CC BY
54
Исследование изменения фрактальности хаотических процессов на рынках капитала
Загайнов А. И. Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского Санкт-Петербург, Россия [email protected]
Аннотация. Описана методика выявления изменений фрактальных компонент временных рядов биржевых индексов валютных котировок, реализованная автором в математическом пакете MATLAB. Цель этой обработки хаотических данных состояла в выявлении участков детерминированности для установления вида динамического хаоса. Приведен пример детерминированного хаоса, установленного с помощью методики в одном из исследуемых временных рядов экономических показателей. Указаны индикаторы, способные разделять процессы на детерминированные и недетерминированные. Такая классификация является новой мерой численного понятия случайности.
Ключевые слова: хаотические временные ряды, биржевые индексы рынков капитала, корреляционная размерность, аппроксимированная энтропия.
Введение
Наша статья посвящена раскрытию возможностей численного фрактального анализа при обработке временных рядов, сгенерированных рынками капитала [1-5]. Принципиальными вопросами анализа временных последовательностей наблюдений за рынками являются их нестационарность и наличие признаков хаотической динамики. Интерпретация указанных наблюдений как реализаций процессов динамического хаоса позволяет, с одной стороны, объяснить низкую эффективность диагностических схем, основанных на статистической обработке информации, а с другой стороны, дает потенциальную возможность для построения нового класса прогностических индикаторов, базирующихся на концепции фрактальной математики.
где х(г) - исходный временной ряд; п - размерность пространства вложения; т - временная задержка; полученный вектор - координата одной точки на восстановленном аттракторе. При этом п удовлетворяет условиям теоремы Та-кенса:
n > 2[ dA ] +1,
(2)
где dA - размерность восстановленного аттрактора.
Наиболее известными характеристиками аттрактора динамической системы являются вероятностные (фрактальные) размерности. Под вероятностью здесь понимается вероятность нахождения точки в определенной области самого аттрактора в фазовом пространстве. Их общим выражением является так называемая размерность Реньи (см. например [7]):
M (s)
1 in х pq
Dq =-— lim , г~, , 1 -q s^o in(i/s)
(3)
где М(е) - минимальное количество кубиков со стороной е, полностью покрывающие аттрактор; р. - вероятность посещения г-го кубика фазовой траекторией динамической системы.
В настоящее время этот параметр принят равным двум (корреляционная размерность является оценкой информационной размерности, для ее вычисления разработан универсальный численный алгоритм, из полученного алгоритма автоматически следует оценка соответствующей аппроксимированной энтропии). Из (3) следует, что корреляционная размерность есть
Фрактальные индикаторы состояния временного ряда и их изменение в режиме скользящего окна
Построение фрактала из исходного одномерного конечного сигнала связано с восстановлением его аттрактора. Это положение происходит из теории динамических систем, с которым на начальном этапе своего развития была неразрывно связана теория детерминированного хаоса. Данный факт отчетливо прослеживается в известной теореме Такенса [4, 6], в которой предложен способ построения восстановленного аттрактора, принадлежащего гладкому многообразию, в качестве координат вектора состояния положен тот же ряд, смещенный относительно себя на некоторое постоянное значение:
De =
-т^. lim-
1 - 2 s ^0
M (s)
in X p2
г=1 ln(1 / s)
= lim-
s^0
M (s)
ln X p2
г=1
ln(s)
(4)
Последнее выражение удобно представить в следующей форме:
Dc = Hm^M
С II111 1 / \
s^0 ln(s)
(5)
где C(r) = lim—^ X 6(r -P(xi > xj)) - корреляционный ин-
m^rn m i, j =1
|1,а > 0;
теграл; 9(а) = <! - функция Хевисайда; p(xi, x-) -
[0,а< 0 J
x (i) = (x(i), x(i + t),..., x(i + т(п -1))) = (xl, x2,..., xn), (1) функция расстояния в n-мерном пространстве. Для аттрак-
торов, состоящих из конечного числа точек, корреляционным интеграл заменяется соответствующей оценкой:
= £ £ 6(г -р(X,., Ху )) ) £ у 5+1 М (М -1) /2 !
(6)
где М - количество точек на восстановленном аттракторе. Фрактальность исследуемого объекта предполагает
С (г) ~ г°с .
откуда следует, что
1п С (г )-
Бс 1п г,
(7)
(8)
и корреляционную размерность можно оценить, получив наклон прямой логарифма корреляционного интеграла.
