Исследование гармонических колебаний полого цилиндра с винтовой анизотропией на основе трехмерных уравнений теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 2, С. 35-44

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА С ВИНТОВОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ НА ОСНОВЕ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ1

И. А. Панфилов, Ю. А. Устинов

На основе трехмерной теории упругости исследуются особенности распространения гармонических волн в полом цилиндре с винтовой анизотропией. Основное внимание уделено изучению осесим-метричных колебаний. Проводится сравнительный анализ с результатами, полученными ранее на основе прикладных теорий.

Ключевые слова: винтовая анизотропия, гипотезы Тимошенко — Рейсснера, гипотезы Кирхгофа — Лява, квазикрутильные и квазипродольные колебания.

1. Введение

Основные соотношения линейной теории упругости для тел с винтовой анизотропией и результаты исследований задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией опубликованы в [5-7]. В этих работах, в частности, показано, что при растяжении-сжатии цилиндра с винтовой анизотропией помимо продольных деформаций возникают сдвиговые и, наоборот, при кручении помимо сдвиговых — продольные.

В [8] для математического моделирования распространения пульсовых волн в артериальных сосудах на основе гипотез Кирхгофа — Лява получены уравнения колебаний оболочки с винтовой анизотропией. В [9] в рамках безмоментной теории исследованы некоторые особенности волновых процессов, порождаемых винтовой анизотропией. В [10, 11] анонсированы методы построения решений динамических краевых задач на основе прикладной теории типа Кирхгофа — Лява и результаты исследований некоторых конкретных задач, в [12] дается подробное описание этих результатов. Серия проведенных расчетов показала, что в осесимметричном случае винтовая анизотропия порождает связь между продольными и крутильными колебаниями, которая математически описывается амплитудными коэффициентами однородных волн.

Настоящая работа посвящена исследованию гармонических волн в полом цилиндре с винтовой анизотропией на основе трехмерных уравнений теории упругости. Также на основе полученных результатов анализируется область применения прикладной теории Кирхгофа — Лява (К.-Л.) и теории типа Тимошенко — Рейсснера (Т.-Р.).

© 2011 Панфилов И. А., Устинов Ю. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 09-01-00065-а, и Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., госконтракт № П361.

2. Основные соотношения теории упругости в винтовой системе координат и постановка задачи

Обозначим через г 1, г 2 — внутренний и внешний радиусы цилиндра срединной поверхности оболочки, а — радиус срединной поверхности оболочки, Н — ее толщину. С центром некоторого поперечного сечения цилиндра свяжем декартову систему координат Ож1ж2ж3, направив Ох3 по оси цилиндра.

Введем винтовую систему координат г, г, связанную с декартовой соотношениями

xi = r cos(^> + tz), x2 = r sin(^> + tz), x3 = z,

(1)

где ri ^ r ^ r2; t = tg(a)/a — геометрический параметр винтовой анизотропии.

Соотношения (1) при r = const, ^ = const являются параметрическими уравнениями винтовой линии. С каждой винтовой линией свяжем репер Френе с ортами главной нормали ei, главной нормали в2, касательной ез.

Переход от базиса Френе к базису винтовой системы координат er, е^, ez, первые два орта которой связаны с ортами декартовой системы Ox 1Ж2Ж3 соотношениями

er = i1 cos(^> + tz) + i2 sin(^> + tz), ev = —i1 sin(^> + tz) + i2 cos(^> + tz), осуществляется с помощью ортогональной матрицы

A =

— 10 0

0 — cos a sin a 0 sin a cos a

где а = агй^(х), х = тг.

Будем считать материал цилиндра локально трансверсально изотропным, у которого направления главных осей тензора упругих свойств совпадают с направлениями ортов е1, е2, е3, где орт е3 определяет направление оси упругой симметрии. В этом базисе соотношения обобщенного закона Гука имеют вид [13]:

011 = ciieii + ci2e22 + С13 e33, 022 = Ci2eii + Ciie22 + C13 e23, 033 = ci3(eii + ei2) + C33 e33, 023 = C44 e23, О13 = C44ei3, 0i2 = C66ei2.

(2)

Здесь е^, о ^ — компоненты тензоров малых деформаций и напряжений соответственно, 2С66 = си - С12.

При переходе от базиса Френе к базису винтовой системы координат, как показано в [7, 8], для закона Гука получаем следующие выражения:

o' = C'e', C' = (cj), = 1,..., 6,

0 — (orr, , °zz, °pz, °rz, , ) , e — (err , , ezz, 2epz, 2erz, 2erp ) .

