CC BY
53
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 2 (50)
РУХОМИЙ СКЛАД ЗАЛ1ЗНИЦЬ I ТЯГА ПО1ЗД1В
УДК 514.8
С. А. УСТЕНКО1, С. В. Д1ДАНОВ2*, О. Ю. АГАРКОВ2
1Каф. «Математика i механжа», Микола!вський нацюнальний утверситет iMeHi В. О. Сухомлинського, вул. Нжольська, 24, Миколагв, Украгна, 54030, тел. +38 (063) 479 90 61, ел. пошта [email protected]
2*Каф. «1нженерна графжа», Нацiональний унiвeрситeт кораблебудування iмeнi адтрала Макарова, пр. Герогв Сталш-града, 9, Микола1в, Укра1на, 54025, тел. +38 (0512) 39 73 82, ел. пошта [email protected]
ДОСЛ1ДЖЕННЯ КРИВИХ Л1Н1Й, ЗАДАНИХ КУБ1ЧНИМ РОЗПОД1ЛОМ КРИВИНИ
Мета. Подальший розвиток геометричного моделювання криволiнiйних обводiв рiзних об'eктiв на осно-вi заданого кубiчного розпод^ кривини та заданих значень кривини в граничних точках. Методика. Досль джуеться дiлянка плоского криволiнiйного обводу, яка генеруеться за умови, що задано кубiчний розподiл кривини. Крива розпочинаеться й закшчуеться в заданих точках, в яких також визначеш кути нахилу дотич-них та кривина. Отримано рiвняння кривини ще! криво!, що залежить вiд довжини дiлянки та коeфiцiента c кубiчного розподiлу кривини. Проведено аналiз отриманого рiвняння, а також дослвджено умови, при яких на кривш виникають точки перегину. Знаходиться такий штервал змiни параметру (у залeжностi ввд вихвд-них даних та довжини дшянки), щоб точка перегину графжа кривини знаходилась поза межами дмнки криво! лши. Визначено залeжнiсть кута нахилу дотично! до криво! в довшьнш !! точцi, а також надаш рекоме-ндацй' щодо розв'язання системи iнтeгральних рiвнянь, що дозволить знайти довжину дiлянки криво! та коефщент c кубiчного розподiлу кривини. Результати. У результата дослiджeння кривих лшш встановлено, що критeрiем !х вiдбору можна вважати вiдсутнiсть точок перегину кривини на дшянщ, яка розглядаеться. Аналiз впливу параметра c на графiк кута нахилу дотично! до криво! показав, що незалежно ввд його зна-чення, забезпечуеться однаковий прирiст кута нахилу дотично! до криво!. Наукова новизна. Удосконалено шдхвд до геометричного моделювання кривих лшш на основi кубiчного розподшу кривини iз заданими l! значеннями в граничних точках шляхом усунення точок перегину з розглядувано! дмнки криволiнiйного обводу. Практична значимiсть. Крив^ отриманi за запропонованою методикою, можуть використовува-тись для геометричного моделювання криволшшних обводiв об'ектiв у рiзних галузях промисловостi.
Ключовi слова: крива лшя; кубiчний розподiл кривини; геометричне моделювання; точки перегину; кут нахилу дотично!; кривина криволшшного обводу
Вступ
Сучасна прикладна геометр1я досягла значних успiхiв у моделюванш кривих лшш за заданими геометричними умовами. Там задач1 виникають шд час геометричного моделювання об'екпв технолопчно складних галузей промисловосп (ав1ацшно!, суднобуд1вно!, машинобуд1вно!, транспортно! тощо) [4]. Це пов'язано з тим, що крив1, якi моделюються, мають задовольняти певн умови, що до них ставляться, наприклад проходити через задан точки, мати визначеш в них кути нахилу дотичних i т.п.
Функцюнальш залежносп, як описують щ крив1, повинш дозволяти виконувати багато-кратне диференщювання, а !хш похщш вщпо-вщати критер1ям неперервносп. В цьому плат, одшею з найважливших характеристик кривих лшш об'екпв моделювання, е кривина.
