CC BY
24
МЕХАНИКА MECHANICS
УДК 621.38:519.8 10.23947/1992-5980-2017-17-4-14-21
Исследование методик определения констант поляризованной пьезокерамики (часть II)* В. В. Мадорский1**
'Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
Study on polarized piezoceramics constant techniques definition (Part 2) V. V. Madorsky1**
1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation
Й О T3
M
"¡3
и
(U >
Л £ Л
Введение. Статья посвящена определению полного набора всех десяти электроупругих модулей поляризованной керамики, который необходим для анализа работы пьезокерамиче-ских чувствительных элементов различных приборов при численном решении краевых задач методом конечных элементов.
Целью данной работы является создание нового метода определения констант пьезокерамических материалов, основанного на измерении частот резонансов и первых низкочастотных антирезонансных частот только на одном образце в виде кольца.
Материалы и методы. Предложен новый метод определения полного набора упругих, пьезоэлектрических, диэлектрических модулей поляризованной пьезокерамики. При этом используется только один образец. Метод определения констант керамики основан на измерении резонансных частот и первого низкочастотного антирезонанса для элемента в виде кольца с осевой поляризацией. Первые семь констант, кроме сдвиговых, измеряют для кольца с электродами на торцах. Сдвиговые модули измеряют на том же кольце, но с новыми электродами на боковых цилиндрических поверхностях. Старые электроды на торцах удаляются. Для проверки корректности методики используется программа ANSYS, реализующая метод конечных элементов.
Результаты исследования. Для пьезокерамики PZT4 приведен полный набор констант, определенных новым методом — с использованием только одного образца. Погрешность определения констант, как правило, не превышает 1 %. Обсуждение и заключения. В работе приведены результаты исследований нового обоснованного численного метода и алгоритма определения полного набора совместимых материальных констант пьезокерамики на одном образце в виде кольца с различными электродами. Главное достоинство данного метода — для определения полного набора модулей пье-зокерамики используется только один образец. В других методах измеренные модули пьезокерамики не являются совместимыми в силу того, что частоты резонансов и антирезонан-сов измеряются на трех различных по геометрии и степени поляризации образцах.
*Работа выполнена в рамках инициативной НИР.
**E-mail: epohrbats@Gmail.com 14 ' ""The research is done within the frame of the independent R&D.
Introduction. The complete set of all ten electro-elastic moduli of the polarized ceramics essential for the analysis of piezoceramic sensing elements of various devices under the numerical solution to boundary value problems by the finite element method is considered. The work objective is to develop a new technique for determining constants of piezoelectric materials based on measuring the resonance frequencies and the first low-cycle antiresonance frequencies on one ring-like sample only. Materials and Methods. A new method of determining the full set of elastic, piezoelectric, and dielectric moduli of the polarized piezoelectric ceramics is proposed. Therewith, one sample only is used. This method is based on measuring the resonance frequencies and the first underfrequency antiresonance for an element in the form of an axial polarization ring. The first seven constants, apart from shear ones, are measured for the ring with electrodes on the ends. Shear moduli are measured on the same ring but with new electrodes on the lateral cylindrical surfaces. Old electrodes on the ends are removed. The ANSYS program implementing the finite element technique is used to validate the methodology.
Research Results. For PZT4 piezoelectric ceramics, the complete set of constants defined by a new method - using only one sample - is given. The accuracy of determining the constants, as a rule, does not exceed 1%.
Discussion and Conclusions. The paper presents the research results of a new valid numerical method and algorithm for determining the full set of compatible material constants of the piezoelectric ceramics on a single ring-like sample with different electrodes. The primary advantage of this method is that only one sample is used to determine the complete set of piezoceramic moduli, whereas in other methods, the measured piezoelectric moduli are not compatible since the frequencies of the resonances and anti-resonances are measured at three samples different in geometry and degree of polarization.
Ключевые слова: пьезоэлектрическая керамика, определение полного набора констант, метод резонанса — антирезонанса, кольцо, метод конечных элементов, программа Л№У8, метод возмущений.
Образец для цитирования: Мадорский, В. В. Исследование методик определения констант поляризованной пьезокерамики (часть II) / В. В. Мадорский // Вестник Дон. гос. техн. унта. — 2017. — Т. 17, № 4. — С. 14-21.
Keywords: piezoelectric ceramics, definition of full set of constants, resonance — antiresonance method, ring, finite element method, ANSYS program, perturbation approach.
