Использование сингулярных чисел оператора монодромии в задаче устойчивости периодической системы с постоянным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ____________________________________

УДК 517.929 © Е. В. Ульянов

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ОПЕРАТОРА МОНОДРОМИИ В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассмотрим линейное периодическое дифференциальное уравнение с запаздыванием

= А(Ь)х^) + Б(£)ж(£ - и), (1)

где х : М ^ М”, и > 0, А и В — и -периодические кусочно непрерывные матричные

функции, ёе! В(£) = 0 при £ € [0, и].

Утверждение 1 ([1,2]). Для асимптотической устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом (1) необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии имели модули меньше единицы.

Оператор монодромии действует в пространстве С ([-и, 0], М”) и определяется формулой

(ир)(0) = х(и + 0,р),0 € [-и, 0] , где х(и + ^,р) — отрезок решения системы (1), соответствующий начальному моменту £о =0 и начальной функции р € С ([-и, 0], М”) [2,3]. Значения оператора монодромии являются решениями начальной задачи Коши х(0, р) = р(0) для уравнения

^ = + ^ ^) + ^ [—и,о].

Находя их, получим следующее представление оператора

9

(ир)(0) = X(0)р(0) + ^ X(^)Х—^В^р^)^, 0 € [-и, 0], (2)

—ш

где X (X(-и) = I”) — нормированная фундаментальная матрица системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^=А(#)х, 0 € [-и,0]

Оператор монодромии и допускает продолжение по непрерывности из пространства С ([-и, 0], М”) в гильбертово пространство Н со следующим скалярным произведением

о

(р, Ф) = ф* (0)р(0) + У ф*(0)р(0)^0.

—ш

Для продолженного оператора сохраняем обозначение и. Для него также сохраняется представление (2). Полученный оператор является вполне непрерывным и его спектр состоит из собственных чисел, а также может содержать точку р = 0.

Для оператора монодромии сопряженный оператор и* будет также вполне непрерывным. Для него справедливо следующее представление

о

(и*ф)(0) = X*(0)ф(0) + I X*(в)ф(в)^, (3)

(и »(§) = В *(§)Х *-1(^)

при — и ^ § < 0. (4)

X (0)^(0) + у X* (в)^(в)гів

$

Введем оператор Н = (и* и)1/2. Собственные числа оператора Н называются сингулярными собственными числами оператора и [4].

Утверждение 2. Для асимптотической устойчивости уравнения (1) достаточно, чтобы все сингулярные числа оператора и были меньше единицы.

Задачу нахождения ненулевых сингулярных чисел в оператора и можно свести к задаче нахождения условий, при которых система уравнений

ир = в-0, и*ф = вр (5)

имеет нетривиальное решение.

С помощью формул (2), (3) и (4), определяющих представления операторов и и и * , система (5) сводится к следующей системе уравнений

X (0)

р(0) + X (s)B (s)p(s)ds

= sp(0), 0 Є [-и, 0],

B*(0)X * —1(0)

X *(0)p(0) + X *(s)p(s)ds

= sp(0), 0 Є [-и, 0),

o

X*(0)ф(0) + J X*(в)ф(в)^в = вр(0).

—ш

Полученная система уравнений была сведена к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Т еорема 1. Ненулевые сингулярные собственные числа оператора монодромии и являются собственными числами следующей краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

ф = А(0)ф + в-1В(0)р, р = (В*(0) - В*(0)А*(0)) В*-1(0)р - в-^*(0)ф, 0 € [-и, 0),

В *—1(-и)р(-и) = вф(-и), ф(-0) = вВ *—1(0)р(-0).

Список литературы

1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

2. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, №3. С. 450-458.

3. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

4. Гохберт И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965.

o

Ульянов Евгений Валерьевич Уральский государственный ун-т, Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]