Использование треугольных нечетких чисел для инвестиционных расчетов в условиях неопределенности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономические науки Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (1), с. 223-226

223

УДК 330.382 (075)

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНЫХ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РАСЧЕТОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

© 2011 г. Ю.В. Жильцова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Посоупнла 1 ркдауцню 22.11.2010

Обоснована и разработана нечетко-множественная модель расчета и оценки финансового риска инвестиционных проектов с учетом ожиданий инвестора.

Ключевые слова: риск проекта, риск инвестора,

нормирование риска, вероятность расчетного риска.

Управление инвестициями преследует цель достижения определенного экономического эффекта в будущем, которое зачастую неясно относительно условий реализации самих инвестиционных проектов и состояния окружающей их экономической среды. Поэтому такая неоп-ределённость порождает риск неэффективного управления - такого, когда намеченные цели не достигаются. Исторически первым способом учёта неопределённости было использование теории вероятностей, успешное применение которой в конце XIX века при исследовании массовых и однородных демографических процессов сделало вероятностные методы широко распространёнными во всех сферах жизни, особенно с дальнейшим развитием технической кибернетики.

Однако в середине ХХ века появились научные работы, ставящие под сомнение повсеместную применимость вероятностной теории к учёту неопределённости. Авторы этих работ справедливо отмечали, что классическая вероятность аксиоматически подходит к характеристике генеральной совокупности статистически однородных случайных событий, а если статистической однородности нет, то применение классических вероятностей в анализе оказывается неправомерным. Поэтому начиная с конца 70-х годов ХХ века в экономике широкого спектра - от оценки эффективности инвестиций до кадровых решений - начинают применяться методы теории нечётких множеств, начала которой были заложены в фундаментальной работе Л. Заде [1]. Использование этой теории в задачах инвестиционного анализа, как альтернативы традиционному вероятностному подходу, можно аргументировать следующим образом.

Вероятностный подход связан с большим количеством однородных объектов или данных

функция принадлежности, универсум, супремум,

наблюдений за одним объектом, число которых для объективного исследования должно быть достаточно велико. Нечёткий подход применим и к малому числу объектов или наблюдений, отобранных в соответствии с проблемной ориентацией.

При вероятностном подходе негативный человеческий фактор проявляется в двух аспектах. Во-первых, существуют разногласия в трактовке результатов полученных распределений, так как либо наблюдаются относительные частоты, либо существует единственное распределение, либо результат определяется субъективно, что недопустимо. Во-вторых, практически невозможно исключить нежелательный субъективизм полученных от экспертов данных. А в теории нечётких множеств изначально предполагается, что функция принадлежности может быть субъективной.

Следует иметь в виду, что существенным преимуществом теории вероятностей является многолетний опыт её использования с логическими приёмами (например, дисперсионный анализ). Однако, когда неопределённость будущего состояния объекта исследования теряет статистические черты, использование классической вероятности, как измеримой характеристики массовых процессов, становится неправомерным. Применение рядом авторов в экономических исследованиях, включая инвестиционный анализ, не объективных, а задаваемых вероятностей неизбежно порождает проблему достоверности вероятностных оценок. Практически лицо, принимающее решение (ЛПР), присваивая оцениваемым характеристикам субъективные точечные значения вероятностей, исходит из собственных экономических или иных предпочтений, которые могут быть деформированы искажёнными ожиданиями и пристра-

Рис. График треугольного нечёткого числа (ТНЧ)

Ал =<0.162; 0.247; 0.385>

стиями. Это замечание справедливо и в том случае, если оценкой вероятностей занимается не ЛПР, а сторонний эксперт.

