CC BY
34
Якимов А.Н. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МИКРОВОЛНОВОЙ АНТЕННЫ
Математическое моделирование процесса излучения антенны позволяет получить однозначное соответствие между расчетным профилем зеркала антенны и распределением поля в его раскрыве или ДН антенны. Точность такого моделирования в значительной мере определяется адекватностью математической модели антенны, основой которой является ее геометрическая модель. В связи с этим синтезу геометрической модели антенны придается большое значение.
Перспективным направлением в решении задачи синтеза геометрической модели антенны является использование метода конечных элементов, причем в качестве конечного элемента (КЭ) разбиения излучающей поверхности антенны целесообразно выбирать треугольный элемент первого порядка. По сравнению с прямоугольным элементом, он аппроксимирует излучающую поверхность более точно, так как позволяет учесть, что треугольники, составляющие прямоугольный элемент, при их расположении на криволинейной излучающей поверхности оказываются некомпланарными. Существует ограничение на размеры КЭ, заключающееся в том, что в приближении дальней зоны стороны треугольных КЭ не должны превышать длину электромагнитной волны X , падающей на этот треугольный элемент. Только в этом случае падающую на треугольник электромагнитную волну можно считать локально плоской [1].
В этих условиях неактуальными оказываются методы повышения точности синтеза геометрической модели за счет стоимости вычислений с использованием на каждом треугольнике аппроксимации высокого порядка и выбором треугольников намного крупнее, чем в методе конечных элементов с элементами первого порядка. Двумерная аппроксимация излучающей поверхности сводится к одномерной кусочно-линейной аппроксимации функций, образующих излучающую поверхность. При этом совокупность одномерных сечений этой поверхности во взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных плоскостям Огх и Оуг правой декартовой системы координат, образует криволинейную сетку с узлами в точках пересечения одномерных сечений. Узлы криволинейной сетки, принадлежащие излучающей поверхности, при кусочно-линейной аппроксимации остаются неизменными, а криволинейные отрезки, соединяющие их, заменяются отрезками прямых. В результате, гладкая излучающая поверхность заменяется многогранной поверхностью аппроксимации, с плоскими квадратными гранями, а при дополнительном разбиении и многогранной поверхностью с плоскими треугольными гранями.
Используем следующие обозначения: Хк , У1к , 21к — индексированные координаты текущего узла излу-
чающей поверхности в правой декартовой системе координат Охуг ; Г — радиус-вектор текущего узла излучающей поверхности; г/+1 , 21к+1' 21+\к+\ — координаты г узловых точек конечного элемента, содержа-
щего текущую точку 21к .
При конечно-элементном описании излучающей поверхности антенны каждому КЭ соответствует свои элементы матриц координат узловых точек излучающей поверхности
х = [% ], у = [уА ], Ъ = [2Л ], (1)
а также элементы матриц X , У Ъ координат центров этих КЭ, по нормалям к которым оценивается их пространственная ориентация. Для выделения внешней границы параболической поверхности с уровнем
2^ все элементы матрицы Ъ, минимально превышающие эту величину, приравниваются 2^ и для них определяются соответствующие координаты х и у , являющиеся элементами матриц X и У . Остальные же элементы матрицы Ъ, превышающие 2^ , и соответствующие элементы матриц X и У считаются избыточными и приравниваются нулю. Таким образом, область описания геометрической модели определяется элементами матриц Ъ , X и У , отличными от нуля, а также точкой поверхности зеркала, совмещенной с началом системы координат О, определяемой отдельно. Для большей точности аппроксимации излучающей поверхности вблизи ее границ, при преобразовании квадратных КЭ в треугольные целесообразно стремиться ориентировать вновь образуемые ребра треугольников параллельно внешней границе апертуры. Точность аппроксимации внешней кромки зеркала также важна, так как формируемое этой кромкой поле оказывает влияние на общий результат.
Перспективным оказалось разбиение излучающей поверхности с равномерным шагом, что позволяет контролировать величину КЭ разбиения на всей излучающей поверхности и добиться большей точности аппроксимации при тех же вычислительных затратах. Кроме того, при решении механических задач и, соответственно, переходе от конечно-элементной геометрической модели излучающей поверхности антенны к объемной модели ее зеркала, важна близость размеров отдельных ребер формируемых КЭ в виде тетраэдров.
