CC BY
31
УДК 378.147
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ WOLFRAM CDF ПРИ ИЗУЧЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
С.А. Муханов*, В.В. Бритвина**, А.А. Муханова***
* ** Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский политехнический университет», г. Москва *** Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский государственный аграрный заочный университет» (РГАЗУ), г. Москва
Аннотация
В данной статье рассматриваются вопросы создания и использования интерактивных демонстраций, построенных на базе файлов формата CDF. Проектирования файла рассматривается на примерах построения различных графиков для уравнения Дуффинга, включая построение фазовой плоскости и сечений Пуанкаре.
Ключевые слова:
высшее образование, математика, нелинейные колебания, Wolfram CDF. История статьи:
Дата поступления в редакцию 16.02.18 Дата принятия к печати 18.02.18
Как известно, движение маятника или груза на пружине, движение заряда в электрическом контуре при определенных допущениях можно описать одним и тем же дифференциальным уравнением, выступающим в теории колебаний в качестве основной модели, называемой гармоническим осциллятором. Другими примерами данной модели могут также выступать, например, эволюция времени во многих системах в химии, биологии, физике и пр.
Гармонический осциллятор в случае свободных колебаний имеет вид:
x + 2yx + ( x = 0,
где х (t) — переменная, описывающая состояние рассматриваемой системы (например, показывающая заряд конденсатора или характеризующая смещение маятника), у — характеризует потери энергии (например, сопротивление в электроколебательном контуре или трение в механике), Со — собственная частота колебаний.
Также можно рассматривать различные частные случаи гармонического осциллятора, например, консервативный осциллятор (при отсутствии потерь в системе, т.е. при у = 0) или рассматривать гармонический осциллятор с возмущением:
х + 2ух + С х = F (t).
Применение компьютеров в 80-х годах прошлого века позволило получить новые качественные результаты в теории колебаний. В частности, рассмотрим уравнение Дуффинга, описывающее колебания нелинейного осциллятора с трением под действием гармонической внешней силы:
х" (t) + yx'(t) + Сх(t) + sx3 (t) = A sin (х (t) - Qt).
При изучении теории нелинейных колебаний крайне полезным будет визуализация рассматриваемых колебательных систем в плане построения графиков х (t), фазовой плоскости или сечений Пуанкаре. [13] С целью комплексного изучения нелинейных колебаний нами было разработано приложение в формате Wolfram CDF. [4-5,9]
Система компьютерной математики Mathematica имеет прекрасные инструменты для решения указанной задачи, а возможность использования формата CDF, являющегося контейнером знаний с вычислитель-
С.А. Муханов, В.В. Бритвина, А.А. Муханова
ным движком на базе указанной СКМ, с большинством ее возможностей, позволяет ускорить исследовательскую работу студентов, в том числе и при изучении темы нелинейных колебаний.
Формат Wolfram CDF позволяет создавать интерактивные документы, для запуска которых не нужна сама система Mathematica, а требуется только бесплатный плагин Wolfram CDF Player. При этом указанные документы могут содержать интерактивные математические объекты с возможностью манипуляции их параметрами в тех рамках, которые предусмотрел разработчик, при помощи встроенных в документ элементов управления.
Так, например, при помощи команды Manipulate имеется возможность создания пользовательских элементов управления. Мы использовали данную команду с параметром ControlType->PopupMenu для выбора типа уравнения для визуализации.
Конкретные примеры построения графиков, фазовой плоскости и сечений Пуанкаре рассмотрим на примере уравнения Дуффинга.
Как известно, в случае свободных колебаний уравнение может быть проинтегрировано в общем виде, а в случае действия периодической внешней силы получить решение уравнения в общем виде не получается и можно получить только их численное решение.
Решение уравнений предлагается искать при помощи оператора NDSolve, который позволяет найти численное решение дифференциального уравнения в указанном диапазоне. [8] В частности для рассматриваемого уравнения Дуффинга команда будет примерно следующей:
solDuf= NDSolve[{x''[t] + rx'[t] + а2 x[t] + г x[t]3 == A Sin[x[t]-Q t],
x[0] == 1,x'[0] == 0},{x,x'},
{t,0,ControlActive [tsmall,tmax]},
PrecisionGoal- > ControlActive[8,Automatic],
MaxSteps- > ControlActive[105,<x>]]
Здесь указывается, что при помощи NDSolve решается задача Коши для уравнения Дуффинга с начальными параметрами х (0 ) = 1 и х'( 0 ) = 0. Параметр ControlActive позволяет учитывать влияние параметра управления (максимальное значение t) в решении, PrecisionGoal определяет точность решения (количество значащих цифр в числовом ответе), MaxSteps, как понятно из имени параметра, задает максимальное количество шагов в операторе NDSolve для получения результата.