For citation: V.V. Madorsky. Study on polarized piezoceramics constant techniques definition (Part 2). Vestnik of DSTU, 2017, vol. 17, no.4, pp. 14-21.
Введение. Для анализа работы пьезокерамических чувствительных элементов различных приборов необходим полный набор электроупругих модулей: пять упругих, три пьезоэлектрические и две диэлектрические константы. Для определения полного набора электроупругих постоянных известными методами (например, наиболее широко применяемым методом «резонансов — антирезонансов» [1, 2]) необходимы измерения характеристик трех типоразмеров: стержней, пластин или дисков с колебанием по толщине и пластин, работающих на сдвиг. Главные недостатки данного метода:
— как показано в [3], сложно определить (измерить) на измерительном стенде частоты «антирезонанса» для высокочастотных колебаний;
— для поляризации стержней с межэлектродным расстоянием порядка 10-20 мм часто требуются электрические напряжения до 100-200 кВ;
— необходима дополнительная проверка совместимости значений полного набора электроупругих констант путем сравнения значений коэффициента связи kt,, измеренного из толщинных колебаний и определенного расчетным путем по результатам измерений на образцах виде стержней [1];
— при колебаниях сдвига, согласно [1], края пластины необходимо «демпфировать вязким материалом (жидкость, резина, клей и др.)».
В силу того, что константы пьезокерамических материалов (ПКМ) определяются на различных образцах, они (константы) могут считаться совместимыми только при устранении вышеперечисленных недостатков. Однако большинство экспериментальных данных свидетельствует о существенной неоднородности физических свойств ПКМ, возникающей в процессе спекания и поляризации пьезоэлементов, имеющих различные геометрические формы [4].
Целью данной работы является создание нового метода определения констант ПКМ, основанного на измерении частот резонансов и первых антирезонансных частот на одном образце в виде кольца.
Это достигается тем, что первые семь констант (s1b s12, s13, s33, d31, d33, s33t ) измеряют на пьезокерамическом элементе в виде кольца с осевой поляризацией и c электродами на торцах, а сдвиговые модули (s44, d15, s11T ) измеряют на том же кольце, но с новыми электродами на боковых цилиндрических поверхностях (старые электроды на торцах удаляются).
В настоящей работе для проверки корректности методики получено численное решение краевых задач методом конечных элементов. В качестве программы, реализующей метод конечных элементов, используется ANSYS [5]. Материалы и методы
1. Методика определения констант материала, кроме сдвиговых, для кольца с электродами на торцах.
Рассмотрим пьезоэлектрическое кольцо толщиной 2h и радиусами a и b (a > b). Введем цилиндрическую систему координат (r, ©, z), причем ось z совпадает с направлением оси поляризации. Координатная плоскость z = 0 совпадает со срединной плоскостью кольца.
Основываясь на известных линейных пьезоэлектрических соотношениях [6], уравнения осесимметричных колебаний кольца можно записать в следующем виде:
Trr, r + Tr, z + (Trr - TW/r + pro2 U = 0, (1)
Tz r + Trz/r + Tz z + pro2 W = 0, Dri r + Dr/r + Dz, z = 0.
Здесь и далее введены следующие обозначения и определения: U, W — механические смещения по осям r, z соответственно; ro — круговая частота; p — плотность; Tmn — механические напряжения; Dr, Dz — компоненты векто-
СЗ
ра электрической индукции D. Запятая обозначает дифференцирование по символу, следующему за запятой. g
к
В случае осевой поляризации уравнения состояния в цилиндрических координатах можно записать в следу- Е ющем виде:
Trr = С11 U, r + C12 U/r + C13 W, z + ез1 ф, z, (2) ^
Tee = С12 U, r + С11 U/r + cn W, z + ез1 ф, z
Tzz = С13 U, r + С13 U/r + Сзз W, z + езз ф, z
Trz = С44 U, z + С44 W, r + 615 ф, r 15
Dr = eis (U, z + W, r) - еп ф, r; Dz = вЪ1 (U, r + U/r) + e33 W, z - S33 ф, z. В соотношениях (2) и далее введены следующие обозначения:
— стп — упругие постоянные в матричном обозначении, измеренные на образцах с закороченными электродами или при электрическом поле E = const;
— emn — пьезоконстанты;
— smn — диэлектрические проницаемости для зажатого образца;
— ф — электрический потенциал.
