Исследование эффективности приоритетных дисциплин на основе метамодели многопотоковых систем массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3.06

В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ Ц Д. А. ТУЛУБАЕВ 1--

Омский государственный технический университет

ООО «Дальнефтепровод», г. Хабаровск

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИОРИТЕТНЫХ ДИСЦИПЛИН НА ОСНОВЕ МЕТАМОДЕЛИ МНОГОПОТОКОВЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ___________________________

Выявляются ключевые параметры, определяющие эффективность приоритетных дисциплин обслуживания. Используется и развивается метамодель многопотоковых систем массового обслуживания.

Ключевые слова: сложный объект управления, система массового обслуживания, цена ожидания, метамодель.

1. Введение

Предложенная в [1] метамодель многопотоковых систем массового обслуживания (СМО) позволяет выявлять ключевые параметры сложных объектов управления (ОУ) и оптимизировать оперативно-диспетчерское управление в условиях неполной информации. Метамодель основана на типовой стоимостной модели обслуживания заявок [2].

Метамодель многопотоковых СМО. Метамодель одноканальных многопотоковых СМО определяется в [1] как тройка <О, а, у>, где О — параметры ОУ, а — быстродействие обслуживающего устройства (канала), уе {0, 1, 2, ...} — индекс дисциплины обслуживания (0 соответствует бесприоритетному обслуживанию, 1 — дисциплине относительных и 2 — дисциплине абсолютных приоритетов; у>2 — другие дисциплины).

Параметры О определяются пятеркой < п; Л, V, V, С >, где п — число классов (потоков) заявок, Л=(11, ..., 1п) — интенсивности потоков 1, ..., п, Т=(у^ ..., уп) — средние объемы заявок в классах 1, ., п, V = (у1, ..., уп) — коэффициенты вариации (к.в.) объемов заявок в классах, С = (с 1, ..., сп) — штрафы за единицу времени ожидания в очереди заявки класса 1, ., п.

Поток заявок любого класса «по умолчанию» пу-ассоновский.

При заданном быстродействии а вектор V определяет все средние значения Ьк = у к/ а времени обслуживания заявок классов к=1, ..., п. При а > 1 ХЛ общий коэффициент загрузки Я<1, где Я = р1 + ... ...+рп, рк = 1кЬк — коэффициент загрузки системы заявками класса к. Нужное значение коэффициента загрузки Я < 1 можно обеспечивать, выбирая при проектировании системы подходящее быстродействие а.

Векторы Л, V V и С рассматриваются в метамодели как случайные. Все скалярные компоненты одного и того же вектора (Л, V, V или С) рассматри-

ваются как независимые положительные непрерывные случайные величины (сл.в.) с одним и тем же распределением вероятностей. Вектор Л состоит из п независимых сл.в. 1,, ..., 1 , описываемых плот-

1 ' п'

ностью вероятностей (п. в.) /л(0, и, аналогично, векторы V, V и С описываются п.в. /у({), и /с(Ц. Векторами V и V определяются вторые моменты времени обслуживания Ь™ = (1 + у2)А = (1 + у1)у2к/а2 . Общий коэффициент вариации V времени обслуживания дается формулой

V2 = ■

л-11 ха

л-11 ха

я

--1,

(1)

где Л = 11 + ...+1п — интенсивность суммарного потока заявок.

При использовании приоритетных дисциплин потокам к назначаются приоритеты рк е {1, 2, ..., п} (разные потоки имеют разные приоритеты). Приоритет рк потока к считается старшим по отношению к приоритету р( потока г, если рк>р. Показатели Х1 и Х2 эффективности применения относительных и абсолютных приоритетов определяются в виде

Х=о /^, ^2 = ^0 /Р2,

(2)

Л-1я2(1 + V2) п

где ро = —2(1—Я)— 11 кСк - штраф (в единицу времени) за ожидание заявок в очереди при беспри-оритетном обслуживании, F1 и _Р2 — штрафы, получаемые при использовании относительных и, соответственно, абсолютных приоритетов. Формулы для расчета штрафов F1 и _Р2 приведены в [1]. С учетом этих формул из определения (2) показателя Х1 в [1] установлено, что он не зависит от V и определяется лишь средними характеристиками Л, V, С и назначением приоритетов классам заявок:

