Использование нечеткого логического вывода при анализе сложных технических систем Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 510.6:62

Г.А. Пюкке

Камчатский государственный технический университет, г. Петропавловск-Камчатский, 683003 e-mail: geopyukke@yandex.ru

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА ПРИ АНАЛИЗЕ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Предложенный в работе метод, основанный на использовании нечеткого логического вывода, позволяет использовать методику лингвистического описания процессов для построения нечетких диагностических моделей. Подобный подход позволяет, жертвуя точностью в рамках поставленной инженерной задачи, успешно решать некоторые проблемы, связанные со сложным характером взаимозависимости параметров составляющих компонент системы, их нелинейностью и вероятностным характером процессов, протекающих в системах. Приведен алгоритм нечеткого логического вывода для диагностирования нелинейных зависимостей, построена модель зависимости диагностического признака от параметра компоненты в виде нечеткого отношения. Выполнено включение нечетких оценок в процесс построения диагностической модели с последующей формализацией вычислительных процедур, что приближает решение задачи к реальным условиям и позволяет построить аналог натурных зависимостей величин.

Ключевые слова: фаззификация, нечеткая зависимость, лингвистическая переменная, диагностический признак, логический вывод.

в.А. Pyukke (Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatsky, 683003) The use of fuzzy logical inference during analysis of complex technical systems

The method offered in the articleis based on the use of fuzzy logical inference and allows using the method of linguistic processes description for creation of fuzzy diagnostic models. Losing accuracy within the framework of given engineering problem this approach allows to solve some problems successfully connected with complicated nature of parameters interdependency forming subsystem, their nonlinearity and stochastic processes nature which take place in the systems. The algorithm of fuzzy logical inference for diagnostics of nonlinear dependences is given; the model of diagnostic character dependency from parameter's component in the form of fuzzy relation is built. The use of fuzzy ratings in the process of diagnosis model with following formalization of computational procedures is done. It makes task solving in the real conditions and allows making analogue of full-scale values dependencies.

Key words: the process of making fuzzy, fuzzy dependency, linguistic variable, diagnostic sign, logical conclusion.

В01: 10.17217/2079-0333-2015-32-12-20

При анализе сложных систем приходится отказаться от высоких стандартов точности, характерных для систем небольшой размерности. В этих условиях требование адекватности диагностических моделей не гарантировано. Это связано, как правило, со сложным характером взаимозависимости параметров компонент, их нелинейностью и вероятностным характером процессов, протекающих в системах. В частности при неполной или ограниченной информации о надежности компонент задача идентификации попадает в ранг трудноразрешимых. Техническая наука имеет определенные исторически сложившиеся подходы к решению задач подобного рода: численные методы, корреляционный анализ, метод статистических испытаний и др. Качественно новый подход был сформулирован в работах [1] и связан с введением лингвистических переменных, описывающих нечеткое восприятие человеком окружающей действительности. Это дает возможность ввести методику количественного анализа тех явлений, которые ранее из -за сложности и многофакторности моделей не рассматривались либо могли быть учтены только на качественном уровне.

В ряде работ [1] по идентификации нелинейных зависимостей разработан метод двухэтап-ной идентификации нелинейных зависимостей с формированием нечеткой базы знаний, отражающей взаимосвязь между входами и выходами с помощью лингвистических правил «ЕСЛИ -ТО», где возможность параметрической идентификации исследуемой зависимости выбирается из условия нахождения таких параметров нечеткой базы знаний, которые минимизируют отклонение модельных и экспериментальных результатов. Упростить процедуру разработки диагностического обеспечения можно включением системы экспертных оценок в процесс принятия решения с последующей их формализацией и использованием в диагностических моделях.

Возможность применения лингвистических методик обоснована доказательством теоремы Коско, согласно которой посредством естественно-языковых высказываний-правил «ЕСЛИ -ТО», с последующей их формализацией средствами теории нечетких множеств, можно сколь угодно точно отразить произвольную взаимосвязь «входы - выход» без использования сложного аппарата дифференциального и интегрального исчисления, традиционно применяемого в управлении и идентификации.

В настоящей работе приведен метод диагностирования, базирующийся на использовании детерминированной аналитической модели. В условиях неполной информации в диагностическом эксперименте применение детерминированной модели не всегда оправдано из-за имеющей место вероятности постановки ложного диагноза. Поэтому введение нечеткого порога и включение нечетких оценок в процесс построения диагностической модели с последующей формализацией вычислительных процедур приблизит решение задачи к реальным условиям.

