Исследование двухмерной САУ частотой вращения ротора вентилятора и степенью повышения давления в вентилляторе двухроторного ГТД при произвольных входных воздействиях Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

КЕРУВАННЯ У ТЕХШЧНИХ СИСТЕМАХ

УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

CONTROL IN TECHNICAL SYSTEMS

УДК 62-55:681.515

В. И. Гостев, С. Н. Скуртов, А. Н. Чаузов, С. С. Баранов

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХМЕРНОЙ САУ ЧАСТОТОЙ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА ВЕНТИЛЯТОРА И СТЕПЕНЬЮ ПОВЫШЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ВЕНТИЛЛЯТОРЕ ДВУХРОТОРНОГО ГТД ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ

ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Изложены результаты исследования методом математического моделирования двухмерной системы автоматического управления частотой вращения ротора вентилятора и степенью повышения давления в вентиляторе двухроторного газотурбинного двигателя с цифровыми оптимальными по быстродействию регуляторами при произвольных входных воздействиях.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] представлены структурные схемы двухроторного ГТД как двухмерного объекта управления, проведен синтез цифровых оптимальных по быстродействию регуляторов для такого объекта и исследованы процессы в двухмерной системе автоматического управления, когда выходными, регулируемыми переменными двигателя приняты либо частоты вращения роторов вентилятора и компрессора, либо одна из частот вращения и температура газа, а управляющими воздействиями являются расход топлива в основной камере сгорания и величина проходного сечения выходного сопла.

© Гостев В. И., Скуртов С. Н., Чаузов А. Н., Баранов С. С., 2006

Ниже на основе математического аппарата, изложенного в работе [1], проведен синтез цифровых оптимальных по быстродействию регуляторов для двухро-торного ГТД как двухмерного объекта управления и исследованы процессы в двухмерной системе автоматического управления, когда выходными, регулируемыми переменными двигателя приняты частота вращения ротора вентилятора и степень повышения давления в вентиляторе двигателя. Исследование проведено методом математического моделирования с использованием интерактивной системы МАТЬАВ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Для упрощения математических расчетов примем, что на определенном базовом установившемся режиме работы ГТД его параметры остаются постоянными. Кроме того, не будем учитывать процесс запаздывания выделения тепла в основной и в форсажной камерах сгорания. Тогда неполная система линейных уравнений

модели двигателя с учетом только инерции вращающихся масс роторов примет вид

«в = квв«в + квк пк + квоОт + ¿вр^кр; « к = кКв«в + ¿кк «к + кко От + ккрркр ; (1) П В = кп« + кпК «к + ¿по От + ¿лр^кр>

где «к = Л«к/«ко - относительное отклонение частоты вращения ротора компрессора; «в = А«в/«во - относительное отклонение частоты вращения ротора вентилятора; пв = Ал^/^во - относительное отклонение степени повышения давления в вентиляторе двигателя; От = АОт/Ото - относительное отклонение расхода топлива в основной камере сгорания; ^кр = = А^кр^^кро - относительное отклонение величины проходного сечения выходного сопла; «ко, «во> ^то> ^кро - значения соответствующих параметров на базовом установившемся режиме работы двигателя; к -коэффициенты влияния, которые физически выражают изменение регулируемой величины в долях величины приложенного возмущения на установившемся режиме работы ГТД. На разных режимах работы и при раз-личных внешних условиях коэффициенты влияния двигателя существенно изменяются, поэтому для каждого базового режима необходимо определять свои значения этих коэффициентов.

В уравнениях (1) регулируемыми являются три параметра газотурбинного двигателя (три выходных переменных): частота вращения ротора вентилятора «в, частота вращения ротора компрессора «к и степень повышения давления в вентиляторе двигателя ^в, а управляющими параметрами (управляющими воздействи-

ями) являются два: расход топлива в основной камере сгорания и От величина проходного сечения выходного сопла ^кр. Примем, что исполнительные устройства содержат по апериодическому звену спередаточной функцией О1( 5) = &1 /(5 + Ь1) и введем обозначения

а1 = Ь1; Ь2 = -кВВ; Ь3 = -кКК; а2 = кво; а3 = кко; а4 = кпО; а5 = кпВ; а6 = кпК;

а7 кКВ; а8 кВК; а9 кВР; а1о кКр.

