Исследование эффективности приближенных алгоритмов решения одного частного случая задачи Вебера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ОДНОГО ЧАСТНОГО СЛУЧАЯ ЗАДАЧИ ВЕБЕРА

УДК 519.863

Роман Эдуардович Шангин

студент Южно-Уральского государственного университета Тел. 8 912-30-60-516 Эл. почта: [email protected]

В работе предложен приближенный итеративный полиномиальный алгоритм, решающий задачу Вебера, где размещаемый граф является двудольным. Исследована эффективность предлагаемого алгоритма. Выявлены подклассы задач, где ошибка алгоритма является наибольшей. Предложены пути совершенствования алгоритма.

Кпючевые слова: задача Вебера, двудольный граф, итеративный алгоритм, приближенный алгоритм, полиномиальный алгоритм.

Roman E. Shangin

student of South Ural state university Tel. 8 912-30-60-516 E-mail: [email protected]

RESEARCH OF EFFICIENCY APPROXIMATE ALGORITHMS FOR SOLVING A SPECIAL CASE OF WEBER PROBLEM

In this paper an iterative approximate polynomial algorithm for solving the Weber problem is proposed, where the hosted graph is bipartite. The research of efficiency of proposed algorithm is made. Subclasses of problem where the error of the algorithm is the greatest are identified. Ways of improving the algorithm are proposed.

Keywords: Weber problem, bipartite graph, iterative algorithm, approximation algorithm, polynomial algorithm.

1. Введение

В работе рассматривается частный случай задачи Вебера, где размещается двудольный граф на заданном конечном множестве точек с целью минимизации совокупных издержек размещения. Задача Вебера, относится к классу задач размещения взаимосвязанных объектов и является КР - трудной [1]. Востребованность решения на практике этого класса задач обуславливает интенсивное развитие данного направления математической кибернетики как отечественными, так и зарубежными учеными. К примеру, исследован частный случай, когда размещаемый граф является деревом [2], предложен алгоритм для прямоугольной метрики задачи Вебера [3], исследованы многокритериальные постановки задачи [4] [5], а так же варианты с различными размерностями непрерывной области размещения [6], рассмотрены случаи с ограничениями на допустимую область размещения [7], а так же итеративные алгоритмы решения [8] [9] и др.

Исследование частного случая задачи, где размещаемый граф является двудольным имеет большую практическую значимость. Это обуславливается несколькими причинами. Во-первых: любой граф можно преобразовать в двудольный, т.е. если найден алгоритм, эффективно размещающий двудольный граф, то возможно разместить эффективно любой граф. Во-вторых: структура достаточно большого множества размещаемых технических систем представляется двудольным графом. Исходя из этого, в работе предлагается итеративный приближенный алгоритм решающий поставленную задачу за полиномиальное время, обозначаются как подклассы задач, где ошибка алгоритма является достаточно малой либо отсутствует, так и подклассы где использование предлагаемого алгоритма является нецелесообразным.

2. Математическая формулировка задачи

Пусть 3 - множест^оЙ}ектов размещения, причем задано разбиение данного множества на множество ^ С 3 и множество N: N с 3 , N и Ж = 3 . Пусть - двудольный граф, где - множество ре-

бер графа . Пусть V - конечное множество точек, предназначенных для размещения элементов множества 3 . Пусть р: J —> V - однозначное отображение из множества в V . Тогда с: а х V2 ^ Я с({г,у'}, ф(г),ф(у')):(г,у') е А -стоимость размещения ребра графа О на V2.

Размещению элементов I е W в точках множества соответствует величина (} :Ж х¥ ^ Я : ^ (¡,и), размещению элементов в точках множества

соответствует величина р : N XV ^ Я : р (], и) . Пусть - совокупные затраты от размещения элементов множества 3 в точках множества V .

Требуется разместить элементы множества 3 в допустимых точках множества V с целью минимизации величины ^. Математическая формулировка задачи в терминах отображений имеет вид

я = Н<р) = X с№' У) + X Л + 2 РУ> V У) ~ .

