CC BY
31
90
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
3. Стародубов М. И. Становление исследовательской деятельности школьников в курсе физики в условиях информатизации обучения. Томск: Изд-во «Инвест», 2012. 318 с.
4. Баяндин Д. В. Моделирующие системы как средство развития информационно-образовательной среды. Пермь: Изд-во «Квант», 2013. 330 с.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИАГРАММ КОУЛА - КОУЛА МАГНИТНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Калытка Валерий Александрович
К.ф.- м.н., докторphD, доцент кафедры «Энергетика» КарГТУ, г. Караганда, Республика Казахстан
АННОТАЦИЯ
Методами электродинамики сплошных сред в квазиклассическом приближении (кинетическая теория Больцмана) исследуются частотно - температурные спектры комплексной магнитной проницаемости (СКМП) и тангенс угла магнитных потерь твердых диэлектриков в области высоких температур (100 - 450 К). Вычислены магнитные диаграммы Коула -Коула.
Ключевые слова: твердые диэлектрики; слоистые кристаллы; кристаллы с водородными связями (КВС); комплексная магнитная проницаемость (КМП).
ABSTRACT
Methods of electrodynamics of continuous media in the semiclassical approximation (the Boltzmann kinetic theory) investigated the frequency - temperature spectra of the complex magnetic permeability (SCMP) and magnetic loss tangent of solid states at high temperatures (100 - 450 K). Magnetic Coal - Coals diagrams were calculated.
Key - words: solid dielectrics; layered crystals; hydrogen - bonded crystals (HBC); complex magnetic permeability
(CMP).
Введение
Исследование магнитных свойств вещества сводится к установлению, аналитической (или полуэмпирической) зависимости между векторами индукции и напряженности магнитного поля при заданных внешних условиях (температура, механические напряжения, электромагнитное излучение). В общем случае зависимость
В1НI
В\/ нелинейная и определяется молекулярным механизмом взаимодействия внешнего (намагничивающего) магнитного поля с магнитным веществом (магнетиком) заданной структуры [6, с.535].
Для физики конденсированного состояния представляет интерес исследование широкого спектра магнитных эффектов в различных кристаллических структурах [4, с. 53], проявляющих, в зависимости от типа и геометрии кристаллической решетки, температуры кристалла T,
амплитуды Н 0 и частоты ® внешнего магнитного поля, свойства парамагнетиков, диамагнетиков (диэлектрики, проводники), ферромагнетиков и антиферромагнетиков [2, с. 136].
В ряде металлов в области низких температур в магнитном поле проявляется электронный диамагнетизм, связанный с квантованием орбит свободных электронов в однородном стационарном магнитном поле [6, с.521]. При этом, в области слабых полей, стационарные уровни энергии электронов образуют дискретный спектр аналогичный спектру энергий линейного гармонического осциллятора (уровни Ландау) [5, с.369].
Ферромагнетики имеют магнитную доменную структуру и процессы её изменения характеризуются, вблизи точки фазового перехода второго рода, свойством спонтанной намагниченности и нелинейной зависимо-
стью ц 1 [6, с. 264]. Поэтому изучение зависимости
ВІН I
В\Н/ (петли гистерезиса) дает важную информацию о доменной структуре, подвижности доменных стенок и т. д.
1 Спектры комплексной магнитной проницаемости Исследование кинетических явлений при поляризации кристалла в магнитном поле, в случае распределения
магнитных атомов по уровням энергии непрерывного спектра (классическая статистика) [5, с.521], должно строиться на решении квазиклассического кинетического уравнения Больцмана [7, с.53] совместно с системой уравнений Максвелла [6, с.324] для магнитного поля при заданных граничных условиях. В случае распределении магнитных атомов по уровням энергии дискетного спектра, в отсутствии вырождения, работает квантовая статистика Больцмана [5, с.527], а кинетика магнитных процессов описывается квантовым кинетическим уравнением Лиувилля [7, с.24], позволяющим рассчитать статистический оператор магнитной подсистемы в зависимости от структуры ее Гамильтониана, возмущенного внешним магнитным полем. С этой точки зрения магнитные свойства различных кристаллов могут быть исследованы на основе единой кинетической теории [4, с.174], описывающей на молекулярном уровне механизм релаксационных процессов связанных с ориентацией магнитных атомов в магнитном поле (парамагнетизм) и возбуждением индуцированных магнитных моментов (диамагнетизм) [3, с.73].