Здесь

c'n = Си , CÍ2 = С1212 + C1312, c'l3 = C13¿2 + C12I2, c'i4 = Us(ci3 - С12),

c722 = С11 ¿4 + (2С13 + 4С44) 1212 + С3314, c723 = С13 ¿4 + (С11 + С33 - 4С44) 1212 + С1314,

c24 = -c11llls — c13 (1cl3 — l3ls) + c33lcl3 — 2c44 (1cl3 — ФД

/ /1 0 0 /1 0 0 С33 = С11 ¿s +2С13 lc ls + С33 lc +4С441C ,

c34 = -lcls(C11 ¿2 - С13 + 2С13¿2 + 2C44¿2 - 2С44Ф,

c44 = Спф2 - 2С13l2l2 + С331^2 + С44(1 - 4l212),

c55 = c44l2 + c66l2, c56 = lcls (c44 - c66), c66 = c66l2 + c44l2,

lc = cos a, ls = sin a.

Остальные элементы матрицы С' равны нулю.

В базисе винтовой системы координат er, ev, ez компоненты тензора деформаций выражаются через координаты вектора смещений

u = (ur, up, uz )T

следующими формулами:

err - dr ur 7 eipip - + - Duz 7

2er^ — druv + (dvUr - u^)/r, 2e„ — drUz + Dur, (4)

— d^Uz /r + Du^.

Уравнения движения в данном случае имеют вид:

dr (mrr) - ovv + âvarV + rDdrz — -prdfu,

dr (ror^) + CTr^ + + rDffpz — -prdfu^, (5)

dr (rorz ) + dvavz + rDozz — -prdt2uz.

В формулах (5) p — плотность материала цилиндра;

d d d d <9r = —, = —, dz = —, dt = —D = dz- Tdv. dr dz dt

Будем считать, что боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений

при г = Гв (в = 1, 2) : стгг = = ст^ = 0. (6)

Для исследования гармонических волновых процессов в цилиндре будем использовать различные операторные формы [15]. Для этого введем следующие векторы:

°r — (orr, O rp ,Orz )

O{ - (orp,Op{ , O zip)

Oz — (orz ,°zp,°zz )

T

T

T

Используя соотношения (3), (4) и ограничиваясь осесимметричным случаем, представим аг, а^, а^ в виде:

аг = Аг и + Вг и, Стщ = + аг = А и + В и.

(7)

Здесь

.А-р —

—

А =

с56 С55

с56 0 0

с56 0 0

с14 0 0

¿13 0 0

00

с:

24 с44

с

23 с34

00

с

44 с34

с

34 с33

Вг =

=

В =

с'ц дг + с'12/г 0 0

0 с66(дг - 1/г)

с56дг

0 с56(дг - 1/г)

с55дг

0 с6б(дг - 1/г) с56дг

с'12 дг + с'22/г 0 0

с'м дг + с24 /г 0 0

0 с5б(дг - 1/г)

с56 дг

с'14дг + с'24/г 0 0

с'13дг + с'23/г 0 0

В этой работе остановимся на осесимметричных колебаниях. Отыскивая решение в виде гармонической волны

и = аг = , а^ = е^-^ 6^, аг = ,

а — (а^, ¿а^, ¿а^) , 6 г — (¿6гг, , ) ,

¿6^ ,¿6^) ,

на основании (5), (6) получаем двухпараметрическую спектральную задачу Цк, ш)а = -к2 А2а + + А0 + грш2/а = 0 при г = гв : (¿кАг + Вг) а = 0.

(8) (9)

Здесь

А2а = г А а, А1а = дг (гАг а) + + гВ а, А0 = дг (гВг а) + ЙВ^а,

0 -1 0 1 0 0

5 = 1 0 0 , I = 0 1 0

0 0 0 0 0 1

2.1. Основные соотношения прикладной теории, основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява. Известно [14], что классическая теория оболочек Кирхгофа — Лява (К.-Л.) основывается на двух основных гипотезах, которые в рассматриваемом случае формулируются следующим образом:

1) абсолютные значения напряжений агг ,агг ^ а^ст^ , а^, в силу чего в соотношениях закона Гука первыми тремя можно пренебречь;

2) прямые углы между нормалью к срединной поверхности оболочки до деформации остаются таковыми и после деформации.

