Исследование конвективной теплопередачи в аппарате с механической мешалкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.517.2

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В АППАРАТЕ С МЕХАНИЧЕСКОЙ МЕШАЛКОЙ

© 2013 Н А. Газизуллин Казанский национальный исследовательский технологический университет Поступила в редакцию 09.03.2013

С помощью итерационной процедуры на основе алгоритма SIMPLE проведено численное моделирование конвективного теплообмена в аппарате с механической мешалкой. Результаты расчетов представлены в виде линий тока вторичной циркуляции жидкости и изотерм.

Ключевые слова: аппарат, мешалка, перемешивание, жидкость, циркуляция, теплопередача

Аппараты с мешалками широко используются в ряде отраслей промышленности при проведении различных технологических процес-сов[1-3]. Перемешивание в жидких средах оказывает влияние на теплообменные и массооб-менные процессы, а также на результаты химических процессов. Исследование теплообмена в аппаратах с мешалками представляет интерес как для выявления теоретических закономерностей, описывающих изменение температурного поля по объему аппарата, так и в связи с широким спектром технологического применения этих аппаратов. В настоящей работе проведено численное моделирование конвективного теплообмена в аппарате с лопастной мешалкой в условиях ламинарного режима течения вязкой жидкости.

Исходными уравнениями, описывающими неизотермическое течение жидкости в аппарате, будут соответственно уравнения Навье-Стокса, энергии и неразрывности в виде [4]:

pdV + p(v • V)v = F - Vp + |V2

v

dT

dt

+ v • VT = aV 2T,

V- v = 0.

(1) (2)

(3)

Fr = р(ю2 r + 2rov)

р^ю г +

^=-2Рюи, ^ =

где ю - угловая скорость вращения вала и мешалки.

Свободную поверхность жидкости будем предполагать поверхностью вращения, на которой введем в рассмотрение локальный базис из вектора нормали

*={-! -}

и двух векторов в касательной плоскости

X! ={1;0; §}, т2 = {0;1;0},

где к - высота свободной поверхности жидкости над мешалкой.

Граничные условия на свободной поверхности включают в себя кинематическое и динамическое условия. Кинематическое условие

дк дк

— = -u--+ w

dt дг

(4)

Течение жидкости будем рассматривать в подвижной цилиндрической системе координат r, ф ,z, связанной с вращающейся мешалкой. Проекции вектора скорости обозначим соответственно u, v, w. Проекции объемной силы в подвижной системе координат содержат ускорение Кориолиса и центробежное ускорение, а также ускорение силы тяжести и имеют вид:

Газизуллин Назым Абдуллович, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики. E-mail: [email protected]

свидетельствует о том, что скорость движения свободной поверхности в направлении нормали должна совпадать с нормальной составляющей скорости движения жидкости [5]. Динамическое условие представляет собой условие баланса сил, действующих на поверхности жидкости [6]. Можно предполагать, что силы поверхностного натяжения незначительны, так как радиус кривизны поверхности жидкости в аппарате достаточно велик. Тогда динамическое условие будет иметь вид

п • P = -р0п • Е,

(5)

„ т ( ,(диу л

Рг + Р0 -2Ргг^; + (РГГ + Р0)| —I = 0,

(Ргг - Рг )дТ + дг

1 -I—

дг

Р. = 0,

дк

р — р — = 0,

Рфг .Ргф дг

(6) (7)

(8)

* * г *

t =ъМ, г =—, ф =ф,

где Р - тензор напряжений; Е - единичный тензор; р0 - атмосферное давление.

Проекции динамического условия (5) на направления базисных векторов представляют соотношения

г =<

V

V =

г — Н — Ь

к

Р =

при г < Н + Ь при г > Н + Ь

Р — Ро

лпё' р(ппё)2'

Т — Т 0 =Т Т

Т —Т

где Ргг, Ргг, Ргг, Р^Рпр - компоненты тензора напряжений.

Граничные условия для составляющих скорости на твердых стенках заключаются в отсутствии относительного движения жидкости и твердой поверхности. Тогда на дне и боковой стенке аппарата

и = 0, V = —юг, w = 0, а на поверхности вала и мешалки соответственно и = 0, V = 0, w = 0.

На оси вращения потока под мешалкой примем

дw

и = 0, V = 0, — = 0.