Имеет место формулировка задачи в терминах целочисленного линейного программирования (ЦЛП):

R = Y Cm

'J . y'J

Y d'm • y'm + Y pJ" • ZJ ^ min

'eW, JeN m, jeV

(Vie W)

m sm / ,fj j

'eW, meV JeN, JeV

\ f

X ym =1

V meV

; (Vj eW)

£ = i

V neV

(Vie W, Vm e V, Vj e N)

У x'J = v'

/ iУш V neV у

XJ — zj

xmn zn I

(Vi e W, Vm e V, Vj e N, Vn e V) (x'^ = z]n) (Vi eW , Vm eV) (y'm e {0,1}); (Vj e N, Vn eV) (zj e{0,1})

Экономика, Статистика и Информатика

№1, 2012

163

(V/ € IV, Vj е Nym.ne V) (х"тп е {0,1}).

3. Алгоритм решения гадами

Суть алгоритма заключается в итеративном последовательном размещении долей графа с целью минимизации величины R до того как величина R на текущей итерации не будет равняться величине R на предыдущей итерации алгоритма. Предложенный алгоритм представим следующим образом:

Шаг 1: формируются начальные допустимые размещения элементов. Пусть Vw : Vw czV - множество размещений элементов множества W на К, так же VN : VN с V - множество размещений элементов множества N на V Множества Vw и VN формируются следующим образом:

vw = U-: :v*i =argmin{i/(/,y,)}; VN = |J и):и) = arg min \p(j, и,)}

ieW jeN ">еУ

Шаг 2: на данном шаге размещение элементов множеств W и N в точках множества V проводится в два этапа.

Этап I: суть работы алгоритма в рамках первого этапа заключается в том, что вначале размещается множество W , оптимально относительно размещенных на предыдущем шаге элементов множества N, после этого размещается множество N, оптимально относительно размещенных на данном шаге элементов множества IV .

Множество размещений элементов множества W в рамках первого этапа (I) формируется следующим образом:

у (к)

W.

= |>; :<Л* = arg min

ielf

и.еУ

jeN. tijGVft

где -множество оптимальных размещений элементов множества IV в рамках первою (I) этапа на (к) - ом шаге алгоритма; У^ " - множество оптимальных размещений элементов множества /V в рамках первого (I) этана на предыдущем (к -1) - ом шаге.

Далее происходит формирование множества размещений элементов множества N в точках множества V следующим образом:

16 ИГ.и^уМ

Этап II: на втором этапе аналогично происходит размещение элементов множеств (У и Д/ только в данном случае вначале размещается множество N, оптимально относительно размещенных на предыдущем шаге элементов множества IV , после этого размещается множество IV , оптимально относительно размещений множества /V, полученных на текущем шаге алгоритма.

Множество размещений элементов множества N в рамках второго этапа (II ) формируется следующим образом:

Лк)

= [Ji<* : u* = arg min

jeN

jeN

arg min

ii.eV

P(j,Uj)+ ^Ф'.Л"/,»;)

r(k)

-LK

l€lV

v, = arg nun

u,eV

Так же происходит формирование множества размещений элементов множества IV в точках множества V следующим образом: г

уелг,.

На каждой к - итерации алгоритма рассчитываются величины и /?{['1 - суммарные издержки размещения элементов множества J на к - итерации в рамках нерпою (I) и второго (II) этапа соответственно. Данные величины рассчитываются согласно формулам:

/еИ'.цеИ,*,*1 jeN,u'|<=vjf}

и'.еУ^

= Х^л^»

ieW.jeV^ j€N.u)eV^ i.jeJ.v, eV^

Если выполняются условия R(i)

R

либо Лито алгоритм останавливает работу в рамках первого либо

Ч -"I —— '41 ~11П

второго этана соответственно, если данные условия не выполняются, то алгоритм переходит та следующий (к + 1) - ый шаг

./(0) 1/(0) _ I/ . [/(«) |/(<» _ I/ г>(0) г>(0) п Г1

в рамках данного этапа, стоит отметить, что, . vWu - vw - у nx »yNu - vn , a R{ ,«,, = 0 . I юсле того как алгоритм прекращает работу на двух этапах, приближенным решением задачи будет являться величина r' :

R'= min |Я<'\Я<?)1

z:ze{i.ii} " '■

Принцип работы предлагаемого приближенного алгоритма проиллюстрирован на рис. 1. 11севдокод предлагаемого алгоритма представлен на рис. 2.

Оценка пространственной сложности рассматриваемого алгоритма равна С)(\ J \ -\V \). Это следует из того, что 6>(| J \ ■ \ V |) памяти требуется для входных и выходных данных, 0(| J \ ■ \ V |) памяти - для массива псевдоразмещений и O(l) - для оставшейся части программы.