Будем считать, что на электродированных торцах кольца и на боковых поверхностях кольца a, b заданы граничные условия:
z = ±h Tzz = 0; T„ = 0; ф = ± V; (3)
r = a, b Trr = 0; Trz = 0; Dr = 0. В (3) величина 2 V — подведенная к торцам электрическая разность потенциалов. Решение данной краевой задачи (1-3) состоит из суммы двух решений:
— однородного решения при нулевых граничных условиях при z = ±h;
— частного решения, удовлетворяющего только условиям на торцах z = ±h.
Не составляет труда построить частное решение Dz = const и Dr = 0, которое автоматически удовлетворяет третьему уравнению из (3). Механические и электрические составляющие частного решения равны:
Trr0 = T000 = A(e3i + cn S33/ e33) ß sin(ßq)/h + e^K/h; U = 0; (4)
ф0 = Kq + Asin(ßq); Dz0 = -e33 K/h; Tzz0 = e33 K/h + Aß e33p cos(ßq)/h. В (4) и далее введены следующие обозначения:
— безразмерные координаты q = z/h, Е, = r/a;
— безразмерная частота Q2 = p(roh)2/c44;
— ß2 = c44 Q2/c33D;
— e33p = e33 + c33 £33/e332;
— k2 = i - c33/c33D; (5)
— коэффициенты A = -Ve33/(e33p (ß cos(ß) - kt2 sin(ß)));
— K = V/(i - kt2 tg(ß)/ß).
Построение однородных решений при условии, что вектор внешних усилий и электрический потенциал равны нулю на торцевых поверхностях, связано с определением корней дисперсионного уравнения. Для симметричных колебаний дисперсионное уравнение имеет вид [7]:
an Mn cth (ßn) = 0 (n = i, 2, 3). (6)
В (6) введены следующие обозначения:
an = -a2 ci3 kin + c33 k2n + e33 k3„; bn = kin ßn + k2m (7)
Mi = b2 k33 - b3 k32; M2 = b3 k3i - bi k33; M3 = bi k32 - b2 k3i, где величина kmn — алгебраические дополнения элементов третьей строки определителя системы для симметричных колебаний (1); ßn — корень бикубического уравнения из [7].
Для нахождения корней a при заданных значениях Q необходимо совместно решить дисперсионное и бикубическое уравнения. Подробный анализ корней дисперсионного уравнения симметричных колебаний для пьезоэлектрического слоя приведен в [7].
Построенное однородное решение должно удовлетворять следующим граничным условиям на боковых поверхностях кольца при r = a, b:
arr = -Trr0; arz = 0; dr = 0, (8)
где orr, crz — механические напряжения, dr — компонента вектора электрической индукции для однородного решения. g Именно сумма частного и однородного решений позволит удовлетворить граничным условиям (3) как на тор-
3 цах, так и на боковых поверхностях кольца.
д Здесь остановимся на таком известном явлении, как толщинный резонанс, или «толщинный парадокс». С од-
-§ ной стороны, важным свойством толщинного резонанса является независимость собственной частоты от радиуса и
к
простота его определения по формуле
1 - к? 1в(р)/р = 0. (9)
> Для толщинных колебаний считалось, что поперечное волновое число а = 0 — таким образом, теория тол-
¡¿, щинных колебаний одномерная.
,д С другой стороны, многочисленные данные [8-10] о рельефе осесимметричных колебаний торцевых поверх-
ностей при толщинных резонансах исследуемых ПКМ демонстрируют сильную зависимость перемещения Ж от радиуса. При этом не обнаружено ни одного толщинного резонанса с приблизительно поршневым движением торцевых 16 поверхностей даже в случае малой относительной толщины исследуемых образцов. Более того, движение различных
участков этих поверхностей может быть противофазным. Представленные данные позволяют утверждать, что эти высокочастотные колебания не могут быть описаны с помощью одномерных идеализированных теорий.
В данной работе дано объяснение этому «толщинному парадоксу». В частном решении (4), (5) и в граничных условиях для однородного решения (8) существует общий множитель 1/(1 - kt2 tg(p)/p) и очевидно, что и частное, и однородное решения могут одновременно удовлетворять условию толщинного резонанса (9). При этом движения больших торцевых поверхностей не будут близки к поршневому движению из-за сложного по форме однородного решения (в области толщинного резонанса имеются три дисперсионные кривые Q(a), и решение зависит от координат r, z [7]).
