CC BY
131
УДК 004.932.4
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЗВЕШЕННЫХ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ УДАЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ШУМА НА ИЗОБРАЖЕНИИ
С. В. Сорокин
THE DOCTRINE OF «SEPARATED, BUT EQUAL» OPPORTUNITIES IN THE DECISIONS OF THE U.S. SUPREME COURT ON DISPUTES CONNECTED WITH HIGHER EDUCATION
S. V. Sorokin
Аннотация. Актуальность и цели. Восстановление изображений, подверженных воздействию различных видов шума, является актуальной задачей, решением которой занимаются многие компании в области информационных технологий. На данный момент пользователи Интернета, для примера, владеют мощными графическими пакетами, и их потребность в качественных изображениях постоянно возрастает. Стоит отметить, что на изображениях практически всегда присутствует определенный уровень шума, полностью удалить который не всегда представляется возможным. Целью работы является решение задачи удаления импульсного шума на изображении с использованием медианных фильтров. Материалы и методы. Результаты исследований были получены путем реализации алгоритмов взвешенной медианной фильтрации с использованием среды программирования Matlab 2013R. В качестве оценки уровня шума использовалось пиковое отношение сигнал/шум (PSNR), при этом в статье приводятся визуальные (субъективные) методы оценки. Результаты. Проведено сравнение результатов использования центрированного взвешенного медианного фильтра и перестановочного центрированного взвешенного медианного фильтра для удаления шума на изображении. Показана целесообразность использования перестановочного центрированного взвешенного медианного фильтра для удаления шума по сравнению с простыми вариантами медианной фильтрации. Выводы. Использование различных модификаций медианных фильтров позволяет эффективно удалить именно импульсный шум на изображении и сохранить границы деталей изображения. Учитывая доступные в настоящее время вычислительные мощности и прогресс вычислительной техники, реализовать медианный фильтр возможно практически на любом процессоре.
Ключевые слова: обработка изображений, медианная фильтрация, удаление
шума.
Abstract. Background. Changes in the system of higher education, the need to ensure equal rights in higher education without discrimination call forth the study of international experience to ensure equality in the system of higher education. One of the traditional and, at the same time, actual problems in the U.S. higher education system is the problem of racial and national equality and overcoming discriminatory theory and practice, in particular the doctrine of «separated, but equal». The goal of the study is to analyze the genesis of the said doctrine in practice of the Supreme Court of the United States. Materials and methods. Implementation of the research objectives was achieved on the basis of the analysis of the main decisions of the Supreme Court of the USA, that demonstrate substantiation, development, and then the denial of the doctrine of «separated, but equal». A special place in the framework of this study is occupied by the cases of Plessy vs. Ferguson, Sipuel vs.
Board of Regents, McLaurin vs. Board of Regents of the State of Oklahoma, Sweet vs. Paintner, Brown vs. Board of Education. Methodology includes the methods of comparative and historical legal analysis, which allows to compare the contents and implications for the development of theory and practice of legal regulation of landmark decisions of the U.S. Supreme Court based on the specific historical circumstances of their adoption. Results. The authors have investigated formation and development of the doctrine of «separated, but equal» in the decisions of the U.S. Supreme Court, analyzed the basis of revealed discriminatory nature of this theory and practice, and considered the causes and conditions of its termination in the U.S. Supreme Court decisions. Conclusions. Examination of the decisions of the U.S. Supreme Court allows to realize the reasons, the grounds and contents of the doctrine of «separated, but equal», to reveal its discriminatory essence, to determine that education has become one of the most important fields of application of this doctrine, and then of its abolition. It also allows to take into account the foreign experience in the provision of national and racial equality in order to ensure genuine equality in the sphere of higher education in our country.
Key words: image processing, median filter; noise removing.
Введение
Восстановление изображений, подверженных воздействию различных видов шума, является актуальной задачей, решением которой занимаются многие компании в области информационных технологий. На данный момент пользователи Интернета, для примера, владеют мощными графическими пакетами, и их потребность в качественных изображениях постоянно возрастает.
