Исследование асимптотик систем с защитой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИК СИСТЕМ С ЗАЩИТОЙ

Наумейко И.В.

Харьковский национальный университет радиоэлектроники, к.т.н., доцент;

Валид Альрефаи

Харьковский национальный университет радиоэлектроники, к.т.н.

Альджаафрех Мохаммад Ракан Абед Алнаби

Харьковский национальный университет радиоэлектроники, аспирант.

STUDY ON ASYMPTOTICS OF PROTECTED SYSTEMS

Naumejko I. V., Kharkov National University of radio electronics, Ph.d., Associate Professor;

Waleed AhmedMahmoud Alrefai, Kharkov National University of radio electronics, Ph.d.

Aljaafreh Mohammad Rakan Abed Alnabi, Kharkov National University of radio electronics, graduate student.

АННОТАЦИЯ

Рассмотрены динамические модели в виде дифференциальных уравнений и их систем, описывающие поведения человеко-машинных объектов с защитой.

Объект защиты описан логистическим уравнением, а защитная система - нелинейным дифференциальным уравнением с различными функциями защиты достаточно общего вида. Дальнейшая их детализация приводит к известным, а также некоторым новым моделям подсистем. Исследованы системы с "быстрой" защитой при относительно медленной динамике объекта, что привело к моделям с малым параметром и асимптотическим решениям дифференциальных уравнений.

ABSTRACT

Dynamic models are considered in the form of differential equations and their systems that describe the behavior of man-machine protected objects. The object is described by the logistics equation, and protective system - by nonlinear differential equation with different and overall enough features. Further detalization leads to the known, as well as some new models of subsystems. The system was investigated with the case of "fast" protection variable at a relatively slow object variable dynamics that led to models with small parameter and asymptotic solutions of differential equations.

Ключевые слова: Нелинейная система, динамическая защита, асимптотика, первое приближение, быстрые переменные.

Keywords: Nonlinear system, dynamic protection, asymptotics, first approximation, fast variables.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важнейших элементов экономики продолжает оставаться промышленное производство, которое, в принципе, отнюдь не безопасно. В этой связи устройства и объединяющие их системы защиты персонала и окружающего населения особенно актуальны [1, 2]. Известно, что безопасность и эффективность производства являются противоречивыми критериями. Их объединение в единый возможно лишь в надсистеме [3]. Такой подход позволил рассмотреть модель «человек-машина-среда с защитой» как известную модель конкуренции двух факторов - безопасности и эффективности [4,

5].

В процессе функционирования системы изменяется ее внутреннее состояние. В работе рассмотрены различные типы общих моделей «человек-машина-среда», каждая из которых адекватно описывает некоторое практически важное качество объекта, а все вместе - описывают объект с точки зрения его безопасного функционирования. Дальнейшая их детализация приводит к известным, а также некоторым новым моделям подсистем [6, 7]. Данная работа посвящена количественному анализу важной модели - системы с защитой человека

как от внешнего вредного воздействия среды, так и от воздействия подсистемы "машина".

АНАЛИЗ ПОСЛЕДНИХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПУБЛИКАЦИЙ

В работах [3, 4] рассматривается модель динамической системы, описывающей ситуацию, когда основная подсистема «производит» вредный фактор, а вторая подсистема - защита - пытается его уменьшить абсолютно, или за приемлемую цену. Как базовая модель - основа для модификации -взята система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая основные законы конкуренции^], и известная в экологии как модель сосуществования видов [9, 10].

В работе проверено, что несмотря на некоторую упрощенность модели [9, 12], основные характеристики и зависимости системы должны проявиться. На основании результатов, полученных в ходе работы, проведен асимптотический анализ решений и эффективности защиты.

Предварительно введем основные предположения, непосредственно следующие из повседневного опыта. Они очевидны, т.е. не нуждаются в дополнительном обосновании, а только в формализации. Ниже они названы аксиомами [2].