Точность синтеза геометрической модели излучающей поверхности антенны может быть оценена по максимальному отклонению многогранной модели от гладкой расчетной поверхности параболоида. Во взаимно перпендикулярных сечениях, образующих дискретную модель, отклонения многогранного профиля зеркала от расчетной поверхности хорошо иллюстрируется рис. 1. Здесь Огх — плоскость горизонтального сечения параболоида в декартовой системе координат [1, 2]; / — фокусное расстояние параболического профиля
антенны; Е — точка фокуса параболы; у , у2 , Уп — полярные углы, отсчитываемые от отрицательного направления оси 2 ; р^ = ЕА, р2 = ЕВ , Р2 = ЕС — расстояния от фокуса до точек сечения гладкого профиля зеркала; г12 — единичный вектор, совпадающий с р12 ; АВ = Ь0 — линейный шаг дискретизации; п — нормаль к отрезку АВ в его центре в в плоскости сечения Огх ; ВЕ — отрезок, расположенный вдоль нормали к оси, совпадающей с г12 .
/
Z -
F
V ^ Р2 г
1
/и.//
'с \
■" Г12
О *
Рис. 1. Отклонение многогранной геометрической модели от гладкой расчетной поверхности параболоида
В соответствии с принятыми обозначениями (см. рис. 1), отклонение геометрической модели Ар^ по оси x в направлении наблюдения поверхности зеркала из фокуса F опишется выражением
Арх = р12 - р2 cos(A^) + (L / 2) sin a , (2)
где Pi2 = f /cos2(^12/2) ; P2 = 4XB + + (f — zs)2 ; ^ , y# , zb — координаты точки B ; f^12 = ^2 — A^ ;
y/2 = 2arccos^f /p2) ; A^ = arcsin[L0cosa/(2p)] ; a = arccos( n , -^2) — угол между нормалью n и отрицательным направлением г12 • Отклонение геометрической модели Ар^ по оси у находится аналогично.
Погрешность модели р в направлении р12 в плоскости Oxy необходимо оценивать с учетом погрешностей в плоскостях Ozx и Ozy как
Apxy =J(APx)2 + (Ару)2 . (3)
Расчеты, проведенные для зеркала с диаметром D3 = 1 м и фокусным расстоянием f =0,35 м при дискретизации параболического профиля от его центра с равномерным шагом L0 показали, что возникающие погрешности меньше максимально допустимых Артах <Я / 32 [3] , что для волн с Я=0,1 м составляет
APmax “ 3,12 мм. Это согласуется с требованием к шагу дискретизации L0 < Я , обеспечивающему формирование у поверхности конечного элемента локально плоской волны.
Расчет диаграммы направленности (ДН) такой антенны в горизонтальной плоскости для предложенной
геометрической модели антенны при Я = 0,1 м и шаге дискретизации L0 = 0,5 Я (рис. 2, кривая 1) показал ее близость к тестовой ДН [1], рассчитанной для той же антенны, но методом аппроксимации интерполяционным полиномом с использованием ламбда-функций и погрешностью, не превышающей 1-2% [4].
^(ф)
0,8
0,6
0,4
0,2
2 1 у3 ^ << /
0 4 8 12 16 Ф, град
Рис. 2. Диаграммы направленности параболической антенны с 03 = 1 м и f =0,35 м в горизонтальной плоскости
При расчете ДН модель антенны строилась на основе физической теории дифракции, при этом антенна представлялась как сложный излучатель, характеристики излучения КЭ оценивались по методу Гордона, а краевые эффекты моделировались в форме А. Михаэли [1]. Результаты расчета ДН антенны (см. рис. 1, кривая 1) соответствуют облучению отражателя электромагнитной волной рупора с вертикальной поляризацией и уровню поля на краю зеркала -10дБ относительно максимума. Здесь Р (ф) — функция, описывающая ДН антенны в горизонтальной плоскости; ф — угол относительно оси антенны в горизонтальной плоскости.
Наибольшее отклонение от тестовой рассчитанная ДН антенны (см. рис. 1, кривая 1) имеет в области перехода от главного к первому боковому лепестку. Возникает вопрос о причинах возникновения таких отклонений. Это может объясняться, например, возникающими фазовыми искажениями вследствие отклонения геометрической модели от расчетного профиля параболоида или какими-либо другими причинами.