к

к

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012

256

F

р _ tJL ___________

_ С ~ n

F1 V

І A *

(1 - R)A с *—1(1 - Rk-1)(1 - Rk)

(3)

где Rk = ^ p; , Rk-1 = Rk - pk, а множество индексов

l'EP(i)

P(k) включает номера потоков с приоритетами, не меньшими pk. Выражение для Х2 имеет вид:

A-1R2(1 + V2)

Х2 _

2(1 - R) ІТ

І A k

І A. k

Rk-1yk / a , ieP(k)

І A. y2(1 + vf)/a2

1 - Rk-1 2(1 - Rk-1)(1 - Rk)

(4)

откуда следует, что вероятность выполнения неравенства

V2 + 1 > M(A)M(V), или V2 > M(A)M(Ay ) - 1 (6)

M2(Ay)

M2(Ay)

с ростом п сходится к единице. При независимых 1 и у оно упрощается:

V2 >

M(A)M(A)M(y2) 1 т - M(y2)

M2(A)M2(y) V2 >

-- 1, V2 >

M2(y)

-1,

2^M(y2) - M2(y) _ ,

M2(y)

т.е. достоверное в пределе при n®¥ неравенство (6) принимает вид:

В [1] показано, что при анализе показателей Х1 и Х2 можно без ограничения общности нормировать плотности 4(0, /у(0, /с(0 условием М(1) = М(у) = = М(с) = 1. В метамодели обычно используется треугольная п.в. /ДО, заданная на отрезке (0<^2) с модой в точке í=1.

Общий принцип использования метамодели. Вид сумм, входящих в выражения (1), (3) и (4), сходный с видом выражений для оценок моментов, определяемых по векторам Л, V, V и С как по выборкам, позволяет связать показатели Х1 и Х2 с моментами сл.в. сл.в. 1, у, у и с. Установление таких связей открывает новые и неожиданные возможности для выявления таких ключевых параметров сложных ОУ, которые позволяют прогнозировать эффективность приоритетных дисциплин в условиях отсутствия полной информации, необходимой для применения классических результатов теории приоритетных дисциплин [2].

2. Область большого разброса средних трудоемкостей

Продемонстрируем способ выявления ключевых параметров ОУ с помощью метамодели [1]. Если в выражении (2) штрафа _Р0 все ск=1, то

V2 > v2

(7)

где vy — к.в. распределения їу(ґ) средних объемов заявок. Из (7) и (5) при п®¥ следует, что если V; ® ¥ , то V 2®¥ и ґ0®¥.

Области значений векторов Л, *Р, и С, в которых Р0®¥ при п®¥, будем называть критическими областями параметров ОУ. Выявленную только что критическую область VУ ® ¥ назовем областью большого разброса средних трудоемкостей.

3. Область обратной степенной зависимости 1 и у

Теперь рассмотрим случай зависимых 1 и у. Пусть о векторах Л и V известно, что их компоненты связаны соотношением 1кук = А, где А>0 — некоторая константа (это случай равных рк). Тогда в (6) 1 = А/у, и для больших п с высокой вероятностью выполняется неравенство

V2 >

M(A/y)M((A/y) у2) A2M(y-1)M(y)

M2((A/y)y)

-1 —

A2

-1 —

= M(y-1) — 1.

(8)

F _ A-1R2(1 + V2) ІA _ A-1R2(1 + V2) L_

2(1 - R)

2(1 - R)

R2(1 + V2) 2(1 - R) .

(5)

Далее в терминах метамодели легко устанавливается, что штраф Р0 при любой фиксированной загрузке Я может быть сколь угодно велик, хотя все к.в. Ук ограничены узкими пределами (например, при 0<Ук< 2, к= 1, ..., п).

Действительно, рассматривая при п®¥ компоненты векторов Л и V как независимые выборки из распределений 1к(£) и / (0, с учетом (1) имеем:

А-1ІA kb

(2)

kbk

V2 +1 _

А-11A kbk

b2

kbk

M(A)M(Ay2)

ö2 (1

А-1ІAkbk -1Akу*

2

M2(Ay)

Здесь учтено условие нормировки М(у) = 1. Но

М(у-1) = |(-1/^,(í)dí, и, следовательно, если при (=0

о

п.в. /у(()=/у(0)>0 и непрерывна справа, то М(у-1) = = ¥. Таким образом, из (8) следует, что связь 1кук = А приводит для широкого класса распределений їу(ґ) к неограниченному возрастанию V с ростом п и, следовательно, к неограниченному возрастанию Р0. Таким образом, связь 1кук = А определяет еще одну критическую область.