При автоматизованому проектуванш проце-с1в i об'екпв машинобудування та транспорту
найважлившим е геометричне моделювання р1зних елеменпв цих об'екпв i процешв. Цш тематищ присвячено велику кшьюсть робгт, зок-рема з моделювання лопаткових апарапв турбо-машин [3, 11, 17]; з геометричного моделювання кривих дшянок зашзничних колш [6, 8, 14, 19, 20]. Моделюванню криволшшних обвод1в заданого розпод1лу кривини в л1тератур1 також присвячено достатньо уваги. Р1зномаштш аспекти цього питання висвгтлеш в роботах [1, 2, 5, 7, 9, 10, 16, 18], а у роботах [12, 15] розглянуп питання геометричного моделювання кривих лшш ¡з заданим куб1чним розподшом кривини.
Мета
Метою статп е подальший розвиток геометричного моделювання криволшшних обвод1в р1зних об'екпв на основ1 заданого куб1чного розподшу кривини.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 2 (50)
Робота е продовженням дослiджень з гео-метричного моделювання кривих лшш iз засто-суванням заданого закону розподiлу кривини та заданими значеннями кривини в граничних точках [15], яю виконуються авторами.
Методика
Розглянемо д^нку плоского криволiнiйного обводу, зображену на рис. 1, де застосоваш такi позначення: - довжина дуги обводу; йъ - дифе-ренцiал дуги; ф(0) i ф(5) - кути нахилу дотичних у початковш i кiнцевiй точках дуги обводу.
Рис. 1. Дшянка криволшшного обводу
Fig. 1. Section of curvilinear contour
Ця дшянка утворена на основ1 заданого розподшу кривини K(s), графш якого зображе-но на рис. 2.
ф^) = ф(0) +JK (s)ds .
Знайдемо píbmhm криво! лiнii, що утво-рюеться заданим розподiлом кривини. З рис. 1 випливае, що
dx = ds cos ф( s); dy = ds sin ф^) .
Проштегруемо цi вирази i отримаемо пара-метричш рiвняння криво!, залежно вщ довжини дуги
s
x(s) = x(0) + |cos ф^)ds ;
о
s
y (s) = y (0) +jsin ф^)ds .
0
Ui рiвняння е рiвняннями клото!ди. 1нтеграли, що наведенi в формулах, можна об-числити тiльки за допомогою чиселового iнтегрування, наприклад методом ^мпсона.
У випадках, коли потрiбно в граничних точках криво! забезпечити не тшьки кути нахилу дотично!, а й кривину, розглядаеться крива, яка генеруеться за умови, що задано кубiчний гра-фiк розподшу кривини [15]:
K (s ) = as3 + bs2 + cs + d,
(i)
де a, b, c, d - HeB^OMi параметри розподшу кривини, що знаходяться в процес моделювання криво!; s - довжина криво! лшп вщ початку до поточно! точки.
Рис. 2. Графж розпод^ кривини Fig. 2. Graph of curvature distribution
Диференщал дуги ds за вщомим значенням кута нахилу до ос абсцис дор1внюе:
ds = d ф/ K (s).
З ще! формули шляхом штегрування можна визначити кут нахилу дотично! до криво! в до-вшьнш точщ:
Рис. 3. Криволшшний обвщ Fig. 3. Curvilinear contour
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 2 (50)
Початковими даними для моделювання плоского криволшшного обводу (рис. 3) е коорди-нати початково! х0, у0 та кшцево! х1, у1 точок, кути нахилу дотичних до криво! ф0, ф1 i криви-на криво! К0, К1 в цих точках.
Згiдно з результатами роботи [15], для визна-чення невiдомих параметрiв а, Ь i й розподiлу кривини (1) слщ скористатись такими виразами:
3 Аф-(( 2 + 2 К1) -2-^-+ с
a = 2-
S
b = 3-
S2
4 Аф-((2 + 3Ki)
S ' S
- с
' = Ki
1 5
де Аф = ф1 -ф0.
Пщставимо вирази параметр1в до р1вняння (1) та, перетворивши його, отримаемо:
K (s) = ф1 (s, S) + сф2 (s, S),
де
ф1(s, S ) = -¿г
мiрiв, для яких характернi дуже малi значения кривини, наприклад довжина перехщно! криво! дiлянки залiзничного шляху дорiвнюе 300 м, а !! кривина змшюеться вiд 0 (на початку) до 1/4 000 (в кшщ). I навпаки, розмiри достатньо мал^ а значення кривини великi, наприклад ширина профшв лопаток турбомашини виш-рюеться в мм, тобто 10-3 м, а кривина в райош вхiдно! кромки сягае 103. Все це е сприятливим для виникнення великих похибок обчислення [13].