В соответствии с этими гипотезами основные соотношения принимают следующий вид: 0 0 0

иг = и° и^ = и°(^>, г) + иг = и° (^,<г) + аб^, ( )

^ = -а-1(д^и0 - и°), вх = -^и0, -Л/2 < а < Л/2, ( )

0

где и0, и° , и0 — смещения точек срединной поверхности; 0^, 0г — углы поворота нормали. Соответственно, компоненты тензоров деформаций и кривизны имеют вид:

— + ег,г — + ак2.г, е^.г — + ак^.г,

— е^ — 0, — а-1(и0 + е0г — ^и0, 2е0^ — + а-1д^и0, (11)

к^ — а-2(д^и° - д2и0), к^ — -^2и0, 2к^ — а-1^и° - 2а-1^д^и0.

В качестве основных характеристик напряженного состояния введем усилия и моменты

Т — Лс^ е0, М* — е]/12 (г, ^ — 1,2,3). Здесь и ниже — суммирование по повторяющемся индексам;

ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1

Т1 — Т 2 — , Т3 — ,

М1 — М^, М2 — М22, Мз — М^,

е0 — е0 , е0 — е0 , е0 — е0 , е1 — е2 — , е3 — •

Используя вариационный принцип Гамильтона и считая независимыми вариациями ¿и0, ,£и0, получаем следующие уравнения движения:

Ш2 + а-1д^Тз - Лрд2иг — 0,

+ ^Тз + а-1^ - Лрд2и^ — 0, ( )

а-1 + - а-1Т - Лрд|иг — 0. ( )

— ^М1 + а-1д^Мз, ^2 — ^Мз + а-1д^ М2,

здесь ^1, — поперечные силы.

2.2. Основные соотношения прикладной теории, основанной на гипотезах Тимошенко — Рейсснера. Для повышения точности расчетов в прикладной теории Тимошенка — Рейснера (Т.-Р.) допускаются искажения прямых углов между нормалью и срединной поверхностью, в силу чего углы поворота нормали 0^, 0г становятся новыми дополнительными неизвестными, а в выражениях обобщенного закона Гука (3) следует положить только агг — 0. При этом основные соотношения принимают вид:

иг — и0 г), и^ — и°(^>, г) + а0^, иг — и0 г) + а0г, (13)

— + — е0г + , — е1)аг + ,

егг — егх + акгг, — + aкr^,

— а (иг + е0г — ^и0, 2е0^ — + а д^и0,

к^ — а-2(д^и° - д2и0), к^ — -^2и0, (14)

2к^ — а-1и° - и0, 2егг — + ^и0, 2кГг — 0, 2ег^ — 0^ + а-1(д^и0 - и°), 2кг^ — -а-10^.

Основными характеристиками напряженного состояния по-прежнему остаются усилия и моменты, а соотношения обобщенного закона Гука принимают вид:

Т — Лс^е0, М* — е1 /12 (г — 1,2,3; ] — 1,2,3,4,5).

ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1

Т1 = т 2 = т.г.г, т3 = ,

= е0, ^2 = Лс4^ е0, М1 = М^, М2 = М**, М3 = М^,

е0 = е0 , е0 = е0 , е0 = е0 , е0 = е0 , е0 = е0 ,

е1 = е2 = , е3 = , е4 = , е5 =

На основании вариационного принципа Гамильтона, считая независимыми вариациями ¿и°!, ¿и°, ¿и°°, ¿0^, ¿0^, получаем следующие динамические уравнения:

Шз + а-1д^Т3 - Лр0д|иг = 0, а-1 д^Т1 + ^Т3 + а-1 - Лр0б?и^ = 0, а-1д^^1 + ^2 - а-1 Т1 - Лр0д|иг = 0,

Л3 (15)

БМ2 + а~1д1рМз -Я2~ — Род$9г = 0,

12 12

ВМ3 + а дч>М\ -Ях--: роЩв? = 0.

3. Построение дисперсионных кривых

Для проведения исследований перейдем к безразмерным координатам £ = г/г2, С = г/г2 и введем параметры 7 = г2к — безразмерное волновое число, П = г2ш/с — безразмерная частота, с = (Е'/р)1/2 — параметр, имеющий размерность скорости. Все модули отнесем к Е'.

Расчеты проводились для материала со следующими техническими константами (биологическая ткань стенки артериального сосуда [3]):

Е' = 4.905 ■ 108, Е = 0.833 ■ Е', С = Е'/6, V' = 0.45, V = 0.54.