В случае вырождения магнитной подсистемы по спину работает квантовая статистика Ферми - Дирака (для фермионов) и статистика Бозе - Эйнщтейна (для бозонов) [5, с.38].
Кинетика намагничивания кристалла отражается в частотно - температурных спектрах комплексной магнит* і ті — — i /
ной проницаемости ц 1 1 = ц ц [6, с.529] -
функции отклика вещества на внешнее магнитное поле
Н
. Индукция магнитного поля в веществе [6, с.412]
В = ц0ц* Н
(1)
В = ц 0 Н + М
(2)
зависит от вектора намагниченности [6, стр.413]
М = х Н
(3)
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
91
~ _ / • //
где ^ Х 1Х - комплексная магнитная восприим-
чивость в функции Х (го’т).
Согласно уравнениям Максвелла для магнитного поля в диамагнитном диэлектрике, в дифференциальной форме [2, с.419]
Т7 Y7 Э А
E = -^-^дГ
(6)
В (6) Ф , A -с
^ дВ
д t,
div В = 0 В = rot А
(6) ' , -соответственно потенциал электри-
ческого и магнитного полей.
В случае гармонически изменяющегося внешнего
Н = Н0 exp (iro t)
(4)
(5)
магнитного поля
на основании (4)
дВ Г--
с.451]
Вектор напряженности электрического поля [6,
д t
[ve]= ігоц 0 ц* Н
Re
Гд ВЛ
Согласно (7), имеем
Чдt У
Im
Гд ВЛ
кдt у
= гоц0 Н0 (ц" cos(rot)- ц/ sin(rot)) = гоц0 Н0 (ц7cos(rot)+ ц7/sin(rot))
откуда, получаем зависимости
ReH • Ref дВ
1д t У
ImH • Im
^дВЛ
Re H • Im
Чд t У
ґд ВЛ
= гоц0 Н0(ц// cos2(rot)-1 ц/• sin(2rot)) = гоц0 Н0(1 ц/ sin(2 rot)+ ц// • sin2 (rot))
ImH • Re
Чд t У
ґд ВЛ
= гоц0 Н0(ц/ cos2(rot) + 1 ц//• sin(2rot))
Чд t У
гоц0 Н0(1 ц// sin(2 rot)- ц/ sin2 (rot))
Усредняя (8.1) - (8.4) по периоду колебаний поля, получаем дисперсионные соотношения
^ReH • Re ^ImH • Im ^Re H • Im ^ImH • Re
^д ВЛ
Чд t У
ґд ВЛ
Чд t У
ґд ВЛ
Чд t У
^д ВЛ
Чд t У
1 // TJ2
— ц0гоц Н0
1 // TJ2
— ц0гоц Н0
1 1—2
= — ц0гоц Н0
1 / —2 — ц0гоц Н0
(7)
(7.1)
(7.2)
(8.1)
(8.2)
(8.3)
(8.4)
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
92
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
На основании (8.1), (8.2)
и (8.3), (8.4):
у а вЛ ^авЛ
ReH • Re + ImH • Im
Vаt J Vа t J
^аВЛ ^аВЛ
Re H • Im - ImH • Re
Vа t j Vа t J
= юЦ 0 Ц Н 0
юЦ0Ц Н0
(10.1)
Комбинируя (9..1) - (9.4) и (10.1), (10.2) получаем соотношения
I ReH • Re
(10.2)
^ImH • Im ^Re H • Im |lmH • Re
Вектор намагниченности представим с учетом магнитных процессов в оптическом диапазоне частот переменного магнитного поля [6, стр.619]
у а В ^ \ 1 ( у а В ^ _ уаВ Y
ReH • Re + ImH • Im
Vа t j і 2 V Vа t J Vа t JJ
у а ВЛ \ 1 у _ у а ВЛ уаВ Y
Re H • Re + ImH • Im
Vа t J і 2 V Vа t J Vа t JJ
у а ВЛ \ 1 у _ у а ВЛ уаВ Y
Re H • Im - ImH • Re
Vа t J і 2 V Vа t J Vа t JJ
у а В ^ \ 1 f уа В" \ Г а В Y —