№1, 2012 164

□

Точки мн-ва Г, б которых разме-* щаюгса элементы мн-ва ¡V

Точки »«-ва V, в которых раэае-А • щаются элементы мн-ваЛ'

Точки мн-ва V, в которых не р»-0 " метаются элементы ын-ваУ

Преобразование мн-ва У_ '„' в мн-

....... во У ; на (к) - он нтера пни

алгоритма

Мн-во точек, в которых размеша-.*" . ютсд элементы мн-ва 7 на промежуточных итерапижх

Мн-во точек, соответствующих У'а' О- конечному приближенному реше-

нию алгоритма

Piic. I. Пл.нос грация работы алгоритма

Вычислительная сложность представлен! юго алгоритма TSh VebPrbAlg I равна (){k-\J\'\VP +/• ./ • Г 2 ). так-как .] • I V |2 ) - операций требуется для вычисления приближенного решения в рамках первого этана. o(l-\.l |Г|2 )-операций требуетсядля получения решения в рамках второю этапа, где к и I - количество итераций в рамках первог о и второго этапа соответственно.

4. Вычислительный эксперимент

Предлагаемый приближенный алгоритм TShVebPrbAlgl был реализован иа ЭВМ. Проведен вычислительный эксперимент с целью исследования эффективности алгоритма, где под эффективностью понимается точность алгоритма и время ею работы. Решение задач так же проводилось с помощью модели НЛП. реализованной в среде IBM ILOG CPLEX 12.3. Для проведения эксперимента был случайным образом с равномерным распределением сгенерирован класс задач, состоящий из серий, каждая из которых включала 30 задач одинаковой размерности. Вычисления проводились на IIK с процессором Inte! Pentium 1,86GHz. Стати-е шческие данные эксперимента по исследованию эффективности алгоритма приведены в таблице l.rae ta|g, -среднее время работы предлагаемого алгоритма: Гц™ - среднее время работы алгоритма ИЛИ: Г„|К| - средняя ошибка решения алгоритма: са|й| - СКО ошибки решения алгоритма: f^g? -максимальное значение ошибки предлагаемого алгоритма: Iaigi - среднее количество итераций алгоритма.

Исходя из данных, проведенного вычислительного эксперимента, можно сделать вывод о том, что среднее время решения задачи с помощью 1 Ull i существенно превышает среднее вре-

Экономика, Статистика и Информатика 165 №1, 2012

№

TShVebPrbAlgl (input: H, ;V, V\ output: R\ VN ,VW ) begin

/¡f>X>=0;

for each / e W do begin

vw = |J u*: u* = arg min 'i/(/- )}:

i elf u<6,/

end

for each j e N do begin

VN = |Ji/*: u) = argmin{/>(y, uf )ji

, IzN

end

h. el'

while /?{*> < " do for each /' g ly do begin

' »r = Uu*' = argm'n

end

for cach j e N do begin

end

ieN

d(i. u,)+ X^t'-yl-",-''/

/eAf.«,^"1»

is И', к, el

end

V " 1С,

while R\k) < do

for each / e N do begin

l"t!= IK: =argmin

,/eW

end

for each / e W <•<> begin

и, еУ

'i1 = U,;*: u'=argmin

end

IGlV

U,6l'

dO, ц)+ £c(li,jlv„Uj) ■;

JeN-U.e

ieJV.V, -IV

end

R!{!) = min - 11}

R' = I'»' = /'(/ ); VN = УЦ] .

end.

Рис. 2. Псевдокод алгоритма TShVebPrbAlgl

Таблица 1.

мя работы предлагаемого алгоритма TShVebPrbAlgl, причем разница во времени значительно возрастает с увеличением размерности решаемой задачи, так как тестируемый алгоритм имеет полиномиальную вычислительную сложность, причем полином достаточно малого порядка. Для задачи размерности | J |= 40,| V |= 40 и выше не удалось получить решение с помощью ЦЛП за приемлемое время, притом, что среднее время решения задач размерности | J |= 40,| V |= 40 с помощью предлагаемого алгоритма

TShVebPrbAlgl не превысило 0,5 секунды.

Был выявлен тот факт, что размерность решаемой задачи не оказывает существенного влияния на величину средней ошибки алгоритма, причем, что средняя величина ее по всем сериям задач составила 6,95 %.

