Исследование динамики пузырька в закрученном потоке нелинейно-вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.928.37

МАТВИЕНКО ОЛЕГ ВИКТОРОВИЧ, докт. физ.-мат. наук, профессор, matvolegv@mail. ru,

Томский государственный университет,

634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

БАЗУЕВ ВИКТОР ПАВЛОВИЧ, ст. научный сотрудник,

Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2,

АГАФОНЦЕВА МАРГАРИТА ВЛАДИМИРОВНА, аспирант,

m. agafontseva@gmail com

Томский государственный университет,

634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПУЗЫРЬКА В ЗАКРУЧЕННОМ ПОТОКЕ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Построена модель движения пузырька в закрученном потоке неньютоновской жидкости. Изучено влияние физических характеристик жидкости и скорости ее движения на динамику пузырька, что дает возможность оптимизировать процесс вспенивания битума, улучшая его свойства.

Ключевые слова: динамика пузырька; неньютоновская жидкость; модель Оствальда - де-Вейля; вспенивание битумов.

MATVIENKO, OLEG VICTOROVICH, Dr. of phys.-math. sc., prof., matvolegv@mail. ru Tomsk State University,

36 Lenin Avenue, Tomsk, 634050, Russia BAZUEV, VICTOR PAVLOVICH, senior researcher,

Tomsk State University of Architecture and Building,

2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia AGAFONTSEVA, MARGARITA VLADIMIROVNA, P.G., m. agafontseva@gmail. com,

Tomsk State University,

36 Lenin Avenue, Tomsk, 634050, Russia

INVESTIGATION OF THE BUBBLE MOTION IN SWIRLING FLOW OF THE NON-LINEAR VISCOUS LIQUID

A model of the bubble motion in the swirling flow of non-Newtonian fluids is constructed. The influence of the physical characteristics and velocity of the fluid on the bubble dynamics is investigated. It allows to optimize the process of foaming in bitumen that can improve its characteristics.

Keywords: bubble dynamic; no Newtonian liquid; Ostwald - de-Waele power law; bitumen foaming.

© О.В. Матвиенко, В.П. Базуев, М.В. Агафонцева, 2012

Введение

Долговечность и надежность асфальтобетонных покрытий напрямую связаны с качеством битумного вяжущего. Многообразие погодно-климатических условий строительства и эксплуатации автомобильных дорог в России накладывает определенные требования к битумным вяжущим или битумным дисперсным системам, применяемым в определенном районе или на объекте строительства.

Для повышения качественных показателей дорожных битумов применяют различные добавки [1]: адгезионные присадки, пластификаторы, полимерные добавки для получения новых битумных вяжущих, отвечающих требованиям дорожной отрасли. Это приводит к усложнению технологического процесса подготовки битумного вяжущего, установке дополнительного оборудования и дополнительным затратам.

Одним из способов решения этой проблемы является использование в качестве вяжущего вспененного битума, который образуется при введении в разогретый до температуры 130-150 °С вязкий битум воды в количестве 1,5—2,5 % и ее диспергировании в нем. Вспенивание битума облегчает смачивание минеральной поверхности и может улучшить ее адгезию. Образование битумной пены происходит за счет специфических свойств соединений, находящихся в битуме.

Технология вспенивания битума известна с середины 50-х гг. ХХ столетия. Тогда для вспенивания применяли подававшийся под высоким давлением пар, что требовало использования массивного бойлера. В конце 60-х гг. начали вспенивать горячий битум холодной водой, но это приводило к засорению сопел, а режимом образования пены было трудно управлять. В середине 90-х эти трудности были преодолены, что сделало реальным применение вспененного битума в качестве вяжущего.

Для оптимизации существующих технологий получения вспененного битума необходимо разработать физическую модель формирования битумной пены, которая включает в себя динамику одиночных пузырьков в потоке неньютоновской жидкости, а также провести многопараметрическое математическое моделирование.