(2)

Составленная с учетом уравнений (1) и принятых обозначений (2) структурная схема ГТД как двухмерного объекта управления, представлена на рис. 1.

Используя математический аппарат, изложенный в работе [1], с. 371-376, 385-39о, запишем уравнения ГТД в преобразованиях по Лапласу в матричной форме

(3)

где

«В( 5) О11(5) О21 (5 ) От( 5)

пв( 5) О12 ( 5 ) О22 ( 5 ) ^КР( 5)

О11 (5) = а2 2

5 + Ьз + а

5 + Г11 ^ , , _ 5 + г 21

О21( 5) = а9^-;

5 + Ь$ + а

22 5 + Ц^ + Г1 5 + 5 + Г 2

О12(5) = а4 —-; О22( 5) = аи —2-;

5 + Ь$ + а 5 + Ь$ + а

О11(5) О21(5)

О12 (5 ) О22 (5 )

ОГТД ( 5 ) =

(4)

- передаточная матрица газотурбинного двигателя как двухмерного объекта управления. Входящие в переда-

Рисунок 1

точные функции коэффициенты определяются следующими выражениями:

При этих условиях матрица О0Е становится диагональной, а именно,

Ь = Ь2 + Ь3; а = Ьз + «7Г11 = ^э +

3 8

«3«10

и . з 1о , . 2 7 , .

Г21 = Ь3 + -О— ; г12 = Ь2 + — ; г22 = Ь2 + „

а9 а3 а10

7^9

41 = Ь"

а2а5 , а3а6

аа

; 42 = Ь

а5а9 а6а10

Г1 = а +

г2 = а +

а4 а

а 2 а 5 + а3 а6

+ г11 - а4 11 а4 1

а 5 а 9 а6 а1о

■ а г21 + --г.

22

Передаточная матрица газотурбинного двигателя с апериодическими звеньями

Со (5) =

С1( 5) С11( 5 ) С1 ( 5 )С21 ( 5 )" С1( 5) С12( 5 ) С1 ( 5 )С22 ( 5 )

(5)

ОоЯ =

С

С11 -

С12 С21

С

0 С1

С22-

22 -I

С 12 С21 С

(8)

и таким образом, собственные движения разомкнутых контуров не влияют друг на друга, система развязана по сигналам задающих переменных и возможно отдельное управление частотой вращения ротора вентилятора и степенью повышения давления в вентиляторе.

Передаточные функции перекрестных связей определяются так:

*12( 5) =

*21( 5) =

а4 5 + 415 + Г1 а11 52 + 42 5 + Г2

-а95 + г 2 1 а2 5 + Г11

(9)

Для развязки контуров (для отдельного управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу Ст ^ «в и степенью повышения давления в вентиляторе по каналу .РКр ^Пв) введем перекрестные связи, определив матрицу перекрестных связей в виде

К ( 5 ) =

"1 К12 (5)"

К12(5) 1.

(6)

Структурная схема общего объекта управления с перекрестными связями приведена на рис. 2.

Для отдельного управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу Ст ^ «в и степенью повышения давления в вентиляторе по каналу .РКр ^ Пв нужно выполнить условия:

к = -_1±; К = 21

К12 с ; К21

22

С

(7)

11

Передаточные функции в главной диагонали матрицы СоК определяются следующим образом: - по каналу Ст ^ «в

С

С

22

С1 2 С 21 С

а1 9о

32

5 + 915 + 925 + 93

С

С

а11 (5 + Ь1)(5 + Ь5 + а)( 5 + 92 5 + г2) по каналу .РКр ^ Пв

а1 90

(10)

С12С21

22

С

11

32

5 + 915 + 925 + 9 3

а2 (5 + Ь1)(5 + Ьэ + а)(5 +Г11 )

(11)

где

90

=аа

2 11

аа

4""9>

91 = [а2ац(42 + Г11) - а4а9(41 + Г21 )]/9о;

92 = [а2а11 (г2 + 42г11 ) - а4а9(Г1 + 41Г21 )]9о;

93 = (а2а11 г2Г11 - а4а9г1г21)^9о.

