CC BY
47
УДК 658.51
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ АГРЕГАТА РОТАЦИОННОГО ТИПА* Д.А. Кацай
Приводится математическая модель малогабаритного фрезерного агрегата с двухосным подвесом инструмента ротационного типа. Агрегат предназначен для выполнения поверхностной обработки асфальто-бетонных покрытий. Агрегат обеспечивает формирование поверхности с требуемым поперечным и продольным уклоном. Ротационный тип агрегата позволяет получить высокую производительность при малых усилиях взаимодействия режущих элементов с материалом. Математическая модель агрегата представлена в виде дифференциальных уравнений в форме Коши. Исследованы структурные свойства агрегата - как объекта управления. Произведен расчет коэффициентов регулятора по состоянию модальным методом.
Ключевые слова: ротационный фрезерный агрегат; поверхностная обработка; структурные свойства; модальный метод.
Введение
Разрабатываемый фрезерный агрегат предназначен для поверхностной обработки дорожных покрытий. В процессе его испытаний были выполнены измерения сил резания следующих материалов: асфальт и лед. Схема для однокомпонентного измерения тензометрическим датчиком (далее тензодатчик) консольного типа силы резания материалов агрегатом в ручном режиме работы представлена на рис. 1. В представленной схеме производится измерение вертикальной составляющей силы резания. Две другие составляющие силы резания: в поперечном и продольном направлении относительно перемещения агрегата измерялись при других расположениях тензодатчика, получаемых путем разворота на 90 градусов.
Рис. 1. Схема измерения вертикальной составляющей силы резания в ручном режиме работы агрегата
В ходе эксперимента оператор вручную плавно приводил в касание барабан фрезерного агрегата с обрабатываемым материалом. Практически сразу начинается разрушение материала. Выявлено, что при малом давлении барабана на обрабатываемую поверхность получаются частицы разрушенного материала малого размера. С увеличением давления на материал увеличивается вертикальная составляющая усилия Ыв и размеры частиц.
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, действующего на основании Положения, утвержденного постановлением Правительства РФ от 03.02.94 г. № 65 по государственному контракту № 7851р/11400от 16.04.2010 на выполнение научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ.
Результаты проведенных экспериментальных исследований процесса ротационного фрезерования в ручном режиме работы мобильного агрегата близки к результатам, полученным в лабораторных условиях на стационарном фрезерном станке [1]. Принципиальное отличие рассматриваемой схемы ротационного фрезерования в кинематической схеме и типе режущих элементов. На рис. 2 показан вариант агрегата с осью вращения водила (барабана), расположенной параллельно обрабатываемой поверхности. В статье [1] ось вращения водила расположена перпендикулярно обрабатываемой поверхности и на водиле установлены режущие элементы чашечного типа.
Рис. 2. Фото стенда для измерения вертикальной составляющей силы резания в ручном режиме работы агрегата
На основе фрезерного агрегата с ручным управлением разрабатывается механизированный агрегат с контуром управления положением фрезерного барабана относительно плоскости горизонта и подачи в направлении движения.
1. Постановка задачи
На рис. 3 показана кинематическая схема фрезерного агрегата, содержащего дополнительно введенную раму 1, образующую с платформой 2 карданов подвес для фрезерного барабана (ФБ) 3. Задача проводимого исследования состоит в анализе структурных свойств агрегата и синтезе обратной связи, обеспечивающей требуемые динамические свойства в процессе поверхностной обработки. Угловое положение ФБ контролируется датчиками углов ДУ2 и ДУ3, а поступательное перемещение с помощью датчика угла ДУ4 в предположении о качении опорного колеса агрегата без проскальзывания. На рис. 4 представлены системы координат, связанные с деталями агрегата, и реакции в опорах барабана (Кы, КЬг) и фрез (Кя, К&), контактирующих с материалом.
