Использование несамосопряженных операторов для построения нелинейных уравнений с солитонными свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С СОЛИТОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Т. В. Редькина

THE APPLICATION OF NONSELF-ADJOINT OPERATORS FOR CONSTRUCTING EQUATIONS WITH SOLITON PROPERTIES

Redkina Т. V.

The possibility to construct non-linear equations having nonself-adjoint operators is considered; it is also proved that the obtained equations have a number of soliton properties and have soliton-like solutions.

Key words: non-linear equations in partial derivatives, Painleve property, Backlund conversion.

В статье рассматривается возможность построения нелинейных уравнений имеющих несамосопряженные операторы, а так же доказывается, что полученные уравнения обладают рядом солитонных свойств и имеют солитоноподобные решения.

Ключевые слова: нелинейные уравнения в частных производных, свойство Пенлеве, преобразование Беклунда.

Рассмотрим случай о совместности операторного уравнения Лакса

Ь = [Ь, А] = ЬЛ - АЬ , (1.1)

Ь, Л - дифференциальные операторы первого порядка с матричными коэффициентами 2x2

С С

Ь = а — + и, Л = р — + V, (1.2) Сх Сх

где иу, Уу - произвольные функции двух

переменных X и I, ограниченные при X ® ±¥, ау, Ву - произвольные постоян-

У ' У

ные, I = 1,2; у = 1,2. Матицы а, и такие, что оператор Ь является несамосопряженным. Использование таких операторов и обоснование возможности получения интегрируемых уравнений дано в работе [1].

Лемма 1. Коммутатор [Ь, А] = ЬЛ — ЛЬ является оператором умножения, если выполняются условия

[а, р ] = 0, [и, р ] + [а, V ] = 0. (1.3)

Лемма 2. Если система (1.3) выполняется тождественно, то уравнение Лакса эквивалентно операторному уравнению

Ь = [и^] + аГ — Рих, (14)

где Ь,иV,а,р имеют вид (1.2).

УДК 517.95

1. Вывод дифференциальных уравнений в частных производных с помощью операторного уравнения Лакса

Лемма 3. Если выполняются условия

a11 = -a22 = a, al2 = -a2l = b, (a2 - b2 > 0), (321 = -Д2 = kb,

b22 = Al + 2ak V12 = -k(U21 + U12 ) - V21' 2a

v22 = v11 + k (un - м22) + ь(ku21 + v21), a, b, k - const,

то система (1.3) выполняется тождественно. Теорема 1. Уравнение

(1.5)

4

'1 - ^'

v b2y

(е - РР„) z = 0

(1.6)

обладает парой Лакса с операторами L и А вида

Л

L =

a

b Л

v-b -a0

д„

-a

TJ

b -p --е pxz -a2 a - p1 - T * Pxz

4 b 2

0 a b p

^P* - -Ле Pxz

2 4 0

л=

Л 0 .о b

10

-е' 2a

bv11x + kbu11x

г, д д д

где р11--1--= —, а, Ь, ри - произвольные постоянные, р(х,() - функция двух переменных

дх дt д2

X и t, причем ограниченная при X ® ±¥.

Доказательство. Пусть условия (1.5) леммы 3 выполняются, тогда в матричном уравнении Лакса (1.1) отсутствуют операторы дифференцирования. Введем новую комбинированную переменную (Дх + ак) х + t = 2 и распишем матричное уравнение (1.4) в виде системы, тогда

аУ11х + ЬУ21х + каи11х + кЬи21х + и12У21 + [к(и21 + и12) + У21]и21 = М11г ,

а (ки21 + У21 )х +(и22 " и11 + 2аЬ^'и12 )(ки21 + У21 ) = и122

/ _1 \/ ч (1.7)

-ЬУ11х " аУ21х " кЬи11х " аки21х + (и22 " и11 " 2аЬ и21 )(ки21 + У21 ) = и212 Ь[ки21 + У21]х - а (У„ + кип + 2аЬ— (ки21 + У21 ))х - [ки21 + У21 ](и21 + и12) = и222 •

Система имеет большой произвол, поэтому наложим дополнительные условия на произвольные функции, так чтобы полученные уравнения упростились, пусть выполняются соотношения к = 0, и21 = 0, Уц = 0, тогда система (1.7) упростится и примет вид

и12 У21 = и112 " ЬУ21х , аУ21х + (и22 - и11 + 2аЬ ^и12)У21 = и12 2

(и22 - и11 ) У21 = аУ21х , Ь - 2а2)Ь"Чье - У21и12 = и222 .