Исследованием динамики пузырьков в различных жидкостях занимаются многие коллективы ученых по всему миру. В работе [2] авторами был исследован процесс всплытия пузырька в различных ньютоновских средах и построен профиль скорости одиночного пузырька диаметром 1,45 мм. Для моделирования течения газожидкостного потока в работе [3] был реализован подход Лагранжа с введением модели разрушения пузырька. Исследование влияния поверхностного натяжения на поведение пузырька воздуха в ньютоновской жидкости с использованием различных моделей поверхностного натяжения [4] показало, что пузырьки малого диаметра (порядка 1 мм) сохраняют форму, близкую к сферической. Экспериментальное исследование движения одиночного пузырька в потоке сильновязкой ньютоновской жидкости, выполненное в работе [5], позволило предложить эмпирические зависимости для коэффициента сопротивления, коэффициента силы присоединенных масс

и силы Бассе. В работе [6] проведены экспериментальное исследование и математическое моделирование поведения пузырьков в ньютоновской жидкости. В результате проведенных исследований установлено, что с увеличением объемной доли пузырьков реологические свойства среды изменяются, в частности, наблюдается увеличение значений эффективной вязкости. Изучению взаимодействия двух всплывающих пузырьков в покоящейся жидкости, обладающей неньютоновскими свойствами, посвящена работа [7], где показано, что процесс слияния пузырьков в неньютоновских и ньютоновских средах обладает рядом существенных отличий.

В настоящей работе было проведено исследование движения одиночного пузырька в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами различного радиуса. Считалось, что внешний цилиндр является непроницаемым, а внутренний представляет собой полупроницаемую мембрану. Зазор между цилиндрами заполнен неньютоновской жидкостью. Пузырек в процессе движения в установке может либо всплывать на поверхность, либо, достигнув поверхности внутреннего цилиндра, выводиться из установки.

Для описания реологического поведения сред, обладающих нелинейновязкими свойствами, использовалась модель степенной жидкости Оствальда -де Вейля [8], которая имеет вид:

где - компоненты тензора напряжений; Р - давление, а в^ - компоненты

тензора скоростей деформации. Постоянная к - показатель консистенции жидкости [9]; чем меньше ее текучесть, тем больше к . Параметр п характеризует степень неньютоновского поведения вещества.

Параметры к и п принимались постоянными для данной жидкости. В работе рассматривались псевдопластические и дилатантные жидкости, значение п для которых менялось в диапазоне от 0,25 до 1,5.

Проявление псевдопластичности состоит в уменьшении эффективной вязкости с ростом напряжения (скорости) сдвига. Среда в этом случае как бы «разжижается» и становится более подвижной. У дилатантных жидкостей величина эффективной вязкости увеличивается с ростом напряжения сдвига.

Рассмотрим движение жидкости в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами разного размера. Оба цилиндра могут как вращаться с постоянными угловыми скоростями, так и покоиться. Поскольку рассматриваемое течение жидкости можно считать плоским и осесимметричным, то уравнения ее реодинамики в цилиндрических координатах примут вид [10]:

Физическая и математическая модели

(п-1)2 .

(1)

дг г

дР

— = ~Ргё . (3)

дг

Здесь г - радиальная координата; г - осевая координата; Ж - тангенциальная скорость жидкости; р 1 - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения.

Уравнения (1) - (3), описывающие движение несущей среды, позволяют определить связь между градиентом давления, сдвиговыми напряжениями и характеристиками движения потока.

В качестве граничных условий используются условия прилипания на стенках:

г = г : Ж = гю,.; г = ге: Ж = геш,. (4)

В уравнениях (4) г, ге - радиусы внутреннего и внешнего цилиндра соответственно, а ю,., ю, - угловые скорости их вращения.