Рис. 3. Кинематическая схема агрегата
Математическая модель агрегата представлена в форме системы из дифференциальных уравнений второго порядка:
тпп -л=^(с)-Rщ(t, Ф. ф) ; (1)
Jрп -а = Мдвз(с)+ М(Р)-Ма(ф,^с); (2)
^пп 'Р = Мдв2 (с)-Мр(ф. ЯС) , (3)
где тпп - суммарная масса платформы и всех установленных на ней деталей и узлов, включая массу опорного узла агрегата; л - координата поступательного перемещения платформы; F1( С) - движущая сила, прикладываемая к платформе через двигатель Дв4; ^пл(с, Ф, ф) - реакция связей агрегата с обрабатываемой поверхностью, передаваемая через узлы агрегата, выражения для которой можно представить в виде стохастической функции; М (Р) - момент от силы тяжести платформы с ФБ относительно оси вращения рамы; Ма (ф, Я, С) и Мр(ф, К,с) - моменты от взаимодействия режущих элементов фрез с обрабатываемым материалом, выражения для которых можно представить в виде стохастической функции [2]
R(с,л) = (R0(л) + ^(с)-а(ДЯ(л)))'Rw(^) , где R0(л) - реакция связи режущего элемента фрезы с
обрабатываемым материалом, которая при малой подаче фрезы может быть представлена линейной функцией R0(л) = Ь -л + с , Ь , с - коэффициенты, зависящие от свойств обрабатываемого материала; Rw (с) = {1, для С < С1 и 0 для С1 < С < Т} - периодическая функция, модулирующая случайный процесс ^(с), обусловленная вращением ФБ, несущего на себе п фрез-сателлитов; С1 = у - п/ф, у - угловой размер фрезы-сателлита, Т = 2я/ф - период одного оборота барабана, £(С) -нормированный случайный процесс с нормальным законом распределения; дисперсия D(ДR (х)) моделируемой реакции R (с, х) является функцией от подачи ФБ, задаваемой поступательным
движением платформы в плоскости дорожного полотна: ст(^ (х))2 = D(^ (х)) = (kD - R0(х))2 , где кВ - коэффициент, зависящий от свойств обрабатываемого материала и вида фрезы; Я = И (ЯЬ|, ЯЬг, Ид, К,.г ) .
Представим математическую модель агрегата в векторно-матричной форме Коши: х = Ах + Ви + w ^) ,
(4)
где x =
f(X ^ f о о о -l' Cap Car f І о о > ^ wa (t) '
Р о о о Cpa Cpp cpr о І о f ^ Wp (t)
r a ; A = 0 1 о о о о Cra о crp о crr о ; B = о о о о І о ; u = ua up ; w(t) = Wr (t) о
Р о І о о о о о о о ur v r у о
чГу о V о І о о о У v о о о у о v У
x - вектор состояния агрегата; А - матрица состояния; B - матрица управления; u - вектор управления; w (t) - вектор возмущения, обусловленный взаимодействием ротационного инструмента с обрабатываемой поверхностью; сар, сат|, Сра, Срр, Срт, ста, стр, стт - коэффициенты, зависящие от выражений для реакций взаимодействия ротационного инструмента с обрабатываемой поверхностью; l' = 1/^рп ; l - расстояние от оси вращения фрезерного барабана до оси подвеса
рамы агрегата.
Особенность построения математической модели в линейной постановке состоит в распределении коэффициентов реакций взаимодействия ротационного инструмента с обрабатываемой поверхностью на две части. В вектор возмущения w (t) вошли постоянные составляющие реакций, а
через коэффициенты сар, сат, Сра, Срр, Срт, ста, стр, стт введены линейные составляющие реакций.
Управляемость агрегата по критерию Калмана должна соответствовать выполнению следующего критерия: rank(Qu ) = 6, где Qu = (B A • B ... A5 • B ) - матрица управляемости.
Подстановка матриц состояния A и управления B в матрицу управляемости Qu позволяет сделать вывод о выполнении критерия управляемости независимо от параметров агрегата. Для подтверждения вывода приведем подматрицу, полученную из первых двух компонент матрицы управляемости:
f І
о
Qu = (B A • B) =
І о о о о
о о о о
о о о
І о о
о о о о о о о о
(5)
Находим выражение для главного определителя: = 1. Ненулевое значение главного оп-
ределителя и отсутствие в его выражении параметров агрегата подтверждает структурную управляемость агрегата. Выполнение критерия управляемости дает основание сделать вывод о реализации с помощью управления и желаемых динамических свойств фрезерного агрегата.
