CC BY
34
УДК 550.388.2+519.237.7 Гефан Григорий Давидович,
к. ф.-м. н., доцент кафедры «Математика» ИрГУПС,
тел.: 8(3952) 638-354, Иванов Всеволод Борисович, д. ф.-м. н., профессор кафедры радиофизики ИГУ,
тел.: 8-964-816-4650 Горбачев Олег Анатольевич, д. т. н., директор Иркутского филиала МГТУ ГА,
тел.: 8-902-511-6868
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОЛНОГО ЭЛЕКТРОННОГО СОДЕРЖАНИЯ В ИОНОСФЕРЕ, ОСНОВАННОЙ НА МЕТОДЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И ПРЕДНАЗНАЧЕННОЙ ДЛЯ СИСТЕМ СПУТНИКОВОЙ
РАДИОНАВИГАЦИИ
G.D. Gefan, V.B. Ivanov, O.A. Gorbachev
THE RESEARCH OF THE GLOBAL STATISTICAL MOLEL OF THE TOTAL ELECTRON CONTENT IN THE IONOSPHERE BASED ON THE METHOD OF NATURAL ORTHOGONAL FUNCTIONS AND AIMED FOR SATELLITE NAVIGATION
SYSTEMS
Аннотация. Представлена глобальная статистическая (эмпирическая) модель полного электронного содержания в ионосфере (GEMTEC) и проведены исследования по выбору параметров, обеспечивающих оптимальное соотношение между точностью и «компактностью» этой модели. Реализация модели GEMTEC представляет собой блок числовых данных размером в несколько десятков килобайт и небольшой программный код. Такая реализация легко размещается в современных навигационных приемниках.
Ключевые слова: ионосферное запаздывание радиосигналов, метод естественных ортогональных функций, модель полного электронного содержания в ионосфере.
Abstract. The global statistical (empirical) model of the total electron content in the ionosphere (GEMTEC) is presented, research on choice the parameters capable of the optimal accuracy-compactness ratio of this model is done. Implementation of the GEMTEC model on a personal computer is a compact construction containing some tens kilobytes of numerical data and small amount of software. This model can be easily implemented in the modern navigational receivers.
Keywords: ionosphere delay of radio signals, method of natural orthogonal functions, model of the total electron content in the ionosphere.
Введение
Разнообразные методы ионосферного моделирования разрабатывались в течение нескольких десятилетий в первую очередь в интересах прогнозирования распространения декаметровых радиоволн. В последние годы задача моделирования полного электронного содержания (ПЭС) в ионосфере вновь стала актуальной в связи с использованием спутниковых навигационных приемников GPS/ГЛОНАСС. Дело в том, что ошибка позиционирования потребителя в значительной степени зависит от дополнительного запаздывания радиосигналов при их распространении в околоземной космической плазме (ионосфере). Добиться повышения точности определения координат потребителя можно путем адекватной коррекции этого запаздывания непосредственно в приемниках. Если говорить о приемниках, работающих в одно-частотном режиме, то единственным средством коррекции дополнительного запаздывания является информация о текущем состоянии ионосферы. Речь, конечно, идет не о прямых измерениях ио-
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
носферных параметров в реальном времени и их передаче приемнику, а о применении прогностических моделей этих параметров. Такие модели должны поставлять значения ПЭС на луче, соединяющем приемник и передатчик на спутнике, для заданных приближенных координат пользователя, времени, а также геофизических и гелиофизиче-ских данных.
При разработке системы GPS была предусмотрена возможность такой коррекции с использованием упрощенной модели ионосферы Клобу-чара [1]. С целью дальнейшего повышения точности позиционирования потребителей, использующих одночастотную аппаратуру, авторы настоящей работы предложили глобальную эмпирическую модель ПЭС (GEMTEC), представив убедительные свидетельства ее преимущества перед моделью Клобучара [2, 3]. Однако модель GEMTEC зависит от ряда параметров, которые существенно влияют на ее «компактность» и точность, что следует иметь в виду при практической реализации данной методики в навигационных приемниках. Поэтому целью настоящей работы является выбор таких параметров модели GEMTEC, которые обеспечили бы оптимальное соотношение между точностью модели и ее «компактностью».
В настоящее время функционирует ряд центров сбора и обработки данных, поставляющих информацию о вертикальных ПЭС. Такие данные находятся в открытом доступе с середины 1998 года. Информация сообщается в виде так называемых IONEX-файлов, которые представляют собой массивы числовых значений ПЭС по ши-ротно-долготным сеткам с дискретностью по времени в 2 часа [4].