Программные средства обработки изображений можно разделить на два класса: точечные операции и пространственные операции. Точечные операции включают изменение контрастности, гистограммы и применение псевдоцветов, т.е. представляют собой простые нелинейные операции. С другой стороны, пространственные операции представляют собой линейные операции, также успешно применяемые в обработке изображений из-за своей простоты реализации. Несмотря на доступность методов линейной обработки изображений, при решении определенных задач не обойтись без использования нелинейной обработки [1-3]. Нелинейные методы обработки эффективно сохраняют границы и детали изображения, в то время как линейные операторы имеют тенденцию к сглаживанию и искажению изображений. Кроме того, нелинейные средства обработки позволяют более эффективно удалять шум, который практически всегда присутствует благодаря физическим особенностям технических средств получения изображения.
1. Медианный фильтр
При условии, что x(n) является центральным входным элементом окна фильтра, мы можем представить выход медианного фильтра [4]:
y = MEDIAN[x(n - Nl),..., x(n),..., x(n + NR)], (1)
где размер окна N = NL + NR + 1; n - позиция элемента.
В большинстве случаев окно фильтра симметрично относительно x(n), т.е. nl = nr .
При условии конечной входной последовательности (x(*)} значения ее элементов можно обозначить x(1), x(2),..., x(L), где L - количество элемен-
тов множества (х(*)} . Из-за симметричной природы окна фильтра исходное множество расширяется как сначала, так и с конца. Это служит поводом для добавления Ыь элементов в начало и Ык элементов в конец (х(*)} . Обычно значение добавленных элементов в начало множества соответствует значению первого элемента исходной последовательности, а значение элементов, добавленных в конец множества, равно значению последнего элемента.
Медианный фильтр в каждый интервал времени вычисляет простую медиану, которая во многих случаях имеет сходство с простым средним. То есть, если мы имеем N элементов хх,х2,...,хм , простое среднее X и простая медиана X минимизируют выражение
N
О(Р) = £| хг -р (2)
7=1
относительно Р для р = 2 и р = 1 соответственно. Таким образом, медиана
нечетного числа элементов представляет собой элемент, чья сумма абсолютных разностей с другими элементами множества минимальна. Таким образом, простое среднее представляет собой соответствующее значение Р в выражении (2), при котором сумма квадратов расстояний с другими элементами множества минимальна. Аналогия между простым средним и медианой широко применяется в обработке сигнала и изображений, так как многие задачи, имеющие дело не с гауссовым шумом, успешно решаются при помощи медиан, особенно когда статистика шума известна благодаря законам распределения вероятностей [5, 6].
2. Медианная фильтрация с весовыми коэффициентами
Простой медианный фильтр представляет собой устойчивый оператор, простая реализация которого позволяет достичь приемлемых результатов. Тем не менее выход работы простого медианного фильтра иногда оказывается нерезультативным из-за факта «пространственной слепоты». То есть все входные элементы относительно равны, независимо от их положения в окне фильтра. Так же как веса могут быть связаны с простым средним, формируя взвешенное среднее, взвешенная медиана может быть определена как элемент, который минимизирует взвешенную оценочную функцию [7]
N
Ор (Р) = X ^|хг-Р Г (3)
7=1
по отношению к Р, где wi - соответствующие весовые коэффициенты и р = 1. При р = 2 оценочная функция О(Р) в (3) будет представлять собой квадратичную функцию, а значение Р , минимизирующее квадратичную функцию, - нормализованное взвешенное среднее:
N > Ц>Х
Р = агвштX^(X-Р)2 = ^=1 7 7, (4)
Р 7=1 Х7=1 ^
wi > 0 . Взвешенная медиана, обозначенная через Р в (3), гарантированно равна одному из элементов xl, x2, ..., xN при их нечетном количестве. Следовательно, выход взвешенного медианного фильтра при входном векторе x = [xj, x2, ..., xN ]T и множестве положительных коэффициентов равен
y = MEDIAN [w>1 * xx,..., wn * xn], (5)
где оператор повтора обозначен через •, что подразумевает:
W, * xi = Xi,Xj,...,x{.
wi раз
Взвешенный медианный фильтр впервые ввел Браунриг [8] в 1984 г. Взвешенные медианы, допускающие только положительные весовые коэффициенты, по своей природе представляют собой фильтры низких частот, и поэтому их часто называют сглаживающими фильтрами (smoothers).
