CC BY
11
УДК 539.3: 533.6: 517.9
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. В. ПОКЛАДОВА ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТРУБОПРОВОДА
С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИИ
Исследуются колебания трубопровода - полого стержня., внутри которого протекает э/сид~ кость или газ.
Колебания трубопровода с учётом запаздывания по времени внешних воздействий описываются уравнением
ОД = ч(х> 0 + \х9 0+0 4- /) +
+ / - г,)+/?и(х, / - г2) = О, х е (ОД) где м'(х^) - прогиб (деформация, отклонение от прямолинейного положения равновесия) трубопровода, !- время; х - продольная координата; г1, г2 -запаздывания по времени силы внешнего трения и реакции основания соответственно; с, У, Ти т^ - константы; £ =-——
' (т + М)1/ Ь
<9 =-/77. М - погонные массы трубопровода и протекающих в нём жидкости или газа; Ъ -
т + М
длина трубопровода, /) - изгибная жёсткость; ¿У- скорость потока жидкости или газа; точка и штрих обозначают производную по безразмерным переменным / и х соответственно. Будем искать решение уравнения (1) в следующем виде:
п
»'0,О = X (?)¥к О), k-1
где (jc)}" - полная.на [0, l] система функций, удовлетворяющих граничным условиям.
Функции wk(t), согласно методу Галеркина, определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений
i
J L [w(х, t)]pk (x')dx - 0, к = 1 ч- п .
о
где {^(х)}" - полная на [ОД] система функций.
В частности, в случае шарнирного закрепления концов трубопровода (w(0, t) = w(l, t) = 0,
w'(0,t) = w"(l, t) = 0), выберем y/k (x) = (pk (x) = sin кях . Запишем невязку уравнения (1)
n
¿(w) = У s i фкЩ (t)+q{k7if wk (t) -k= 1
- Oíkni wk (t)+ywk (í - Zj) + M (í - r2 ))+
+ 26* У кя ■ wk (t) cos(focc) = 0. k=1
Составим систему уравнений
i
j ¿(w) sin knxdx = 0, к — 1 -r n.
o
Для w¿(?) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (от = 1 -ь п)
© II. А. Вельмнсов, Ю. В. Покладова, 2004 26
< (0 + г)4 - в{тя)2 )и'„, (0 +
П
+ 4 +
к=1
где i//H,; = —~ т -, если (/?? + - нечётное, = 0 , если (/« + к) - чётное.
т—к"
Решение данной системы будем искать в виде wk(t) = ake<ot, тогда для ак получим систему линейных алгебраических уравнений. Приравнивая определитель этой системы к нулю, получим уравнение для &>.
Рассмотрим случаи одного и двух приближений.
]. Решение уравнения (1) будем искать в виде vv(x,0 = W] (/)sinтех . Подставим в уравнение (1) и запишем невязку
L О) = (w, (г) + (дя4 -вя2 )W] (Г) + yw, (t - г,) +
+ pxvj (t - т2 ))sin ях + 26m\\ (/) cos лх - 0.
Применяя метод Галеркина для w, (/), получим уравнение
И'] (0 + (бг 4 - вя 2 jv^ (0 + yw] (f - Г, ) + (t - т2 ) = 0.
Пусть vi'! (г) = агсо1, тогда для со получим уравнение
¿у2 + усое~<ОТ[ + ¡Зе+ ^ -вя1 = 0. Было найдено численное решение задачи с помощью математической системы Mathcad 2000. Для следующие значений параметров п = 1, £ = 0.2, 0 = 0.01, (5 = 0.1, у = 0.8, т1 = 0.001,
г2 =0.005, "H'j(O) = 0.01, м\ (0) = 0.7 найдены значения щ =-0.40007-4.39757/,
0)2=-0.40007+ 4.3 9757г.
Построен график функции w(x,t) = (a]e0}]' + а2еШг'jsin ях в точке л: = 0.3 (рис. 1). Коэффициенты щ,а2 находятся из начальных условий.
2. Решение уравнения (1) будем искать в виде vv(x,r) = Wj (i)sin та + w2 (i)sin 2ях. Подставим в уравнение (1) и запишем невязку
L* О) = (iv} (t) -f (бг4 - вя2 (?) 4- щ (t-Tj) +
+ J%\ (t - r2 ))sinm- 4- (vi'2 (t) + (l 6дяА - 4вя2 ]w2 (t) +
+ Щ2 (/ — T]) + J3w2 (t - т2 ))sin2;zr + + 2 вщ (t) cos ях + 4вш2 (/) coslnx=0.
Применяя метод Галеркина для (/), w2 (/), получим систему дифференциальных уравнений
н-! (О + (¿я 4 - вя 2 \V] (/) - у 0w2 (0 +
w2(0 + (l6#ir4 -40Я-2 )и>2(0 + —0Wi(O +
+ /И', (Г - Г, ) + (i - 12 ) = 0.
Решение данной системы будем искать в виде \\>} (t) -ахесо', w2(t) = a2e0)t, тогда для а],а2 получим систему линейных уравнений. Приравнивая определитель системы нулю, получим уравнение для со
Рис. 1.
Рис. 2.
*>4 +2гсоЪе~т' + б)2 (п^тг 4 + 2/Зе~аТг --5вк2+у2е-2т> +25%в2)+
-20<^/г6 +\6$тг* + 46>2лг4 + /32е~2а>т' ~ -5/Звл2е'ш> + = 0
Для следующих значений параметров п = 2, £ = 0.2, в = 0.01, /? = 0.1, у - 0.8, ^ = 0.001, г2 = 0.005, "и-| (0) = 0.01, и/2(0) = 0.01, ^ (0) = 0.7, ^2(0) = 0.7 с помощью системы МаШсад 2000 найдены значения сох = -0.40006 - 4.39755/,
а)2 =-0.40006 +4.39755/, я>3 =-0.40001 -17.64954/, <э4 =-0.40001+17.64954'.
Построен график функции
+ а}*5 «Л' )зт та + + а*2^ +
в точке х - 0.3 (рис. 2).
Коэффициенты выражаются через а\1\ Коэффициенты а\1\ а^ находятся из начальных условий. *
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Vel'misov, P.A., Garfneska L.V., Milusheva S.D. investigation of the stability of the solution of the equation of oscillations of an axis or a plate with a delay in time of the reaction and friction forces. Applications of Mathematics in Engineering. 1999, p.83-88. Heron Press, Sofia, Bulgaria.
2. VePmisov, P.A., Garfneska L.V., Milusheva S.D. investigation of the asymptotic stability of a pipeline in the presence of delay in time.
J"Rev.Mat.Estat", v. 19, p.159-178, 2001. Sao Paulo. Brasil.
3. Вельмисов, П. А., Ходзицкая 10. В. О ди-намике трубопровода с учётом запаздывания внешних воздействий // Математические методы
и модели в прикладных задачах науки и техники. Труды международной конференции КЛИН -2003. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - Т 5. - С.35-39.
Вельмисов Петр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заве-дущий кафедрой «Высшая математика» У я-ГТУ Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэрогидроупругости, математическому моделированию.
Покладова Юлия Валерьевна, аспирант кафедры «Высшая математика» У л! ТУ. Имеет статьи по аэрогидромеханикеаэрогидр оупру-гости, математическому моделированию.
#