Как видно из построенного частного решения для пьезоэлектрического слоя при поляризации по толщине и с электродами на торцах, условие толщинного резонанса в виде (9) будет одинаковым как для диска, так и для кольца или пластины. Это было подтверждено и численным анализом с помощью программы ANSYS. Для кольца это впервые было показано в [8].
В предлагаемом ниже методе упругие податливости s11, s12 и s13, измеренные на образцах с закороченными электродами или при постоянном электрическом поле, определяются с помощью измеренных трех первых последовательных резонансов кольца.
Пьезомодуль d31 определяем из измеренной первой низкочастотной антирезонансной частоты. Диэлектрическую константу s33t свободного образца рассчитаем из измеренной емкости кольца на частоте 1 КГц. Упругую константу c33d и коэффициент связи kt измеряем из первых двух резонансных частот толщинных колебаний.
Решение обратной задачи, или определение модулей керамики из критических частот, удобнее проводить приближенными методами, основанными на учете толщинных поправок в решении для кольца. В данной работе решение ищем в виде разложения по малому параметру — относительной частоте Q2: а2 = tQ2 + yQ4 + п^6...
U = U0 + Q2U2 + Q4 U4 +... (10)
Здесь а — безразмерное волновое число или корень дисперсионного уравнения (6); t, у, п — неизвестные постоянные, зависящие от модулей пьезокерамики; Un — вектор, составляющие которого U (U, W, ф).
Опуская громоздкие выкладки и ограничиваясь членами с Q6 для определения волнового числа а2 и Q4 для смещений U в (10), приведем конечный результат рассматриваемой краевой задачи с граничными условиями (3) на торцах:
t = С44 /срп; у = t 2(С1з /С33)2 /3; С13 /С33 = -s^sn+s^); (11)
СР11 = С11 - С21з /Сзз = 1/(sn(1- v2)); v = -S12 /sn; П = t 3{2/9 (с13 /с33)4 + (с13/с33)2 /3 [ 2/15 (с13 /с33) + 2/5 ср11/с33 - (с13 /с33)2/3 + piezo]}; piezo = 1/45 (С13/сзз)2 [^/(sn+s^) - cPn(2d31 (cB /С33) + d33))/( £ззТ(1- kp2))].
Далее введем следующие определения и обозначения: kp2 — планарный коэффициент связи;
а20 = tQ2 — приближенное волновое число нулевого порядка;
а22 = tQ2 + yQ4 — приближенное волновое число второго порядка;
а24 = tQ2 + yQ4 + nQ6 — приближенное волновое число четвертого порядка.
В табл. 1 представлены результаты точного решения волнового числа а из дисперсионного уравнения (6) и приближенный расчет из (10) и (11) для е = 0,033 для различных приближений.
Таблица 1 Table 1
Пример расчета волнового числа а для различных частот для рассматриваемого пьезокерамического кольца
Calculation example of wave number a for various frequencies for piezoceramic ring under study
f, КГц Q а из (6) точное решение а0 а2 а4 с piezo = 0 а4
50 0,085 0,045055 0,045049 0,045055 0,045055 0,045055
250 0,425 0,22605 0,22524 0,22603 0,22605 0,22605
500 0,85 0,45742 0,45049 0,45676 0,45744 0,45741
700 1,1903 0,65168 0,63068 0,64777 0,65138 0,65123
Приведенные в табл. 1 результаты показывают, что для рассматриваемого кольца с толщиной 1 мм для частот ^ до 700 КГц расчет волновых чисел из дисперсионного уравнения и приближенный расчет для а4 практически совпадают, а пьезоэлектрической поправкой piezo можно пренебречь.
Частотное уравнение, соответствующее низкочастотным колебаниям, для колебаний кольца с учетом его относительной толщины s = h/a имеет вид:
aw a22 - a12 a21 = 0. (12)
Здесь an = Fifo) [1 + ao2 с1з/сээ(1/3 + (C13/6C33))] - 1/3 (ao ci3/c33)2Jo(xi); ai2 = F2(x1) [1 + ao2 013/033(1/3 + (C13/6C33))] - 1/3 (ao c^^fNofo); a21 = Ffo) [1 + ao2 013/033(1/3 + (6013/033))] - 1/3 (ao c^^fJofo); a22 = F2(x2) [1 + ao2 013/033(1/3 + (013/6033))] - 1/3 (ao 013/033)2Nofo); x1 = a4/s; x2 = x1 b/a; F1(x) = x/0(x) - (1 - v)J1(x)]; F2(x) = xNo(x) - (1 - v)N1(x).