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1
_______.•-..•••' -3__________
-4
K2s2 (4s - 3S) + K1 (s - S) x
x(8s2 - sS - S2) -12АфS(s - S)
Ф2 ( ^ ) = ^ ( - ^ )( - ^).
Дослщимо вплив вихiдних даних та невщомих параметрiв на кубiчний графш розподiлу кривини. Побудуемо графiк для таких вхщних даних: кривина в граничних точках криво! К1 = 0 i К2 = - 0,1 вщповщно; вiдносна довжина криво! S = 1; прирют кута нахилу дотично! до криво! Аф = - 60°; параметр кривини с, що змшюеться вщ - 1 до - 5 з кроком 1 (рис. 4).
Як довжина криво! взяте вщносне значення, оскшьки в багатьох випадках при моделюванш обводiв об'екпв рiзних галузей промисловостi розмiри дшянок кривих вимiрюються метрами, а кривина в граничних точках змшюеться вщ 0 до тисячних. Так, юнують об'екти великих роз-
Рис. 4. Вплив параметра c на кубiчний графiк розподiлу кривини
Fig. 4. Influence of parameter c on cubic graph of curvature distribution
Отже, потр1бно скористатись розподшом кривини одинично! довжини, а пот1м застосу-вати масштабування криволшшного обводу.
На рисунку зображеш точки перегину граф1ка кривини, координати яких знаходяться за допомогою таких вираз1в:
S0 =
S
1 --
2Аф- S (K2 + Kj) 6Аф- 2S ((2 + 2K1)- cS2
, (2)
а з урахуванням того, що взята вщносна довжина криво! лшп
S0 = 1
0 2
1 -
2Аф- (K2 + K1) 6Аф- 2 ((2 + 2K1 )-<
Критер1ем вщбору кривих можна вважати вщсутшсть точок перегину кривини на дшянщ, що розглядаеться.
В цьому випадку треба знайти такий штервал змши параметра с, щоб точка перегину граф1ка кривини знаходилась поза межами д1-лянки криво! лшп, тобто S0 < 0 або S0 > S.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 2 (50)
Щдставимо вираз (2) до обмежень i тсля пере-творень отримаемо:
8Arn 5K + 3K2 4Am 3K + K2
—2т--1-1 <с <—2г--1-1 (3)
S2 S S2 S
або для вщносно! довжини
8Аф- (5K1 + 3K2 )< с < 4Аф-(3К1 + K2).
Для заданих вхвдних даних отримано iнтервал змiни параметра с, при якому на заданш дшянщ будуть вiдсутнi точки перегину:
-8,07758 < с <-4,08879.
Залежнють для визначення кута нахилу дотично! до криво! в довшьнш !! точцi буде:
ф(5) = ф0 + Ф1 (5,S) + сФ2 (5, S) :
(4)
де
Ф1 (5, s )=S3
K252 S(5 - S) + K (5 - S) х
х(252 - 5S - S2) +Аф—(4S - 35) S
Ф 2 (^ S ) = SS2 (5 - S
На основi вхщних даних iз попереднього прикладу побудуемо графш розподiлу кута нахилу дотично! до криво!, що моделюеться. До-датковими даними для побудови графша буде кут нахилу дотично! в початковш точцi криво! ф0 = 70°. Результати моделювання залежносп кута нахилу дотично! до криво! вщ вiдносно! довжини зображенi на рис. 5.
Як видно з рисунка, незалежно вщ значення параметра с формули забезпечують однаковий прирют кута нахилу дотично! до криво!.
З урахуванням вище наведеного, залежнють для визначення кута нахилу дотично! до криво! в довiльнiй !! точцi буде:
ф(5) = ф0 +Ф1 (5,S) + сФ2 (5, S) ,
де
Ф1 (^ s ) = S3
+ 2K1)- S (K2 + 3Ki )-
-аФ| 3 s -4
Ki5;
Ф2 (5, S) = 52
i „2
S2
_5i 3S
0,4 0,2
с = —1 -2
-4
Phc. 5. BnnuB napaMeTpa c Ha rpa^iK KyTa Haxuny goTHHHo! go KpHBoi', mo MogenroeTbca
Fig. 5. Influence of parameter c on graph of angle of tangent slope to the curve, which is being modeling
flna MogenroBaHHH KpHBomrnHHHx o6BogiB i3 3agaHHMH 3HaneHH3MH kphbhhh b rpaHHHHux to-HKax BH3HanHMo napaMeTpmHe piBHaHHa KpHBoi', b aKoMy 3a napaMeTp npuHHaTo goB^HHy gyru. 3rigHo 3 pe3ynbTaTaMH po6oTH [15], boho MaTHMe TaKHH Buraag:
s
x(s) = x0 + jcos (p0 + O1 (s, S) + cO2 (s, S))ds ;
0
s
y (s) = Jo + jsin (po + Oi (s, S) + cO2 (s, S))ds . (4)
0
iHTerpa^H, ^o HaBegeHi y Bupa3ax (4), aHa^iTHHHo He 6epyTbca, ane ix Mo^Ha o6hhchhth, 3acTocyBaBmu MeTogu nucnoBoro im-erpyBaHHa.