Для формирования приближенных рассуждений используется композиционное правило вывода, то есть аппроксимация исследуемой зависимости на основе лингвистических высказываний «ЕСЛИ - ТО» с использованием операций над нечеткими множествами. Описанная в работе [2] диагностическая модель (рис. 1):

К — К — ДЫ К — ию

К — Гг(£г) К2 — Б2&2) К — Ь2(К2) (1)

К — ¥т К — К — Ьт(К2\

где К1, К2 - коэффициенты передачи выбранных каналов прохождения тестового сигнала ОД; g1, gm - параметры структурных единиц ОД (входные параметры), может быть приведена к нечеткой форме на основе построения нечетких моделей, идентифицирующих зависимости (1) в заданном диапазоне изменения параметров структурных единиц (СЕ) с использованием обучающей выборки.

Рис. 1. Диагностическая карта, построенная Рис. 2. Зависимость диагностического признака

на основе детерминированной модели от параметра компоненты в виде нечеткого отношения

Зависимости К — ^) и К — Б, ^) могут быть представлены в виде нечеткого отношения Е на декартовом произведении ОХ*ОУ (рис. 2), где g - нечеткое подмножество входных параметров; g* - цилиндрическое нечеткое множество с основанием g; g* ^ Е - пересечение g* с нечетким отношением Е. Значения У в виде нечеткого подмножества К можно получить, проектируя пересечение g* ^ Е на ось ОУ. Операции с функциями принадлежности ця, ця*, цЕ, цК соответствующих множеств g, g*, Е, К устанавливают взаимосвязь функций принадлежности соответствующих нечетких множеств по диагностическому признаку К и диагностическому параметру g: (х, у) — (х); ц g* ^ Е (х, у) — (х, у) а ^ (х, у); ц g* ^ Е (х, у) — (х) а ^ (х, у);

где А - операция min (пересечения) множеств. Соответственно выражение функции принадлежности для проекции (тени) отношения g* ^ F на ось Y записывается при выполнении операции max (объединения) по дополняющему множеству: цК (y) = v (x)A |iF(x, y).

Для нечетких множеств g и F, имеющих конечные носители, множество К можно получить через операцию композиции К = g ° F , которая сводится к максминному произведению g и F.

Согласно композиционному правилу вывода решение уравнений назначения

R(x) = g; R(x, y) = F (2)

имеет вид: R(y) = g ° F, где X и Y - два универсальных множества с базовыми переменными x и y; R(x), R(x, y), R(y) - ограничения на x, x, y, y, которые представляют собой нечеткие отношения в X, XxY,Y.

После введения термов аг- и присвоения R(x) = g = ai; R(x, y) = F = a2 получим решения уравнений назначения R(y) = g ° F = a1 ° a2 = ß, где a2 - лингвистическое приближение импликации: ЕСЛИ a1, ТО ß; R(y) - точное, а ß - лингвистическое приближение решения уравнений назначения (2).

Построение нечеткой модели, идентифицирующей диагностическую модель (1), начинается с записи каждой предпосылки в виде уравнения назначения. Уравнения решаются относительно искомых ограничений при помощи композиции нечетких отношений для получения вывода. Высказывание ЕСЛИ a, ТО ß выражается бинарным нечетким отношением в Xx Y , формализуемым следующим образом через унарные отношения: ЕСЛИ a, ТО ß ИЛИ ЕСЛИ НЕ a, ТО ß* = ax ß + a x ß*, то есть объединение декартовых произведений. Для выделения нечеткого графика зависимостей (1) необходимо положить ß* = 0 и записать ЕСЛИ a, ТО ß, ИНАЧЕ 0 = axß.

Для описания зависимостей (1) в терминах нечетких лингвистических высказываний формируется совокупность лингвистических правил, которые могут быть реализованы с помощью алгоритма Мамдани [1], имеющего базу знаний следующего формата:

ЕСЛИ (xi = öi,л) И (x2 = a2, ji) И.........И (x„ = an,л) |

ИЛИ (xi = ai, ß) И (x2 = ö2, ß) И.........И (xn = an,fl) | ю;2

ИЛИ (х: = аи ] И (х2 = а2, к ) И.........И (хп = аПг] |

ТО у = ^ ] = 1, ..., т,

где а,, ]Р - лингвистический терм, которым оценивается переменная х, в строчке ]р (р = 1, ..., к]); к] - количество строк-конъюнкций, в которых выход у оценивается лингвистическим термом ] щр - весовой коэффициент правила: число из интервала [0, 1], задающее относительный вес правила при нечетком логическом выводе; т - количество термов, используемых для лингвистической оценки выходной переменной; (х: х2 ... хп) - вектор входов.