На самом деле эта область значительно шире и охватывает связи вида Xк = Аукр, в которых коэффициент Рє(1, 3). Действительно, при Хк = Ау— неравенство (6) принимает вид

V2 > M(Ay-ß)M(Ay-ßy2) - 1 = M(y-ß)M(y2-ß) - 1 = ~ M2(Ay~ßy) M2(y1-ß)

= G(ß)-1.

(9)

Рассматривая для простоты лишь случай таких распределений /у((), которые заданы на наконечном интервале 0<(<д, и полагая, что при ( = 0 п.в. /у(ґ) = /у(0)>0 и непрерывна справа, из (9) находим:

с

k_1

с

2

с

k_1

k _1

k

2

k

k

k

k

— при ß<0 все м.о. M(y-ß) M(y1-ß) и M(y2-ß) положительны и конечны, G(ß) конечно, и, следовательно, оценка (9) не обусловливает неограниченный рост показателя V 2 при n

— при 0<ß<1 м.о. M(y1-ß) и M(y2-ß) положи-

ff g

тельны и конечны, M(y-e) = J Гв fY(t)dt = lim J t ^fy(t)dt

0 ' E

также положительно и конечно, и, следовательно, оценка (9) здесь не обусловливает неограниченный рост V 2 при n®¥; однако при ßT 1 имеем M(y-ß)®¥, G(ß)®¥, т.е. при n®¥ и ßT 1 оценка (9) обусловливает неограниченный рост V 2;

— при 1<ß<2 м.о. M(y1-ß) и M(y2-ß) положи-

g

тельны и конечны, однако M(y-e) = lim J t~pfw(t)dt = ¥ ,

£

поэтому G(ß)®¥, и, следовательно, оценка (9) обусловливает неограниченный рост показателя V 2 при

n®¥;

— при 2<ß<3 м.о. M(y2-ß) положительно и конечно, но M(y-ß) = ¥ и M(y1-ß) = ¥; устраняя неопределенность типа ¥/¥, возникающую в выражении (9) для G(ß), получаем G(ß)=¥, и, следовательно, оценка (9) обусловливает неограниченный рост показателя V 2 при n®¥

— при ß>3 м.о. M(y-ß), M(y1-ß) и M(y2-ß) бесконечны и устранение неопределенности в (9) дает для G(ß) конечную величину.

Таким образом, рассматриваемая критическая область — область обратной степенной зависимости 1 и у — охватывает связи вида Xk = Aykp, в которых коэффициент ße [1, 3). На практике, как показывает статистическое моделирование, даже если подобная обратная степенная зависимость описывает (приближенно) соотношение лишь между частью параметров 1k и yk, то это с высокой вероятностью приводит к большим значениям V 2 и F0 уже при числе потоков n, лежащем в пределах десяти.

4. Область стохастической обратной пропорциональности 1 и у

При достаточно общих условиях заключение о неограниченном росте V 2 с ростом n распространяется и на случаи стохастических связей вида 1k=x/yk, где независимая сл.в. x>0.

Пусть, например, сл.в. x и у независимы и распределены равномерно на отрезке (0, 2) Тогда п.в. 4(0 для сл.в. 1 = x/y имеет следующий вид1:

4(0 _Jufx(tu)fy(u) du _

12

— J ufy(u)du, если t < 1 2 о

11/1

— J ufx (tu)du, если t > 1,

2t2

t < 1,

t > 1.