Рассмотрим свойства предложенного алгоритма TShVebPrbAlgl. Пусть Кс - коэффициент, характеризующий отношение между величиной средней суммарной стоимости связей точки множества V с другими точками множества V и величиной средней стоимости размещения элемента множества J .

ielV.veV jeN,veV

Разме эность задачи *цлп >с- fa.g.,% <ra.g., % fafeY - % 'algl

W N V

5 5 10 0,01898 031234 6.34 5,33 23,69 3

5 10 15 0,05463 2,43721 7,56 4,21 19,14 3

10 5 15 0.06271 2.83765 7,19 3,84 28.37 2

10 10 20 0,11256 7.89531 6,77 3,45 22,30 4

15 10 25 0.15827 19.1726 7.09 4,09 33.39 5

10 15 25 0,16487 127,873 6,71 5,14 27,39 4

15 15 30 0,23548 395,7 14 7,40 4,35 43,82 7

20 15 35 0.33537 681,839 6,60 4,33 24.76 5

20 20 40 0,47096 8

30 30 60 1.47091 6

40 40 80 3.45016 6

50 50 100 7,31 199 7

100 100 200 64,2696 6

кс

\V\

\V\-\J\

\ л

В соответствии с результатами исследования имеет место Гипотеза 1

Величина средней ошибки предлагаемого алгоритма Т8Н\'еЬРгЬЛ1ц1 зависит от величины Кс. Пусть Н0 - нулевая гипотеза, соответствующая выдвинутой гипотезе 1. Пусть а - уровень значимости, на котором

юрмулировка гипотезы Н0 имеет вид

принимается выдвинутая гипотеза Н0 . Тогда математическая (

" „

, fjlsl»-C

п-2

И 0 =

где

R-

Zt

крш"

п-2.а

I. К,-

■значение i - статистики, имеющее

коэффициент корреляции между величинами Га1„, и Кс; / распределение Стыодента с (п-2) степенями свободы; ^р"та - критическое значение параметра / с (п-2) степенями свободы и уровнем значимости а .

>*г). Д, ^

-, »И-О

R-,

Г,i,I •

falgl ■ «С _ -2

Rf

'alt

■sin-2 .

■ Kr

Проверим гипотезу #„ о наличии связи между величинами и Кс.

Коэффициент корреляции принимает значение равное 0,72, что характеризует сильную взаимосвязь между рас-

сматриваемыми величинами. Вычислим значение I - статистики и определим величину /„_2.а при п- 16 и уровнем значимости от = 0,05. Так как / = 39, а ' Г4 ^05 = 2,14, то гипотеза #0 принимается науровне значимости а = 0,05.

Результаты вычислительного эксперимента, направленного на подтверждение гипотезы 1 приведены в таблице 2.

Стоит отметить, что при Кс = 0, когда элементы мно- Таблица 2.

жества J размещаются в точках множества V без учета влияния связи между элементами, т.е. (У/,у е JУn,m е V) с([/,7],и, от) = 0, тогда рассматриваемый алгоритм Т8ЬУ'еЬРгЬА^1 получает точное решение задачи, причем за одну итерацию.

Исходя изданных эксперимента при Кс е[1;100] алгоритм наиболее склонен попадать в локальный минимум и точность его решения тесно зависит от качества начального приближения, о чем свидетельствуют величина средней ошибки алгоритма и величина СКО ошибки ^¡.1. При К(■ —>оо, величина ошибки алгоритма так же волагильна и зависит от качества выбора начального приближения, причем '¡т^ 2.

Исходя из выявленных недостатков алгоритма Т$ЬУеЬРгЬА^1 и особенностей решаемой задачи, целесообразно 1 федложить алгоритм, дающий лучшие результаты, когда величина Кс является достаточно большой.

Kc falgl.% <ralgl,0/. fa,g2>% 0"alg2>%

0.0001 0.11 0.06 380.20 73,97

0,001 0.13 0,05 364,98 91,22

0,01 1,50 0,80 393,32 68,91

0,1 2,40 1.03 372,08 42,92

0,5 2,31 3.94 414,42 73,48

1 5.84 3,85 214,59 53,58

1.5 11.74 9.45 284,04 70,76

2 18.57 22,08 118,47 29,39

5 17.19 7,75 131.84 32,77

10 28,99 43,75 98,66 24,59

15 43,79 18,71 52,74 13,11

20 41.29 33.40 50.23 7,47

50 33,87 20,95 19,71 3,90

60 46,29 45,23 7.37 1,09

70 33,48 24,48 1,52 0,43

100 41,35 20,41 0 0

№1, 2012 166

■

Так как при Кс ^ ж все элементы множества 3 стремятся разместиться в одной точке множества V , то при больших значениях Кс целесообразно применять алгоритм Т8ЬУеЬРгЬА^2. Псевдокод алгоритма Т8ЬУеЬРгЬА^2 представлен на рис. 3.

