случаи:
Г(1V1
V Ъь
линейно-независимая система векторов. Рассмотрим
1. Пусть
IV а/
Ги1+аи2 > N, [и1+аи2 > N,
Пусть ^ совместна. Прямые и1 + аи2 = N и и1 + Ьщ2 = с1 не могут
I щ + Ьщ2 > с1. I и1 + Ь1и2 = с1
быть параллельны, поскольку
(1Л
VаУ V" 1У
(1Л Ь1.
- линейно-независимая система векторов.
2. Пусть
Ь1
(1 ЛІ
V Ь2 У
линейно-независимая система векторов. Рассмотрим
и1+аи2 > N,
и1 + Ь1и2 > с1, Пусть и1 + Ь2и2 > с2.
и1+аи2 > N,
и1 + Ь1и2 = с1, совместна. Очевидно (в силу линейной независимости и1 + Ь2и2 = с2
(11 V Ь1 У
( 1 П (м1 + ^2 = с^
), что из того, что произвольное решение системы < удовлетворяет
1и1 + Ъ2и2 = С2
V Ь2 У
неравенству g(U) = и1 + аи2 > вытекает, что 3 р1, р2 є Я :
I Р1 + Р2 = 1, ІАР1 + Ь2 р2 = а.
И наоборот.
3. Пусть
V Ь1 у
V Ь2 у
- линейно-независимая система векторов. Из того, что неравенст-
Ги1 + Ь1и2 > 0,
во g(U) = и, + аи2 > 0 является следствием < вытекает, что 3 р. > 0 (/=1,2) для ко-
[и1 + Ь2и2 > 0 /
торых ^ 1 V , то есть g(U) ° ^р/ (и, + Ь/и2) . И наоборот.
/=1
Р1 + Р2 = 1,
Ь1Р1 + Ь2 Р2 = а.
4. Будем обозначать
и2 = {и1 + Ь/и2 > с/, / = 1,2}, и2(^) = {и1 + Ь/и2 > е/г, г > 0, / = 1,2}.
Из того, что неравенство g(U)>Nt является следствием некоторой совместной конечной
~ [ Р1 + Р2 = 1
подсистемы ограничений и2(г) вытекает, что 3 Р/ > 0 (/=0,1,2) такие что \ Ь1Р1 + Ь2Р2 = а, то
С1Р1 + с Р2 = N,
2
есть g(U)-Nt = ^Р/ (и1 + Ь;и2 - /) + Р0г, -^0. И наоборот.
/=1
Утверждение 3. Неравенство g(U)>N является следствием некоторой совместной конечной подсистемы ограничений U2 о неравенство g(Ц) = и1 + аи2 > Nt является следствием.
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть (и1, и2, t0) - решение системы. Рассмотрим два случая, когда г0>0 и г0=0.
Пусть г0>0. Тогда и° + Ь/и° > с/г0. Значит — + Ь/ — > с
и
г о
и
мы и2. Тогда
- решение систе-
удовлетворяет и неравенству g(U)>N, то есть — + а— > N или g
(и!*, и20) >М0. Отсюда вытекает, что и (и(°, и^, г0 ) удовлетворяет g(U)>Nt.
Пусть теперь t0=0. Возьмём некоторое решение (и 1, и 2, t) системы с t > 0; таковым является, например, (и 1,и2,1), где (и 1,и2) - произвольное решение системы. Обозначим и1(у) = (1 ~7)и1 +уи‘°, и2(у) = (1 - у)и 2 +уи^, ^у) = (1 -у) + у0, "уе(0,1). Ясно, что вектор (щ(у),и2(у), ^у)), "уе(0,1), - решение системы. Но так как t(у) > 0, то по рассмотренному выше случаю g((м1(у),щу)))^^). Поскольку
g((мl(У), м2(у)))=(1 -у)и1 +?и10+а((1 -у)и 2 +?и20)=
= (1 - у)(и1 + аи2) + у(и° + аи2) > N((1 -уУ + у0) = (1 -у)N1 + у^10,
то переходя в последнем неравенстве к пределу при у® 1-0, получим, что %(и^, и°) >№0, то есть решение (и^, и20, t0 ) системы U2 ^) при ^=0 удовлетворяет неравенству g(U)>Nt.
Достаточность условий очевидна. □
о
о
Утверждение 4. Неравенство g(U)>N является следствием некоторой совместной конечной подсистемы ограничений ^ 3 р/ > 0 ( к=1,2) для которых
к
g(U)-N ° X Р/ (и1 + Ь1и2 - С/ ).