В случае применения нечётких чисел к прогнозу значений параметров от ЛПР требуется не устанавливать точечные вероятностные оценки, а формировать расчётный диапазон значений прогнозируемых параметров. Тогда ожидаемый эффект получается тоже как нечёткое число со своим диапазоном (степенью нечёткости), в котором следует принимать конкретное значение с минимальным уровнем риска. Таким образом, использование в инвестиционном анализе нечётко-множественного подхода характерно повышенным уровнем обоснованности, поскольку в нечётко-множественный расчёт попадают все возможные сценарии развития событий, образующие непрерывный спектр. При этом нечёткое множество представляет собой совокупность элементов произвольной природы, по которым нельзя с полной определённостью утверждать - принадлежит ли конкретный элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Другими словами, нечёткое множество отличается от обычного тем, что для всех или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: «Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечёткому множеству?». Можно задать этот вопрос и по-другому: «Обладают или нет его элементы некоторым характерным свойством, которое может быть использовано для задания этого нечёткого множества?».

Известно, что ключевыми моментами выбора оптимального варианта инвестиционного проекта являются оценки чистой текущей ценности проекта (ЧТЦ) и единого срока окупаемости, полученных путём дисконтирования денежных потоков [2]. Центральная проблема этих методов - входная неопределённость отно-

сительно ставки дисконта, которая может быть разрешена с помощью теории нечётких множеств. Для этого А.О. Недосекиным [3] на базе идеи, высказанной Дж. Бакли, разработан метод так называемых треугольных нечётких чисел (ТНЧ), представляющих собой нормальные нечёткие числа с функцией принадлежности в треугольном виде. Они моделируют высказывание типа: «Параметр А равен а и находится в диапазоне (а, в)», записываясь как

Ал =< а, а,в >.

При этом весь диапазон называется универсум, а число а — супремум.

Например, нечёткая функция коэффициента дисконта при нормативном сроке службы инвестиционного объекта 10 лет задаётся в виде

/(Е) = 1/[1 + (0.1 — 0.2)]10 с шагом изменения ставки дисконта 0.01. Поскольку в этой функции нет модального значения по определению, то в качестве её ядра используется значение при средней ставке дисконта 0.15, то есть

а = 1/(1 + 0,15)10 = 0.247. При этом левая граница нечёткости равна а = 1/(1 + 0.2)10= 0.162, а правая - в = 1/(1 + 0.1)10 = 0.385. Тем самым создано треугольное нечёткое число (ТНЧ) с универсумом 0.162-0.385 и супремумом 0.247, записанное как Ал =< 0.247; 0.162; 0.385 > и графически изображённое на рисунке.

Представление нечётких чисел в виде ТНЧ с функцией принадлежности от 0 до 1 включительно позволяет определять промежуточные значения нечёткого числа по формулам а' = а + т'(а - а); в' = в - т'(в - а). Например, у рассматриваемого ТНЧ по функции принадлежности т' = 0.4 промежуточные значения равны: а' = 0.162+0.4(0.247 - 0.162) = 0.196 и в' = 0.385 - 0.4(0.385 - 0.247) = 0.33. То есть от 0.196 до 0.33 включительно. Иначе говоря, образуется промежуточное ТНЧ А'л =<0.247; 0.196; 0.33>, универсум которого равняется 0.196-0.33 при том же супремуме. Аналогичный результат получается и по графику на рисунке.

Значение функции принадлежности используется для определения уровня риска исследуемого ТНЧ как интегральной меры возможности

1

по формуле г = |mdm = т2/2. В рассмотрен-

0

ном примере риск нечёткой ставки дисконта в размере 0.1-0.2 составляет 0.42/2 = 0.08, или 8%.

Такой субъективный приём весьма распространён в инвестиционном анализе, но в теории нечётких множеств для определения объективного значения функции принадлежности существует композитное выражение в следующем виде:

, X - а

т(х) = {-----^ а < х > а;1 ^ х = а;

а - а в - х

в - а

(1)

х = -

2ав - ав - а

в - а

Выполняя расчёт для ставки дисконта по формулам (2) и (1), определяем:

2 • 0.1085 • 0.16 - 0.16 • 0.072 - 0.10852

причём дробные значения функции должны быть одинаковыми.

Поэтому из их равенства нами выведена универсальная формула

т(хЕ ) =

0.16 - 0.072 =0.12986; 0.12986 - 0.1085 0.1085 - 0.072

=0.585;

т(хЕ ) =

0.16 - 0.12986

=0.585.