ImH • Re - Re H • Im
Vа t j і 2 V Vа t у / Vа t Jy
(11.1)
(11.2)
(11.3)
(11.4)
М(0 = Ц0 (ц 0H(t)+ X H(t), (12)
Подстановка (12) в (2), для гармонически изменяющегося во времени магнитного поля, дает
b(t) = ц 0 ц Н 0 exp (ію t) + х Н0 exp (ію t)
Соответственно, На основании (14)
Re
a в
a t
= іюц0 цда Н0 exp (ію t) + ію Н0 xexp (ію t)
(13)
(14)
ra вЛ
Vа t У
Im
fа вЛ
Vа t У
= -юц0Цда Н0 Біп(юt) + юН0 • Re(l)Xexp(іюt))
юц0цда Н0 cos(<at) + юН0 • Im^xexp(іюt))
(15.1)
в силу (15.1), (15.2)
ReH • Re
(15.2)
у а вЛ
Vа t У
ImH • Im
у а вЛ
Vа t У
= - і юц 0 цда Н 0 sin (2 ю t) + юН 0 cos(<a t )• Re(i£exp (ію t)) = 1 юц0цда Н0 sm(2 ю t) + ю Н0 sm(<a t) • Im^xexp (ію t))
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
93
Re H • Im
гд БЛ
ImH • Re
Vd 1 У
ґд Бл
vd 1У
юц0цда Но cos2(юt)+ юНо cos(wt)• Im(i£exp(іюt))
= -юц0цда Но sin2(юt)+ юНо sin(юt)• Re(i£exp(іюt))
после усреднения по периоду колебаний поля, имеем
^ReH • Re |lmH • Im
fд БЛ
Vd 1 У
ґд БЛ
= юН о (cos(<n t) • Re(i£exp (ію t)))
Vd 1 У
__ 2
= ю Но (sin(ю t) • Im(i£exp (ію t)))
^Re H • Im ^ImH • Re
^д БЛ
Vd 1 У
fд БЛ
Vd 1 У
2 юц о ц»Н о + юН 0 (cos(<n t) • Im(ixexp (ію t)))
= -1 юц о цда Н о + юН о (sin (ю t )• Re(i£exp (ію t)))
Сравнивая выражения (9.1) -(9.2) и (16.1) - (16.2)
,// 2
ц// = — (cos(<n t) • Re(i£exp (ію t))) Ц о
ц// = — (sin(ю t) • Im(i£exp (ію t)))
ц
2
ц/ = цда ч--(cos(ю t) • Im(i£exp (ію t)))
цо
2
ц = ц 0
— (sin(ю t) • Re(i£exp (ію t)))
ц
о
получаем дисперсионные соотношения [6, стр.324]
ц'(ю,T)= ц„ + Х'(юT) ц"(ю,T)= Х"(юT)
ц о
В (18), функции х ' (ю, T), X// (ю, T) , для магнитных диэлектриков, определяются механизмом намагничивания материала [6, стр.325] в переменном магнитном поле
Н = Н о exp (ію t) „
, и, при равновесной концентрации
p (ю)
(ю, ц о ^(ю)^-
(16.1)
(16.2)
(16.3)
(16.4)
(17.1)
(17.2)
(17.3)
(17.4)
(18)
(м(‘о)\ = ( p!)o)(r; t ))■ nm
' ' (19)
В диамагнитных диэлектриках, в отсутствии маг-
Й’1 = 0
нитного поля г m , а при наложении на кристалл
n p V/ —
магнитных атомов m , с магнитными моментами ^m магнитного возмущения H, в атомах индуцируются мо-исходя из усреднения вектора намагниченности J
лекулярные токи плотностью J m с магнитными момен-
_ по пространственным ко- тами Pm (Г; ^) [2, с.142] и усредненный магнитный мо-
ординатам r магнитных атомов, получаем [6, с.394] мент атома равед [4, с. 135]
^ = pm)(r;t)^ n
0
94
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
(Й1 )) = / Й1 ’(f; t )• fm (f; t )dV
V (20) В (20) усреднение проводится с помощью неравновесной функцией распределения fm (f; t’ [7, с.491] атомарных магнитных моментов по объему кристалла.