Прямому измерению в агрегате доступны углы отклонения а и р рамы и платформы с помощью датчиков углов и поступательное перемещение агрегата с помощью датчика перемещения. Перечисленной совокупности датчиков соответствует следующее уравнение наблюдения:
( 0 0 1 0 0^
y = Cx + \ (t), где C =
о о о І о о о о
- матрица наблюдения; ^ (t) - вектор измерительного
шума Гауссова типа.
Для формирования закона управления в форме линейной комбинации переменных состояния и = Р • х необходим полный вектор состояния агрегата. С помощью критерия Калмана проверим наблюдаемость агрегата с помощью матрицы наблюдаемости:
Qc =|с
AT • Ст
(AT )5 • Ст
Анализ главных определителей, получаемых из матрицы наблюдаемости, позволил выбрать один, имеющий следующее численное значение:
о о о о о
і о о о о
о о о о
о о о
1 о о
о о о о о о о о
= 1.
(б)
Один из главных определителей матрицы наблюдаемости отличен от нуля, следовательно, rank (Qc ) = 6 . Как и в случае с управляемостью ранг матрицы наблюдаемости не зависит от параметров агрегата, а определяется структурой его математической модели. Следовательно, можно в реальном времени восстанавливать недостающие компоненты вектора состояния агрегата и формировать управление фрезерным барабаном.
2. Синтез обратной связи
Для формирования вектора управления u необходимо ввести регулятор размерности 3x6:
P
Pii
Pi6
(7)
ч Р31 ••• Р36.
Синтез коэффициентов регулятора выполним модальным методом. С этой целью запишем характеристическое уравнение агрегата, охваченного обратной связью:
X • E - (A - B • P) = о,
(8)
где Е - единичная матрица шестого порядка.
Обозначим через У^ (Р) вектор коэффициентов характеристического уравнения. Выражения для компонентов вектора содержат 18 неизвестных коэффициентов регулятора р^, где I = 3, j = 6 . Для нахождения численных значений коэффициентов регулятора сформируем желаемые численные значения коэффициентов характеристического уравнения. С этой целью представим передаточную функцию агрегата в виде произведения трех динамических звеньев второго порядка с различными постоянными времени Т . Коэффициенты относительного демпфирования выберем одинаковыми со значением ^ « 0,7, при котором переходный процесс в агрегате будет
происходить по апериодическому закону без перерегулирования. Такое требование к коэффициенту демпфирования обусловлено ожидаемым качеством результата фрезерования: исключить появление нежелательных углублений на обрабатываемой поверхности.
Обозначим через У^ вектор коэффициентов характеристического уравнения с желаемыми
корнями. На основании вышеизложенного критерия назначения параметров динамических звеньев получим следующее выражение для формирования характеристического полинома с желаемыми коэффициентами:
m
i=1
(9)
После раскрытия скобок и суммирования коэффициентов при различных степенях X получим выражения для всех компонент вектора У^ .
Для нахождения коэффициентов регулятора приравняем сформированные вектора коэффициентов характеристического уравнения
V (Р ) = V*. (10)
T
Для решения системы алгебраических уравнений в программе Mathcad можно воспользоваться одной из стандартных процедур find или Minerr. В систему из шести алгебраических уравнений входит 18 коэффициентов регулятора. Избыточность количества параметров регулятора можно использовать для дальнейшего улучшения свойств динамической системы. С этой целью можно сформировать дополнительные ограничения в виде равенств или неравенств, используя, например, числители передаточных функций системы. В случае возникновения проблемы в решении можно обратиться к поиску стартовой точки путем аналитического конструирования регулятора с применением матричного уравнения Риккати с матричной переменной. Решение уравнения Риккати позволяет получить регулятор, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы. Получающиеся при этом численные значения корней могут оказаться неоптимальными по требованиям быстродействия или перерегулирования и настраиваются на следующем шаге модальным методом.
В качестве численного примера выберем следующие частоты собственных колебаний агрегата: f = 3 Гц, f = 10 Гц, f = 18 Гц, которым будут соответствовать постоянные времени: Ту = 0,053 с, Т2 = 0,016 с, Т3 = 0,009 с.