nigcTaBHBmu y piBHHHHH (4) KoopguHara KiH-^bo! tohkh KpHBoi', oTpuMaeMo cucTeMy gBox iHTerpanbHHx piBHHHb 3 gBoMa HeBigoMHMu:
S
X - x0 - j cos (p0 +O1 (s, S) + cO 2 (s, S ))ds = 0;
0
S
y - J0 - j sin (0 + Oi (s, S) + cO 2 (s, S ))ds = 0.
2
3
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 2 (50)
Для знаходження невщомих можна застосу-вати числовий метод Ньютона, призначений для розв'язування систем трансцендентних р1внянь. Але цей метод передбачае наявшсть похщних вщ ус1х р1внянь за невщомими змш-ними. У нашому випадку вони мають такий вигляд:
dc
f2
c
1 S _ - f cos с
dS _ S f S 0
1 S _ - f sin с
dS _ S f S 0
-|Ф2 (S, S) sin ф(
ds ;
ds;
де
дф _ дФ1 дФ
дФ1 _ dS " S4
dS dS K2 S (S - 2s )-
+ c-
dS
-6K1 (s - S) + ^(s - S)
=4 -' ).
дБ Б3 V '
Для застосування числового методу Ньютона, потрiбно взяти початковi значения невщомих параметрiв. У зв'язку з тим, що за невiдомi були обраш довжина криво! та коефiцieнт с, то можна взяти таю значення:
- для довжини - вщстань по прямiй мiж граничними точками плоского криволшшного обводу;
- для коефщента с - iз штервалу (3).
Результати
В результатi дослщження кривих лiнiй, от-риманих iз застосуванням кубiчного розподiлу кривини з заданими значеннями кривини в гра-ничних точках, встановлено, що критерieм вщ-бору змодельованих кривих можна вважати
вщсутшсть точок перегину кривини на дшянщ, що розглядаеться. 1нтервал змiни параметра с буде знаходитись на основi нерiвностi (3).
Аналiз впливу параметра с на графш кута нахилу дотично! до криво!, яка моделюеться, показав, що незалежно вiд значення параметра с формула (4) забезпечуе однаковий прирют кута нахилу дотично! до криво!.
Наукова новизна та практична значимкть
Наукова новизна полягае в удосконаленш шдходу до геометричного моделювання кривих лiнiй на основi кубiчного розподiлу кривини iз заданими !! значеннями в граничних точках, шляхом усунення точок перегину з розглядува-но! дiлянки криволiнiйного обводу.
Крив^ отриманi за запропонованою методикою, можуть використовуватись для геомет-ричного моделювання криволiнiйних обводiв об'ектiв в рiзних галузях промисловостi, на-приклад для подання профiлiв лопаткових апа-ратiв турбомашин рiзного конструктивного оформлення та цiльового призначення, пiд час моделювання перехщних кривих дiлянок зал> знично! колi! тощо.
Висновки
Таким чином, удосконалено пiдхiд до геометричного моделювання плоских криволшш-них обводiв на основi кубiчного розподшу кривини iз заданими значеннями кривини в гра-ничних точках. Встановлено, що критерiем вiдбору змодельованих кривих можна вважати вщсутшсть точок перегину кривини на дшянщ, що розглядаеться. Отриманий тдхщ можна використовувати шд час побудови профiлiв лопаткових апара^в турбомашин, перехiдних кривих залiзничних колiй тощо.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Агарков, О. Ю. Застосування формул Серре-Френе до моделювання кривих, що проходять через задаш точки площини або простору / О. Ю. Агарков // Приклад. геометр1я та 1нж. граф1ка : пр. Тавр. держ. агротехнолог. ун-ту. -Мелтополь, 2013. - Т. 57, вип. 4. - С. 3-9.