Таким образом, цифровой регулятор Р1 в первом контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу Ст ^ «в) нужно рассчитывать на объект с передаточной функцией (1о), а цифровой регулятор Р2 во втором контуре (контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе по

о

2

11

11

каналу Fкp ^ лв) нужно рассчитывать на объект с передаточной функцией (11).

Если в первый контур (контур управления частотой вращения ротора вентилятора) и во второй контур (контур управления степенью повышения давления в вентиляторе) общего двухмерного объекта управления ввести корректирующее устройство с передаточной функцией

GK(s) =

s2 + bs + a

3 2 '

s + 91s + 92s + 93

(12)

то передаточные функции в главной диагонали матрицы О о Я значительно упрощаются и принимают вид: - по каналу От ^ «в

GKG1

G

G12 G20

11

G

22

a1 g0

1

a11 (s + b 1)(s + q2s + r2)

(13)

по каналу Fkp ^ лв

GKG1

G

G12G21"1

22

G

11

a1 90

a2 (s + b1)(s + r11)

(14)

В этом случае цифровой регулятор Р1 нужно рассчитывать на объект с передаточной функцией (13), а цифровой регулятор Р2 - на объект с передаточной функцией (14).

Структурная схема двухмерной системы управления показана на рис. 3.

Полученные в результате идентификации коэффициенты для форсажного режима работы ГТД типа АИ-222 в схеме на рис. 1 имеют следующие числовые значения:

а1 = Ь1 = Ю; Ь2 = -¿ВВ = 4, 26; Ц = -¿КК = 2, 49; а2 = ¿во = 1, °1; а3 = ¿ко = о, 52; а4 = К о =о11; а5 = кпв = 1о8; аб = кпк = о, о8; а7 = ¿КВ = -о, 22; а8 = ¿вк = 2,32; а9 = ¿вр = 1, 23; аю = ¿Кр = о, 25; а^ = кпр = -о, 61.

При произвольном входном воздействии и (£), которое изменяется с максимальной скоростью ютах и максимальным ускорением етах, удобно рассматривать эквивалентное гармоническое воздействие

параметры которого определяются из соотношений [2] 2

U3 = ®max/smax; ®э = 8шах/ютах' (16)

В свою очередь, если заданы параметры эквивалентного гармонического воздействия, то максимальная скорость юшах и максимальное ускорение вшах произвольного входного воздействия находятся из соотноше-

2

ний ®шах = иэ ®э; smax = Uэ ®э'

При развязанных контурах управления (когда осуществляется отдельное управление частотой вращения ротора вентилятора и степенью повышения давления в вентиляторе) можно отдельно исследовать процессы в каждом контуре. Структурные схемы контуров управления представлены на рис. 4 и 5.

Рисунок 3

Рисунок 4

u (t) = U^inюэ(t),

(15)

Рисунок 5

В первом контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу Ст ^ «в) для объекта управления используется оптимальный по быстродействию цифровой регулятор, структурная схема которого приведена на рис. 6.

Во втором контуре (контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу .РКр ^ Пв) для объекта управления используется оптимальный по быстродействию цифровой регулятор, структурная схема которого приведена на рис. 7.

Рисунок 6

Синтез цифровых оптимальных по быстродействию регуляторов подробно описан в работе [1]. В схемах (см. рис. 4 и 5) регуляторы работают с шагом квантования к = о, 5 с

Структурная схема корректирующего устройства с передаточной функцией ^¿(5), которое используется как в первом, так и во втором контурах управления, приведена на рис. 8.