В модели GEMTEC [2] для сжатия исходной базы данных и сглаживания случайных вариаций нами было предложено применение метода естественных ортогональных функций (ЕОФ). Метод обеспечивает компактное представление изменений ПЭС в зависимости от следующих факторов: времени в сутках, месяца в году, географических широты и долготы, а также уровня солнечной активности, задаваемого индексом интенсивности радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см (индекс F10.7). Методика применения разложения по ЕОФ не является общеизвестной, поэтому далее приводится достаточно подробное ее описание с учетом специфики ионосферного моделирования.
Метод естественных ортогональных функций
Пусть имеется N наборов измерений величины f (n, x), которая зависит от фактора x и от совокупности других факторов, символизируемых
номером набора п = 1, N . В каждом наборе измерений переменная х принимает значения х , х ,..., х, , а другие факторы неизменны. Для ка-
1 2 л"о
ждого набора измерений записывается разложение
г0
/п(х) = Е ьПу (х), (1)
г = 1 г г
где у, (х) - естественные ортогональные функции, одинаковые для всех наборов данных, а ЬП - коэффициенты разложения, характеризующие набор данных с номером п и не зависящие от х. Коэффициенты ЬП несут в себе информацию обо всех факторах, кроме фактора х .
Если число членов разложения г = £ , то
разложение (1) будет точным, а при , < £ - приближенным.
Рассмотрим определение у. (х) и ЬП для
г = 1, г'о , п = 1, N . Из условия ортогональности
функций у{ (х) можно показать, что
£
ЬП =Е Г (х£) у, (х£). (2)
£=1
Система ортогональных функций может быть найдена из условия
Ау , г = I го ,
где у 1 - искомые векторы (ортогональные функции), А - автокорреляционная симметрическая матрица размера £0 х £0:
А = К } = \Е/пПГп } . (3)
Таким образом, у { являются собственными векторами, а А,. - собственными числами матрицы А. При этом наибольший вклад в разложение (1) дают слагаемые с теми у., собственные числа которых А { максимальны. Следовательно, если обрывать ряд (10 < £0), то надо расположить собственные числа в порядке убывания, т. е. А1 > А2 >... , и в качестве системы ортогональных функций взять первые г0 собственных векторов.
Пусть для моделируемого ПЭС имеются медианные (средние по каждому месяцу 5) данные для суточного интервала местного времени ^ (с заданной дискретностью) и для фиксированного набора уровней солнечной активности Е, сетки широт ф и долгот А :
/ = / (Г, 5, Е, ф, А).
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Представим эти данные в виде разложения
/^, Р, ф, Я) =
¡1 ¡2 ¡3 ¡4 (4)
=££££ х (< )ур да* (ф)^ ( р ) Цт (Я),
1 j к т
где Х{ (?) - ЕОФ местного времени t, (5) - ЕОФ
месяца 5 , Фк (ф) - ЕОФ широты ф, (Р) -
ЕОФ уровня солнечной активности Р, (Я) -
коэффициенты разложения, зависящие уже только от долготы Я.
Нахождение ЕОФ проводится поэтапно. На первом этапе определяется система ЕОФ местного времени. Для этого представляем
Д>
/и, 5, Р, ф, Я) = £ Ж (5, Р, ф, Я)X, (0 (5)
1=1
(здесь р0 - число градаций по времени), по всем имеющимся суточным ходам определяем автокорреляционную матрицу А, находим ее собственные векторы - систему ортогональных функций по времени Х1 . После этого находим коэффициенты Ж (5, Р,ф, Я):
Ро
Ж (5, Р, ф, Я) = £ / ^р, 5, Р, ф, Я) х, ^р). (6)
р=1
Ряд (5) обрываем, оставив /1 собственных векторов с наибольшим собственными числами. Критерием обрыва ряда (5) является достижение достаточной точности разложения при существенном сжатии информации.
На втором этапе определяем ЕОФ сезона. Каждый из полученных /1 коэффициентов (5, Р, ф, Я) представляем в виде
Ж (5, Р, ф, Я) = £ ир (Р, ф, Я)(5). (7)
j=1
ЕОФ сезона У1] (5) находятся через сезонные ходы коэффициентов Ж (5, Р, ф, Я). Таким образом, мы получаем 11 систем ортогональных функций сезона, причем число удерживаемых членов в каждой системе принято одинаковым и равным 4 . Коэффициенты в разложении (7) определяются по формуле
Ро
(Р, ф, Я) = £ ж (5р, Р, ф, Я % (5р) (8)
Р=1
(здесь р0 - число градаций по сезонам). Итак, система ЕОФ по сезону - это /1 х ¡2 р0 -мерных векторов.