Степенной с показателем —2 хвост п.в. 4(0 обусловливает бесконечное м.о. М(1). Подставляя в неравенство (6) М(1) = ¥, М(1у2) = М(1уу) = М(ху) = = М(х)М(у) = 1 и М2(1у) = М2(х) = 1, получаем неравенство

V 2>¥,

обусловливающее неограниченный рост V 2 и _Р0 при п®¥. Аналогичный результат получается и в случае, когда независимые х и у распределены по экспоненциальному закону с параметрами т1 и т2. В этом случае

4(0 = } и/х (/и^и = } ще-‘^е=

0

H1H 2

Ju(H1t + н2)e~(H1t+H2)udu _

H1H 2

Ju(H1t + н2)e (H1t+H2)udu _

H1H 2

(Ht + H 2)

Здесь применена формула интегрирования по частям, и после подстановки пределов интегрирования устранена неопределенность типа 0X“. Вновь для сл.в. 1 = х/у получена п.в. со степенным хвостом, с М(1) = “, и вновь V 2®“, -Р0®“ при п®“.

5. Область коррелирующих 1 и с, имеющих высокие к.в.

Используя метамодель, покажем, что существует еще одна критическая область параметров. Пусть в формуле (2) для ґ0 при фиксированном Я факторы роста к.в. V с ростом п не проявляются (положим, например, что V=const при любом п). Тогда из (2) имеем:

А-^2(1 + V2) ^ . R2(1 + V2) 1 ^ .

"ІAkck ■ ,------1Akck ®

" 2(1 - Я)А / n n 1

2(1 - R) k _ 1 11 11 k

R 2(1 + V 2)M(Ac) R 2(1 + V2)

2(1 - R) M(A) 2(1 - R)

M(Ac). (10)

Если 1 и с независимы, то М(1с) = М(1)М(с) = 1. В этом случае из (10) заключаем, что с ростом п штраф Р0 сходится по вероятности к константе, определяемой фиксированными Я и V. Но для зависимых 1 и с из формулы

_ M(Ac) - M(A)M(c) _ M(Ac) - 1 _ M(Ac) - 1 (11)

где г(1,с) — коэффициент корреляции 1 и с ; Ол, ос — среднеквадратичные отклонения 1 и с; ул, ус — коэффициенты вариации 1 и с, имеем:

M(Ac) _ 1 + r(A, c)va Vc.

(12)

Из (12) и (10) следует, что штраф _Р0 может расти с ростом п неограниченно, когда 1 и с положительно коррелированы, а ул и/или ус бесконечны. Например, при 1= Ас имеем г(1,с)=1 и ул = ус (здесь А>0 — некоторая константа). На практике ул и вместе с ним ус могут быть при этом сколь угодно велики, и тогда с ростом п будет расти _Р0 (2) за счет роста множителя

п

Л 11Хкск , сходящегося к М(Хс) = 1 + г(Х,с)ухус .

к=1

Заметим, что положительная корреляция между интенсивностью потока и штрафом за единицу времени ожидания заявки вполне естественна.

0

о

а,а

а а

vv

0

о

2

2

2

1

о

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012

6. Исследование эффективности правила с/Ь

при назначении абсолютных приоритетов.

Метод наилучших транспозиций

Известно [2], что при относительных приоритетах их назначение является оптимальным, когда приоритеты pk потоков k возрастают в порядке роста показателя ck/bk («правило c/b»). Для абсолютных приоритетов правило c/b оптимально лишь при экспоненциальных распределениях времени обслуживания [2, 3], но применяется и при общем виде распределений этого времени в качестве неплохой эвристики.

Чтобы оценить приемлемость эвристики с/Ь, сравним ее с более точным правилом назначения абсолютных приоритетов. Точное правило (расчет штрафа Б2 для всех п! назначений приоритетов и выбор наилучшего назначения) при п, составляющих несколько десятков, реализовать практически невозможно. Поэтому ниже предлагается и далее применяется приближенный метод оптимизации — метод наилучших транспозиций (МНТ), в котором перебор вариантов назначения приоритетов эффективно ограничен. Приведем пошаговое описание этого метода.

Шаг 1. Для данных Л, Т, V, С при а = 2(1^ + ... ...+1пуп), т.е. при R = 0,5, вычисляем все Ьк = ук/а и ЬЦ2 = (1 + ук)Ук/а2. Абсолютные приоритеты назначаем по правилу c/b и вычисляем штраф F2.

Шаг 2. Отыскиваем среди всех пар из п потоков такую пару (k, г), обмен значениями (транспозиция) приоритетов рк и рг в которой приводит к наибольшему снижению штрафа.