2. Бадаев, С. Ю. Криволшшний сегмент на основ1 штегрально! криво!' / С. Ю. Бадаев, £. О. Боро-
вш // Приклад. геометрiя та iнж. графiка / КНУБА. - К., 2009. - Вип. 81. - С. 213-217.
3. Байдабеков, А. К. Геометрический метод конструирования лопатки вентилятора / А. К. Байдабеков // Приклад. геометрiя та шж. графша / КНУБА. - К., 2010. - Вип. 83. - С. 93-97.
4. Вашн, В. В. Геометричне моделювання - одна з основ автоматизованого проектування об'екпв i процеав машинобудування / В. В. Ванш, Г. А. Вiрченко // Приклад. геометрiя та iнж. графiка : пр. Тавр. держ. агротехнолог. ун-ту. -Мелгтополь, 2009. - Т. 43, вип. 4 - С. 3-10.
5. Гавриленко, £. А. Визначення границь дiапазонiв положения дотичних до обводу з монотонною змшою кривини / £. А. Гавриленко // Приклад. геометрiя та шж. графiка : пр. Тавр. держ. агротехнолог. ун-ту. -Мелгтополь, 2005. - Т. 29, вип. 4. - С. 54-58.
6. Дщанов, С. В. Форми перехщних кривих залiз-ничного шляху / С. В. Дщанов // Приклад. гео-метрiя, дизайн та об'екти iнтелект. власностi : матерiали II-! мiжнар. наук.-практ. конф. студе-нпв, аспiрантiв та молодих вчен. - К. : Д1Я, 2013. - Вип. 2. - С. 55-59.
7. Довгалюк, В. Б. Геометричний аналiз структу-ри струмин, що настилаються на поверхнi рiзно! кривини / В. Б. Довгалюк, В. О. Мшей-ковський // Приклад. геометрiя та iнж. графiка / КНУБА. - К., 2012. - Вип. 89. - С. 156-165.
8. Курган, М. Б. Перебудова кривих для впро-вадження швидшсного руху пасажирських по-1здв / М. Б. Курган, М. А. Гусак, Н. П. Хме-левська // Вюн. Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - Д., 2012. -Вип. 40. - С. 90-97.
9. Михайленко, В. £. Дискретне моделювання на базi штегрально! моделi криво! / В. £. Михайленко, В. Г. Лi // Приклад. геометрiя та iнж. графiка / КНУБА. - К., 1999. - Вип. 66. -С. 3-8.
10. Пустюльга, С. I. Дискретне моделювання кривих за заданими функщями змши кривини та скруту / С. I. Пустюльга, В. Р. Самостян // Сучасш пробл. геометр. моделювання :
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2014, № 2 (50)
мiжвузiв. зб. (за напр. Инженерна мехашка»). -Луцьк, 2008. - Вип. 22, ч. 1. - С. 286-292.
11. Сшршцев, Д. В. Геометричне моделювання профшю плоских перер1з1в пера лопатки ком-пресора / Д. В. Сшршцев // Геометричне та комп'ютерне моделювання : пр. Харк. держав. унту харч. та торпвл1 / ХДУХТ. - Х., 2009. -Вип. 22. - С. 156-161.
12. Устенко, С. А. Моделювання криво! 1з застосу-ванням куб1чного закону розпод1лу !! кривини / С. А. Устенко // Вюн. Херсон. нац. техн. ун-ту. - Херсон, 2008. - Вип. 31. - С. 480-484.
13. Устенко, С. А. Нормал1за^ графЫв розпод1лу кривини / С. А. Устенко // Приклад. геометрiя та 1нж. графша : пр. Тавр. держ. агротехнолог. ун-ту. - Мелгтополь, 2013. - Т. 56, вип. 4 -С. 227-231.
14. Устенко, С. А. Метод побудови просторово! перехщно! криво! / С. А. Устенко, С. В. Дщанов // Наука та прогрес трансп. Вюн. Дншропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. - 2013. - № 2 (44). -С. 124-128.
15. Устенко, С. А. Геометричне моделювання кри-вих лшш 1з заданою кривиною в граничних точках / С. А. Устенко, С. В. Дщанов, О. Ю. Агар-ков // Приклад. геометр1я та 1нж. графжа / КНУБА. - К., 2011. - Вип. 87. - С. 404-409.