Проинтегрировав уравнение (1) при вышеуказанных граничных условиях, получим радиальное распределение тангенциальной скорости жидкости:

Ж = г (су,1-*п — шег^п) , г 2-ъ3п (ш,-Ш,) (5)

(г 1~31п — г1-3п) (г'~3п — г 1-3п). ( )

Интегрирование уравнений (2) и (3) позволяет определить поле давления в жидкости:

Р = Рг (г) + Plg(^шт — г) + ^, (6)

где

Pr (r) = Р

(- ®ег1Ъ'п Y Г2 К -®i)(®ire'~*n - ®er!~*n) Г(3-3/и

r

V e

1-3п - r'-31 п ) 2 Pl (r (n - r!-3/n )2 (3 -3/n)

+pi

f \ 2 (4-12/ n+9/ n2

ю„ -m. I rv

v r^3” - r1-3ln ) (4 -12/n + 9/n2)

характеризует действия центробежных сил; P0 - давление на свободной поверхности; zmin - высота свободной поверхности на стенке внутреннего ци-

линдра. Форма свободной поверхности может быть найдена из уравнения (6)

Zmax = Z0 + -Т-Т ]P^rdr , (7)

рg re - r i pig

где z0 - высота свободной поверхности в покоящейся среде.

Перейдем теперь к описанию движения пузырька в потоке жидкости. При математическом моделировании размеры пузырька считались постоянными; дробление и слияние пузырьков не учитывалось.

Уравнение движения центра масс пузырька имеет форму второго закона Ньютона:

dv N

pvdv= lF, (8)

dt 1=1

где р - средняя плотность пузырька; V - его объем; V - вектор скорости пу-

N ^

зырька; ^ Fi - главный вектор внешних действующих сил.

,=1

Рассмотрим основные силы, действующие на пузырек диаметром И, согласно принятой модели. Сила тяжести определяется по формуле

е пИ3 _

Ро =—гPg . (9)

6

Наличие локального градиента давления приводит к появлению силы, направленной в сторону, противоположную градиенту давления [5]

Fp = -jPnds = -jgrad(P)dV «-—_grad(P). (10)

s V 6

Эта сила (10) имеет две составляющие, направленные вдоль осевой и радиальной координаты:

ndЗ ndЗ PiW2

F,,=- — Pg, F,r =-——

Сила сопротивления, действующая на пузырек в потоке жидкости, определяется как [б]

^ C

Fd =-cD nd 2Pi|V -Vi| (V-Vi), (11)

где CD - коэффициент сопротивления; Vt - скорость несущей среды.

В работе [11] исследовано несколько подходов определения коэффициента сопротивления CD . Сравнение существующих зависимостей с результатами экспериментов позволило рекомендовать следующую зависимость, которая дает возможность рассчитать движение пузырька при больших и малых числах Рейнольдса:

З

Cd =

іб.

Re

1-

— + - (1 + З,З^є-1/2 ) Re 2і '

где Яе = 2р1^п V — у|2 п /к .

В потоке с неравномерным распределением скорости \1 пузырек может совершать вращательное движение относительно своего центра масс. При этом в области, где скорость набегающего потока имеет более высокие значения, формируется область пониженного давления, что в свою очередь, приводит к образованию подъемной силы Саффмана [8]. Величина этой силы определяется по формуле:

пИ * С

Р3 =— ре~4^ пИ1 (V — V, )т (V! X (12)

В работе [1] было экспериментально найдено, что подъемный коэффициент зависит от числа Фруда в диапазоне 0,3 < ¥г < 2,6 . Эта зависимость параметризовалась как

-1

С 3 0,81 + 0,29 Г ,

С, =-—■= + ——, где Гг = •!

--- I , X X / —

4 л/Гг Гг dg

Это соотношение выполняется для чисел Рейнольдса в диапазоне от 10 до 2500 и радиусов пузырька от 0,4 до 6 мм [12].

При ускоренном движении пузырька силы аэродинамического сопротивления будут отличаться от сил, свойственных стационарному движению. В частности, возникает сила присоединенных масс [9]:

- С 3

Г =_^ пИ Зр,

vm ^ у 1

(13)

dt

где Ст - коэффициент присоединенных масс; D|Dt - полная производная по времени, включающая локальную и конвективную составляющие.

Таким образом, уравнение движения пузырька примет следующий вид:

PV (1 + Ст ) = Го + Рр + FD + Р3 + (1 + С^ )рlVDDtL . (14)

Пузырьки воздуха запускаются со дна установки на разных радиусах, после чего начинается их движение. Таким образом, начальные условия для пузырька имеют вид:

t = 0: г = 0, г = г0, ф = 0, V = 0, V = 0, V = 0.