Подставим из первого уравнения произведение и12У21 и (и22 — и11) У21 из третьего во второе равенство, тогда после элементарных преобразований получим 2аЬ 1и1Ъ = и12 2, следовательно и12 = 2аЬ 1и11 (постоянную интегрирования будем считать равной нулю). Сделаем замену функции У21 = ер(х'2), тогда (1.8) примет более компактный вид

(1.8)

2аЬ-1ипер = иПг - Ъеррх, арх + ип = м22,

2(Ъ2 - а2 )еррх = и

(1.9)

Второе равенство дает возможность определить еще одну ранее неизвестную функцию

и22 = арх + и11. (110)

После подстановки найденной функции система содержит только два соотношения

2аЪ~1и11ер + Ъеррх = и11г, 2(Ъ2 - 2а2)Ъ-1еррх -арх2 = 2и11г, (1.11)

из которых можно определить и11

а Ъ „

и„ =-2 рх - 4е-Ррхг. (т)

В результате проделанных операций в системе (1.7) после подстановки найденных функций остается только одно уравнение (1.6). Ранее определенные функции примут вид:

-а Ъ -р а2 а -р а Ъ -р

и21 = 0. и11 = ~ рх - 4е рх2 , и12 =-Ърх - 2е ^х, , и22 = 2 рх - 4е рх2 ,

2 4 Ъ 2 2 4

У21 = ер . У11 = 0. У12 = -еР. У22 = .

Теорема доказана.

Аналогично доказываются теоремы 2 и 3. Теорема 2. Уравнение

4(Ъ2 - а2)УхУг + Ъ2(1п V,)х2 = 0

обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида

(1.13)

Г Ъ2 - а2

(

Ь =

а

ъ л

к-Ъ -а0

7 2 2 2

а., ч - а а .. .

Ух --(1п)х 2—— аух (1п)х

Ъ 2 Ъ Ъ

;2 2

Ъ - а а ,,

0 Ух + 2(1п V, )х

Ъ 2

А =

А 0

о р

11 у

Г 0 -V, Л

2а

V, -V,

V 2 Ъ , 0

д д д

где р11--1--= —, а, Ъ, р11 - произвольные постоянные, у(х,() - функция двух перемен-

дх д? д, ных х и

Лемма 4. Если выполняются условия

а11 =-а22 = Ъ, а12 = 0, а21 = а ф 0, Р22 = с

Р12 = 0, р 21 = ка, Ри = 2Ък + с, у12 = ки12, и11 = 0, (114)

а , ч ка

У21 = 2" (У11 - У22) + 2" и22 + ки21' а' Ъ, c, к - СОт1' 2Ъ 2Ъ

то система (1.3) выполняется тождественно.

Теорема 3. Уравнение

а2 и а а

—е иг +- ихг - и,д + - ихи, = д,

2Ь ' 2

обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида

(Ь 0 л ( 0 ви (х,*) Л ( 2Ьк + с 0 Л

Ь= д + А =

1а -Ь 0 х а -Ьи х V ак с )

кв'

|(х,0 Л

а

^ ^ ^ а

где (с + кЬ)--1--= —, V,, =—-(Ьк + с)<

V дх дг д2 11 2Ь '

стоянные, д(х, г) - произвольная функция. Следствие. Уравнение

а

а

2Ь

ка--и V,, + и, + си

1 Л7 2 11 г х

2Ь

| в"и^х, а, Ь, с, к - произвольные по-

—ии2 + 2и„ +(1п и ) и = 0

у2 2 х2 V 2 / 2х обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида

( 0 и (х, г)

Ь =

( 2Ьк + с 0 Л

' Ь 0 Л

V а -Ь ) (

— (1п и2 ) х -Ь(1п и ) х

V 2

А =

д д д

V ак с у

ки( х, г)

(1пи)2 -ак(1пи)х с(1пи)х +(1пи) +

V 2Ь 2

/ ,,\д д д а , ч а г

где (с + кЬ)--1--= —, V,, =—2(Ьк + с)и +--- I и(ах, а, Ь, с, к -произвольные по-

дх дг д2 2Ь 2Ь 1

стоянные.