Для магнитно - релаксационных процессов в диамагнитных диэлектриках в области высоких температур,
(/ї\7(ю)Й
'М '
X/ (ю т) = Re
вычисление
зависимостей
Н
v у
X " Iю
(ю, Т) = Im
(/т7(“Д)
'М '
Н
проведем на основе квазиклассической кинетической теории Больцмана [6, с.324], в линейном приближении по полю, по формуле Дебая [4, с.46]
X
X
о
1 + іютм
(21)
X
о
где вещественный параметр, экспериментально
определяемый из диаграмм Коула - Коула;
1
-exp
E.
2v0 1 I kBT .
0 v B у время релаксации в отсутствии возмущения, зависящее, в квазиклассическом приближении (закон Аррениуса) [4, с.124] от молекулярных параметров
V 0
магнитных атомов (частота колебаний , энергия акти-
E
вации a) и температуры T менного магнитного поля.
. ю-
круговая частота пере-
На основании (18) и (21), принимая
. X 0
Ц" (0,T)= 0
S
Ц (0,T)= Ц» + — = Ц Ц 0
Ц'(ю,T )= Ц „ +
имеем
Ц s - Ц с
1 + ю т
2 _2 M
Ц"(ю,T)= (цs ^ Цс2)o2rM
1 + ю т
M
(22.1)
(22.2)
2 Магнитные диаграммы Коула - Коула
параметра
Согласно (22.1), (22.2), в функциях безразмерного
xM — юттч
/ _ Ц s + Ц с
Ц max 2
M , вычисляя 2
//
Ц m
Ц S - Ц с
2 , строим, в области
Ц» ^ ц / ^ Ц
S
выражение
Ц п (ц ') = л/(Ц7-ЦСхЦ^-Ц7) (23
, (23)
которое преобразуется к уравнению окружности с цен-
(Ц max,0) и
тром
/ / //
Ц s - Ц max Ц max Ц с Ц max
радиусом
что соответствует диаграммам Коула - Коула [4, с.34], в координатах (ц ’ Ц ):
(ц ' - Ц L )2 +(ц и )2 — (ц 1 )2
(24)
Исследование тангенса угла магнитных потерь
_ Ц"
tg^ M /
Ц [4, с. 14], в соответствии с (22.1), (22.2)
tgS M =
(ЦS — Цс )ю TM
, 2 2 Ц S + Ц с ® TM
(25)
удобно проводить путем сопоставления теоретического и экспериментального графиков tg^M в окрестности
(®TM )max = J ~
точки максимума
Ц с
с амплитудой мак-
Ц s — Ц с
(tgS M )max = * S-
2VЦSЦ с
симума , методом минимиза-
ции функции сравнения [1, с.36], [4, с.148].
Список литературы
1. Анненков Ю.М., Калытка В.А.. Коровкин М.М. Квантовые эффекты при миграционной поляризации в нанометровых слоях протонных полупроводников и диэлектриков при сверхнизких температурах // Изв. Вузов. Физика. - 2015 г. -Том 58, № 1. С. 31 - 37.
2. Власов А. А. Макроскопическая электродинамика, M., 1955.
3. Калытка В. А. Квантовые свойства спектров диэлектрических потерь в слоистых кристаллах при сверхнизких температурах. «Учебный эксперимент в образовании». Научно - методический журнал. Учредители журнала: Мордовский государственный педагогический институт им. Е.М. Евсевьева; Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова. № 4(68) (октябрь - декабрь), 2013 г. С. -72- 84.
4. Калытка В.А., Коровкин М.В. Протонная проводимость. Монография: ISBN-13: 978-3-659-68923-9; ISBN-10: 3659689238; EBAN: 9783659689239; 180 с. Germany. Издательский Дом: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. http://www.lap-publishing.com.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика.-М.: Наука, 1989.- Т.9.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982.
7. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979.