1. Автокуммулятивность.

Вредное воздействие растет тем быстрее, чем его величина больше.

2. Для интенсивность биовоздействия и:

д

- в штатной ситуации ^^ ы — 0 ;

- в критической ситуации (положительная об-д

ратная связь)

— U > 0 dt .

Защита г(/) может управляться программно или адаптивно - в зависимости от величины и(/).

Стоимость защиты С=С(2) естественно считать монотонно растущей функцией её интенсивности.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сначала проведем формальное описание исследуемой в работе модели.

Достаточно общий случай системы дифференциальных уравнений, которая описывает поведение системы, имеет вид:

u '(t) = au (t) — J3zu(t) z '(t) = F (u (t), z (t))

(1)

при ограничениях ы — 0, I — 1с - стационарная защита).

Функция Е(и, 2) может принимать вид:

1) Р (ы(Г), )) = уы(1);

2) Р(ы, I) = уы -& ;

3) Р(ы, I) = уы + уы2 - 8ХI - 8г12.

Решение системы дифференциальных уравнений (1) не всегда возможно найти аналитически. Поэтому для нахождения функций защиты и вредного воздействия используются численные методы решения систем дифференциальных уравнений. Систему (1) необходимо исследовать на наличие быстрых и медленных движений при различных значениях параметров подсистемы защиты ( , ,

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

1 Проблема быстрых и медленных переменных

Динамические системы включают большое число процессов с разными характерными временами, причем иерархия этих времен такова, что они различаются на много порядков [12, 13].

Степень подробности моделирования изучаемых явлений зависит от цели моделирования. Однако в любом случае задача моделирования заключается в том, чтобы построить модель явления, содержащую возможно меньшее число переменных и произвольных параметров, и в то же время правильно отражающую свойства явления.

Учет временной иерархии процессов позволяет сократить число дифференциальных уравнений. «Совсем медленные» переменные не меняются на временах рассматриваемых процессов, и их можно считать постоянными параметрами. Для «быстрых» переменных можно вместо дифференциальных уравнений записать алгебраические уравнения для их стационарных значений, поскольку «быстрые» переменные достигают своих стационарных значений практически мгновенно по сравнению с «медленными» [5].

2 Алгоритм исследования

- Находим, если возможно, аналитическое решение системы (1) с помощью функций, входящих в стандартный комплект пакета МаШетайса [16]. Если решение невозможно найти в общем виде, тогда решаем численным методом ( в пакете по умолчанию предлагается использовать достаточно универсальный метод Адамса [13]).

- После того, как было найдено решение системы (1), анализируем функцию вредности - в какие моменты времени ее значения превышают значения стационарной защиты, т.е. срабатывает система защиты. Найдя эти интервалы времени, принимаем решение - увеличить воздействие на вредный фактор (возрастает стоимость системы защиты), оставить систему без изменений или есть возможность снижения затрат на систему безопасности путем уменьшения стационарной защиты.

- Выбрав решение, повторяем шаги 1 -2, пока не выйдем за рамки ограничений (время работы системы или ее стоимость).

3 Аналитическое исследование модели

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1) с малым параметром 8, соответствующую второму типу функции ¥(и, 2):

ы] (1) = 8аы(1) - (1 )ы(1)

. (2)

8 ) = уы(1) - (1)

Отличием этой системы от ранее рассмотренных является квазистационарная вредность. Решим систему (2) асимптотическим методом для членов с

„0 „1 2 8,8,8 .

Для начала запишем систему (2), приняв во внимание зависимость функций ы (1, 8) и

1(1,8) от времени и от малого параметра.

Решаем систему (2) для случая 8° (нулевое приближение).

Запишем асимптотики для функций ы(1,8) и 1(1,8).

ы(г ,8) = ы0(г) + 0(8), 1(г ,8) = 2о(г) + 0(8).