В уравнении (12) v — коэффициент Пуассона; Jo(x), J1(x) — функции Бесселя первого рода; No(x), N1(x) — функции Бесселя второго рода нулевого и первого порядков.
Частотное уравнение (12) для тонких пьезоэлектрических элементов зависит только от упругих податливо-стей s1b s12, s13 и относительной толщины s через a4.
Первый (основной) резонанс fo, рассчитанный из частотного уравнения (12), называют частотой резонанса по окружности, остальные два — частоты резонанса по толщине стенки кольца.
Для расчета резонансных частот использовались: метод однородных решений, программа ANSYS, приближенный расчет по формуле (12) с учетом толщинных поправок и расчет без учета толщинных поправок (s = 0) для рассматриваемого кольца (a = 15 мм, b = 3 мм). Результаты представлены в табл. 2
Таблица 2 Table 2
Пример расчета резонансных частот Cal0ulation example of resonan0e frequences
Точное решение (1-3) ANSYS Приближенное решение (12) Решение (12) при s = o
fo, КГц 66719 66719 6672o 66736
f1, КГц 174426 17446o 174388 17469o
f2, КГц 3o3376 3o348o 3o3319 3o493o
(U >
Для определения величин пьзомодуля ¿31 или коэффициента связи &р2 необходимо воспользоваться другим типом однородных электрических условий — равенством нулю тока на электродах. Этот тип граничных условий соответствует условиям антирезонанса. Ограничиваясь приближением нулевого порядка в (10, 11), получим из [11] условие для первого низкочастотного антирезонанса:
кр2 + кр2<
1 - к2 + kp2(1 + v) [A1/A fofo) - b/a Jl(x2)) + A2/A (N1(x1) -
- Ь/а М(х2))]/(1 - Ь21а2) = 0.
Здесь
х1 = а0/е; х2 = х1 Ь/а; А = F1(х1) F2(х2) - F2(х1) F1(х2); (13)
А1 = F2(х2) - Ь/а F2 (х1); А2 = Ь/а F1(х1) - F1(х2).
При Ь ^ 0 уравнение (13) вырождается в уравнение антирезонансных частот диска нулевой толщины [3].
Для определения упругого модуля о33° и коэффициента связи к2 измерим два толщинных резонанса. Имея два уравнения (9) с двумя неизвестными численными методами [12] можно определить о33° и к2. Далее легко рассчитать пьезомодуль ¿33, используя соотношения:
к2/(1 - к2) = (езз/озз)2 033 / (£33^(1 - кр2)); ¿33 = езз/озз - 2^ езз/озз.
2. Методика определения сдвиговых констант для кольца с электродами на боковых поверхностях. Исследуем теперь возбуждение в рассматриваемом кольце сдвиговой моды колебаний. Для этого при неизменной поля-2 ризации ПКМ необходимо поместить новые электроды на внутреннюю и внешнюю цилиндрические поверхности кольца, а старые электроды на торцах удалить. Решим данную задачу методом однородных решений. Метод однород-й ных решений для антисимметричных колебаний пьезоэлектрического слоя подробно описан в [12]. "О Удовлетворяя однородным граничным условиям на торцах при
z = ±Н Тzz = 0; Т, = 0; = 0, (14)
получаем известное дисперсионное уравнение антисимметричных колебаний
ап Мп Л (Р„) = 0 (п = 1, 2, 3), (15)
где М1 = Ь2 ¿3 к33 - Ь3 ¿2 к32; М2 = Ь3 ¿1 к31 - Ь1 ¿3 к33; М3 = Ь1 ¿2 к32 - Ь2 ¿3 к31; ¿п = -а2 е13 к^ + е33 к2п + £33 к3т параметры ап, вп,Ьп, ктп определены в (7).
Корни дисперсионного уравнения (15) и определяют систему однородных решений антисимметричных колебаний.