Аппроксимированная энтропия отражает вероятность возникновения новых режимов при возрастании размерности пространства вложения. Чем она больше, тем больше неопределенностей в исходном сигнале. Для ее вычисления генерируются два аттрактора в последовательных пространствах вложения. Обычно (п + 1)-мерное пространство является следующим по отношению к условиям теоремы Такенса. Для оценки их схожести вычисляют корреляционный интеграл в каждом пространстве. При этом аппроксимированная энтропия находится из условия
Сп+1(г)
АрЕп(п, г) = - 1п( -
Сп (г)
(9)
Таким образом, находят аттрактор и вычисляют его корреляционную размерность и аппроксимированную энтропию по следующему алгоритму:
1) оценивают размерность пространства вложения;
2) оценивают параметр задержки;
3) нормируют расстояния между точками на аттракторе;
4) восстанавливают аттрактор и делают его возможную визуализацию, вычисляют корреляционный интеграл;
5) определяют скейлинговый диапазон;
6) оценивают корреляционную размерность в скейлинго-вом диапазоне (в двойном логарифмическом масштабе);
7) находят конкретное расстояние г при вычислении аппроксимированной энтропии и определяют ее для этого г.
При модификации рассматриваемых методов для учета их изменения в режиме реального времени (или изменения в режиме «скользящего окна», схематично изображенных на рис. 1) необходимо произвести перерасчет всех указанных параметров. Решение такой задачи даже на современных средствах вычислительной техники невозможно. При этом существует уже показанный ряд упрощений, связанный с видом предварительно рассчитанных значений корреляцион-
ной размерности и их аппроксимации в режиме «скользящего окна». Сказанное позволяет сформулировать следующий алгоритм вычисления фрактальных показателей:
1) задать постоянную размерность пространства вложения (на начальном этапе равную 3 и 4);
2) предварительно оценить параметр задержки с помощью предыдущего алгоритма. Запомнить полученный результат, а также вид построенных функций (автокорреляционной и функции средней взаимной информации);
3) выполнить нормирование расстояний между точками на аттракторе;
4) восстановить аттрактор и визуализировать его (в пространстве размерности 3), вычислить корреляционный интеграл;
5) определить скейлинговый диапазон;
6) предварительно оценить корреляционную размерность в скейлинговом диапазоне (в двойном логарифмическом масштабе);
7) определить конкретное расстояние г при вычислении аппроксимированной энтропии и вычислить ее для этого г;
8) проверить найденные значения (в пространствах вложения размерности 3 и 4). При необходимости увеличить размерность пространства вложения и повторить пункты 2-7;
9) сдвинуть временной ряд (перемещение окна выбирается апостериорно);
10) оценить параметр п. 2, изменив лишь значения отсчетов, относительно которых переместилось скользящее окно;
11) изменить аттрактор и корреляционный интеграл относительно отсчетов сместившегося окна;
12) найти оценку скейлингового диапазона относительно переместившегося окна;
13) дать оценку корреляционной размерности относительно нового местонахождения «скользящего окна»;
14) уточнить расстояние г и дать оценку аппроксимированной энтропии относительно нового местонахождения «скользящего окна»;
15) аппроксимировать полученные результаты трендами.
Разработанный МЛТЬЛБ-скрипт
В пакете прикладных программ МЛТЬЛБ разработан скрипт, позволяющий:
• строить графики двух- и трехмерного аттрактора (рис. 2, 3) для произвольной задержки т;
• «проигрывать» исходный временной ряд в режиме «скользящего окна»;
• вычислять и «проигрывать» корреляционную размерность в режиме «скользящего окна»;
• вычислять и «проигрывать» аппроксимированную размерность в режиме «скользящего окна»;
• выводить результаты на совместном графике задержки.
Длин! окна
Рис. 1. Способ перемещения «скользящего окна» с шириной 31 (длина окна) на 4 отсчета (перемещение окна)
Двухмерный аттрактор
Трехмерный аттрактор
0
X(t)
100
Рис. 2. Фрактал (двухмерный аттрактор) временного ряда отношения котировок валют с количеством игры на бирже 10 дней (14 400 отсчетов)
100
+
X(
-100 100
X(t+tau)
-100 -100
X(t)
100
Рис. 3. Фрактал (трехмерный аттрактор) временного ряда отношения котировок валют с количеством игры на бирже 10 дней (14 400 отсчетов)
Результаты и их обсуждение
В исследовании были обработаны 16 временных рядов отношения различных котировок валют с количеством игры на бирже 10 дней (14 400 отсчетов). Для каждого временного ряда реконструированы аттракторы, произведена их визуализация для двух- и трехмерного случаев (например, рис. 2, 3), найдены необходимые параметры для вычислений. В работе построены тренды корреляционной размерности и аппроксимированной энтропии для всего времени исследования временного ряда, для удобного наблюдения и сравнения которых включена возможность отслеживания их изменений на совместном графике.