Система (2) для нулевого приближения примет

вид:

Ч '(t) = ~pUo(t)Zo(t) 0 = /Uo(t) -Szo(t)

8

(3)

Функции защиты и вредности для нулевого приближения при zc>0 имеют вид:

1

2 (( )

U (t) =

pt +1/zc , 8

r(fiiTvZ) •

Делаем замену Щ () — — 20 (). Получим,

У

при стационарной защите Zc=0:

) — '), ) — 1,

р1

ио() — .

РУ

Полученная сингулярность при t=0 говорит о невозможности такого решения для задачи Коши и приводит к явлению «пограничного слоя», которое вид: будет рассмотрено в последующих работах.

Решаем систему (2) с учетом члена с б . Запишем асимптотики функций и(г, б) и

2($,е).

и (г,б) — и0(?) + Бщ(г) + о(Б) , 2(г, б) — 2„ (г) + б2х (г) + о(б) .

Система (2) для первого приближения примет

I u0 '(t) + su1 \t) = sau0(t) - pu0(t) z0(t) - sP(u1(t) z0(t) + u0(t) z1(t)) sz0'(t) = yu0(t) + syu1(t) - 8z0(t) - s8z1(t)

(4)

Слагаемые с множителем Б со степенью 2 и Распишем систему (4), сгруппировав слагае-

выше переходят в остаточный член 0(б2 ) . мые при Б и б .

u0'(t) = -Pu0(t) z0(t) 0 = yu0(t) -8z0(t)

U1'(t) = «u0 (t) - p(u1(t)z0 (t) + U0 (t)z1 (t)) zc'(t) =7U1(t) -8z1(t)

б

б

б

б

(5)

В результате решения первой части дифференциального уравнения (5), которая аналогична (3),

найдена функция 20 (?) , и, с её помощью, была найдена функция и (г) .

/ ч 1 / ч 8

z0(t) = , u0(t) = — pt Pyt

S \ &

u\t) = a — - PU (t) — + — z, (t)) pyt pt py (7)

1

I pr

= U(t) -8zj(t)

(6)

Замену и. (г) — — (¿2, (г)---) подставУ рг 2

Для того, чтобы найти функции 2 (г ) и ляем в первое уравнение системы (7) и решаем дифференциальное уравнение

и (г ) сделаем подстановку в третье и четвертое

уравнение системы (5) функций 2 (г) и и (г) из (6). Полученная система имеет вид:

1 9 1 1 1 я

— '(г) + — а ■— - Р(— (г) - )— + — 2— (г)). У рг Руг у 1 рг 27 рг руг

<

В результате решения этого дифференциального уравнения найдена функция I (1) и с её помощью - функция ы (1 ) в следующем виде:

/ ч 1 / 21п 1Ч ='(') = (а- 2-),

Полученные функции защиты и вредности для первого приближения имеют вид:

/ ч 1 1 / 21п г

¿(1) = — + 8 — (а---—),

(1 2( 1—

3 1

ы(1) =-+ 8-(12а8- 21п 1 - 2).

W (Уу 2(у7

ui(t) =

1

(t2aJ — 2lnt — 2).

(8)

2(у

Решим теперь систему (2) с учетом членов с 8 , записав асимптотики для функций ы(1,8) и 1(1,8).

ы(1,8) = ы0(1) + 8ы1(1) + 82ы2(1) + о(82),

I (1,8) = ¿0 (1) + 8^ (1) + 8222 (1) + 0(82). Система (2) для второго приближения примет вид:

ы0 '(1) + 8ы1 '(1) + 8ы2 '(1) = 8аы0(г) + 82аы1(г) - (ы0(1) ¿0(1) - 8((ы1(г) !0(1) + +ыо(1) 11(1)) - Р(ы2(г) 1о(1) + ы1(1) 11(1) + ыо(1) 12(1)) + о(82),

(9)

£z0 '(t) + £2 z1 '(t) = ^u0(t) + syu1(t) + s2yu2(t) — 5z0(t) — s5z1(t) — £25z2(t) + o(s2).