Пространственная сложность рассматриваемого алгоритма равна 0(|,/ | • | V | .Вычислительная сложность алгоритма Т8ИУеЬРгЬА^2 так же равна о(| У | • | V |). На основе полученных результатов тестирования алгоритма Т8ИУеЬРгЬА^2 имеет место

Гипотеза 2

Величина средней ошибки ^^ алгоритма Т8ИУеЬРгЬА^2 зависит от величины К с

Пусть Н0 - нулевая гипотеза, соответствующая выдвинутой гипотезе 2. Пусть а - уровень значимости, на котором принимается выдвинутая гипотеза . Тогда математическая формулировка гипотезы Н0 имеет вид

Кс ^ уёбео

H0 =

'n-2 - 'n-2, а

Проверим гипотезу о наличии связи между величинами falg2 и Kс . Коэффициент корреляции , Kc принимает значение равное (-0,72), что характеризует сильную отрицательную корреляцию между рассматриваемыми величинами. Вычислим значение t - статистики, так как , а 0,05 = 2,14 , то гипотеза H0 о существовании взаимосвязи между величинами falg2 и Kс принимается на уровне значимости а = 0,05. Результаты эксперимента, проведенного с целью подтверждения гипотезы 2, представлены в таблице 2.

Так как эксперимент, результаты которого представлены в таблице 2, был проведен на одном классе задач, то справедливо сравнение эффективности алгоритмов TShVebPrbAlgl и TShVebPrbAlg2. Результаты тестирования эффективности представлены на рис. 4.

Исходя из полученных результатов тестирования эффективности алгоритмов, можно сделать заключение: для решения задачи Вебера, где размещаемый граф является двудольным, при Kc е [0; 20] целесообразно использовать алгоритм TShVebPrbAlgl, а при KC е (20; да) - алгоритм TShVebPrbAlg2.

5. Заключение

В работе была приведена математическая формулировка задачи, как в терминах отображений, так и в терминах ЦЛП. Описан приближенный алгоритм TShVebPrbAlgl, решающий поставленную задачу. Представлен псевдокод полиномиального алгоритма, определена его вычислительная и пространственная сложность. Алгоритм TShVebPrbAlgl реализован на ЭВМ.

На сгенерированном случайным образом классе задач выполнен вычислительный эксперимент, показывающий эффективность предложенного алгоритма. Для каждой серии задач проведено сравнение среднего времени решения алгоритма TShVebPrbAlgl и модели ЦЛП реализованной в IBM ILOG CPLEX 12.3. Зависимость между размерностью решаемой задачи и величиной средней ошибки алгоритма не была установлена, причем, что средняя величина ошибки алгоритма по всем сериям задач составила 6,95 %. Следует отметить, что при Kc < 1 хпедняя ошибка алгоритма TShVebPrbAlgl не превышала 2,05%. Экспериментально доказана сходимость алгоритма TShVebPrbAlgl, причем алгоритм сходится за достаточно малое

. Экспериментально доказана сходимость алгоритма Т8 число шагов. Статистически доказана гипотеза о зависимости средней ошибки предлагаемого алгоритма Т8ИУеЬРгЬА^1 от величины Кс .

Исходя из выявленных недостатков алгоритма Т8ИУеЬРгЬА^1 и особенностей решаемой задачи, был предложен алгоритм Т8ИУеЬРгЬА^2, причем

TShVebPrbAlg2 (input: J, V; output: R', V}) begin

Vj = и * : и * = arg min \ ^ d (i, и) + ^ p(j, и) l;

ueV [ieW jeN J

R ' = £ d (i, и *) + £ p(j, и *);

isW jsN

величина средней ошибки falg2 алгоритма TShVebPrbAlg2 так же коррелирует с величиной Kс . Приведен псевдокод алгоритма TShVebPrbAlg2 и определена его вычислительная и пространственная сложность. Проведено сравнение эффективности двух предложенных алгоритмов. В результате проведенного исследования эффективности было установлено, что при решении задач, где KC е [0; 20] целесообразно использовать алгоритм TShVebPrbAlgl, а при Kс е (20; да) - алгоритм TShVebPrbAlg2.