Полученные уравнения выходят за замки полного списка интегрируемых систем представленных в работе [2], так как не являются эволюционными и доказательство их интегрируемости может быть дано при дальнейшем анализе.

2. Солитонные свойства, полученных уравнений

2.1 Метод дифференциальных связей

Теорема 4. Уравнение (1.6) имеет решения р(х,2), представленные в неявном виде:

для С, > 0 2в-^С,С2вР + С,2 - С, Вв2 р + 2С,в-р + С2 = С/^(ф(х)+с2),

JВ С 2

. _ ----2

С, 4С,

(С3 ' ^(ф(х) + с2))-

для С, > 0, 4С, В + С22 = 0, р(х, 2) = - 1п

( С г- С Л

в V С, (ф (х)+с2) - 2

V 2С,

2С,

, У

для С! < 0, 4С, В > С22, в -р = В + Ст

1С, 4С,

8Ш (С3 • ф(х) + с2))-

С

2С,

С

2С,

(2.1) (2.2)

(2.3)

(2.4)

где В = 4(Ь - а )с Ь , с, С}., у = 1,2,3 - произвольные постоянные, ф(х) - произвольная функция.

Доказательство. Выполним в уравнении (1.6) раскрытие производной, тогда оно перепишется в виде

4(1 - а2Ь-2)в2ррх - р2рх2 + Рх^ = 0. (2.5)

В полученном уравнении нетрудно заметить, что все члены имеют первую производную по переменной х, следовательно, можно предположить, что решения уравнения допускают преобразования координат вида: х + с2 ® (р(х) + с2 , где с — свпл(, рр - произвольная функция. Перейдем в уравнении (2.5) к переменной X = ((х) + с2, тогда

I

4 (1 - а 2Ь-2 )р'(х)(е2у)' + 2с 2р'(х)у "'- с 2р'(х) ((у ')2) = 0, (2.6)

которое после сокращения на с 2р'(х) Ф 0 и однократного интегрирования преобразуется к виду

2 е2У +У"- 1(У ')2 = С1, (2.7)

где С - произвольная постоянная интегрирования.

Уравнение (2.7) не содержит независимой переменной, поэтому такое уравнение допускает понижение порядка с помощью следующей подстановки у' = ф(у) . Выразив у'' = ф'ф, перепишем (2.7) виде

4 е2у = ^ - ¥' + С1, (2.8)

с Ь

где ^ (у) = ф (у) .

Уравнение (2.8) линейное, его решение легко определяется ф2 (у) = ^ = С2еу - 4(Ь2 - а2)с~2Ь~2е2у + С1, где С2 - постоянная интегрирования. Так как

ёу

-= ф(у), то функция у определяется из интеграла

ёХ

Г йу =±Х + Сз, (2.9)

у!С2еу - 4(Ь2 - а2)с~2Ь-2е2у + С1

где Сз - постоянная интегрирования.

В зависимости от соотношений между значениями В = 4(Ь2 - а2)с~2Ь~2, С2 и С1 интеграл (2.9) принимает вид (2.1) - (2.4) и дает решения уравнения (2.5) в неявном виде. 2.2 Свойство Пенлеве

Свойство Пенлеве заключается в отсутствии подвижных критических точек в решениях дифференциальных уравнений. К критическим особым точкам относятся точки ветвления и точки существенных особенностей. Это означает, что от постоянных интегрирования может зависеть только положение полюсов.

Для определения, имеет ли уравнение подвижные критические точки, воспользуемся методом, описанным Абловицем, Рамани и Сегуром [3] и применим его к уравнению (1.6). Избавимся в (1.6) от показательной функции с помощью замены р(х, 2) = 1п л(х, 2), где 5(х, 2) -новая неизвестная функция

4 (1 - а 2Ь-) + (лГ77л - 3л*7 - ЯЛ- ) 5 + 3л2лх = 0. (2.10)

У I х У х22 х2 2 х 22 / 2 х ^ '

Теорема 5. Нелинейное уравнение в частных производных (2.10) имеет решение в виде локального разложения в ряд Лорана