дг

Будем предполагать процесс теплообмена в аппарате установившимся. Пусть цилиндрическая стенка аппарата оборудована наружными нагревательными элементами, поддерживающими постоянную температуру Т1. Тогда на боковой стенке аппарата будет справедливо граничное условие Т=Т1. На свободной поверхности жидкости примем Т=Т0, где Т0 - температура окружающей среды. На поверхности вала и мешалки, а также на дне аппарата примем адиабатическое условие ЭТ/Эп=0.

Поскольку форма свободной поверхности жидкости неизвестна и должна быть найдена в результате расчетов, то перейдем от физической области течения к расчетной области с известными границами. Для этого физическую область поделим на две подобласти, нижнюю и верхнюю, горизонтальным сечением, проведенным через верхнюю поверхность мешалки. Введем безразмерные координаты и функции

где п - число оборотов мешалки в единицу времени; Н - высота расположения мешалки над дном аппарата; Ь - высота лопасти, а в качестве характерной длины и характерной скорости потока выбраны соответственно диаметр мешалки ё и окружная скорость конца лопасти ппё. Свободной поверхности жидкости при этом будет

* 1

соответствовать значение г =1.

После преобразования координат уравнение неразрывности (3) сохранит форму

V-V = 0,

в которой проекции вектора скорости в расчетной области и, V, Ж определяются как

и = уи *, V = уу~, Ж = w* — и * г * ,

дг

где т=1 для нижней подобласти и у=к* для верхней подобласти; к =к/ё, а и , V , w - компоненты вектора скорости в безразмерной физической области, определяемой преобразованием

* г * * г

г = —, ф =ф, г =-

а а

В расчетной области уравнение (1) в проекциях на оси координат может быть записано в виде обобщенного уравнения переноса

дФ +1 УФ)= ё^^гаёФ) + Б,

дг у

(9)

где Г=1/(лЯе) - коэффициент диффузии; Ке=рпё2/^ - центробежное число Рейнольдса; 8 -член типа источника, соответствующий искомой функции Ф. Уравнение (2) в безразмерной форме также приводится к виду (9), где Г=1/(лЯеРг); Рг=^/(ра); - число Прандтля; а - коэффициент температуропроводности.

Численное моделирование течения и теплопередачи проведем методом контрольных объемов [7]. Поделим расчетную область на контрольные объемы (ячейки) так, чтобы каждая узловая точка находилась в отдельной ячейке. Размещение всех узловых функций в одних и тех

г

*

*

2

же точках приводит к рассогласованию полей скорости и давления, поэтому выберем разнесенную шахматную сетку [8], в которой точки, где вычисляются компоненты скорости, смещены на полшага в соответствующих направлениях относительно основных точек, в которых вычисляется давление. Проинтегрируем уравнение (9) по контрольному объему и временному интервалу Д£. В результате с учетом уравнения неразрывности получим дискретный разностный аналог, который связывает значения искомой функции Ф в узловой точке Р с ее значениями в центрах Е, Ж, N Т, В соседних ячеек в форме

ар Фр = аЕ Ф е + аш Фш + ан Ф

N + азФ 5 +

+ аг Фг + Фв + AV

SP +

Ф

0 А

At

(10)

Vo - V

(k)

2 - т] )5h(k),

(11)

корректирует ее по высоте. Окончательно с учетом поправки 5й® скорректированные значения формы свободной поверхности могут быть найдены как

h*(k) = h

*(k)

+

5h(k).

Дискретные уравнения (10) решались методом прогонки в радиальном направлении. В качестве критерия сходимости рассматривалась сумма модулей невязок по всем ячейкам для уравнений (10). Расчеты проводились с точностью до 10-6. В расчетах принималось

Ho = D;

d / D = 0,5; d / D = 0,05;

Здесь SP - узловое значение источникового члена; Ф0 - значение Ф в момент времени t; А V -объем ячейки.

