Исследование экономических моделей методами теории накрывающих отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

- функция Грина для уравнения (2).

Т е о р е м а. Пусть система ортонормированных полиномов {цп(х)} и последовательность вещественных чисел {Ап С=0 таковы, что ряд (3) сходится равномерно при х,у € € К С (а,Ь) и Ь ^ ¿о > 0 . Тогда при этих значениях имеет место представление

G (x, y,t) = Ÿ^ e~Kt{[1-e~(Xn+i-\n)t]2 + e-(Xr+2-Xr)t[1 - e-A2\r„t]}ÿn (x, y)

n=0

где fin (x, y) = (indn+x [qn (x) qn+2 (y) + Qn+2 (x) qn (y)] - 2аПяп+1 (x) qn+i (y) +

nn

+2^ (al - a2k-i)qk (x) qk (y)+2^ ak (uk+i - uk ) [qk (x) qk+i (y) + qk+i (x) qk (y)]

%k — ak

k=0 k=0

С помощью полученного представления можно получить условия на {qk}1=0 и {Xk}11=0 , при которых соотношение

Иш ft (x) = f (x) t^0

выполняется равномерно и почти всюду.

Osilenker B.P. ON THE GREEN FUNCTION FOR A GENERALIZED HEAT EQUATION In the work, for a generalized heat equation, there is given a representation of the Green function with the eigenfunctions containing loaded orthonormal polynomials.

Key words: : orthogonal polynomials; Fourier series; loaded orthonormal polynomials; heat equation; generalized heat equation; Green function.

УДК 51-77, 517.988

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

© Н.Г. Павлова

Ключевые слова: а -накрывающие отображения; точки совпадения отображений; равновесные цены.

Исследуется вопрос существования вектора равновесных цен в нелинейных моделях рынка. Получены достаточные условия существования вектора равновесных цен, а также устойчивости вектора равновесных цен к малым возмущениям модели. Эти результаты получены как следствия теорем теории а -накрывающих отображений о существовании и устойчивости точек совпадения.

В настоящей работе результаты теории накрывающих отображений применяются к исследованию положения равновесия в нелинейных экономических моделях. Под равновесием понимается такое состояние экономической системы, включающей в себя нескольких взаимосвязанных участников, при котором ни один из них не заинтересован в изменении своего состояния. В исследуемых моделях участники экономической системы подразделяются на производителей и потребителей. Рассмотрены различные модели поведения потребителей. Для каждой из них построена функция спроса как решение задачи нахождения условного

2621

экстремума функции полезности при бюджетных ограничениях. Рассмотрены также различные модели поведения производителей. Каждый производитель выбирает и реализует некоторый технологический процесс переработки одних продуктов в другие, руководствуясь критерием максимума прибыли. Таким образом, выбор производителя сводится к задаче отыскания условного экстремума функции прибыли. В изучаемых моделях для различных производственных функций, через которые вычисляются функции прибыли, построены функции спроса. В данной работе исследуется равновесное состояние различных моделей «спрос - предложение», в котором суммарное предложение каждого продукта равно спросу на него.

Доказательства существования состояний равновесия и исследования свойств таких состояний оформили определенный этап развития экономико-математической теории. Однако для исследования нелинейных моделей, описывающих реальные процессы точнее, чем линейные, существовавшего до последнего времени математического аппарата недостаточно. Результаты работ [1]—[3], посвященных существованию точек совпадения отображений в метрических пространствах, дают возможность существенно расширить имеющийся набор средств, и получить достаточные условия существования равновесия в нелинейных моделях.

На примере задачи о равновесии в нелинейной модели рынка показано приложение теорем из [1]—[2] о точках совпадения а -накрывающего и липшицевого отображений и теоремы из [3] об устойчивости точек совпадения к задачам математической экономики.

Формализуем поставленную задачу. Будем рассматривать метрические пространства

Определений (см. [1]). Пусть задано а> 0. Отображение Б: X У называется а -накрывающим, если Б(Бх(г,х)) 5 Бу (ат,Б(х)) Ут ^ 0, Ух € X.

Теорема (см. [1]). Пусть пространство X полно, а Б, Б: X ^ У — произвольные отображения, первое из которых непрерывно и является а -накрывающим, а второе удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица в <а. Тогда для произвольного х0 € X существует такое £ = £(х0) € X, что

Решение £ уравнения (1) может быть не единственным. Это решение £ называется точкой совпадения отображений Б и Б.

Вектор равновесных цен в модели «спрос — предложение» является точкой совпадения отображений спроса и предложения. Используя локальный вариант теоремы о точках совпадения, а именно теорему 1 из [2], исследуется вопрос о существовании равновесия для различных нелинейных моделей рынка. В частности рассмотрена модель следующей экономической системы. Ее участниками являются производители и потребители. На рынке продается п товаров. Количество приобретаемого покупателем г -го товара зависит от цены товара рг и находится как решение задачи минимизации функции Р. Стоуна при некоторых ограничениях. Зависимость Бг количества приобретаемого покупателем г -го товара от цен р\, р2, ..., рп называется функцией спроса на г -ый товар. В рассмотренной модели Бг: Р ^ М, г = 1,ш,

(X,рх) и (У,ру). Бх (т,х) = {£ € X : рх (х,£) 4 т}, Бу (т,у) = {£ € У: ру (у,£) 4 т}.

Б(£) = D(£), Рх(£,хо) 4

ру (Б (хо),Б(хо)) а — в

(1)

Рг Е а^ 3=1

2622

Р = {р £ М+ Рз*з < I},

3 = 1

где I > 0, аз > 0, аз > 0, ] = 1,и — заданные параметры.

Количество поступающего на рынок г -го товара также зависит от вектора цен р и находится в результате решения задачи максимизации функции прибыли производителя, соответствующей мультипликативной производственной функции. Функция предложения Si г -го товара в рассматриваемой модели имеет вид

П

Si(p) = Р-^ - ^Р-1, г = 1,т,

3 = 1

где

СгЬГ1 ГМ (£

ts j=l т bsPsi . -1-

Ki =------------------------й-, Li = 1^ -n----------, * = 1,m,

- = вЫ s=lY, Ps3

j=1

где bi > 0, i = 1,m, Pk,j, k,j = 1,n — заданные параметры.

Определение2. Вектор p € P называется вектором равновесных цен, если Si(p) = Di(p) для любого i = 1,m.

Были получены достаточные условия существования равновесных цен в исследуемых моделях. Кроме того, был исследован вопрос устойчивости точки совпадения при малых возмущениях параметров моделей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах. Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

2. Arutyunov A., Avakov E., Gel’man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points. J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.

3. Арутюнов А. В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений. Математические заметки, 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-31140, № 12-01-33023).

Pavlova N.G. ANALYSIS OF ECONOMIC MODELS BY METHODS OF THE COVERING MAPPINGS THEORY

Existence of an equilibrium price-vector in a nonlinear market models is studied. Sufficient conditions for existence of the equilibrium price-vector are obtained. Stability of the equilibrium is studied. These results are obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.

Key words: a -covering mappings; coincidence points; equilibrium price-vector.

2623