Рассмотрим простой пример вычисления взвешенных медиан. На входе фильтра имеем x(n) = [12,6,4,2,9]. Вектор весовых коэффициентов следующий: w = [1,2,3,2,1]. Получаем выход взвешенного медианного фильтра:
y(n)= MEDIAN[112, 2*6,3»4,2»2,1»9] = = MEDIAN [12, 6, 6, 4, 4, 4,2, 2, 9] = = MEDIAN [2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 9,12] = 4.
В данном случае самый большой коэффициент находится в центре окна, что повлияло на то, что выход фильтра равен 4. При отсутствии весовых коэффициентов выход простого медианного фильтра равнялся бы 6.
3. Центрированный взвешенный медианный фильтр
Применение весовых коэффициентов позволяет выделить желаемые входные элементы. Во многих приложениях не все элементы одинаково важны. Благодаря симметричной природе окна фильтра центральный элемент обычно имеет большее значение по отношению к другим элементам окна. Поэтому выделяют отдельный класс - центрированные взвешенные медианные фильтры [9], - который представляет собой обычное подмножество взвешенных медиан.
У центрированного взвешенного медианного фильтра присутствует только один весовой коэффициент - для центрального элемента, т.е.:
y = MEDIAN [xx,..., xc_!, w * xc, x^, xn], (6)
N +1
где w - нечетное положительное целое, c = —— - индекс центрального
элемента. При w = 1 мы получаем простой медианный фильтр, а при w > N мы получим идентичный оператор, где выход фильтра равен центральному элементу.
Работу центрированного взвешенного медианного фильтра можно объяснить следующим образом: выход этого фильтра эквивалентен вычислению [7]:
y = MEDIAN (x(kу x(^ x(N -k+1) ), (7)
, N + 2 - w , , где к =-2- для 1 < w < N , и к = 1 для w > N ; х(7) - 7 -я порядковая
статистика, определяемая х^ < х^) < ... < х(N). Если центральный входной элемент больше, чем х^-к+1), выходом центрированного медианного фильтра будет являться значение х( -к+1).
4. Перестановочный центрированный взвешенный медианный фильтр
С помощью весового коэффициента для центрированных медианных фильтров мы можем выделить центральный элемент, притом коэффициенты остальных элементов окна фильтра равны единице. В сущности, с помощью этого коэффициента мы определяем «достоверность» центрального элемента. Если данный элемент не содержит импульс (высокая достоверность), желательно весовой коэффициент сделать достаточно большим для того, чтобы на выходе мы не имели сглаживающих эффектов. С другой стороны, если значением центрального элемента является импульс (низкая достоверность), мы не должны выделять данный элемент, т.е. вес должен равняться единице, и мы получаем простой медианный фильтр. Адаптация весового коэффициента центрированного медианного фильтра может быть легко достигнута с помощью ранга центрального элемента среди всех пикселей окна фильтра [10, 11]. А именно, обозначая ранг центрального элемента окна в данной области через Яс (п), мы можем определить простой перестановочный центрированный взвешенный медианный фильтр, который по сути представляет модификацию центрированного взвешенного медианного фильтра:
Г N для Ть < Яс (п) < Ти, wc (п) = <{ (8)
[1, иначе,
где N - размер окна; wc (п) - вес центрального элемента; Ть, Ти - два регулируемых пороговых параметра, которые определяют степень сглаживания, причем 1 < Ть < Ти < N . Стоит заметить, что весовой коэффициент в (8) может принимать два значения. Обычно Ть и Ти являются симметричными относительно медианы. Данную адаптивную структуру (8) можно расширить, чтобы весовой коэффициент принимал не два значения, а N возможных значений:
Wc (п) = Wc(} )(п) для Яс (п) = Л ] е {1,2,..., К}. (9)
При данном увеличении весовых коэффициентов фильтр (8) может продемонстрировать лучшие результаты по сравнению с (7), несмотря на то, что для проектирования фильтра потребуются оптимизационные алгоритмы [10, 11].