Расчет поля течения проводился на основе алгоритма SIMPLE [7], в котором используется дискретизация уравнений по методу контрольных объемов на сетках с расположением узлов в шахматном порядке. Граничные условия на свободной поверхности (7), (8) и (4) использовались соответственно при расчете радиальной, тангенциальной и осевой компонент скорости из уравнений (10). Форма свободной поверхности жидкости, соответствующая рассчитанному полю течения, определялась из условия (6) с использованием кинематического условия (4) в конце каждой итерации. При этом в качестве начальных " 1 *(0)

значений hi J принималось значение, соответствующее положению невозмущенной поверхности жидкости. Очевидно, что рассчитанные при

j **(k)

этом значения hi могут не удовлетворять условию постоянства объема жидкости в аппарате. Отметим, что достаточно учитывать объем жидкости над мешалкой. Таким образом, возникает необходимость введения некоторой поправки 5h(k) к величине h,**k). Эта поправка находилась из соотношения

Ь / а = 0,2; Н / Н0 = 0,3;

где Б - диаметр аппарата; Н0 - высота невозмущенной поверхности жидкости над дном аппарата; - диаметр вала.

На рис. 1 представлены результаты расчетов в меридиональной плоскости аппарата линий тока радиально-осевой циркуляции. Мешалка создает потоки жидкости, которые вызывают циркуляцию жидкости по объему аппарата. Окружная циркуляция, называемая также первичной, связана с вращением массы жидкости вокруг оси вращения мешалки. Существенную роль в перемешивании играет вторичная ради-ально-осевая циркуляция, которая накладывается на основную окружную циркуляцию и связана с насосным действием мешалки. Наблюдается два потока радиально-осевой циркуляции, способствующих перемешиванию жидкости и расположенных соответственно сверху и снизу от мешалки.

где Я - радиус аппарата; г - радиус вала; г - индекс нумерации узлов расчетной сетки в радиальном направлении; ¥0 - объем жидкости над мешалкой с невозмущенной свободной поверхностью; V® - объем жидкости над мешалкой на к-ой итерации, который вычислялся на каждой итерации путем численного интегрирования по значениям И,**(-к). Следует отметить, что в соответствии с формулой (11) поправка 5й(к) не влияет на форму свободной поверхности, а лишь

Рис. 1. Радиально-осевая циркуляция в аппарате при Re=150; Pr=2

p

На рис. 2-3 представлены результаты расчетов изотерм Q=const в горизонтальном сечении аппарата над мешалкой на расстоянии 0,15 Н0. При относительно небольших значениях числа Рейнольдса конвективный перенос теплоты в направлении от боковой стенки в центральную часть аппарата незначителен и формирование температурного поля определяется в основном теплопроводностью (рис. 2).

Рис. 2. Картина изотерм в аппарате при Яе=50; Рг=2

Увеличение числа Рейнольдса сопровождается интенсификацией радиально-тангенци-альных потоков. Роль конвекции в переносе теплоты возрастает. Особенно заметна тенденция к усилению конвективного переноса теплоты в тангенциальном направлении. Нагретые массы жидкости увлекаются быстро движущимися потоками, способствуя перемешиванию и постепенному выравниванию температур (рис. 3).

Рис. 3. Картина изотерм в аппарате при Re=200; Pr=2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Стренк, Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками. - Л.: Химия, 1975. 384 с.

2. Брагинский, Л.Н. Перемешивание в жидких средах / Л.Н Брагинский, В.И. Бегачев, В.М. Барабаш. - Л.: Химия, 1984. 336 с.

3. Манусов, Е.Б. Расчет реакторов объемного типа /

E.Б. Манусов, Е.А. Буянов. - М.: Машиностроение, 1978. 112 с.

4. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. 736 с.

5. Лаврентьев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / МА. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1977. 408 с.

6. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Физматлит, 2003. 732 с.

7. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М.: Энерго-атомиздат, 1984. 152 с.

8. Harlow, F.N. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface /

F.N. Harlow, J.E. Welch // Phys. Fluids. 1965. V. 8, No. 12. P. 2182-2189.

RESEARCH OF THE CONVECTIVE HEAT TRANSFER IN THE DEVICE WITH MECHANICAL MIXER

© 2013 N.A. Gazizullin Kazan National Research Technological University

By means of iterative procedure on the basis of SIMPLE algorithm the numerical modeling of convective heat exchange in the device with a mechanical mixer is carried out. Results of calculations are presented in the form of current of secondary circulation of liquid and isotherms lines.

Key words: device, mixer, mixing, liquid, circulation, heat transfer

Nazym Gazizullin, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor at the Higher Mathematics Department. E-mail: gnazym @gmail. com