а ¥

л(х, 2) =-^ + Х а} (х) (2 - £(х)), (2.11)

2 £ (х) 1=0

с полюсом первого порядка, коэффициенты которого определяются по рекуррентной формуле

1

an+5 =

n+4 n+3-j

-X Zaa

Гк

f „2 Л n+2- j-кп+1- j-к-

X X

1 —

[3n +19 + (n + 5)(n + 9n + 17)]a-v j=-1 k=-1

+ 1 - j - k - m - 1 ]an+1-j -k - m-V' - аП- j - k-m-1 ) + [(n + 1 - j - 4k )(n + 2 - j - k) -

-k(k -1 - 3j)]([n+3 - j - ка v a' ) 1 (n+6)(n+4)

1=0

amai ([nH (2.12)

n+3- j -k V an+2- j -к ) b

[3n +19 + (n + 5)(n + 9n +17)] V'

a

где n = -2,-1,0,1,2,..., a-1 =±—,-

2 V a2 - b

- const, a2(x) =

[2<-a;]- a°

4a-jV'

3a1

2a-j '

функции V (х), а0(х), а^х) - являются произвольными.

Доказательство. Представим функцию х, 2) уравнения (2.10) в виде

¥

*(х, 2) = X ап(х)(^ - V(х)Г .

(2.13)

Определим поведение главной части решения уравнения (2.10) в окрестности подвижной особенности - произвольной функции v(x). Найдем, для какого значения N ряд (2.13) может удовлетворять уравнению (2.10). Положив X = z - V(x), оценим степени главной части ряда Лорана и подставив в исходное уравнение (2.10) заданные оценки получим, что старшие степени будут совпадать, если - 5N -1 = -3N - 3 , откуда N = 1. Если бы N не являлись целым, то мы получили бы алгебраическую точку ветвления и уравнение (2.10) не обладало бы свойством Пенлеве.

Так как уравнение (2.10) имеет третий порядок, то общее решение должно зависеть от трех произвольных функций, играющих роль постоянных интегрирования. Определим, при каких степенях могут возникнуть произвольные функции. Положим s ~ cX-1 + dr-1Xr-1, c, dr-1, r - const, тогда уравнение (2.10) даст следующее соотношение между коэффициентами при высшей степени X 6:

4 (1 - a 2Г2) c5 + (6 - 8 + 3)c3 = 0, b

тогда значение старшего коэффициента c = ±

2Va2-b:

; а коэффициенты при X'

4 (1 - а2Ь-2) с2 (г - 5) + (г - 1)(г - 2)(г - 3) - 4 - 4(4 - г)(г -1) + 9(г -1) = 0, (2.14)

представляют собой алгебраическое уравнение на г. Корни этого уравнения укажут порядок, при котором возникнут произвольные коэффициенты.

Равенство (2.14) после подстановки значения с, преобразуется к виду (г -1)(г - 2)(г +1) = 0, тогда г = -1, 1, 2. Учтем поправки на наивысшую степень и получим

{-5, -4} - степени при которых возникнут произвольные коэффициенты. С учетом, что д(х) -уже выбрана произвольной функцией, получим ровно три независимые переменные.

Теперь, выделив главную часть в разложении (2.13) и найдя частные производные нужного

порядка уравнение (2.10) распадается на систему обыкновенных дифференциальных уравнений

п

по степеням д , которую решаем относительно ап:

Ь

(2.15)

п = -6: -4

- a! ^ b2

a-1 - a-1 = 0, тогда a-1 = ±

2Va2 - b2

п = -5: 16

( а2 ^

1 - ^

V Ь 0

-_1а0д' + 2а-1 (6ао (х)- а0 (х)- Зао (х)) V ' = О,

выполняется тождественно,

тогда а0 (х) - произвольная функция;

п = - 4: 4

( а2 ^ 1 -

V Ь 0

(а_1[а0 + За^' ] + 6а-1а0£' ) + 6а-1а1£ ' + 6а^£ 'а0 + а^[а0 - За^' ] = О

выполняется тождественно, тогда а (х) - произвольная функция; для п-ой степени X (п = -2,-1,0,1,2,...):

п+5 п+4-/

22

/=-1 к=-1

аа

( „2\ п+3- / - к п+ 2- /-к-

1а —- —

2

V

2 2 аша1 (аП-/-к-т-1 - [П + 1 - / - к - т - 1 ]а

п+1-/-к-т

V')

У

т=-1 1=-1

+[(п +1 - / - 4к )(п + 2 - / - к) - к (к -1 - 3/)](аП+2- ,-к - [п + 3 - / - к К+з-1 - ^' )

= 0.