На третьем этапе определяем ЕОФ широты ф. Каждый полученный коэффициент и ^ (Р, ф, Я)
представляем в виде ряда
ир (Р, ф, Я) = £ аук (Р, Я)фук (ф). (9)
к=1
Ортогональные функции широты Фрк (ф)
вычисляются через широтные ходы коэффициентов и р (Р, ф, Я). Получаем 12 систем ЕОФ широты, число удерживаемых членов в каждой системе равно ¡3. Теперь р0 - число градаций по широте так, что система ЕОФ по широте - это /1 х 12 х ¡3 р0 -мерных векторов. Коэффициенты Qijk (Р, Я)
рассчитываются по формуле
р0
(Р, Я) = £ ир (Р, фр, Я)Фгк (фр). (10)
р=1
На четвертом этапе определяются ЕОФ солнечной активности Р . Каждый полученный коэффициент Qijk (Р, Я) представляем в виде ряда
¡4
%(Р, Я) = 2 Цкт (Я)2/кт(Р). (11)
т = 1
Ортогональные функции 21]кт (Р) находятся через имеющиеся коэффициенты Qijk (Р, Я) по солнечной активности. Получаем ¡3 систем ЕОФ солнечной активности. Число удерживаемых членов в каждой системе равно 14. Сетка по солнечной активности содержит р0 градаций, так что система ЕОФ по солнечной активности - это /1 х ¡2 х ¡3 х /4 р0 -мерных векторов.
После этого находим коэффициенты Ц^ (Я):
Чкт(Я)=(Рр, я] (Рр). (12)
Теперь все необходимые значения найдены, и формула (4) превращается в основное соотношение, определяющее моделируемое значение ПЭС в зависимости от рассматриваемых факторов.
Оптимизация модели
Дискретность в суточном ходе составляет 2 часа в соответствии с временным шагом в ЮКЕХ-файлах. Поэтому полное количество собственных функций по времени равно 12. Входные данные в сезонном ходе (по месяцам) формировались для каждого месяца усреднением по всем дням. Таким образом, полное число собственных функций по сезону также равно 12. Географическая сетка по широтам выбрана от 70о северной широты до 70о южной широты с шагом в 10о (т. е. для разложения по широте может быть использовано 15 ЕОФ). Для каждого месяца из анализируемого набора использовался среднемесячный индекс солнечной активности Рщ7. Значения индекса, охватывающие
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
40 35 30 -25 20 -15 10 5 -0
все месяцы всех лет от 1999 до 2009 года, группируются в 7 узлов, отстоящих друг от друга на 18,3 единицы. В узлах такой сетки значения ПЭС определялись с использованием линейной интерполяции по ближайшим значениям, содержащим данный узел.
Таким образом, система ЕОФ по солнечной активности может содержать до 12 х 12 х 15 х 7 = 15200 семимерных векторов. Таким же будет и число коэффициентов Ь1]£т (А), зависящих от долготы
(каждый такой коэффициент представляет собой 12-мерный вектор, т. к. число точек по долготной сетке с шагом в 30 градусов равно 12). При таких параметрах модель будет абсолютно точно воспроизводить исходные данные. Оптимизация мо-
дели состоит в том, чтобы, ограничивая разложения (5), (7), (9), (11) как можно меньшим числом членов, добиться значительного сжатия информации при допустимой потере точности воспроизведения данных.
На первом этапе подбор параметров модели проводился эвристически. Было замечено, что точность модели сильно зависит от узлов сетки, но во многих узлах в качестве грубого приближения достаточно удерживать 11 = 3 члена разложения по времени (рис. 1), 12 = 3 члена разложения по сезону (рис. 2), 13 = 2 члена разложения по широте (рис. 3) и всего лишь 14 = 1 член разложения по солнечной активности (рис. 4).
