Использование программ численного решения задач интерференции поляризованного излучения в учебном процессе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ПОЛЯРИЗОВАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ З.Г. Симоненко

В настоящее время большое распространение получают оптические методы контроля в области физики, физической химии поверхностных явлений, в микроэлектронике с использованием многослойных структур. Оптические постоянные являются важными характеристиками, определяющими многие физические свойства прозрачных, поглощающих, оптически активных сред, методы их исследования в проходящем и отраженном свете. Исследование с помощью методов эллипсометрии было предложено студентам пятого курса в качестве учебного материала. В данной работе со студентами использовались различные математические представления для описания поляризованного света и теоретические модели для описания взаимодействия поляризованного света с оптическими элементами, составляющими поляризующую оптическую систему, т.е. реальный эллипсометрический прибор.

Изучение состояния поляризации можно провести как в отраженном, так и в проходящем свете. В случае исследования тонкого металлического слоя преломленная волна практически поглощается в очень тонком поверхностном слое. Поэтому в данном случае целесообразно использовать измерения в отраженном свете. Наоборот, при слабом отражении от диэлектриков основным методом исследования является эллипсо-метрия в проходящем свете. В тех случаях, когда возможны соответствующие измерения в отраженном и проходящем свете, эллипсометрия в отраженном свете удачно дополняет эллипсометрию в преломленном свете, и наоборот. Следует отметить, что эллипсометрия позволяет определить не только оптические константы чистых поверхностей материалов, она позволяет также, исходя из непосредственно измеряемых параметров эллипса поляризации, определить характеристики тонких поверхностных пленок, возникающих вследствие адсорбции и т.д., например, толщину (вплоть до долей ангстрема) и показатель преломления (с точностью до 10-5) поверхностного слоя, что находит широкое применение в микроэлектронике и сенсорной технике.

Рассмотрим некоторые из предложенных студентам задач. Например, требуется изучить характер изменения поляризации света в условиях полного внутреннего отражения, а именно, создать алгоритм и с помощью графических данных проанализировать следующие зависимости:

• зависимость коэффициентов отражения перпендикулярной и параллельной составляющих падающей волны от угла падения;

• зависимость разности фаз перпендикулярной и параллельной составляющих отраженной волны от угла падения;

Для построения зависимостей коэффициентов отражения, разности фаз от угла падения волны используются следующие исходные данные:

• показатель преломления среды распространения волны n¡;

• показатель преломления отражающей среды n2;

При построении зависимостей коэффициентов отражения от угла падения волны используются следующие известные из литературы [1] формулы:

cos a- i • sin a n2 cos a- i • n,2 sin a

p p =-——; p. =—2-—.. (1)

cos a + i • sin a n2 cos a + i • n,2 sin a

При построении зависимости разности фаз составляющих отраженной волны от угла падения используются следующие [2] формулы:

sin 2a

5 p = 2-a; 5, = arctg—---.. (2)

2 /^2 42

(— - sin a) - (— - cos a)

n2 ni

Расчет зависимостей был программно реализован на языке С++ средствами TurboC++3.0 и BorlandC++5.0. В результате получены исполняемые файлы Raschet.exe - расчетный модуль; Graph.exe - графический модуль. Полученный графический материал иллюстрирует свойства частично поляризованных преломленного и отраженного лучей для измерения параметров массопереноса в анизотропной среде.

В любой области естественных наук одним из главных факторов прогресса является развитие методов измерения, причём немаловажно обеспечить также возможность автоматизации процесса измерений и обработки результатов с помощью ЭВМ. В оптическую систему, которая используется для проведения эллипсометрических исследований, может входить целый ряд таких приборов, как различные линейные и эллиптические фазосдвигающие устройства, поляризаторы и т.д [3] . Соответственно, такую систему можно представить в виде совокупности устройств, последовательно расположенных на пути светового пучка, существует также и математическая модель такого представления.

С точки зрения математического моделирования удобно иметь модель каждого из элементов оптической системы с тем, чтобы, компонуя эти модели в разном порядке и задавая их параметры, можно было бы смоделировать нужную оптическую систему.

Основной целью данной работы было написать и отладить программу, моделирующую изменение поляризации светового пучка в результате его прохождения через линейное фазосдвигающее устройство.

Преобразование матрицы Джонса при повороте системы координат относительно оси z выглядит следующим образом:

T' = R(a )TR(-a) (3)

Пусть волна распространяется вдоль оси z прямоугольной декартовой системы координат через одноосную линейную двулучепреломляющую среду, при этом составляющая эллипса поляризации, параллельная оси y, параллельна оптической оси системы.