Замечание. Метод получения и особенности спектров волновых чисел для гипотез Кирхгофа — Лява и Тимошенко — Рейсснера подробно описан в [9, 12].

Как следует из общей теории твердых волноводов [15] корни дисперсионного уравнения расположены симметрично в комплексной плоскости 7 = а + ¿в. Расчеты показали, что для осесимметричного случая при низкочастотных колебаниях (П ^ 1) для теории на основе гипотез Кирхгофа — Лява спектр волновых чисел состоит из двух пар вещественных волновых чисел 7± = ±71 (71 > 0), 7± = ±72 (72 > 0) и четырех комплексных

7+ = 73 = а3 + ¿в3 , 7+ = 74 = -73 , 73- = 73 , 7- = -73,

где а3 > 0, в3 > 0. Для теории Тимошенко — Рейсснера добавляется еще одна пара комплексных корней: 7+ = 75 = а4 + ¿в4, 7- = 75.

Перейдем к описанию метода построения дисперсионных кривых на основе трехмерных уравнений теории упругости.

Спектральную задачу (8) преобразуем к безразмерному виду

¿(7, П)а = (-72 А2 + ¿7^1 + А0 + £П21 )а = 0 (16)

при £ = £а : (¿7^Г + ВГ)а = 0.

(17)

Здесь матрицы получаются путем деления элементов матриц А на Е', заменами — г2£а, дг — г2д^ (а — 1, 2), д^ — обыкновенная производная по £. Дисперсионные кривые для трехмерного случая были получены на основе численного интегрирования спектральной задачи (16) «методом пристрелки». Для реализации метода эта задача была преобразована в краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:

«а «Ь

— =Спа + С 12Ъ, — = С21а + С22Ь, = О, Ь(&) = О, (18)

где Ь — 4ЬГ. Выражения для матриц С у здесь не приводятся ввиду очевидности способа их построения на основе вышеприведенных формул.

Рис. 1.

У

Рис. 2.

На рис. 1 и 2 приведены графики первых двух дисперсионных кривых для £1 — 0.9, 42 — 1 (оболочка средней толщины) и £1 — 0.1, £2 — 1 (толстая оболочка) соответственно; а — 45°.

Здесь кривые 1, 4 отвечают трехмерной теории, кривые 2, 5 — теории К.-Л., кривые 3, 6 — теории Т.-Р. Кривые 1-3 отвечают при х = 0 квазипродольным волнам, т. е. тем волнам, которые при х = 0 (когда винтовая анизотропия отсутствует), являются продольными. Кривые 4-6 отвечают квазикрутильными волнам, т. е. тем волнам, которые при х = 0 оказываются крутильными. На рис. 1 для данного диапазона частот первые три дисперсионные кривые сливаются.

Как и следовало ожидать, результаты, полученные на основе теории Т.-Р., более близки к трехмерной теории, чем результаты, полученные на основе теории К.-Л. Также видно, что увеличение толщины ведет к большему расхождению результатов. Эти графики позволяют получить некоторое представление об области применимости прикладной теории Кирхгофа — Лява и теории Тимошенко — Рейсснера. Так, например, прямолинейный участок рис. 1 первой дисперсионной кривой принадлежит области 0 ^ 7 ^ 7* = 0.7, 0 ^ О ^ О* = 0.9, второй дисперсионной кривой — 0 ^ 7 ^ 7* = 0.9, 0 ^ О ^ О* = 1.5. Из этих неравенств можно сделать вывод о том, что для цилиндра, с выбранными параметрами, прикладная теория К.-Л. и теория Т.-Р. будет давать удовлетворительные результаты, если круговая частота ш < с1О*/а.

Поскольку множество собственных частот Оп (п = 1, 2,...) неограничено и принадлежит дисперсионным кривым, то данная прикладная теория может претендовать на достаточно точное определение только тех частот, значения которых принадлежат диапазонам 0 ^ Оп ^ О*, 0 ^ Оп ^ О*.

4. Критические частоты и высокочастотные колебания

Волновые процессы с круговой частотой О ^ О* условно будем называть высокочастотными.

Под «критическими частотами» в данном случае понимается множество СЗ ш 1 (I = 1, 2,...) самосопряженной спектральной задачи

Ь(0,ш)а = А0 + грш21а = 0 при г = г в : Вг а = 0, (19)

которая является частным случаем задачи (8), если в последней положить к = 0.

