Использование «Толстых» фракталов для построения пористых структур Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.333:539.217.1:001.57

А.С. Ворошилов, К.С. Лебедев, М.С. Сазонов (аспиранты ООО «ВостЭКО»)

Использование «толстых» фракталов для построения

пористых структур

Рассматривается вопрос об использовании «толстых» фракталов для моделирования пористых структур, в том числе каменных углей.

Ключевые слова: «ТОЛСТЫЕ» ФРАКТАЛЫ, ПЕРЕХОДНЫЙ ФРАКТАЛ, ПОРИСТАЯ СТРУКТУРА, УГОЛЬ

Использование фрактальных идей оказывается перспективным при моделировании роста трещин раскола в горных породах. Было установлено, что анизотропия процессов образования, диффузия элементарных объектов структуры приводят к уменьшению фрактальной размерности, образующей двухмерные трещины. Фрактальный подход позволяет с других позиций интерпретировать масштабный эффект прочности в горных породах, причина которого связана с механизмом разрушения, структурно-масштабными характеристиками материала и геометрией дефектных множеств.

Кроме того, как показано в работе1, скорость окисления угля в зависимости от размера частиц носит фрактальный характер с размерностью:

где и - константа скорости окисления угля, а г - радиус частиц угля.

Таким образом, исследования фрактальных свойств углей имеют вполне ясную практическую ценность как при разработке моделей разрушения угля, так и при разработке моделей его самовозгорания.

Как известно, для расчета фрактальной размерности в общем виде формула имеет вид:

где Р(г) - наименьшее количество отрезков, кубов или гиперкубов, необходимых для покрытия невырезанной части фигуры.

г - длина отрезка, сторона квадрата, ребро куба, покрывающие фигуру.

Рассмотрим фрактальную структуру на примере, приведенном в работе [1]. Процесс создания данного фрактала заключается в делении исходного квадрата на 16 меньших квадратов с по-

ln r

(1)

d = ln P(r) ln(1 / r)’

(2)

1 См. статью А.С. Ворошилова, К.С. Лебедева, М.С. Сазонова «Фрактальные подходы при рассмотрении механизма низкотемпературного окисления угля» (с.92).

следующим вырезанием трех из них. На втором шаге делают аналогичную операцию с меньшими квадратами.

На рисунках 1 и 2 представлены первый и второй шаги построения фрактала, для которого будут проводиться дальнейшие исследования. Черными квадратами показана вырезаемая часть.

Рисунок 1 - Первый шаг построения фрактала

Рисунок 2 - Второй шаг построения фрактала

Отношение 1/г можно понимать как количество элементов, на которое делится фигура. В нашем случае 1/г = q. Наименьшее число квадратов для покрытия невырезанной фигуры соот-

2

ветственно равно q —п .

Из вышесказанного вытекает, что уравнение расчета фрактальной размерности для данного случая будет иметь вид:

Л 1п^2 — п)

Л=~т^’ (3)

где q - количество элементов, на которое делится фигура;

п - количество вырезанных элементов.

Для расчета площади вырезаемых элементов может быть использована формула:

^ п(д2 - п)

Г—~Ш—. (4)

'=0 д

Сомножитель п в числителе будет являться количеством вырезанных элементов только в частном случае, в общем же случае это площадь одного вырезанного элемента, остальная часть формулы является коэффициентом скейлинга.

Если взять площадь вырезанного элемента не целым числом, а, например, 0,85 от размера «стандартно вырезанного элемента», то, как показано на рисунке 3, получается, что вырезаемая фигура будет меньше единицы. Полученная фигура будет представлять собой «толстый» фрактал с размерностью выше, чем у исходного, но меньше топологической.

Рисунок 3 - Построение «толстого» фрактала ктп(дт - п)1

Г

— ат1+т

1 =0 Ч

(5)

где к - коэффициент «толстости» фрактала;

Т - коэффициент мерности пространства. Для прямой - 1, для квадрата - 2, для куба - 3 и для гиперкубов - р.

В трехмерном случае, используя такой подход построения и вырезания фрактальной структуры, можно получить модель пористой структуры угля.

Коэффициент к показывает, насколько изменилась площадь исходного единичного элемента. Введение данного коэффициента позволяет «растягивать» или «сжимать» фрактальную структуру. Необходимо отметить, что с помощью таких преобразований фрактальная размерность «чистых» фракталов для пористых структур будет значительно отличаться от размерностей, полученных без учета количества пор.

В нашем случае формула расчета фрактальной размерности преобразуется с учетом коэффициента «толстости»:

а 1п(Ч 2 - пк)

а =-------------. (6)

1п ч

На рисунке 4 представлена зависимость фрактальной размерности ё от коэффициента к для «пыли» Кантора (ё = 0,63), «салфетки» Серпинского (ё = 1,585) и «губки» Менгера (ё = 2,73). При к, стремящемся к нулю, фрактальная размерность объекта будет стремиться к топологической, фрактал будет «толстеть», и площадь вырезанных элементов будет стремиться к нулю. При к, стремящемся к единице, размерность фрактала будет стремиться к размерности Хаусдорфа, а площадь вырезанных элементов к единице, и фрактал будет «худеть», как показано на рисунке 4.

Рисунок 4 - Зависимость фрактальной размерности от коэффициента к

«Толстый» фрактал можно рассматривать как переходный между «чистым» фракталом и к - мерным реальным объектом.

В работе [2] приведены экспериментальные зависимости между пористостью песчаника и его фрактальной размерностью, из которых следует, что при повышении пористости фрактальная размерность песчаника понижается, что совпадает с положениями, высказанными выше.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Шмидт, Ф.К. Фрактальный анализ в физикохимии гетерогенных систем и полимеров/ Ф.К. Шмидт. - Иркутск: ИГУ, 2001. -180 с.

2 Булат, А.Ф. Фракталы в геомеханике / А.Ф. Булат, В.И. Дырда. - Киев: Наукова думка, 2005. -358 с.

USAGE OF «THICK» FRACTALS FOR CONSTRUCTION OF POROUS STRUCTURES

A.S. Voroshilov, K.S. Lebedev, M.S. Sazonov

The question of ««thick» fractal usage for modeling of porous structures, including coals, is reviewed.

Key words: «THICK» FRACTALS,

TRANSITION FRACTAL, POROUS STRUCTURE, COAL

Ворошилов Алексей Сергеевич тел.: (3842) 64-02-60 Лебедев Кирилл Сергеевич тел.: 89050774054 Сазонов Михаил Сергеевич тел.:89236015177