Алгоритм аппроксимации зависимостей (1) на основе базы правил системы нечеткого логического вывода и операций над нечеткими множествами приведен на рис. 3 и 4. На первом этапе выполняется введение нечеткости (фаззификация) для каждого значения входной базовой переменной х( = 1 , ..., п). Для каждой входной лингвистической переменной А1, А2, ..., Ап формируются терм-множества {Ть Т2, ..., Тт}; {Т1, Т2, ..., Тк}; .........; {Ть Т2, ..., Т} - выходы блоков 1-1.

На основе имеющейся базы выбираются и распределяются соответствующие типы функций принадлежности ць ц2, ..., цп, используемые для формализации термов соответствующих лингвистических переменных А, (/ = 1, ..., п).

После выбора параметров функций принадлежности, отнесенных к соответствующим лингвистическим переменным, формируются множества функций принадлежности:

( Т1 Т2 Ттл ( Т1 Т2 Тк^ ( Т1 Т2

{ц , ц , ..., ц }; {ц , ц , ..., Ц2 };.........;{Цп , Цп , ..., Цп };

- выходы блоков 2-2, используемые для формирования подусловий предпосылок базы знаний по каждой лингвистической переменной:

(12 г^(12 гл (12 гл

{Ц1 , Ц1 , ..., Ц1}; {Ц2 , Ц2, ..., Ц2};.........;{Цп , Цп , ..., Цп};

- выходы блоков 3-3, где г - количество правил в базе знаний.

ц/ (х) цДх^ ...... Ц^) Ц21(Х2) Ц2г(Х2) ...... Цг(х2) цп (хп) Цп (хп) . ■ ■

ЦпГ(хп)

Рис. 5. Алгоритм нечеткого логического вывода

Завершается этап фаззификации процедурой нахождения численных значений функций принадлежности (введение нечеткости), устанавливающих соответствия между численными значениями базовых переменных х, и термами входных лингвистических переменных, включенных в подусловия предпосылок нечеткой базы знаний:

{ц^хО, Ц12(х:), ..., ц^)}; {ц \х2), Ц22(х2), ..., Ц2Г(х2)}'; ...'; {ц» :(х»), ..., ц» 2(х»), ..., ЦпГ(х„)}.

Результаты могут быть представлены матрицей фаззификации формализующей предпосылки базы знаний системы нечеткого логического вывода. Количество столбцов матрицы соответствует количеству базовых переменных, а количество строк количеству правил, содержащихся в базе знаний:

ц1( Х1) Ц2( хг) Ц^ х) Ц2( х2 )

Ц (х1) Ц2( х2)

ЦП (хп )

Ц П (х» )

Ц П (х» )

На этапе нечеткого логического вывода определяется значение выходной лингвистической переменной в виде нечеткого множества цДу) на основе совокупности заключений базы знаний ц:(у), ..., цг(у) и формализованной совокупности предпосылок нечетких правил аь а2, ..., аг, образующей числовой вектор уровней «отсечения» для предпосылок каждого из правил (агрегирование):

ах = Ц^(хх) АЦ2(Х2) А......АЦ»(х»)

П V п ■>

=Ц?(х1) ац2(х2) А......АЦКх»)

ах = Ц (х1) АЦГ2(х2) А......АЦП(х»)

где А - операция логического минимума. Этап агрегирования завершается, когда становятся известными все значения а ( — 1, ••, 1) степени принадлежности предпосылок по каждому из

правил для данного фиксированного значения вектора входных переменных (х! х2 ... хП). Для нахождения функций принадлежности заключений каждого из правил ц 1*(у) ц2*(у) ... цг*(у) формируется совокупность нечетких заключений по каждому из правил предпосылок (выбирается выходная лингвистическая переменная В, выбирается количество термов терм-множества выходной лингвистической переменной {Ть Т2, ..., Тр}, выбираются параметры функции принадлежности для каждого из термов {цТ1(у), ц(у)Т2, ..., ц(у)Тр} и формируется совокупность нечетких заключений базы знаний ц1^), ц'(у),..., цг(у).

С другой стороны, значения степеней принадлежности заключений каждого из правил формируются с учетом значений весовых коэффициентов ю* предпосылок и численных значений степеней принадлежности для предпосылок каждого из правил. Продолжение алгоритма нечеткого логического вывода приведено на рис. 4.