Теории, основанные на гипотезах Кирхгофа — Лява и гипотезах Тимошенко — Рейс-снера, позволяют получить только первую критическую частоту и первые три критических частоты соответственно.

В таблице 1 в столбцах приводятся значения первых трех критических частот при а = 45° для различных толщин (£2 = 1, £1 — варьируется).

Таблица 1

трехмерная теория теория Т.-Р. теория К.-Л.

а = 0.9 & 6 =0.76 а = 0.9 & а =0.7 & а = 0.9 а а = о.7б

1.44 1.39 1.45 1.20 1.45 1.22

17.23 5.81 13.12 4.48 - -

19.51 6.59 15.19 5.07 - -

Для трехмерной теории критические частоты были полученны путем численного интегрирования уравнений (18). Для контроля точности результатов, полученных численным методом, поставленная задача (4)-(6) при к = 0, а = 0 (трансверсально-изотропный материал) была решена аналитически. Сравнительный анализ показал полное совпадение результатов, а также позволил идентифицировать типы колебаний, отвечающих

каждой из приведенных частот. При изменении параметра а первая частота порождает ветвь квазипродольных колебаний, вторая — квазирадиальных, третья — квазикрутильных.

Литература

1. Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов.—М.: Мир, 1982.—334 с.

2. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов.—М.: Изд-во МГУ, 1984.—335 с.

3. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов.—М.: Мир, 1983.—400 с.

4. Пуриня Б. А., Касьянов В. А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов.—Рига: Знание, 1980.— 260 с.

5. Устинов Ю. А. Решение задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией // Прикладная мат-ка и механика.—2003.—Т. 67, вып. 1.—С. 89-98.

6. Устинов Ю. А. Некоторые задачи для упругих цилиндрических тел с винтовой анизотропией // Успехи механики.—2003.—№ 4.—С. 37-62.

7. Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров.—М.: Наука, 2003.—128 с.

8. Устинов Ю. А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах // Докл. РАН.—2004.—Т. 398, № 3.—С. 344-348.

9. Богаченко С. Е., Устинов Ю. А. Некоторые особенности волновых процессов в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией // Экологический вестн. науч. центров ЧЭС.—2006.—№ 1.— С. 18-21.

10. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Собственные частоты и формы цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Тр. XI междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды».—Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007.—Т. 2.—С. 166-171.

11. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Отражение однородных волн от торца полубесконечной цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Тр. XII междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды».—Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2008.—Т. 2.—С. 152-156.

12. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Актуальные проблемы механики.—2009.—С. 97-105.

13. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.—М.: Наука, 1977.—415 с.

14. Гольденвейзер А. Н. Теория упругих тонких оболочек.—М.: Наука, 1976.—512 с.

15. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993.—144 с.

16. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.—М.: Мир, 1962.—96 с.

17. Гетман И. П., Устинов Ю. А. О методах расчета канатов. Задача растяжения-кручения // Прикладная мат-ка и механика.—2008.—Т. 72, вып. 1.—С. 81-90.

18. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.—Киев: На-укова думка, 1981.—283 с.

19. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике.—М.: Наука, 1972.—437 с.

20. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей.—М.: Наука, 1973.—320 с.

Статья поступила 4 июня 2010 г.

Панфилов Иван Александрович Южный федеральный университет, аспирант РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

Устинов Юрий Анатольевич Южный федеральный университет, проф. каф. теории упругости

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, гл. науч. сотр. лаб. мат. методов механики сплошной среды РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

44

nm^MMm H. A., YCTHHOB №. A.

A STUDY OF HARMONIC FLUCTUATIONS HOLLOW THE CYLINDER WITH SCREW ANISOTROPY ON THE BASIS OF THREE-DIMENSIONAL EQUATIONS OF ELASTICITY THEORY

Panfilov I. A., Ustinov Y. A.

Distribution of harmonious waves in a floor the cylinder with screw anisotropy are investigated on the basis of the three-dimensional theory of elasticity. The basic attention is given to studying axisymmetric fluctuations. The comparative analysis with the results obtained earlier on the basis of applied theories is carried out.

Key words: Screw anisotropy, Timoshenko-Reissnera hypotheses, Kirhgoffa-Ljava hypotheses, quasi-torsional fluctuation, quasilongitudinal fluctuation.