-0

Слагаемые с множителем 8 со степенью 3 и выше переходят в остаточный член о(82 ) .

Перепишем систему (9), сгруппировав слагае-

С-0 Г-1 Г-2

мые при 8 , о и 8 .

(10)

<(t) = —Pu0(t) z0(t)

0 = yu{](t) — &0(t)

u1'(t) = au0(t) — №(t) z0(t) + u0(t) z1(t)) z0'(t) = W(t) — &1(t)

u2'(t) = au1(t) — P(u2(t) z0(t) + u1(t) z1(t) + u0(t) z2(t))

z1'(t) = Yu1(t) — <5z2(t)

— В результате решения дифференциального

Выполнив замены ы0 (1) = — 20 (1) и уравнения были найдены в виде (8) функции 2Х (1)

1 1 и ы1(1).

ы. (1) = — ( — (1)---) , подставляем в пер- „ „ , (+\

7 уУ 7 (12' ' г Для того, чтобы найти функции ¿2 (1) и

вое уравнение системы (10) и решаем дифференци- Щ (1) сделаем подстановку в пятое и шестое урав-альное уравнение, аналогичное (5)

нение системы (10) функций I (1), ы (1) , ^ (') из (6) и (8). Полученная система имеет вид:

0

£

0

£

£

<

£

2

£

2

£

и' (г) = (г—(г а д ~ 2а- (г) + 2 (г))) - 41п г ~ 41п' г),

1 , 21пгч , ч _ , ч

Щ(<Х~~^) — Уи2(г ) )-

Выполняем замену

1,0 , ч 1 , 21пгчч и2(г) — - (&2(г) + — (а--—)) под-

2 у 2 2р рг2

ставляя в первое уравнение системы (11). Решаем дифференциальное уравнение:

1 (5 - 61п г + рд2г4 22 '(г)) —

(11)

p—y 44 ' '2

1 (4 - 2a8t2 + а28214 -12lnt - 4ln21 - 8p8213z2(t))

(13)

4р—у

В результате решения дифференциального уравнения (13) найдена функция 22 (г) и с помощью нее определена функция и (г ) .

^ (г) — —-(36 - 6адг2 + а2д2г4 -121пг +121п2 г,) 2ЧУ 12 рд гъК ,

щ (г) — —1—-(24 - 6адг2 + а2д2г4 + 121п г + 121п2 г) 12рдуг

Полученные функции защиты и вредности для второго приближения имеют вид:

2(г) — — + б — (а - ) + б2 —(36 - 6адг2 + а2д2г4 -121пг +121п2 г) рг 2р г — 12рд гъК '

8 1

и (г) — — + б--(г2 ад- 21п г - 2) +

4 7 руг 2 руг2 4 7

+ Б2—1—-(24 - 6ад12 +а2д2г4 + 121п г + 121п2 г). 12 рду3

Далее определим для какого интервала вре- а — 02 у — 05 д — 2 2 — 12 По мени функция вредности достигнет приемлемого ' ' ' с '

результата (для нас здесь не является критичным скольку величина стационарной защиты 20 — 12 ,

время установки нормальных, не критичных, пока- ,

зателей системы). В случае, когда время работы си- то необходимо найти время г , после которого

стемы безопасности является критичным парамет- функция защиты будет принимать значения

ром - необходимо определить при каких значениях меньше 20 — 12 и соответственно значения пара-параметра р функция вредности принимает при- метрОВ р и б емлемые значения. При этом мы ограничены по

времени реакции системы защиты. /А _ 1

Возьмем для определенности такие близкие к Для нулевого приближения 2(г) — —, и вы-

реальным значения параметров системы (2)

численные параметры равны /=2.01701, р =0.0413154.

Для

первого

приближения

Для второго приближения

/=4.55546,

/ ч 1 1 / 21n tч

z (t) =-+ s-(а--;—),

ßt 2ß 12ö

ß =0.0182969, S =0.000734976.