5. Результаты применения медианной фильтрации
На рис. 1,а,б показаны исходное изображение и изображение, подверженное импульсному шуму с вероятностью 0,1.
На рис. 1,в изображен результат применения центрированного взвешенного медианного фильтра с весовым коэффициентом 13 и окном. Как
видно, центрированный медианный фильтр удалил почти весь шум и сохранил границы деталей. Тем не менее на изображении присутствует много различных пятен - это те места, где шум «сгруппировался». Рисунок 1,г показывает результат применения перестановочного центрированного взвешенного медианного фильтра, который определяется (7) с параметрами. Улучшение, достигнутое применением данного фильтра, является существенным: на изображении исчез практически весь шум, за некоторыми исключениями на границах перехода яркостей. И это все фактически благодаря тому факту, что весовой коэффициент принимает два значения вместо одного в центрированных взвешенных медианных фильтрах.
в) г)
Рис. 1
Заключение
Результаты исследования подтверждают тот факт, что медианная фильтрация является наилучшим средством для удаления импульсного шума при обработке изображений. Среди рассмотренных модификаций медианных фильтров следует выделить перестановочный центрированный взвешенный медианный фильтр, так как в результате его применения мы получаем наилучший результат. Стоит отметить, что в настоящее время модификации медианных фильтров используются практически во всех программах цифровой обработки изображений.
Список литературы
1. Astola, J. Fundamentals of nonlinear digital filtering / J. Astola, P. Kuosmanen. -CRC pres, Boca Raton, FL, 1997.
2. Lee, Y. H. Generalized median filtering and related nonlinear filtering techniques / Y. H. Lee, S. A. Kassam // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. - 1985. - ASSP-33(3). - June. - Р. 672-683.
3. Pitas, I. Nonlinear digital filtering: Principles and Applications / I. Pitas, A. N. Ve-netsanopoulos. - Kluwer, Boston, 1990.
4. Tukey, J. W. Nonlinear (nonsuperposable) methods for smoothing data / J. W. Tukey // Congr. Rec. EASCON. - 1974. - P. 673.
5. Lehmann, E. L. Theory of point estimation / E. L. Lehmann. - Wiley, New York, 1983.
6. David, H. A. Order statistics / H. A. David. - Wiley Interscience, New York, 1982.
7. Milta, S. K. Nonlinear image processing / S. K. Milta, G. L. Sicuranza. - Academic press, 2001. - P. 455.
8. Brownrigg, D. R. K. The weighted median filter / D. R. K. Brownrigg // Commun. Assoc. Comput. Machin. - 1984. - № 27 (8). - August. - Р. 807-818.
9. Ko, S.-J. Center weighted median filters and their applications to image enhancement / S.-J. Ko, Y. H. Lee // IEEE Trans. Circ. Syst. - 1991. - № 38 (9). - September. -Р. 984-993.
10. Arce, G. R. Permutation weighted order statistic filters / G. R. Arce, T. A. Hall, K. E. Barner // IEEE Trans. Image Process. - 1995. - № 4. - August. - Р. 1070-1083.
11. Hardie, R. C. Rank conditioned rank selection filters for signal restoration / R. C. Hardie, K. E. Barner // IEEE Trans. Image Process. - 1994. - № 3. - March. -Р. 192-206.
Сорокин Сергей Викторович
кандидат технических наук, начальник управления информатизации, Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]
Sorokin Sergey Viktorovich candidate of technical sciences, head of department of informatization, Penza State University
УДК 004.932.4 Сорокин, С. В.
Использование взвешенных медианных фильтров для удаления импульсного шума на изображении / С. В. Сорокин // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2014. - № 4 (12). - С. 160-166.