Литература

1. Панюков, А.В. Модели и методы решения задач построения и идентификации геометрического размещения: диссертация на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук: 05.13.16 / А.В.

end.

Рис. 3. Псевдокод алгоритма TShVebPrbAlg2

Рис. 4. Сравнение алгоритмов TShVebPrbAlgl и TShVebPrbAlg2

Экономика, Статистика и Информатика

№1, 2012

167

Панюков, - М. 1999.- 260 с.

2. Panyukov A. V. Polynomial algorithms to finite Veber problem for a tree network / A. V Panyukov, B.V Pelzwerger // Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 35 (1991). 291-296. (North-Holland)

3. Трубин В. А. Эффективный алгоритм для задачи Вебера с прямоугольной метрикой // Кибернетика. 1978. N 6. С. 67-70.

4. Zabudsky G.G. An algorithm for minimax location problem on tree with maximal distances / G.G. Zabudsky, D.V. Fili-monov // Proc. of the Second International Workshop "Discrete Optimization Methods in Production and Logistics" (DOM2004). -Omsk-Irkutsk, 2004. -P. 81-85.

5. Brimberg J. Improvement and comparison of heuristics for solving the un-capacitated multipurpose Weber problem / J. Brimberg, P. Hansen, N. Mladenovic, E.D. Taillard // Operations Research, Vol. 48 (2000). 444-460.

6. Zabudsky G.G. On the one-dimensional space allocation problem with minimal admissible distances // Proc. of the 3rd IFIP WG -7.6 Working Conference on Optimization-Based Computer Aided Modelling and Design. - Prague, 1995. -

P. 448-452.

7. Hansen P. An algorithm for a constrained Weber problem / P. Hansen, D. Peeters, J.-F. Thisse // Management science, Vol. 28, No. 11, November 1982.

8. James G. Convergence of the Weiszfeld algorithm for Weber problem using a generalized "Distance" function / G. James, H. Morris // Operations Research, Vol. 29, No.1 , February 1981.

9. Ostresh L.M. On the convergence of a class of iterative methods for solving the Weber location problem // Operations Research, Vol. 26 (1978) 597-609.

References

1. Panyukov A.V Models and methods for solving construction and identification of the geometric placement: thesis for the degree of Dr. Sci. Sciences: 05.13.16 / A. Panyukov - AM 1999 . - P. 260.

2. Panyukov A.V Polynomial algorithms to finite Veber problem for a tree network / A. V Panyukov, B.V Pelzwerger / / Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 35 (1991). 291-296. (North-Holland)

3. Trubin VA. Efficient algorithm for the problem with rectangular metric Weber // Cybernetics. 1978. N 6. P. 67-70.

4. Zabudsky G.G. An algorithm for min-

imax location problem on tree with maximal distances / G.G. Zabudsky, D.V Filimonov // Proc. of the Second International Workshop "Discrete Optimization Methods in Production and Logistics" (DOM2004). -Omsk-Irkutsk, 2004. - P. 81-85.

5. Brimberg J. Improvement and comparison of heuristics for solving the unca-pacitated multipurpose Weber problem / J. Brimberg, P. Hansen, N. Mladenovic, E.D. Taillard // Operations Research, Vol. 48 (2000). 444-460.

6. Zabudsky G.G. On the one-dimensional space allocation problem with minimal admissible distances // Proc. of the 3rd IFIP WG -7.6 Working Conference on Optimization-Based Computer Aided Modelling and Design. - Prague, 1995. - P. 448-452.

7. Hansen P. An algorithm for a constrained Weber problem / P. Hansen, D. Peeters, J.-F. Thisse // Management science, Vol. 28, No. 11, November 1982.

8. James G. Convergence of the Weiszfeld algorithm for Weber problem using a generalized "Distance" function / G. James, H. Morris // Operations Research, Vol. 29, No.1 , February 1981.

9. Ostresh L.M. On the convergence of a class of iterative methods for solving the Weber location problem // Operations Research, Vol. 26 (1978) 597-609.

№1, 2012