Пусть матрица состояния А имеет следующие численные значения: Г = 1; сар = сат| = Сра = = Срр = Срт = 0; ста = стр = стт = -1. Зададим начальные значения всех коэффициентов регулятора нулевыми Pj = 0 , где i = 3, j = 6 . После обращения к процедуре Minerr в программе Mathcad получим значения коэффициентов регулятора (см. таблицу).
Численные значения коэффициентов регулятора
P 91,2о 26,65 2о8,93 117о,23 -1573,16 -19о14,58
-246,91 -146,76 -2161,64 -14о4,78 936,51 -16311,23
15,31 27,86 328,25 264,о5 222,27 342о,57
Подстановка коэффициентов регулятора в выражение для характеристического уравнения замкнутой системы дает следующие значения корней:
А,12 =-79,168±80,768i; А,34 =-43,982±44,871i; Х5,6 =-13,195± 13,461i.
Округление коэффициентов регулятора до целых значений с помощью функции ceil в программе Mathcad приводит к изменениям в значениях корней на величины не более 4 %, что свидетельствует о низкой чувствительности динамических свойств агрегата к изменению коэффициентов не только регулятора, но и параметров его матрицы состояния.
Реализация обратной связи в агрегате потребует восстановления всего вектора его состояния. Поскольку на агрегат поступает случайное возмущение от взаимодействия ротационного инструмента с обрабатываемым материалом, сопровождающееся измерительным шумом, то целесообразно в качестве наблюдающего устройства использовать фильтр Калмана.
Выводы
Проверка структурных свойств агрегата показывает, что на его основе можно построить дорожную фрезерную машину с требуемыми динамическими характеристиками. В качестве управляющего устройства целесообразно использовать регулятор по состоянию, коэффициенты которого можно настраивать модальным методом.
Литература
1. Кацай, Д.А. Ротационное фрезерование асфальта. Процессы и оборудование металлургического производства: межрегион. сб. науч. тр. /Д.А. Кацай, П.Г. Мазеин, С.Д. Сметанин; под ред. С.И. Платова. - Магнитогорск: ГОУ ВПО «МГТУ», 2009. - Вып. № 8. - С. 61-66.
2. Кацай, Д.А. Математическая модель автоматизированной системы управления мобильным агрегатом повышенной энергоэффективности /Д.А. Кацай // Труды научно-практической конференции «Актуальные проблемы автоматизации и управления». - Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2013. - С. 35-39.
Кацай Дмитрий Алексеевич, канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры приборостроения, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск); [email protected].
Поступила в редакцию 3 марта 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University Series “Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics”
2014, vol. 14, no. 2, pp. 81-87
RESEARCH OF DYNAMICS OF THE UNIT OF ROTATIONAL TYPE
D.A. Katsay, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, kdamail@mail. ru
The mathematical model of the small-sized milling unit is given in article from two-wasps-nym by the subweight of the tool of rotational type. The unit is intended for performance of a surface treatment of asphalt concrete coverings. The unit provides surface formation with a demanded cross and longitudinal bias. The rotational type of the unit allows to receive high efficiency at small efforts of interaction of cutting elements with a material. The mathematical model of the unit is presented in the form of the differential equations in the form of Cauchy. Structural properties of the unit - as object of management are investigated. Calculation of coefficients of the regulator for a state is made by a modal method.
Keywords: rotary milling unit; surface treatment; structural properties; modal method.
References
1. Katsay D.A., Mazein P.G., Smetanin S.D. [Asphalt Rotational Milling]. Protsessy i oborudovanie metallurgicheskogo proizvodstva: mezhregional'nyy sbornik nauchnykh trudov [Processes and Equipment of Metallurgical Production: Interregional Collection of Scientific Works]. Magnitogorsk, GOU VPO “MGTU” Publ., 2009, iss. no. 8, pp. 61-66.
2. Katsay D.A. [Mathematical Model of the Automated Control System of Mobile Units Enhanced Energy Efficiency]. Trudy nauchno-prakticheskoy konferentsii “Aktual'nye problemy avtomatizatsii i upravleniya” [Proc. Scientific and Practical Conference “The Automation and Control Actual Problems”]. Chelyabinsk, South Ural St. Univ. Publ., 2013, pp. 35-39.
Received 3 March 2014