? 05 т ? г 5 г 5ф

В зависимости от скоростей движения цилиндров пузырьки могут либо достигать свободной поверхности г = гтах, либо, касаясь внутреннего цилиндра г = г , выводиться из установки.

Результаты моделирования

Рассмотрим результаты исследования движения пузырька в зазоре между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами. При выполнении математического моделирования диаметр пузырька варьировался в диапазоне от 0,1 до 2 мм; радиусы внешнего и внутреннего цилиндров были соответственно равны 40 и 20 мм; угловые скорости их вращения менялись от -15 до 15 рад/с. Жидкость, заполняющая зазор между цилиндрами, имела следующие реологические характеристики: п = 0/25-1,5, к = 0,01-3 .

Анализ динамики пузырька начнем с исследования его движения в ньютоновской жидкости. На рис. 1 изображены траектории трех различных пузырьков, введенных в установку на различных расстояниях от оси симметрии. Расчеты выполнены для случая покоящегося внутреннего цилиндра ю, = 0. Движение жидкости происходит из-за вращения внешнего цилиндра.

С увеличением скорости вращения внешнего цилиндра число витков, как и следовало ожидать, увеличивается, пузырьки движутся по винтовой линии. Для относительно небольших скоростей вращения внешнего цилиндра движение пузырька осуществляется по конической поверхности (рис. 1, а), а с увеличением скорости вращения (рис. 1 б) - практически по цилиндрической по-

верхности. При больших угловых скоростях юе на начальном участке движения пузырек достаточно быстро движется к центральной части установки и потом совершает движение по поверхности, близкой к цилиндру (рис. 1, в).

Рис. 1. Траектории пузырьков:

а - ю,- = 0, юе = 5; б - ю,- = 0, юе = 15; в - траектория одного пузырька (ю,- = 0, юе = 15)

При вращении цилиндров в разные стороны (рис. 2) часть потока, расположенного вблизи внутреннего цилиндра, вращается по часовой стрелке, а внешняя часть потока - против часовой стрелки. Границей раздела этих поГ/ ( м ( м \ / “I я/(я-3)

токов является радиус г * = (юег-( -ю,.г; 3/” )/(юе -ю,) . Для движе-

ния пузырьков во внешней части потока характерна следующая особенность: при приближении таких пузырьков к области г = г их скорость вращения резко уменьшается, и они практически вертикально всплывают вверх, не достигая внутреннего цилиндра.

Далее исследуется динамика пузырька в нелинейно-вязкой жидкости при различных режимах вращения цилиндров и различных реологических свойствах жидкости.

Рис. 2. Траектории пузырьков (га, = -15, гае = 15)

Рассмотрим случай, когда внутренний цилиндр покоится, а внешний вращается. Тангенциальная скорость пузырька при его движении в различных средах показана на рис. 3. По мере уменьшения п среда становится менее вязкой, что вызывает меньшие затухания вращательного движения, т. е. тангенциальная скорость пузырька растет.

60 — И/, см/с

2 2.4 2.8 3.2 3.6

Рис. 3. Зависимость тангенциальной скорости от радиальной координаты пузырька для жидкостей с различным показателем степени нелинейности п (га, = 0, гае = 15)

На рис. 4 показано распределение радиальной составляющей скорости пузырька в зависимости от его радиальной координаты в потоке нелинейно-

вязкой жидкости. Из рисунка видно, что по мере приближения к центру установки радиальная скорость пузырька уменьшается. С увеличением псевдопла-стических свойств (уменьшением показателя нелинейности п) скорость движения пузырька в радиальном направлении увеличивается. В дилатантных средах с ростом п наблюдается уменьшение абсолютных значений радиальной скорости пузырька.