(2)

0.16 - 0.1085 Аналогично для чистой текущей ценности

Универсальность формулы (2) состоит в том, что при найденном по ней значении действительного числа х совпадут значения функции принадлежности ТНЧ в его границах для чисел х<а и для чисел х>а. При этом в условиях не-определённости можно принимать следующие наборы нечётких чисел: Е =( Ет1п, Етах)- инвестор не может точно установить расчётную

ставку дисконта; ЧДП =( ЧДПт1п,ЧДПтах) - инвестор прогнозирует диапазон изменения чистого денежного потока из-за возможных колебаний отпускных цен, стоимости потребляемых ресурсов, условий налогообложения, влияния других факторов; Л = (Лт1п, Лтах) - инвестор нечётко представляет себе условия будущей продажи действующего бизнеса или его ликвидации; Х = (X т1п, X тах) - инвестор нечётко ориентируется в критериях, по которым проект может быть признан эффективным, или не до конца отдаёт себе отчёт в том, что понимается под «эффективностью» на момент окончания инвестиционного процесса.

Важнейшим абсолютным признаком приемлемости инвестиционного проекта служит положительное значение его кумулятивно чистой текущей ценности ЧТЦ, образуемой путём сокращения чистого денежного потока ЧДП по принятой ставке дисконта Е. Поэтому чаще всего приходится оценивать риск именно этих экономических факторов эффективности реальных инвестиций.

В качестве примера, изложенного подробно в нашей монографии [1], рассмотрим инвестиции при ставках дисконта Е = 0.072; 0.1085; 0.16, причём первая из них определена из условия равенства нулю кумулятивного ЧДП, вторая - эндогенно обоснована в качестве оптимальной, а третья соответствует предельному значению, при котором становится равной нулю кумулятивная ЧТЦ, означая безубыточность проекта. Этим ставкам дисконта соответствуют следующие значения чистой текущей ценности: ЧТЦ = 57.4; 29.8; 0 млн руб., образуя ТНЧ 0; 29.8; 57.4.

определяем:

2 • 29.8 • 57.4 - 0 • 57.4 - 29.82

57.4 - 0

ч 44.1 -29.8 п„0

т(хЧТЦ) = ^ „—— =0.48;

44.1млн руб.;

т( ХЧТЦ ) =

29.8-0

57.4 - 44.1

57.4 - 29.8

=0.48.

Используя результат интегрирования функции принадлежности, находим, что риск нечёткой ставки дисконта, включающей её оптимальное значение, составляет гЕ = 0.5852 /2 = =0.171, а риск соответствующей этим ставкам чистой текущей ценности равняется гЧТЦ =

= 0.482 / 2 =0.115. На основании поглощения малого риска большим заключаем, что общий финансовый риск инвестиционного проекта составляет 0.171, или 17.1%.

Таким образом, использование теории нечётких множеств в виде треугольно-нечётких чисел (ТНЧ) с их функциями принадлежности позволяет избежать применения задаваемых вероятностей конкретных исходных данных, вызывающих неизбежные сомнения в объективности получаемых результатов. Разработанный нами метод пригоден для любых диапазонов оценочных параметров, поэтому может использоваться для оценки финансового риска инвестора в целом при наличии у него нескольких проектов, составляющих инвестиционный портфель.

Список литературы

1. Заде Л.М. Понятие лингвистической переменной и её применение к принятию решений. М.: Мир, 1976. 372 с.

2. Жильцова Ю.В. Современное обоснование эффективности и риска реальных инвестиций / Монография. Н. Новгород: Дятловы горы, 2009. 108 с.

3. Недосекин А.О. Нечёткий финансовый менеджмент. М.: Аудит и финансовый анализ, 2003. 103 с.

Е =

хЧТЦ

226

W.B. WmbqoBa

USING TRIANGULAR FUZZY NUMBERS FOR CALCULATION OF INVESTMENTS

UNDER UNCERTAINTY

Yu. V. Zhiltsova

A fuzzy set model for calculation and assessment of the financial risk of investment projects with the account of the investor’s expectations is proposed.

Keywords: risk of the project, investor's risk, membership function, universe, supremum, risk assessment, probability of estimated risk.