16. Фокс, А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт. - М. : Мир, 1982. - 304 с.
17. Ebaid, M. S. Y. A unified approach for designing a radial flow gas turbine / M. S. Y. Ebaid, F. S. Bhinder, G. H. Khdairi // Transactions of the ASME. - 2003. - Vol. 125, July. - P. 598-606.
18. Farin, G. Curves and surfaces for computer-aided geometric design : a practical guide / G. Farin. -Academic Press Inc., 1997. - [4-th edition]. -447 p.
19. Lipicnik, M. New form of road/railway transition curve / M. Lipicnik // J. of Transportation Engineering, 1998. - November / December. - P. 546-556.
20. Tari, E. A new transition curve with enhanced properties / E. Tari, O. Baykal // Canadian j. of Civil Engineering, 2005. - Vol. 32. - P. 913-923.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 2 (50)
РУХОМИЙ СКЛАД ЗАЛ1ЗНИЦЬ I ТЯГА ПО1ЗД1В
С. А. УСТЕНКО1, С. В. ДИДАНОВ2*, А. Ю. АГАРКОВ2
1Каф. «Математика и механика», Николаевский национальный университет имени В. А. Сухомлинского, ул. Никольская, 24, Николаев, Украина, 54030, тел. +38 (063) 479 90 61, эл. почта [email protected] 2*Каф. «Инженерная графика», Национальный университет кораблестроения имени адмирала Макарова, пр. Героев Сталинграда, 9, Николаев, Украина, 54025, тел. +38 (0512) 39 73 82, эл. почта [email protected]
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ, ЗАДАННЫХ КУБИЧЕСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КРИВИЗНЫ
Цель. Дальнейшее развитие геометрического моделирования криволинейных обводов разных объектов на основе заданного кубического распределения кривизны и заданных значений кривизны в граничных точках. Методика. Исследуется участок плоского криволинейного обвода, генерирующегося при условии, что задано кубическое распределение кривизны. Кривая начинается и заканчивается в заданных точках, в которых также определены углы наклона касательных и кривизна. Получено уравнение кривизны этой кривой, зависящее от длины участка и коэффициента c кубического распределения кривизны. Проведен анализ полученного уравнения, а также исследованы условия, при которых на кривой возникают точки перегиба. Находится такой интервал изменения параметра (в зависимости от входных данных и длины участка), чтобы точка перегиба графика кривизны находилась вне границ участка кривой линии. Определена зависимость угла наклона касательной к кривой в произвольной ее точке, а также даны рекомендации по решению системы интегральных уравнений, которые позволят найти длину участка кривой и коэффициент c кубического распределения кривизны. Результаты. В результате исследования кривых линий установлено, что критерием их выбора можно считать отсутствие точек перегиба кривизны на рассматриваемом участке. Анализ влияния параметра c на график угла наклона касательной к кривой показал, что независимо от его значения обеспечивается одинаковое приращение угла наклона касательной к кривой. Научная новизна. Усовершенствован подход к геометрическому моделированию кривых линий на основе кубического распределения кривизны с заданными ее значениями в граничных точках путем устранения точек перегиба из рассматриваемого участка криволинейного обвода. Практическая значимость. Кривые, полученные по предложенной методике, могут использоваться для геометрического моделирования криволинейных обводов объектов в разных отраслях промышленности.