эмпирические данные (12 членов разложения) -3 члена разложения 2 члена разложения
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21 23 Мировое время, час
Рис. 1. Суточный ход ПЭС (апрель, широта 40°, долгота 0°, активность Солнца 124,9)
35 33 -31 -29 -27 -25 -23 -21 -19 -17 --
ПЭС, TECU
■ эмпирические данные (12 членов разложения) -8 членов разложения
— — 3 члена разложения
- - - -2 члена разложения
□ 1 член разложения
Рис. 2. Сезонный ход ПЭС (мировое время 11 час, активность Солнца 124,9, широта 40°, долгота 0°)
60 Т ПЭС, TECU 50 -40
Ч
41
эмпирические данные (15 членов разложения) 4 члена разложения
1 член разложения
широта, градусы
70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70
Рис. 3. Широтный ход ПЭС (мировое время 11 час, активность Солнца 124,9, долгота 0°, декабрь)
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
70 -60
50 -40 ■
30 -
го 10 о
ПЭС. TECU
д лпел 1 — эмпирические данные (7 членов разложения) -ужи 1-1 член разложения
■ лпел 2 — эмпирические данные (7 членов разложения) — — км 2 член разложения
70
эз.з
106.6 124.9 143.2 161.5 179.8
индекс F,„
Рис. 4. Зависимость ПЭС от солнечной активности (узел 1 - январь, мировое время 1 час, широта 50\ долгота 0
узел 2 - июль, мировое время 13 час, широта 0°, долгота 0°)
На всех рисунках ПЭС измеряется в единицах TECU (Total Electron Content Unit = 1010 см-2). Однако такой вариант дает неудовлетворительно высокую относительную погрешность в узлах с низким значением ПЭС. Была реализована следующая схема оптимизации. В нескольких характерных узлах сетки модель была проверена при максимальном числе членов разложений на абсолютное соответствие модельных результатов исходным данным. Затем последовательно уменьшалось число ЕОФ по времени, сезону, широте и солнечной активности так, чтобы погрешность оставалась в заданных пределах. Например, для обеспечения относительной погрешности во всех узлах сетки не более 2 % необходимо задавать /1 = 5 , l2 = 8, l3 = 9, l4 = 4 . Более экономичными являются варианты
l1 = 5 , l2 = 4 , l3 = 5 , l4 = 4 (вариант 1), l1 = 5 , l2 = 5, l3 = 4, l4 = 4 (вариант 2), дающие одинаковое сжатие информации. Вариант 2 дает среднюю относительную ошибку 7 %; при этом характерная абсолютная погрешность составляет всего 1 -2 единицы TECU. Вариант 1 кажется менее предпочтительным: средние абсолютная и относительная погрешности примерно в полтора раза больше, чем для варианта 2.
Однако приведенные результаты касаются лишь точности воспроизведения исходных данных моделью и ничего не говорят о том, насколько удачно выполняется главная задача — повышение точности определения координат потребителя путем коррекции дополнительного запаздывания в ионосфере. С этой точки зрения вариант 1 выглядит по крайней мере не хуже, чем вариант 2. Заключение
Реализация модели GEMTEC представляет собой блок числовых данных размером около 50 килобайт и небольшой программный код. Такая реализация легко размещается в современных навигационных приемниках.
Согласно исследованиям, приведенным в работах [2, 3], использование модели GEMTEC в решении навигационной задачи существенно снижает ошибки позиционирования по сравнению
с применением модели Клобучара. По результатам [5], коррекция по модели GEMTEC устраняет около 85 % ошибок, обусловленных отсутствием коррекции.
Большинство факторов в модели GEMTEC определяется географическим положением точки и заданным моментом времени. Задание единственного входного (гелиофизического) фактора -индекса солнечной активности — желательно реализовать в виде трансляции в навигационном сообщении. Можно использовать прогностическую модель этого индекса, хотя это, вероятно, приведет к некоторой потере точности коррекции.
Авторы благодарят А. Меновщикова за помощь в вычислениях и анализе результатов.
Работа подготовлена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 8388).
БИБИЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Klobuchar J. A. Ionospheric Time-Delay Algorithm for Single-Frequency GPS Users // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1987. AES-23. 325-331.
2. Ivanov V. B., Gefan G. D., Gorbachev O. A., 2011. Global Empirical Modelling of the Total Electron Content of the Ionosphere for Satellite Radio Navigation Systems // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. 2011. Т. 73. P. 1703-1707.
3. Былинин К. Е., Горбачёв О. А., Иванов В. Б., Гефан Г. Д. Глобальная эмпирическая модель коррекции ионосферной погрешности спутниковых навигационных систем // Научный вестник МГТУ ГА. 2011. № 171 (9). С. 78-83.
4. Schaer S., Gurtner W., Feltens J. IONEX: The IONosphere Map EXchange Format Version-1. Proceeding of the IGS AC Workshop, 1998.
5. Ivanov V. B., Gorbachev O. A., Gefan G. D. The GEMTEC Model: Assessment of Quality of Ionospheric Correction in Satellite Radio Navigation Systems. // Consumer electronic times. 2012. v. 1. Iss. 2. P. 43-46.