Для решения задачи визуализации параметров системы х(t) предлагается использовать оператор Plot, позволяющий строить графики функций:
Plot[x[t] /. solDuf, {t, tskip, tsmall}, ImageSize -> imageSize]
Фазовое пространство (фазовую плоскость) строим при помощи оператора ParametricPlot, позволяющего построить параметрический график кривой: ParametricPlot[{x[t], x'[t]} /. solDuf, {t, tskip, tsmall}, ImageSize -> imageSize, PlotPoints -> 1000, MaxRecursion -> 3]
Еще одной важной визуализацией параметров нелинейных колебаний являются сечения Пуанкаре. В случае двумерной системы приводимой в действие периодическим сигналом, сечение Пуанкре может быть получено путем нахождения значений состояний системы через регулярные промежутки времени. Сечения Пуанкаре можно построить при помощи оператора ListPlot, позволяющего построить точки графика, соответствующие определенному списку значений независимой переменной: ListPlot[
Table[{x[t], x'[t]} /. solDuf, {t, tskip, ControlActive[tsmall, tmax],
2 Pi / Q }], ImageSize -> imageSize] Вывод: демонстрации формата Wolfram CDF позволяют обеспечить эффективныую визуализацию поведения системы при изучении нелинейных колебаний, что способно существенно повысить эффективность проводимых занятий по указанному разделу математики. [6,7] Файлы данного формата обладаютсущественной частью функциональных возможностей математических пакетов и при этом являются кроссплатформенными (при использовании бесплатного Wolfram CDF Player). Формат файла обеспечивает легкую в создании интерактивность, основанную на использовании автоматизированных математических функций СКМ Wolfram Mathematica.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Архангельский А.И., Кречетников А.Н. Практические занятия по высшей математике: Учебно-методическое пособие. М.: МГИУ, 2004.
2. Бритвина В.В., Конюхова Г.П., Муханова А.А., Муханов С.А. Высшая математика. Дифференциальные уравнения // Международный журнал экспериментального образования. 2016. № 12-1. С. 88.
3. Архангельский А.И. Обучение высшей математике как основа формирования знаний и умений будущего специалиста с высшим профессиональным образованием. В сборнике: актуальные проблемы гуманитарных, социальных и экономических наук. Межвузовский сборник научных и научно-методических трудов, Москва, 2002, с.121-127.
4. Власов Д.А., Синчуков А.В. Равновесие Нэша в биматричных играх: технология моделирования и визуализации Wolfram Demostration Project // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2016. Т. 12. № 4. С. 209-216.
5. Асланов Р.М., Беляева Е.В., Муханов С.А. Тренажер по дифференциальным уравнениям на основе Wolfram CDF Player // Сибирский педагогический журнал. 2015. № 4. С. 26-30.
6. Муханова А.А. Электронные образовательные ресурсы на базе Wolfram CDF в практике преподавания математики // Среднее профессиональное образование. — 2016. — № 4. — С. 49-51.
7. Асланов Р.М., Беляева Е.В., Муханов С.А. Интерактивные тренажеры по математике с использованием Wolfram CDF Player // В сборнике: Концепция развития математического образования: проблемы и пути реализации Материалы XXXIV Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов. Научный руководитель семинара Александр Григорьевич Мордкович. 2015. С. 195-198.
8. Муханов С.А., Бритвина В.В., Муханова А.А. Использование технологии Wolfram CDF при изучении теории Кол-могова — Арнольда — Мозера // Научное обозрение. 2016. № 22. С. 253-257.
9. Власов Д.А. Wolfram-технологии в преподавании математических дисциплин // Решение. 2017. Т. 1. С. 27-29. Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
С.А. Муханов, В.В. Бритвина, А.А. Муханова. Использование технологии Wolfram CDF при изучении нелинейных колебаний. — Системные технологии. — 2018. — № 26. — С. 23—25.
USING WOLFRAM CDF TECHNOLOGY IN THE STUDY OF NONLINEAR OSCILLATIONS
S.A. Mukhanov, V.V. Britvina, A.A. Mukhanova
Moscow Polytechnic University.
Russian State Agrarian Correspondence University
Abstract Keywords:
This article discusses the creation and use of interactive demonstrations built higher education, mathematics, nonlinear
on the basis of CDF files. The design of the file is considered using examples oscillations, Wolfram CDF.
of constructing various graphs for the Duffing equation, including the Date of receipt in edition:
construction of the phase plane and Poincare sections. 16.02.18
Date of acceptance for printing:
18.02.18