На рис. 9 представлены процессы в первом контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу От ^ «в) и во втором контуре (контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу .Ркр ^ лв ) при подаче на вход каждого контура эквивалентного гармонического воздействия

иэ (£) = 1 8ш (п£ / 45),

где иэ = 1; юэ = п/45 и о, о7рад/с.

(17)

Максимальная текущая ошибка в контуре управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу От ^ «в (за исключением начального выброса в первый период захвата входного воздействия) не превышает 1,2 % от амплитуды эквивалентного гармонического воздействия. Максимальная текущая ошибка в контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу Fкp ^ ^в (за исключением начального выброса в первый период захвата входного воздействия) не превышает 2,4 % от амплитуды эквивалентного гармонического воздействия. С уменьшением частоты эквивалентного гармонического воздействия текущие ошибки уменьшаются.

Можно управлять частотой вращения ротора вентилятора по каналу Fкp ^ «в, а степенью повышения давления в вентиляторе по каналу От ^ ^в .

Для развязки контуров (для отдельного управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу ^кр ^ «В и степенью повышения давления в вентиляторе по каналу От ^^в) введем перекрестные связи, определив матрицу перекрестных связей в виде

Рисунок 8

-и контур

2-й контур

в)

в)

Я ( 5 ) =

'Яц( 5 ) 1 .1 Я12 (5)

(18)

Для отдельного управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу Fкp ^ «в и степенью повышения давления в вентиляторе по каналу От ^ ^в нужно выполнить условия

Оц О22

Я = __И ; Я = __£±

Я12 О ; Я21 О .

О21 О12

(19)

При этих условиях матрица ОоЯ становится диагональной, а именно,

ОоЯ =

О

О21 _

О11О22

О

о О1

О

12 -I

°11°22'

12

О

21 -I

(2о)

и, таким образом, собственные движения разомкнутых контуров не влияют друг на друга, система развязана по сигналам задающих переменных и возможно отдельное управление частотой вращения ротора вентилятора и степенью повышения давления в вентиляторе.

Передаточные функции перекрестных связей определяются так:

2

а-, 5 + г^ а-и 5 + Ц^ + г-, я12(5) = -^-гт1; Я21 (5) = --^--г-^2-2. (21)

а9 5 + г21

а2 4 5 + Ц15 + Г1

о

Передаточные функции в главной диагонали матрицы О0К определяются: - по каналу .РКр ^ Пв

О

О

°11°22"1

21

а19о

3 2 ,

5 + 915 + 925 + 93

О12 J а4 (5 + Ь1)(52 + Ь5 + а)( + + Г1)

(22)

по каналу От ^ Пв

О

О

О11О22"1

12

О

21

а1д0

32

5 + 915 + 925 + 9з

а9 (5 + Ь1)(52 + Ьз + а)(52 + г21)(2 3)

где

9о а4а9 — а2ац ;

91 = [а4а9( Я1 + г21) — а2а11 (Я2 + Г11)]/9о;

92 = [а4а9(Г1 + Я1Г21 ) — а2а11 (г2 + Я2Г11)] /9о; 93 = [а4 а9Г1 Г21 — а2 а11г2г11]/90-

Таким образом, цифровой регулятор Р1 в первом контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу .РКр ^ «в) нужно рассчитывать для объекта с передаточной функцией (22), а цифровой регулятор Р2 во втором контуре (контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу От ^ Пв) нужно рассчитывать для объекта с передаточной функцией (23).