Построим их асимптотику в окрестности а = 0. В уравнениях (7, 15) положим а = 0, О Ф 0, которые являются началом дисперсионных кривых. При этих условиях система уравнений (1, 2) вырождается, и ее решение представляет толщинные колебания рассматриваемого кольца, а удовлетворение однородным граничным условиям (14) приводит к определению собственных частот — толщинных резонансов. В итоге получим два множества значений для О:
1 - к152 + к152 = 0 п = 1, 2, 3, ... (16)
От = т п (с33в / с44)0,5 т = 1, 2, 3, ... (17)
Здесь введен коэффициент связи сдвиговых колебаний к\52 = 1 - с44 /с44°
Для керамики ПТ4 рассчитаны первые две толщинные частоты из уравнения (16):
Ъ ! = 1,180198 МГц; ^ 2 = 2,882160 МГц.
Первый корень второго множества От из (17) равен 7,8294, что соответствует частоте 4,533954 МГц.
Следует отметить одинаковые форму и вид дисперсионных кривых уравнения (15) рассматриваемой задачи для кольца из ПКМ с электродами на боковых поверхностях и антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты с электродами на торцах [12]. Они отличаются только множеством (16) или началом дисперсионных кривых.
Решение данной краевой антисимметричной задачи (1-3) состоит из суммы двух решений, удовлетворяющих нулевым граничным условиям (14) при г = ± к:
— однородного решения [12];
— частного решения.
Однородные решения в явном виде не входят в расчет проводимости из-за третьего соотношения системы (1). Частное решение не составляет труда построить. Пусть компоненты вектора электрической индукции частного решения равны Б® = 0 и Б® = лец/г, где величина А не зависит от координаты г и определяется из электрических граничных условий при г = а, Ь. Данный выбор компонента вектора электрической индукции позволяет автоматически удовлетворить третьему уравнению системы (1). Далее потребуем, чтобы механические смещения соответственно были равны Ж = 0 и и = £кзт(^<;)/г. Тогда механические составляющие частного решения для антисимметричных колебаний имеют вид:
Тг2° = А е15/(г 1п(а/Ь)) (1 - соз(О<;) / соз(О));
Т/1 = Ак (сп - с12) е15 зт(^<;)/( г2 1п(а/Ь) с44 О соз(^)); Т22° = 0; и0 = -к А е15 зт(О<;))/(г 1п(а/Ь) с44 О соз(О)).
Используя закон Ома I = 2У*У, формулу Бг = (б!5 и, 2 - ец ф, г) и проинтегрировав по ¿Б (где — площадь электродов на боковой поверхности кольца), получим проводимость У0 рассматриваемого кольца частного решения:
У0 = -/ю Ск (1 - к152 + к152 1д(О)/О), (18)
где величина Ск для низших частот равна 2к ЕцТ/ 1п(а/Ь).
Из выражения (18) при низких частотах 0^-0 получим известную формулу для проводимости У = -/юСк, из
Т
которой легко рассчитать еп .
Проводимость У0 ^ тах при О = п/2, что соответствует резонансной частоте/У = 923760 Гц для Р2Т4. Антирезонанс из (18) получим при У = 0, что соответствует /А = 1,185 МГц для Р2Т4.
Результаты расчета критических частот с помощью программы ЛЫБУБ следующие: /У =939 КГц,/А = 1,19 МГц.
Результаты исследования. В ходе экспериментов для реализации нового метода использована программа АШУБ. Численные расчеты представляют собой виртуальный эксперимент, по информативности намного превышающий возможности реального эксперимента.
Алгоритм решения обратной задачи следующий:
1. Для кольца с электродами на торцах из рассчитанных с помощью АШУБ первых трех резонансных частот (см. табл. 2) были численно найдены при помощи процедуры оптимизации Левенберга — Марквардта [13] или с помощью метода наименьших квадратов упругие модули гибкости:
5„ = 0,1229 х 1е - 10;
«12 = -0,04049 х 1е - 10;
513 = -0,052844 х 1е - 10.
Ошибка для модулей гибкости не превышает 1 %. Используя рассчитанные с помощью АШУБ первые два толщинных резонанса / = 2,02 МГц и /2 = 6,728 МГц, получим упругую константу с33Б = 15,427 х 1е10 и пьзомодуль и ¿зз = 2,8584 х 1е - 10. Ошибка не превышает 1 %. Д
ей
Пьезомодуль ¿3\ определим по известной методике [1] из первого антирезонанса. Модуль равен -1,23х1е - 10 ^ для частоты 73959 Гц.