/=1
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть неравенство g(U)>N является следствием некоторой совместной конечной подсистемы ограничений и2. Тогда в силу утверждения 3 неравенство g(и) = и1 + аи2 > N является следствием U2(t). Тогда 3 р/ > 0 (/=0,1,2) такие что
к
g(U)-Nt ° X Р/ (и1 + Ь/и2 — /) + Рох.
/=1
При t=1 это соотношение приобретает следующий вид: g(U)-N °
к
X Р/ (и + Ьщ2 — с/ ) + р0 . Заметим, что "е>0 неравенство g(U)>N+e перестаёт быть следстви-
/=1
ем некоторой совместной конечной подсистемы ограничений U2 . Если бы р0 > 0, то неравенство g(U) >N + р0 в силу уже доказанного было бы следствием некоторой совместной конечной подсистемы ограничений U2, чего не может быть. Поэтому р0 = 0, что и доказывает утверждение.
Достаточность очевидна. □
Утверждение 5. Пусть U2 конечная подсистема из и для которой g(U)>N. Тогда 3 1 = А + Р2,
р/ > 0 (/=1,2) такие, что < а = Р1Ъ1 + Р2b2,
. N = Р1С1 + Р2С2.
Доказательство. Тогда 3 р/ > 0 (/=1,2) для которых
g(U)-N ° X Р/ (и1 + Ь/и2 — С/).
/=1
Отсюда выписываем требуемую систему. □
Утверждение 6. Пусть II - финитно-определена. Если К>-¥, то I разрешима (то есть М<+¥ и 3 Ре Р : _ДР)=М). При этом M=N.
Доказательство. Произвольное решение системы U удовлетворяет неравенству g(U)>N, то есть g(U)>N является следствием системы ограничений U . Поскольку II - финитно-определена, то g(U)>N является следствием и некоторой конечной подсистемы ограничений U2 . Рассмотрим систему U2 . Тогда в силу утверждения 5 получаем, что 3 р / > 0 (/=1,2) такие, что
1 = X Р/,
/
< а=X рр,,
з
N=X Р/с/.
/
Если положить р = (р1,р2,...,pi,...), причём р1 = 0 для /^1,2, то полученные соотношения можно переписать в виде
" 1 = Р1 + Р2 +...,
< а = РА + Р2Ь2 + .. .
, = С1Р1 + С2 Р2 + ...
Значит р е Р и N = схрх + с2р2 + ... <М, что вместе с утверждением 1 даёт требуемое равенство M=N. □
Утверждение 7. Пусть II - финитно-определена. Если I разрешима, то N>-¥. При этом
М=Ж
Доказательство. По условию I разрешима, то есть М<+¥ и 3 Р*е Р: _ДР*)=М. Значит Р ^0 и -¥<М<+¥ . Используя утверждение 1, и предыдущий вывод имеем, что ,^>-¥. Тогда по утверждению 6 выполняется равенство M=N. □
Следовательно, условия на а, А1, А2, ..., гарантирующие финитно-определённость системы ограничений задачи II, дадут вместе с тем и условия разрешимости задачи I. Кроме того, имея условия на эти же коэффициенты, найденные в работе [1], можно изучить некую между ними взаимосвязь. Что даст возможность найти ряд ещё одних условий (возможно, отличных от условий, предложенных в [1]), гарантирующих существование мартингальных мер Р, удовлетворяющих СУХЕ (ОСУХЕ). Что в конечном итоге, позволит преобразовывать неполные и безарбитражные рынки в полные безарбитражные, что в финансовой математике является весьма актуальной задачей [3-4].
Пример. Возьмём а=3, А/=/(/+1), с/=2/+1, /=1,2,... В этом случае, задача ЦП) выглядит следующим образом: ЬДР^Зр^рг+Тр^.^ир II. g(U)=u1+3u2®inf
и1 + 2и2 > 3, и1 + 6и2 > 5, и1 + 12и2 > 7,
Цена финансового обязательства для этой задачи равна 3,5 для мартингальной меры Р(3/4,1/4,0,0,...).
Р:
Р1 + Р2 + - + Р/ + - = 1 2 Р1 + 6 Р2 + 12 Р/ + - = 3
и
р1 > 0, / = 1,
оо
Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru
ЛИТЕРАТУРА
1. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счётном вероятностном пространстве. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Ростов-на-Дону, 2005.
2. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, т. 11, вып. 3, с. 506-508.
3. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных. // Успехи математических наук, 2002, т. 57, вып. 3,
4. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2002, №3, с.16-24.
с.143-144.