После нахождения множества а,; / = 1, г (полагаем значения всех весовых коэффициентов ю* равными 1) находятся функции принадлежности для заключений каждого из правил соотношения (3). После выполнения операций становятся известными функции принадлежности заключений каждого из правил выходной лингвистической переменной:

Ц*(у) = («1 А Ц1(у)) ц2 (у) = («1 ац 2( у))

(3)

Ц* (у) = («1 АЦ1 (у))

Объединение найденных усеченных функций с использованием операции логического максимума приводит к получению итогового нечеткого множества для переменной выхода с функцией принадлежности

Ш (у) — ц*(у) v ц2*(у) V .........V ц**(у).

цЛхО Ц12(Х1) ... Ц1Х(Х1) Ц2\х2) Ц22(х2) . ЦЦхг) ц»* (х») ЦпЫ ... цПЫ

--- ' 1

Нахождение численных значений степени принадлежности для предпосылок каждого из правил базы знаний

1

База функций принадлежности

В

*

Выбор количества термов

Ц2ЧХ2) А Ц22(х2) Л ... Л Ц2х(х2)

I

а2 — —

параметров функций принадлежности

Нахождение функций принадлежности для заключений каждого из правил

Цх*(у) = (ах Л Цх(у))

ЦТ,( у)

Ц1(у)

Ц2(у)

Ц

1_¿.

р

Формирование заключений базы знаний

Цх(у)

Нахождение функции принадлежности выходной лингвистической переменной

цДхО Л ц12(х1) Л ... Л Ц1х(х1)

Цп (х») Л Ц» (х») Л ... ЛЦпХ(х»)

Т

Т

р

а

Ц

Ц1*(у) = (О Л Ц1(у)) Ц2*(у) = (02 Л Ц2(у))

Цх(у) = Ц1*(у) V Ц2*(у) V _1_

V Цх*(у)

Приведение к четкости

* Уо

Рис. 4. Алгоритм нечеткого логического вывода

Итоговое количественное значение выходной лингвистической переменной в форме действительного числа y0 определяется на этапе приведения к четкости (дефаззификация) одним из известных методов, например, центроидным методом:

max max

jo = J УЦх (y )dy /J уцх (У )dy,

min min

где min и max - левая и правая точки интервала носителя нечеткого множества рассматриваемой выходной лингвистической переменной.

Для реализации алгоритма идентификации по адаптации нечеткой модели используются численные значения (вход - выход) и вводится периодическое изменение численных значений компонент вектора входных переменных.

Структура процедуры идентификации нечеткой модели диагностирования приведена на рис. 5. Она включает в себя воздействие на вход нечеткой модели совокупности векторов входных воздействий X1, X2, ..., Xq, вариацию параметров функций принадлежности, описывающих термы лингвистических переменных, оценку расхождения значений выхода нечеткой модели и значений выхода объекта диагностирования. Находятся параметры функций принадлежности (I, Q, ю) нечеткой модели, обеспечивающие минимальное значение среднеквадратической невязки R:

q

R = (1/q) X [у- F (I, Q, ю, У)]' -► min,

j=i

где I - вектор параметров функций принадлежности термов входной переменной; Q - вектор параметров функций принадлежности термов выходной переменной; ю - коэффициент веса; q - объем выборки.

Блок вариации параметров функций принадлежности

Xi Х2 Xq

Хп Х12 X1q

Х21 Х22 X2q

xni Хп2 Xnq

I Q

Г 1 r ' r

Уо = F((I, Q, ю, J)

Нечеткая модель

Блок оценки величины невязки

R

О

Объект диагностирования

У2

ю

Рис. 5. Структура процедуры идентификации нечеткой модели диагностирования

Настраиваемые параметры включают в себя коэффициенты концентрации функций принадлежности термов входных и выходных лингвистических переменных, координаты максимумов центров функций принадлежности некрайних термов входных и выходной переменных.

Модель формируется как реальное приближение нечеткой лингвистической модели, построенной на основе экспертных оценок зависимостей (1) к адекватной нечеткой модели, адаптированной по совокупности эмпирических выборок.

Рассмотрим пример этапа структурной идентификации нелинейных зависимостей, построенных в качестве диагностической модели для шестикомпонентной электрической цепи (рис. 6).