Для идеальной линейной фазосдвигающей пластинки матрица Джонса имеет вид (составляющая эллипса поляризации, параллельная оси y, параллельна оптической оси системы):

e - j2pnez /1 о

T =e 0 ' (4)

0 e - J 2pnoz / 1

где ne, no - необыкновенный и обыкновенный показатели преломления среды; d - толщина среды; 1 - длина падающей волны.

Вычисляя значение входного вектора Джонса и умножая матрицу Джонса (12) на матрицу поворота R(a), получаем искомую матрицу:

5 5

2 JT • 2 - г. • • -5

cos ae 2 + sin ae 2 2 j sin a cos a sin —

T = 5 5 2 5 , (5)

~ • • -5 . 2 J2 2 -J2

2 j sin a cos a sin— sin ae 2 + cos e 2 2

где 5 - разность фаз, вносимая пластиной.

В результате написана программа, моделирующая изменение поляризации света, прошедшего через линейную фазосдвигающую пластину (5=1/2, 5=1/4). Была также выведена зависимость изменения состояния поляризации от угла между оптической осью и системой координат и входного угла эллиптичности e . Хорошо видно влияние

угла а на выходной эллипс поляризации. Представляет интерес зависимость выходного азимута 9 от входного угла а (при угле а=45° 9 не зависит от а). Зависимость выходного азимута 9 от входного угла эллиптичности е является линейной, с коэффициентом пропорциональности, равным -1.

Решая обратную задачу эллипсометрии при исследовании тонких пленок, используем обратную матрицу Джонса,. которая будет иметь вид:

т- =е 0 , (6)

• 2рПе с-}2рпег /1 о

аТ (2) =1 (7)

dz о •2™р е -•2™»г /1

1

Тогда дифференциальная матрица распространения Джонса примет вид: - 12рп /1 0

N(2) = 0 е • 2 ,. . (8)

0 - •2рп0/1

Подставляя элементы этой матрицы в выражение (5), получим искомое состояние поляризации выходящей волны. Разработан текст расчетной программы, блок-схема алгоритма и инструкция по ее использованию. В результате исследования была составлена математическая модель, описывающая данный оптический прибор, а также составлена программа, рассчитывающая параметры поляризации света для такой пластинки. Программа расчета является универсальной и позволяет рассчитывать множество типов таких оптических элементов. Анализ результатов работы программы позволяет определить закономерности в его работе без проведения опытов, что существенно сокращает время исследования [4] .

Разработаны инструкции по использованию расчетных программ, которые состоят из исполняемых файлов polar_light2.exe и ^Ы:/ехе, а также служебных файлов. Исходные данные для расчета задаются в файле data.txt в следующем формате:

• длина волны, м;

• обыкновенный показатель преломления;

• необыкновенный показатель преломления;

• толщина пластины, м;

• азимут входного эллипса поляризации, град;

• эллиптичность выходного эллипса поляризации, град.

Расчетная часть программ выводит результаты расчета на экран и в файл outdat.txt в следующем виде:

• представление входного эллипса поляризации на комплексной плоскости

• вектор Джонса для входной волны;

• X и У-гармоники для входной волны;

• представление выходного эллипса поляризации на комплексной плоскости;

• вектор Джонса для выходной волны;

• X и У-гармоники для выходной волны;

• аараметры входного эллипса (азимут, эллиптичность (град));

• аараметры выходного эллипса (азимут, эллиптичность (град));

• входная разность фаз между х и у-гармоникой (град);

• выходная разность фаз между х и у-гармоникой (град);

• разность фаз, вносимая пластинкой (град).

Графический модуль выводит на экран:

• графики зависимости азимута и эллиптичности выходного эллипса от эллиптичности входного при фиксированном значении азимута входного эллипса поляризации;

• представления на комплексной плоскости гармоник входной и выходной волны;

• входной и выходной эллипсы поляризации.

Экраны в программе переключаются нажатием любой клавиши.

Литература

1. Гошков М. М. Эллипсометрия. М.: Сов. радио, 1974.

2. Пирс Дж. Почти все о волнах / Пер. с англ. д-ра физ.-мат. наук М. Д. Карасева. М.: Мир, 1976.

3. Аззам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет / Пер. с англ. под ред. чл.-корр. АН СССР A.B. Ржанова и д-ра физ.-мат. наук И. К. Свиташева. М.: Мир, 1981.

4. Симоненко З.Г. Численные методы решения задач эллипсометрии при анализе системы подложка-плёнка. // Оптические методы исследования дефектов и дефектооб-разования элементной базы микроэлектроники и микросенсорной техники. Сборник научных статей. СПб, 2002. С. 109-111.