Выделив в полученном равенстве члены с наибольшим индексом п + 5, получим значение коэффициента ап+5 в явном виде - (2.12), которое дает рекуррентную зависимость между коэффициентами ряда Лорана.

В результате функция X, /) имеет локальное разложение в виде ряда Лорана с тремя произвольными функциями от х: д(х), ао (х) , а1(х), следовательно, свойство Пенлеве для уравнения (2.10) выполняется. 2.3 Преобразование Беклунда

Воспользуемся идеями построения преобразований Беклунда, основанными на законах сохранения [4].

Теорема 6. Уравнение (1.6) переходит в уравнение

а

1

V У

1[1 + а 1уу ] 0

- (д~\ = 0, а = 4

с помощью преобразований Беклунда вида

д д

-р д д — =--е Рх? — ,

^ -I /"ч у

дх дц ду д?

\ - а! ^

ь2

д_ ду

где д(уV) = ер(x,7).

Доказательство. Исследуемое уравнение (1.6) имеет вид закона сохранения

а д р д р а~геР = -т"(е РРх?)'

дх д?

где а = 4 (1 - а2Ь~2), или (2.16) представляет собой условие интегрируемости уравнения в полных дифференциалах

(2.16)

йи = 4

V- Ь2,

ерй2 - (е Ррх?) йх, йц = dx.

Преобразование Беклунда построим на основании преобразования координат, что определяет переход от независимых переменных х и 7 к новым независимым переменным у и п по правилу

д д - р д д р д

— =--е ррхг—, — = аер —. (2.17)

дх дц ду д? ду

Применим (2.17) к (2.16), для этого подействуем первым преобразованием на pz, а вторым на функцию p , в результате получим

Pxz = a[ePPV Py + ePPyh - Pxz (P2y + Pyy )]. Найдем значение pzx через новые переменные у и п

P Ph Py + Phy Pxz = " r2 ч •

1 + a (Py + Pyy)

Определяя (e-Ppxz)z и (ep)x в виде

A (e-PP„) = a 2ep A, P" P 2+P" ), ^ = f - a , P»P> + *у ) ^, (2.18)

dz dy 1 + a(Py + Pyy) 5x dh 1 + a(Py + Pyy) dy

выполним их замену в исходном равенстве (1.6)

deP 2 PhPy + Phy dep 2 p 5 PhPy + Pry a--a -——---+ a ep--—^—-— = 0.

dh 1 + a(Py + Pyy) dy dy 1 + a(Py + Pyy)

Объединив два последних слагаемых, выделив полную производную и сделав замену ep(hy) = q(h, y), получим новое уравнение

a qh y =dq-1 dy q[q + aqff ] dh '

Теорема доказана.

Выводы

1. Рассмотрено использование операторного уравнения Лакса с несамосопряженными операторами рассеяния для получения нелинейных уравнений. Получено три новых неэволюционных уравнения.

2. Для этих уравнений изучено наличие некоторых свойств солитонной математики: найдены точные решения; на основе законов сохранения получено преобразование Беклунда; доказано, что уравнения обладают свойством Пенлеве и построено решение в виде ряда Лорана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А., Мальков К. В., Моисеев Е. И. Базисность систем корневых функций несамосопряженных операторов и интегрируемость ассоциированных представлением Лакса нелинейных эволюционных уравнений // Дифференциальные уравнения. -Т. 25. - № 11. - 1989. - С. 1956-1970.

2. Михайлов А. В., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметричный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. - Т. 42. - Вып. 4 (256). - 1987. - С. 3-53.

3. Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. Nonlinear evolution equations of Painleve type // Lett. Nuovo Cim., 23, 1978.

4. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.

Об авторе

Редькина Татьяна Валентиновна, ГОУ ВПО

«Ставропольский государственный университет», доцент, кандидат физико-математических наук. Основные направления научных исследований - нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, солитоны, метод обратной задачи рассеяния. ТУЯ.59 @шаП.ги