На рис. 4 приведен график временного ряда отношения котировок иББ/СНБ. Разработанная методика, к сожалению, не всегда обладает прогностическими способностями. Рассмотренный пример наглядно демонстрирует, что от-
сутствует явная видимая корреляция между рассмотренным типом фрактальной размерности и исходного временного ряда. Тот же результат был получен нами для аппроксимированной энтропии. Тем не менее, на рис. 5 рассмотрен график отношения других котировок (EUR/USD). В этом случае нами установлена постоянная корреляционная размерность (рис. 5б) и нулевая аппроксимированная энтропия (рис. 6б). Таким образом, мы можем заключить, что нами обнаружен случай детерминированного хаоса, который может быть восстановлен (хотя бы в теории) в виде динамической системы.
Последний результат является наиболее важным, поскольку показывает совершенство рассматриваемой методологии и указывает на индикаторы, способные разделять процессы на детерминированные и недетерминированные.
100
-100
-200
2000 4000
6000 8000 10000 12000 14000
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0.8
0.6
£ 0.4
0.2
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000
t
Рис. 4. Исходный временной ряд с количеством 10 дней обучения
(14 400 отсчетов) (а) и корреляционная размерность в режиме «скользящего окна» (б) в зависимости от времени
0.6 0.5
о
а 0.4
0.3
0.2 L
2000
4000
6000 t
8000
10000
12000
Рис. 5. Пример детерминированного временного ряда отношения биржевых индексов (а) и соответствующая постоянная корреляционная размерность (б) за все время наблюдения
0
0
0
0
0
0
x 1 0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
ш
a <
2000
4000
6000 8000 t
10000 12000 14000
Рис. 6. Пример детерминированного временного ряда отношения биржевых индексов (а) и соответствующая нулевая аппроксимированная энтропия (б) за все время наблюдения
Такая классификация является новой мерой численного понятия случайности и будет предложена в дальнейшем.
Заключение
Данная статья посвящена раскрытию возможностей численного фрактального моделирования экономических временных рядов. В работе приведены основы указанной методологии, описаны возможности созданной программной реализации в математическом пакете прикладных программ МЛТЬЛБ. Разработанные скрипты позволяют строить двух-и трехмерные аттракторы, в том числе в режиме реального времени, совместно рассматривать изменение исходного временного ряда и построенных корреляционной размерности и энтропии. В результатах работы приведены полученные графики изменения фрактальных показателей. Найден детерминированный случай (с постоянной корреляционной размерностью и нулевой аппроксимированной энтропией), что делает актуальной задачу нелинейной классификации рассматриваемых временных рядов относительно возможности детерминированного описания конечномерной нелинейной динамической системой. Приводятся рекомендации по использованию полученных результатов.
В заключение отметим, что систематическое изложение рассмотренного направления исследований дано в [8]. В числе заслуживающих внимания современных работ по рассмотренной тематике можно выделить статьи [9-11].
Литература
1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынке капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э. Петерс; пер. с англ.; под ред. А. Н. Романова. - М.: Мир, 2000. 334 с.
2. Мусаев А. А. Quod est Veritas. Трансформация взглядов на системную составляющую наблюдаемого процесса / А. А. Мусаев // Тр. СПИИРАН. 2010. Вып. 15. С. 53-74.
3. Мусаев А. А. Статистический анализ инерционности хаотических процессов / А. А. Мусаев // Тр. СПИИРАН. 2014. Вып. 2 (33). С. 48-59.
4. Захаров А. И. Мультифрактальное математическое моделирование процессов хаотического происхождения / А. И. Захаров, А. И. Загайнов // Тр. ВКА им. А. Ф. Можайского. 2015. Вып. 648. С. 19-27.
5. Меклер А. А. Применение аппарата нелинейного анализа динамических систем для обработки сигналов ЭЭГ / А. А. Ме-клер // Актуальные проблемы современной математики: ученые записки. 2004. Т. 13 (2). C. 112-140.
6. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence, in dynamical systems and turbulence / F. Takens // Lecture Notes in Mathematics / eds. D. A. Rand, L. S. Young. - Heidelberg, Springer-Verlag, 1981. P. 366-381.
7. Перерва Л. М. Фрактальное моделирование: учеб. пособие / Л. М. Перерва, В. В. Юдин // под общ. ред. В. Н. Гря-ника. - Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2007. 186 c.