2. Для кольца с электродами на боковых поверхностях для рассчитанных частот с помощью АЫБУБ /А = 1190 КГц и /У = 939 КГц по формулам (16), (18) можно рассчитать с44 и к152. Пьезомодуль ¿15 легко рассчитать,
используя формулу: к152 = с44 ¿152 / епт.
19
й о чз
'й
3. Диэлектрические проницаемости е33Т и ецТ рассчитываем из измерений емкостей на частоте 1 КГц согласно [1] для колец с электродами на торцах и на боковых поверхностях соответственно.
Приведем все модули для PZT4, определенные новым методом на одном образце с помощью ANSYS:
s„ = 0,123 (0,123); ä12 = -0,0405 (-0,0405); s13 = -0,0528 (-0,0531); s33 = 0,153 (0,155); s44 = 0,38 (0,39); d31 = -1,23 (-1,23); d33 = 2,8584 (2,89); d15 = 4,82 (4,96); e33T = 114.95 (115,05); £„T = 130 (130,54).
Здесь в скобках указаны табличные справочные данные. Порядковый коэффициент для модулей соответственно 1е10 или 1е - 10 опущен.
В заключение отметим: ГОСТ, ОСТ, американский стандарт и все другие известные автору работы определения параметров поляризованной пьезокерамики методом резонанса — антирезонанса базируются на независимости констант от частоты. Насколько это соответствует реальности, предполагается обсудить в следующих статьях.
Обсуждение и заключения. В работе приведены результаты исследований нового обоснованного метода и алгоритма определения полного набора совместимых материальных констант пьезокерамики на одном образце в виде кольца с различными электродами. Сначала измеряют с электродами на торцах, а затем на том же кольце, но с новыми электродами на боковых цилиндрических поверхностях (старые электроды на торцах удаляются). Главное достоинство данного метода — для определения полного набора модулей пьезокерамики используется только один образец. В других методах измеренные модули пьезокерамики не являются совместимыми в силу того, что частоты резонансов и антирезонансов измеряются на трех различных по геометрии и степени поляризации образцах. Кроме того, в новом методе исключены измерения высокочастотных антирезонансов с электродами на торцах исследуемого элемента: технически трудно решить, какой минимум соответствует какому максимуму для высокочастотных колебаний.
Библиографический список
1. Материалы пьезокерамические. Технические условия. ОСТ 11.0444-87 / Центральный государственный фонд стандартов и технических условий. — Москва : Электростандарт, 1987. — 141 с.
2. IRE standards on piezoelectric crystals, measurements of piezoelectric ceramics / IRE. — Proceedings of the IRE. — 1961. — Vol. 49, is. 7. — P. 1162.
3. Мадорский, В. В. Исследование методик определения констант поляризованной пьезокерамики / В. В. Ма-дорский, В. Н. Митько // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2014. — Т. 14, № 2 (77). — С. 36-45.
4. Definition of constants for piezoceramic materials / V. A. Akopyan [et al.]. — New York : Nova Science Publisher, 2010. — 205 p.
5. Tickoo, S. ANSYS Workbench 14.0. A Tutorial Approach / S. Tickoo. — Schererville : CADCIM Technologies, 2012.— 416 p.
6. Tiersten, H.-F. Linear piezoelectric plate vibration / H.-F.-Tiersten. — New York : Plenum press, 1969. — 211 p.
7. Мадорский, В. В. Симметричные колебания пьезоэлектрических пластин / В. В. Мадорский, Ю. А. Устинов // Изв. АН Арм. ССР. — 1976. — Т. 29, № 5. — С. 51-58.
8. Analysis of 1-3 piezocomposite and homogeneous piezoelectric rings for power ultrasonic transducers / M.A.B. Andrade [et al.] // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences. — 2009. — Vol. 31, № 4. — P. 312-318.
9. Митько, В. Н. Математическое моделирование физических процессов в пьезоэлектрическом приборостроении / В. Н. Митько, Ю. А. Крамаров, А. А. Панич. — Ростов-на-Дону : Изд-во ЮФУ, 2009. — 240 с.
10. Shaw, E. A. G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disks / E. A. G. Shaw // Journal of the Acoustical Society of America. — 1956. — Vol. 20, № 1. — P. 38-50.