Рис. 4. Зависимость радиальной скорости от радиальной координаты пузырька для жидкостей с различным показателем степени нелинейности п (ю1 = 0, юе = 15)

Перейдем к случаю, когда внутренний цилиндр вращается, а внешний покоится, причем пузырек находится в окрестности покоящегося цилиндра. Радиальное распределение тангенциальной скорости пузырька представлено на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость тангенциальной скорости от радиальной координаты пузырька для жидкостей с различным показателем степени нелинейности п (ю1 = 15, юе = 0):

1 - п = 0,25; 2 - п = 0,5; 3 - п = 0,75; 4 - п = 1; 5 - п = 1,25; 6 - п = 1,5; 7-п = 1,75

м

Из рисунка видно, что в псевдопластических средах наблюдается резкое падение тангенциальной скорости по мере удаления от стенки вращающегося цилиндра, так что вращение происходит в достаточно узкой зоне, примыкающей к внутреннему цилиндру. В дилатантных средах с увеличнеием показателя нелинейности п зависимость Ж(г) приближается к линейной.

В этом случае абсолютное значение радиальной скорости увеличивается по мере приближения пузырька к центру установки (рис. 6). При малых п (п = 0,25, 0,5) тангенциальная скорость жидкости мала, за счет этого практически пропадает центробежный эффект.

Рис. 6. Зависимость радиальной скорости от радиальной координаты пузырька для жидкостей с различным показателем степени нелинейности п (ю1 = 15, юе = 0)

Последним рассмотрим случай, когда цилиндры вращаются в разные стороны. Характерной особенностью такого течения, как уже отмечалось ранее, является наличие в потоке области, тангенциальная скорость жидкости в которой равна нулю (рис. 7).

Этот случай можно свести к двум рассмотренным ранее, принимая равновесный радиус за одну из границ установки.

Графики для радиальной составляющей скорости пузырька, вводимого в установку в области, ограниченной равновесным радиусом и внешним вращающимся цилиндром, показаны на рис. 8. Видно, что они качественно похожи на результаты, приведенные на рис. 4.

Форма пузырька в потоке жидкости зависит от значения чисел Рейнольдса и Вебера Же = й р |уг |2/а. Распад пузырька происходит, когда соотношение инерционных сил и сил поверхностного натяжения превышает некоторое критическое значение. Условие распада пузырька обычно описывают с помощью критериальных зависимостей формы пузырька от числа Вебера. При этом предполагается, что когда величина числа Вебера превышает критическое значение, пузырек распадается.

Рис. 7. Зависимость тангенциальной скорости от радиальной координаты пузырька для жидкостей с различным показателем степени нелинейности п (© = -15, © = 15):

1 - п = 0,25; 2 - п = 0,5; 5 - п = 0,75; 4 - п = 1; 5 - п = 1,25; 6 - п = 1,5; 7 -п = 1,75

Рис. 8. Зависимость радиальной скорости от радиальной координаты для жидкостей с различным показателем степени нелинейности п (га,- = 15, © = -15)

В работе [10] было получено критическое значение числа Вебера из рассмотрения баланса силы внешнего напряжения сплошной фазы, которая пытается разрушить пузырь, и суммой сил поверхностного натяжения пузырька и вязких напряжений внутри него, которые восстанавливают его форму. В результате выражение для критического числа Вебера имеет вид [11]:

Же* = 12

/ 1 \-0,6221 Ч + 2 Е1’6075 ^ ’

3Е1

где Е =

1 + 0,163Еп

(Е0 < 40, М0 < 10-6).

1

0,757

На рис. 9 представлена зависимость отношения We/We* от радиальной координаты. Анализ рисунков позволяет сделать следующие выводы: для заданных свойств жидкости в предположении ньютоновской реологии дробление пузырьков диаметром 1 мм не происходит: We/We * < 1; наиболее устойчивым пузырек оказывается в областях, отдаленных от стенок вращающегося цилиндра (рис. 9, а, б). В псевдопластических средах с увеличением напряжений сдвига происходит уменьшение эффективной вязкости и, соответственно, увеличение подвижности пузырька. В результате этого отношение We/We* в псевдопластических средах становится большим, чем в ньютоновских, и в областях высоких сдвиговых напряжений может происходить дробление пузырька (рис. 9, в). В дилатантных средах, напротив, с ростом напряжения сдвига эффективная вязкость увеличивается, что приводит к уменьшению отношения We/We* и, соответственно, дробление пузырьков не происходит.