Шаг 3. Если ни одной транспозиции, приводящей к снижению штрафа F2, не найдено, переходим к шагу 4. Иначе выполняем найденную транспозицию приоритетов, для полученного назначения приоритетов вычисляем штраф F2 и возвращаемся к шагу 2.

Шаг 4. Полученное назначение приоритетов принимаем в качестве результата оптимизации.

Оценка качества эвристики с/Ь состоит в многократной случайной реализации параметров Л, Т, V и С, оптимизации посредством МНТ назначения приоритетов для каждой реализации и сравнении получаемых значений штрафа F2 с теми значениями, которые дает эвристика с/Ь.

Результаты сравнения МНТ и эвристики с/ Ь. По разным наборам п.в. 4(0, -¥(0, 4(^), 4(0 при разных п многократно сгенерированы параметры Л, Т, V, С, и правило с/Ь сопоставлено с МНТ. Установлено следующее.

1. В среднем эвристика с/Ь дает результат, который методом МНТ можно улучшить (т.е. снизить штраф F2) лишь на (0,1 — 1,5) %.

2. В отдельных случаях результат применения эвристики с/Ь может быть улучшен методом МНТ на 24 % и более.

3. В любом случае распределение приоритетов, полученное по правилу с/Ь, применением МНТ не ухудшается, поэтому МНТ можно применять во всех случаях распределения абсолютных приоритетов.

4. При числе п потоков порядка 15 — 20 метод МНТ практически всегда улучшает результат применения эвристики с/ Ь.

5. Коэффициенты Х1 и Х2 снижения штрафов в критических областях параметров ОУ многократно возрастают.

Последний результат подсказывает, что вопрос о целесообразности приоритетного обслуживания в критических областях параметров ОУ должен во

многих практических случаях иметь положительный ответ.

7. Исследование эффективности приоритетных дисциплин в критических областях параметров объекта управления

С помощью метамодели были сгенерированы сотни тысяч конкретных многопотоковых СМО и определены показатели Х1 и Х2 эффективности приоритетного обслуживания при оптимальном назначении приоритетов. Приведем наиболее важные результаты, полученные в этом исследовании.

1. В критических областях параметров штрафы F0, F1, F2 растут с ростом числа потоков п (при фиксированных R, 4, /у, 4, -с) неограниченно, тогда как в некритической области рост штрафов ограничен сверху константами.

2. На пересечениях критических областей скорость роста штрафов F0, F1 и F2 с ростом п может увеличиваться на несколько порядков.

3. Показатели Х1 и Х2 растут с ростом п, но ограничены сверху (как в некритической области, так и в критических областях параметров ОУ).

4. При R®0 применение приоритетных дисциплин неактуально, а при R ® 1 малополезно.

Таким образом, областями наиболее эффективного применения относительных и абсолютных приоритетов являются выявленные в статье области критических параметров ОУ. Условием эффективного применения относительных и абсолютных приоритетов является умеренная загрузка обслуживающего устройства (не слишком близкая к нулю или единице).

Примечание

1 Известно, что если (X, У) — непрерывный случайный вектор и / (х,у) — его плотность, то Х/У есть сл.в. с плотностью вероятностей

+¥ 0

/(г) = | —ИХ, х)(1х - | х/(гх, х)(1х .

0 -¥

Библиографический список

1. Задорожный, В. Н. Метамодель систем оперативнодиспетчерского управления сложными крупномасштабными организационно-техническими объектами / В. Н. Задорожный, Д. А. Тулубаев. — Омский научный вестник. — 2011. — № 1 (97).- С. 19 23.

2. Основы теории вычислительных систем / под ред. С. А. Майорова. Учеб. пособие для вузов / С. А. Майоров [и др.]. — М. : Высш. школа, 1978. — 408 с.

3. Рыжиков, Ю. И. Компьютерное моделирование систем с очередями / Ю. И. Рыжиков. — СПб. : ВКА им. А. Ф. Можайского, 2007. — 164 с.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления» Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: e-mail [email protected] ТУЛУБАЕВ Дмитрий Анатольевич, заместитель главного инженера по АСУТП ООО «Дальнефтепровод». Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 15.02.2012 г.

© В. Н. Задорожный, Д. А. Тулубаев