Ключевые слова: кривая линия; кубическое распределение кривизны; геометрическое моделирование; точки перегиба; угол наклона касательной; кривизна криволинейного обвода
S. A. USTENKO1, S. V. DIDANOV2*, O. YU. AGARKOV2
'Dep. «Mathematics and Mechanics», Nikolayev National University named after V. A. Sukhomlynskyi, Nikolskaya St., 24, Nikolayev, Ukraine, 54030, tel. +38 (063) 479 90 61, e-mail [email protected]
2*Dep. «Engineering Graphics», National University of Shipbuilding named after Admiral Makarov, Geroyev Stalingrada St., 9, Nikolayev, Ukraine, 54025, tel. +38 (0512) 39 73 82, e-mail [email protected]
INVESTIGATION OF CURVES SET BY CUBIC DISTRIBUTION OF CURVATURE
Purpose. Further development of the geometric modeling of curvilinear contours of different objects based on the specified cubic curvature distribution and setpoints of curvature in the boundary points. Methodology. We investigate the flat section of the curvilinear contour generating under condition that cubic curvature distribution is set. Curve begins and ends at the given points, where angles of tangent slope and curvature are also determined. It was obtained the curvature equation of this curve, depending on the section length and coefficient c of cubic curvature distribution. The analysis of obtained equation was carried out. As well as, it was investigated the conditions, in which the inflection points of the curve are appearing. One should find such an interval of parameter change (depending on the input data and the section length), in order to place the inflection point of the curvature graph outside the curve section borders. It was determined the dependence of tangent slope of angle to the curve at its arbitrary point, as well as it was given the recommendations to solve a system of integral equations that allow finding the length of the curve section and the coefficient c of curvature cubic distribution. Findings. As the result of curves
HayKa Ta nporpec TpaHcnopTy. BÎCHHK ^mnponeTpoBctKoro Ha^OH&atHoro yHÎBepcHTeTy 3&ri3HHHHoro TpaHcnopTy, 2014, № 2 (50)
research, it is found that the criterion for their selection one can consider the absence of inflection points of the curvature on the observed section. Influence analysis of the parameter c on the graph of tangent slope angle to the curve showed that regardless of its value, it is provided the same rate of angle increase of tangent slope to the curve. Originality. It is improved the approach to geometric modeling of curves based on cubic curvature distribution with its given values at the boundary points by eliminating the inflection points from the observed section of curvilinear contours. Practical value. Curves obtained using the proposed method can be used for geometric modeling of curvilinear contours of objects in different industry branches.
Keywords: curve; cubic curvature distribution; geometric modeling; inflection points; angle of tangent slope; curvature of curvilinear contours
REFERENCES
1. Aharkov O.Yu. Zastosuvannia formul Serre-Frene do modeliuvannia kryvykh, shcho prokhodiat cherez zadani tochky ploshchyny abo prostoru [Application of Serret-Freinet formulas to curves simulation that pass through the given points of the plane or space]. Pratsi Tavriiskoho derzhavnoho ahrotekhnolohichnoho universytetu «Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika» [Proc. of Tavria State Agrotechnological University «Applied Geometry and Engineering Graphics»], 2013, vol. 57, issue 4, pp. 3-9.
2. Badaiev S.Yu., Borovik Ye.O. Kryvoliniinyi sehment na osnovi intehralnoi kryvoi [Curved segments based on the integral curve]. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika [Applied geometry and Engineering Graphics], 2009, issue 81, pp. 213-217.
3. Baydabekov A.K. Geometricheskiy metod konstruirovaniya lopatki ventilyatora [Geometric method of fan blade engineering]. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika [Applied geometry and Engineering Graphics], 2010, issue 83, pp. 93-97.
4. Vanin V.V., Virchenko H.A. Heometrychne modeliuvannia - odna z osnov avtomatyzovanoho proektuvannia obiektiv i protsesiv mashynobuduvannia [Geometric modeling is one of the computer-aided design objects foundations and process of engineering]. Pratsi Tavriiskoho derzhavnoho ahrotekhnolohichnoho universytetu «Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika» [Proc. of Tavria State Agrotechnological University «Applied Geometry and Engineering Graphics»], 2009, vol. 43, issue 4, pp. 3-10.
5. Havrylenko Ye. A. Vyznachennia hranyts diapazoniv polozhennia dotychnykh do obvodu z monotonnoiu zminoiu kryvyny [Identification of the ranges boundaries of touch on circumference position with a monotonic change of curvature]. Pratsi Tavriiskoho derzhavnoho ahrotekhnolohichnoho universytetu «Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika» [Proc. of Tavria State Agrotechnological University «Applied Geometry and Engineering Graphics»], 2005, vol. 29, issue 4, pp. 54-58.
6. Didanov S.V. Formy perekhidnykh kryvykh zaliznychnoho shliakhu [Forms of railways transitional curves]. Materialy druhoi Mizhnarodnoi naukovo-praktychnoi konferentsii studentiv, aspirantiv ta molodykh vchenykh «Prykladnna heometriia, dyzain ta obiekty intelektualnoi vlasnosti» [Proc. of the 2nd Int. Sci. and Practical Conf. of Students and Young Scientists «Applied geometry, design, and intellectual property»], 2013, issue 2, pp. 55-59.