--„2 3 ~

ч

_5_

_6

7 ,

~I 1 I

0.024 0028

в

Рис. 9. Зависимость отношения числа Вебера к критическому числу Вебера от радиальной координаты:

а - ю. = 0, ю = 15; б - ю. = 15, ю = 0; в - ю. = -15, ю= 15; 1 - п = 0,25;

1 ^ е ^ 1 5 е 5 1 > е >

2 - п = 0,5; 3 - п = 0,75; 4 - п = 1; 5 - п = 1,25; 6 - п = 1,5; 7 - п = 1,75

10

0.0

0.00

Г. м

0.000

0.02

J.032

J.036

0.04

б

а

Таким образом, в ходе проведенных исследований установлены режимы всплытия и дробления пузырьков в закрученных потоках неньютоновских жидкостей. Показано, что с уменьшением параметра нелинейности среды (усилением псевдопластических свойств) центростремительное движение пузырьков становится более выраженным. Это приводит к осаждению пузырьков на стенку внутреннего цилиндра и уменьшает долю пузырьков, покидающих установку через свободную поверхность. В средах с более выраженными псевдопластическими свойствами дробление пузырьков одного и того же размера становится более вероятным, чем в ньютоновских и дилатантных средах.

Библиографический список

1. Веренько, В.А. Получение бетонов на органогидравлических вяжущих с применением вспененного битума / В.А. Веренько, А. А. Макаревич // Вестник Харьковского национального автомобильно-дорожного университета: сб. науч. тр. - 2008. - Вып. 40. -С. 93-95.

2. Rafiei, A.A. Gas holdup and single bubble velocity profile / A.A. Rafiei, M. Robbertze, J.A. Finch // International Journal of Mineral Processing. - 2011. - V. 98. - Р. 89-93.

3. Zivkovi, G. Modelling OF Bubble Break-up in Stirred Tanks / G. Zivkovi, S. Nemoda // Thermal Science. - 2004. - V. 8. - № 1. - Р. 29-49.

4. Nadooshan, A.A. Numerical Simulation of a Single Air Bubble Rising in Water with Various Models of Surface Tension Force / A.A. Nadooshan, E. Shirani // Engineering and Technology. - 2008. - V. 39. - Р. 72-76.

5. Zhang, L. Unsteady motion of a single bubble in highly viscous liquid and empirical correlation of drag coefficient / C. Yang, Z.-S. Mao // Chemical Engineering Science. - 2008. -V. 63. - Р. 2099-2106.

6. Lim, Y.M. Rheological behavior of dilute bubble suspensions in polyol / D. Seo, J.R. Youn // Korea-Australia Rheology Journal. - 2004. - V. 16. - № 1. - Р. 47-54.

7. Hydrodynamic interaction between a pair of bubbles ascending in shear-thinning inelastic flu-

ids / J.R. Velez-Corderoa, D. Samanoa, P. Yueb [etc.] // J. Non-Newtonian Fluid Mech. -2011. - V. 166. - Р. 118-132.

8. Химическая гидродинамика: справочное пособие / A.M. Кутепов, Л.Д. Полянин, З.Д. Запрянов [и др.]. - М. : Бюро Квантум, 1996.

9. Матвиенко, О.В. Математическое моделирование течения закрученного потока псевдо-пластической жидкости в цилиндрическом канале / О.В. Матвиенко, В.П. Базуев, Н.К. Южанова // Инженерно-физический журнал. - 2011. - Т. 84. - № 3. - С. 544-547.

10. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М. : Наука, 1974.

11. Lau, Y.M. Bubble Breakup in Euler-Lagrange Simulations of Bubbly Flow / Y.M. Lau,

N.G. Deen, J.A.M. Kuipers // 7th International Conference on Multiphase Flow. - 2010. -P. 1-7.

12. Clift, R. Bubbles, drops and particles / R. Clift, J.R. Grace, M.E. Weber. - NY : Academ Press, 1978. - 380 p.