Если в первый контур (контур управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу .РКр ^ «в) и во второй контур (контур управления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу От ^Пв) общего двухмерного объекта управления ввести корректирующее устройство с передаточной функцией (12), то передаточные функции в главной диагонали матрицы О0К значительно упрощаются и принимают следующий вид:

- по каналу .РКр ^ «в

ОК°1

О

°11°22"1

21

О

12

1 90

1

(5 + Ь1 )(5 + Я15 + Г1)

, (24)

по каналу От ^ Пв ОкО1 О

О11О22'

12

О

21 -I

а1 90

а9 (5 + Ь1)(5 + г21)

-. (25)

В этом случае цифровой регулятор Р1 нужно рассчитывать для объекта с передаточной функцией (24), а цифровой регулятор Р2 нужно рассчитывать для объекта с передаточной функцией (25). Структурная

схема двухмерной системы управления приведена на рис. 10.

При развязанных контурах управления (когда осуществляется отдельное управление частотой вращения ротора вентилятора и степенью повышения давления в вентиляторе) можно отдельно исследовать процессы в каждом контуре. Структурные схемы контуров управления представлены на рис. 11 и 12 (сравните с рис. 4 и 5).

В первом контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентилятора) для объекта управления используется оптимальный по быстродействию цифровой регулятор, структурная схема которого приведена на рис. 6. Во втором контуре (контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе) для объекта управления используется оптимальный по быстро-

0):с.г) ■С>(х)

■ Я, Л!) —

От

Рисунок 10

Рисунок 1 1

-й контур

2-й контур

a)

a)

в)

в)

Рисунок 13

действию цифровой регулятор, структурная схема которого приведена на рис. 7. Цифровые регуляторы работают с шагом квантования к = о, 5с.

На рис. 13 представлены процессы в первом контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентилятора) и во втором контуре (контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе) при подаче на вход каждого контура эквивалентного гармонического воздействия (17).

Максимальная текущая ошибка в контуре управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу

Fкp ^ «В (за исключением начального выброса в первый период захвата входного воздействия) не превышает 1,1 % от амплитуды эквивалентного гармонического воздействия. Максимальная текущая ошибка в контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу От ^ ^в (за исключением начального выброса в первый период захвата входного воздействия) не превышает о,65 % от амплитуды эквивалентного гармонического воздействия.

ВЫВОДЫ

По результатам моделирования можно заключить, что перекрестные связи обеспечивают автономность каналов регулирования, а оптимальные по быстродействию цифровые регуляторы обеспечивают достаточно высокое качество автономных контуров управления, характеризуемое малыми максимальными значениями текущих ошибок рассогласования.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Гостев В. И. Синтез нечетких регуляторов систем автоматического управления. - К.: Издательство «Радюа-матор», 2005. - 708 с.

2. Бесекерский В. А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1970. - 576 с.

Надшшла 23.12.05

Викладеш результати дослгдження методом матема-тичного моделювання двомгрно'г системи автоматичного управлтня частотою обертання ротора вентилятора i ступенем тдвищення тиску у вентиляторi двороторного газотурбiнного двигуна з цифровими оптимальними за швидкодieю регуляторами при довiльниx вxiдниx дiянняx.

The outcomes of research by a method of mathematical simulation of the two-dimensional system of automatic control of a rotation al speed a ventilator and degree of rise of pressure in the ventilator of double-rotor gas-turbine engine with digital optimum on speed controllers are explained at arbitrary entry effects.

УДК 62-505

В. Ф. Кудин, А. В. Торопов

СУБОПТИМАЛЬНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОНТУРОМ СТАБИЛИЗАЦИИ УСИЛИЯ РЕЗАНИЯ В МЕТАЛЛООБРАБОТКЕ, ИНВАРИАНТНОЕ В ОТНОШЕНИИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Рассмотрена задача синтеза субоптимального регулятора контура стабилизации усилия резания металлорежущего станка. Спроектирован нелинейный субоптимальный регулятор на основе метода Беллмана-Ляпунова с использованием концепции метода «погружения», инвариантный в отношении внешних возмущений.

© Кудин В. Ф., Торопов А. В., 2006

ВВЕДЕНИЕ

Для повышения производительности технологических процессов металлообработки на токарных станках применяются системы стабилизации силовых парамет-