Э 9£Ç
— ' f L6 T 'oMïïed *аоэ : ’И — * eaiionodiboÁ еннбеїїиф-оннеіьну *J*V аоігои>ї ohhssás '*іру HHHgEdft1 * f
■D fy£ - ' ¿¿61 ' яєваз :-и - 'І Ті 'f* --i а * Е’ДСІодноєиу -c-j -Цасі Цоц /ЯЯЛ нннэшну -ç
*Ç9 - Z9 ’D — * SIsK — 'ZOOZ — * ehилоонjeиЦ * яігосЗіЬно>ї //нннэлнв noaoHiroaod -ним иин0РіХігєи ]A[PHHibOHd0ibHPdpx ou ifPHdes хиШаеж^ло иинэггаолодеи илооньол airodibHO>î *H*V яоиинк *2
*6 - 5 *0 — ‘IsK — *£002 — *9iboïï0do xHHHodiLHeire кидоггонхэл и 0MHEaodMibH0odn //нннзлнє noaoHiroaodHHiAi иігеїїоілі ионоэьиdiegosа. реэлнио илооннэдооо *Н*¥ аоиинк *Т
VdÄlVd31MÜ
* ИИЗіЬОИеїїЄОа ХИШа/^ИЗЛ^ОфЭЙ1 XHHFiHLfSPd ННЭЛНЕ НИН0РіЛіГЄИ HHHibOHdSiIiHEdPX єн иин -ниіга еєиігене кігїґ эжнрл в 'иеиїї^/іііифнон HOHHsaibOHediboodu ионжоїго о о ннэлне HHHEaodHiiiHeodu ndu єнєа -оєчігоиои Чіьнд лэжои нннэлне noHoeFiHirogpdeu чігеїїоілі и єно SRHdibeiAioej иенлнэиэгге-оньэнон иєннэжoIгtïэdп
*0 Z<Y / S(J MWEdeWEEd О НН0ІНВ ИІГЇҐ ЧІГ0ЇЇО1АІ aÁHO0RHd
-ЛЭНОЭД аХНЄїЬ 4ibKH0]A[MdU 4ibPaOÏÏH0]A[OH0dOU lL 0АЇЇ0ІГО 'lAIOSPdgO ІЛІИНЄ Jj • ХИИ^ИІТЛиИНЄІ/М ХИіЬЄ ndu HHH0ILHB ИІГ0ЇЇО1АІ
M0H0©FiMdib©]A[0©j eandnoed эинэьиыэаЛ eodOibOHSH єн antiHPed и иинэжвнои хнаоєвф эинэжино єн іьеванєвнА OlLFi 'нїї эинэжХо 0odOibOH0H и (иігЛн „HiLOOiLHWEBd,, эинэшянэиЛ) Лиоаонод н рнлоэиэьг оііонаєігіі ло tïoxedeu ииніЬЄРі ээггод колэрьрнеодо хниГшігЛиинеи хнннвїґ ndu онєнїїо * (Z *ond ’ио) niAiEdeiAisEd ииишянэи о нннэл -НЕ ИІГ0ЇЇО1АІ ИОНО 0FiMdjj ЭИОЭ il Л ишчд OiLFi v ІЛЮ lL HHFiMiIOlfEHE НЇҐ нинэнэиеи ииГшеНнэл J£ *ond єи онїїиа HP>Î
ИіЬООНООІГи
MOHaiTEibHOSMdOJ a ІЛІ ^ 0 = ^ И И £ =SQ ° НННЗіЬНВ HOHO0FiHLfOgPdEU ИЛООННЭГГЗ PdUEH HHIAIEdj ЄИЦ *£ *OH¿[
91 31 8 P 0
'Ниа ib0Eib0dgondu u^v CH и u»'dV I ‘ u>lldy g єн u MifEiAidoH OHFisdiboa 0>ï хиїпоірріЛігєи иинэШэио ndu нїї ээ (I neaMdn *£ *OMd) нннэшнв иігеїїоілі ионоэь^лэиоэо: ионїґохои нїї ончьгэлиоонло oír 'иігєєєнои нізьоєз
HMhESHibedHOHti ЗіІЄШ
И И 1JQ=Y JYl LJ0= j. /]A[ Z=S(J ИО^іЬ0]Д[РИЇЇ HHH0ILHB HOHO0FiHITOgPdPU КІГЇҐ МИЇТИІТЛиИНЄІ/М XHHFiHiIOITEHE 0іЬЄіЬЯІГАЄ -ed a 1 d©]/\[MdiJEH 'oZ=Y f И(^и иігеїїоілі noHoeFindibeiAioej ионєїЬ Л лЛннинеоа ніьнеффє эинен 'lAindiboiAioon