7. Dovhaliuk V.B., Mileikovskyi V.O. Heometrychnyi analiz struktury strumyn, shcho nastylaiutsia na poverkhni riznoi kryvyny [Geometric analysis of currents structure that are planked on different surfaces curvature]. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika [Applied geometry and Engineering Graphics], 2012, issue 89, pp. 156-165.
8. Kurhan M.B., Husak M.A., Khmelevska N.P. Perebudova kryvykh dlia vprovadzhennia shvydkisnoho rukhu pasazhyrskykh poizdiv [Reconstruction of curves for high-speed of passenger trains implementation]. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznychnoho transportu imeni akademika V. Lazariana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan], 2012, issue 40, pp. 90-97.
9. Mykhailenko V.Ye., Li V.H. Dyskretne modeliuvannia na bazi intehralnoi modeli kryvoi [Discrete simulation based on integral curve model]. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika [Applied geometry and Engineering Graphics], 1999, issue 66, pp. 3-8.
10. Pustiulha S.I., Samostian V.R. Dyskretne modeliuvannia kryvykh za zadanymy funktsiiamy zminy kryvyny ta skrutu [Discrete simulation of curves on a given functions of curvature and torsion changes]. Suchasni problemy heometrychnoho modeliuvannia. Mizhvuzivskyi zbirnyk (za napriamkom «Inzhenerna mekhanika») [Contemporary problems in geometric modeling. Interuniversity collection (Engineering Mechanics)], 2008, issue 22, part 1, pp. 286-292.
© C. A. ycreHKo, C. B. ^igaHOB, O. M. ArapKOB, 2014
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 2 (50)
11. Spirintsev D.V. Heometrychne modeliuvannia profiliu ploskykh pereriziv pera lopatky kompresora [Geometric modeling of flat sections profile of the compressor blade airfoil]. Heometrychne ta kompiuterne modeliuvannia [Geometric and Computational Modeling], 2009, issue 22, pp. 156-161.
12. Ustenko S.A. Modeliuvannia kryvoi iz zastosuvanniam kubichnoho zakonu rozpodilu yii kryvyny [Simulation of curvature using a cubic law of its curves distribution]. Visnyk Khersonskoho natsionalnoho tekhnichnoho universytetu [Bulletin of Kherson National Technical University], 2008, issue 31, pp. 480-484.
13. Ustenko S.A. Normalizatsiia hrafikiv rozpodilu kryvyny [Normalization of curvature distribution graphs]. Pratsi Tavriiskoho derzhavnoho ahrotekhnolohichnoho universytetu «Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika» [Proc. of Tavria State Agrotechnological University «Applied Geometry and Engineering Graphics»], 2013, vol. 56, issue 4, pp. 227-231.
14. Ustenko S.A., Didanov S.V. Metod pobudovy prostorovoi perekhidnoi kryvoi [Constructing method of spatial transition curve]. Nauka ta prohres transportu. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznychnoho transportu - Science and Transport Progress. Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport, 2013, no. 44, pp. 124-128.
15. Ustenko S.A., Didanov S.V., Aharkov O.Yu. Heometrychne modeliuvannia kryvykh linii iz zadanoiu kry-vynoiu v hranychnykh tochkakh [Geometric modeling of curves with a given curvature in boundary points]. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika [Applied geometry and Engineering Graphics], 2011, issue 87, pp. 404-409.
16. Foks A., Pratt M. Vychislitelnaya geometriya. Primeneniye v proyektirovanii i naproizvodstve [Computational geometry. Application in designing and manufacturing]. Moscow Publ., 1982. 304 p.
17. Ebaid M.S.Y., Bhinder F.S., Khdairi G.H. A unified approach for designing a radial flow gas turbine. Transactions of the ASME, 2003, vol. 125, pp. 598-606.
18. Farin G. Curves and surfaces for computer-aided geometric design. Academic Press Inc. Publ., 1997, 4-th edition. 447 p.
19. Lipicnik M. New form of road/railway transition curve. Journal of transportation engineering, 1998, November / December, pp. 546-556.
20. Tari E., Baykal O. A new transition curve with enhanced properties. Canadian journal of civil engineering, 2005, vol. 32, pp. 913-923.
Стаття рекомендована до публ1кацИ' д.т.н., проф. В. Д. Борисенком (Украгна); д.т.н.,
проф. В. В. Рибктим (Украгна)
Надшшла до редколегп 03.02.2014
Прийнята до друку 25.03.2014