11. Шарапов, В. М. Пьезоэлектрические датчики / В. М. Шарапов, М. И. Мусиенко, Е. В. Шарапова. —
> Москва : Техносфера, 2006. — 632 с.
Л £ -й
12. Мадорский, В. В. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты / В. В. Мадорский, Ю. А. Устинов // Прикладная механика и техническая физика. — 1976. — № 6. — С. 138-145.
13. Васильев, А. Н. МАТЬАВ. Практический подход / А. Н. Васильев. — Москва : Наука и техника, 2015. —
448 с.
References
1. Materialy p'yezokeramicheskie. Tekhnicheskie usloviya. OST 11.o444-87. [Piezoceramic materials. Performance specifications. OST 11.o444-87.] Central State Foundation of Standards and Technical Regulations. Moscow: Elektrostandart, 1987, 141 p. (in Russian).
2. IRE standards on piezoelectric crystals, measurements of piezoelectric ceramics. IRE. Proceedings of the IRE, 1961, vol. 49, iss. 7, pp. 1162.
3. Madorsky, V.V., Mitko, V.N. Issledovanie metodik opredeleniya konstant polyarizovannoy p'yezokeramiki. [Investigating constant determination techniques of polarized piezoceramics.] Vestnik of DSTU, 2o14, vol. 14, no. 2 (77), pp. 36-45 (in Russian).
4. Akopyan, V.A., et al. Definition of constants for piezoceramic materials. New York: Nova Science Publisher, 2o1o,
2o5 p.
5. Tickoo, S. ANSYS Workbench 14.o. A Tutorial Approach. Schererville: CADCIM Technologies, 2o12, 416 p.
6. Tiersten, H.-F. Linear piezoelectric plate vibration. New York: Plenum press, 1969, 211 p.
7. Madorsky, V.V., Ustinov, Y.A. Simmetrichnye kolebaniya p'yezoelektricheskikh plastin. [Symmetrical oscillations of piezoelectric plates.] Proceedings of the NAS RA, 1976, vol. 29, no. 5, pp. 51-58 (in Russian).
8. Andrade, M.-A.-B., et al. Analysis of 1-3 piezocomposite and homogeneous piezoelectric rings for power ultrasonic transducers. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences, 2oo9, vol. 31, no. 4, pp. 312-318.
9. Mitko, V.N., Kramarov, Y.A., Panich, A.A. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh protsessov v p'yezoel-ektricheskom priborostroenii. [Mathematical modeling of physical processes in piezoelectric instrument making.] Rostov-on-Don: SFU Publ. House, 2oo9, 24o p. (in Russian).
10. Shaw, E. A. G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disks. Journal of the Acoustical Society of America, 1956, vol. 2o, no. 1, pp. 38-5o.
11. Sharapov, V.M., Musienko, M.I., Sharapova, V.E. P'yezoelektricheskie datchiki. [Piezoelectric detectors.] Moscow: Tekhnosfera, 2oo6, 632 p. (in Russian).
12. Madorsky, V.V., Ustinov, Y.A. Postroenie sistemy odnorodnykh resheniy i analiz korney dispersionnogo uravneniya antisimmetrichnykh kolebaniy p'yezoelektricheskoy plity. [Construction of a system of homogeneous solutions and analysis of the roots of the dispersion equation of antisymmetric vibrations of a piezoelectric plate.] Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1976, no. 6, pp. 138-145 (in Russian).
13. Vasilyev, A.N. МATLAB. Prakticheskiy podkhod. [№ATLAB. Practical approach.] Moscow: Nauka i tekhnika, 2o15, 448 p. (in Russian).
Поступила в редакцию 11.07.2017 Сдана в редакцию 12.07.2017 Запланирована в номер 10.10.2017
Received 11.07.2017 Submitted 12.07.2017 Scheduled in the issue 10.10.2017
Об авторе:
Author:
Мадорский Виктор Вениаминович,
доцент кафедры «Электротехника и электроника» Донского государственного технического университета (РФ, 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1), кандидат физико-математических наук, доцент, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-0320-5074 epohrbats@Gmail.com
Madorsky, Victor V.,
associate professor of the Electrical Engineering and Electronics Department, Don State Technical University (RF, 344000, Rostov-on-Don, Gagarin sq., 1), Cand.Sci. (Phys.-Math.), associate professor, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-0320-5074 epohrbats@Gmail.com
CÖ «
S X a X <u