• чорігишріЛігЛ эн миїтиітЛиинєї/м xHHHBireïïodu SibEibairAsed a (от = y f S(J ) ni/MEdeiAispd
ИИНІГВИ ОНЧІГ0іЬИООНіЬО О HHH0iLHB HOHO0FiHITOgPdPU HOlA[0EaHdibE]A[OOPd ЧІГ0ЇЇО1ЛІ И ЄНО 0FiHdib0]A[O0J 'lAiosedgo PÏHHBJ,
*aoHibO0U0ir хнаонод 00 ibood и нҐҐ 0HH0dHmoed ©ннчіг©іьирієнє иоіЬ0єїїаігдєн и 'Лнип -иіг©а аЛииіЬоХиоїї ib0emHa©du oír ; ÜV¿/y g эжЛ іьеиігаєіьооо иігєїїоілі aibooHmedjou noandn эрьЛьго д ’аонлоэи -sir хнаонод aHsaodA ŒiSibOPd ончггэлиьенеэн чшиїг ионаоноо a i/MSFindu 'оігєілі нолошнеїлі нннэшнв нҐҐ 'эниилоЛи -ой1 iboiemHaedu эн *э*|Ь 'оннэалолэалооо u>"dy 9 И u>lldy p ' u»'dV іьаиігаєіьооо иігєїїоілі HibooHmedjou £ и z JT хна и dn иігїґ оль 'кранлиьх * оннэалолэалооо (р и £ *z neandH) 2 *ond єн инннэыаелой^и 'їґиа ibSEibedgondu єно Ü^V0^ и u>lldy i ‘ u>lldy g Mdn * (Г KPandH) z *^nd єн noHHeiraeiboïïedu іьо иолэбьиггло эн HHOSFiHibHPdu Иіьоонооіги HOHaifEibHosndoj a нннэшнв нй ' U>"C\7 х-^ ой1 HMHHOiboopd єн и HiTEiAidoH OHFisdiboa 0>î хиїпарріЛігєи MMH0ïn0]A[0d0u ndn ’ш = u^ds¡ ИІГ0ЇЇО1ЛІ ИОНО 0FiHdjj 01ЛІО0 Д HOlA[0EaHdibE]A[OOPd КІГЇҐ J HlL 0FiO pd иігєєєнои HP>Î
• ÁZO И
XZQ хиіьоонооіги a zh ]/\[0HH0irapduEH ]/\[HH4ir0ibE,nHdibo и u aaireiAidoH ЛЇЇЖ01ЛІ нігдЛ — ' ^!z> 1 ХУІ!Ю i ÁZQ и XZQ
хиіьоонооіги a ZQ иоо HHH0irapduPH ojoH4if0ibe,nHdibo ончіг0іьиооніьо 0ИН0жоігои ©оаоїгдЛ — ' ZW!/fr
ioHHsaŒiOibeaibooo z и А 1X ииоо ou (“[’ond *1/40) HHH0irapduEH a 0>î одоїїжєн кігїґ иіг0їїо]Л[ HibooHm0djou
- z Vv ' xVv ' X)/W i0HH©aib0ib©aib000 z и A 1 X ивоо ou u nireiAidoH иинэгга^иен a 0>î одоїїжєн кігїґ иіг -0ЦОН MDOHmedŒon - г"% 'Ли>"с/у :(Áil!X)-ZÍÁil!/h)sOO-Ái,!ds/=fáui,!ds/ ¡ (ЩЬ - zw'/h) SOO • XVV =
Z / + ^Wv) = ZU4'dsj і (Ац,ю)%00 ■ Â4idsj = Au*dW ! (xv»)soo • Xil!ds/ = xuil!ds/ am
( p ) ' Z{zmds¡) + z{Amds¡) + z{xu>l!d\>)^ = mds¡
нєн онжоїлі и HiTEiAidoH HHH0iraeduEH a 0>i одоїїжрн кігїґ u^ds¡ иігеїїоілі 4ibooHm0djou Чіьин0,по • MibooHxdeaou иолє н кoЧlЬPЖИIгgиdu леїїЛд dibHeh инаоєвф одэ Oil J (і *ond • рмо) HibooHxdeaou noHnsHMiroandH XHodOibo a u Лиэн н MirpiAidoH чігоїїа уц иіліронєїїни о 0>і ииїпаєріЛігєи aibeïneiAiedeu иьгоэ 'ончггэлиалоиэЦ