8. Tsonis A. Chaos: from Theory to Applications / A. Tsonis. -NY: Plenum Press, 1992. 274 p.
9. Головко В. А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов / В. А. Головко // Научная сессия МИФИ-2005. VII всерос. науч.-технич. конф. «Нейроинформатика-2005»: Лекции по нейроинформатике. - М.: МИФИ, 2005. C. 43-91.
10. Czarnecki L. Comparison study of global and local approaches describing critical phenomena on the polish stock exchange market / L. Czarnecki, D. Grech, G. Pamula. - Physica A 387. 2008. P. 6801-6811.
11. Matteo Di T. Multi-scaling in finance / T. Di Matteo // Quantitatice Finance. 2007. № 7 (1). P. 21-36.
0
0
Investigation of the Change in the Fractality of Chaotic Pocesses in the Capital Markets
Zagaynov A. I. Mozhaisky Military Space Academy named St. Petersburg, Russia [email protected]
Abstract. The technique of detection of changes of fractal components of time series of market indexes of currency quotations realized by the author in a mathematical packet of MatLab is described. The purpose of similar processing of chaotic data consisted in detection of their sections of determinancy for establishment of a type of dynamic chaos. The example of the determined chaos set by means of a technique in one of the researched time series of economic indices is given. The indicators capable to separate processes on determined and nondeterministic are specified. Similar classification is a new measure of a numerical concept of randomness.
Keywords: chaotic time series, stock market indices of capital markets, correlation dimension, approximated entropy.
References
1. Peters E. Chaos and Order in the Capital Market. A New Analytical Look at Cycles, Prices, and Market volatility [Kha-os i poryadok na rynke kapitala. Novyi analitichesky vzglyad na tsykly, tseny, i izmenchivost rynka], ed. A. N. Romanov. Moscow, Mir, 2000. 334 p.
2. Musaev A. A. Quod est veritas. Transformation of Views on the System Component of the Observed Process [Transfor-matsiya vzglyadov na sistemnuyu sostavlyayushchuy nablyudae-mogo processa], Proc. SPIIRAS [Trudy SPIIRAN], 2010, is. 15, pp. 53-74.
3. Musaev A. A. Statistical Analysis of the Inertia of Chaotic Processes [Statichesky analiz inerzionnosti khaoticheskich pocessov], Proc SPIIRAS [Trudy SPIIRAN], 2014, is. 2 (33), pp. 48-59.
4. Zakharov A. I., Zagaynov A. I. Multifractal Mathematical Modeling of Processes of Chaotic Origin [Multifraktalnoe matematicheskoe modelirovanie processov khaoticheskogo
proishozhdeniya], Proc. A. F. Mozhaysky Military Space Academy [Trudy voenno-kosmicheskoy akademii imeni A. F. Mo-zhaiskogo], 2015, is. 648, pp. 19-27.
5. Mekler A.A. Application of the Apparatus of Dynamic Non-linear Analysis Systems for the EEG Signal Processing [Primenenie apparata nelineynogo analisa dinamicheskikh system dlya obrabotki signalov EEG], Actual problems of modern mathematics: scientists notes [Aktualnyeproblemy sovremennoy matematuki: uchenye zapiski], 2004, vol. 13 (2), pp. 112-140.
6. Takens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics, eds. D. A. Rand, L. S. Young. Heidelberg, Springer-Verlag, 1981. Pp. 366-381.
7. Pererva L. M., Yudin V.V Fractal Modeling: study guide. [Fraktalnoe modelirovanie: uchebnoe posobie], Vladivostok, Publ. house VGUES, 2007. 186 p.
8. Tsonis A. Chaos: from Theory to Applications. NY, Plenum Press, 1992. 274 p.
9. Golovko V. A. Neural Network Methods of Processing Chaotic Processes [Neyrosetevye metody obrabotki khaot-icheskikh processov]. Proc. Scientific session of the MiFi 2005. VII All-Russia scientific-technical conference "Neuroinformatics 2005" Lectures on neuroinformatics [Trudy Nauchnay sessiya MIFI-2005. VII Vserossiyskaya nauchno-tehnicheskaya konfer-entciya ,,Neyroinformatika-2005": Lektciipo neyroinformatike]. Moscow, 2005, pp. 43-91.
10. Czarnecki L., Grech D., Pamula G. Comparison Study of Global and Local Approaches Describing Critical Phenomena on the Polish Stock Exchange Market. Physica A 387, 2008, pp. 6801-6811.
11. Matteo T. Di. Multi-scaling in Finance, Quantitatice Finance, 2007, no. 7 (1), pp. 21-36.