1 1 , 2ln и 2 1

z(t) = — + s — (а---—) + s -

ßt 2 ß 1Ö 12 ßö

/=1.18948, ß =0.0700591, s =0.000101185.

Эта величина параметра e в каждом случае была получена численным решением исходной системы для соответствующего приближения, а значит правомочность асимптотического подхода - малость e - подтверждается.

ВЫВОДЫ

Найденные выражения и величины для интенсивности защиты позволят в дальнейшем определить её стоимость в условных единицах.

Кроме получения приближенных решений в замкнутом аналитическом виде и их исследования, данный подход позволил получить реальные оценки для стоимости защиты, и даже уменьшать эту стоимость, когда интенсивность вредного фактора u не превышает порога динамической защиты, поскольку при этом c(z(/)-zo)=0.

Литература

1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий - М.: Радио и связь, 1993. -282с.

2. Дзюндзюк Б.В., Наумейко И.В., Сердюк Н.Н. Содержательная модель воздействия нескольких вредных факторов на человека // Радиоэлектроника и информатика, №3(12) 2000 с.127-128.

3. Наумейко И.В., Аль-Рефаи В.А. К вопросу анализа критических режимов систем с динамической защитой от вредных воздействий // Евпатория 2013, 16-22 сентября. 2-я. ИСТ-2013, С.12.

4. Наумейко И.В. Критические точки динамической модели распределенных вредных факторов // Матер.межд.н.-т.конф. ИСТЭ 2011 Харьков-Ялта, 1-6 окт.2011 с.60-61.

5. Haken, H., Synergetics: introduction and advanced topics, Springer-Verlag, (2004).

6. Ильичев В. Г. Механизмы стабилизации и адаптации в моделях экологии: Дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.01, 05.13.18 : Ростов н/Д, 2003 279 с. РГБ ОД, 71:04-5/418.

213

(36-6aÖ2 +a2ö2t4 - 12lnt + 12ln21)

7. Nasritdinov, G. and Dalimov, R.T., "Limit cycle, trophic function and the dynamics of intersec-toral interaction", Current Research J. of Economic Theory, 2(2), 32-40, (2010).

8. Brauer, F. and Castillo-Chavez, C., Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer-Verlag, (2000).

9. Hoppensteadt, F., "Predator-prey model", Scholarpedia, 1(10), 1563, (2006).

10. Arditi, R. and Ginzburg, L.R. (2012) How Species Interact: Altering the Standard View on Trophic Ecology Oxford University Press. ISBN 9780199913831.

11. Sahal D., System Complexity: Its Conception and measurement in the Design of Engineering systems. - IEEE Trans. Syst. Man. Cybern., SMC - 6, 1976 - 152 p.

12. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. - М., Мир, 1986. - 243с.

13. Сидоров С. В. Математическое моделирование и численное исследование динамического хаоса в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений: диссертация ... доктора физико-математических наук : 05.13.18 / Сидоров С. В.; [Место защиты: Моск. гос. гор. ун-т].-Москва, 2009.- 283 с.: ил. РГБ ОД, 71 10-1/73.

14. Амироков С. Р. Численные методы и вычислительный эксперимент в исследовании динамики и структуры взаимодействующих сообществ: диссертация ... кандидата физико-математических наук : 05.13.18.- Ставрополь, 2006.- 187 с.: ил. РГБ ОД, 61 06-1/929

15. Латыпов В. Н. Математические модели возмущенного движения высокого порядка точности: диссертация ... кандидата физико -математических наук : 05.13.18 / Латыпов В. Н.; [Место защиты: С.-Петерб. гос. ун-т].- Санкт-Петербург, 2010.- 133 с.: ил. РГБ ОД, 61 10-1/736.

16. Дьяконов В.П. Mathematica 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-техни-ческих расчетах.-М., СОЛОН-Пресс. 2004.- 542с.