Диагностическая карта рассматриваемой цепи, построенная в соответствии с методикой исключения варьируемого параметра [1], представлена на рис. 7. Исходными данными для построения нечеткой модели идентифицирующей зависимости (1) являются ограничения на входные переменные:

К2-3 е К2-3® , К2-зр],

1, ] = 1, 6, графики зависимостей К1-2 = ^ (К2-3) и обучающая выборка. Семейство графиков (рис. 7), пересекающихся в общей точке (точка равновесного состояния цепи), при вариации параметров каждой из компонент образуют систему дробно-линейных функций:

к,-]=а Кк-1+61) / а Кк-1 + Ъ2),

где К- , Кк-1 - функции передачи выбранных каналов прохождения тестового сигнала; 1, ], к, I -номера полюсов подачи сигнала и съема диагностической информации; а1, Ъ1, а2, Ъ2 - коэффициенты, зависящие от параметров компонент.

1 ; д6

—т

д1

д3

-АЛЛ-

:2 ; д5

♦--^АА-#

д4

> ;

3

д2

Рис. 6. Диагностируемая электрическая цепь

I К1.:

-0,204

-0,048 • _ _

-0,225

-0,41

-0,645

1

К2-3

Рис. 7. Диагностическая карта электрической цепи

Для отдельно взятого графика (рис. 9), соответствующего вариации параметра gв, уравнение изовары и функций передачи выглядят так:

К1.2 К1.2

К2-3

gв = уаг

(1,48 К2_3 + 0,16) / (6,2 К2_3 + 4,84); (-0,187 g6 - 2,12) / (0,187gв + 43,476); (-0,12^6 -

К1-2 gв = 0 -- 0,048;

К2-3 gв = 0 = 0,225;

К1-2 gв== -1;

К2-3 gв== -0,645

Входы К2-3 и выход К1-2 модели будем рассматривать как лингвистические переменные, определяемые из следующих терм-множеств: для К2-3 : {Н, НС, С, ВС, В}; для К1-2 : {Н, С, В}, где Н - низкий; НС - ниже среднего; С - средний; ВС - выше среднего; В - высокий. Формализацию термов выполним симметричной гауссовской функцией принадлежности:

ц(и) = ехр [- (и - к)2 / 2с2 ],

где и - элемент универсума; к - координата максимума функции принадлежности; с - коэффициент концентрации функции принадлежности.

Результат экспертной оценки характера графика, идентифицируемой зависимости К1-2 = ^ (К2-3) формируется в виде нечеткой базы знаний модели

1

К\-2 Н Н Н С В

K2-3 Н НС С ВС В

Вариация величины K2-3 на входе алгоритма аппроксимации при выбранных функциях принадлежности позволяет получить нечеткий лингвистический график (рис. 8) зависимости К1-2 = F (K2-3). Дальнейшая параметрическая идентификация нечеткой базы знаний может быть реализована в пакете расширения Optimization Toolbox многофункциональной системы автоматизации математических и научно-технических расчетов MATLAB. Количество управляемых переменных равно двенадцати: восемь коэффициентов концентраций функций принадлежности термов входной и выходной переменных; три координаты максимумов центров функций принадлежности некрайних термов входной переменной; одна координата максимума центра функции принадлежности терма «СРЕДНИИ» выходной переменной.

Рис. 8. Нечеткий лингвистический график Рис. 9. График идентифицируемой зависимости

Следует отметить, что сочетание системы нечеткой логики, хорошо интерпретирующей полученные с ее помощью выводы с возможностью обучения модели по совокупности эмпирических выборок, открывает широкие перспективы для решения вопроса построения адекватных моделей сложных многомерных систем. Такое соображение легло в основу построения аппарата гибридных сетей, в которых настройка функций принадлежности осуществляется посредством использования алгоритмов обучения нейронных сетей (например, алгоритм обратного распространения), а соответствующие выводы делаются на основе аппарата нечеткой логики.

При рассмотрении однонаправленных нейронных сетей (например, многослойный перцеп-трон) задача сводится к выбору архитектуры сети и процесса ее обучения (корректировка весовых коэффициентов синаптических связей нейронов), позволяющего д остичь минимальной ошибки реакций.

После поступления на вход перцептрона всех пар «вход - выход» данной обучающей выборки оценивается суммарная ошибка Е5 и регистрируется матрица весовых коэффициентов W8 данной выборки

К

Е5 = (£ II А* - Хк\\)/К,

к=1

где 5 - номер выборки, на выходе; А* - вектор значений обучающей выборки по выходу; X * - вектор результатов нейронно-сетевой обработки входного сигнала в 5-й выборке.

Для подстройки весовой матрицы W8 выполняется минимизация значения среднеквадрати-ческой ошибки Е5 с помощью итерирования по выборкам обучения посредством алгоритма обратного распространения:

W8+1 = W8 - ц(дЕ5 /д Ws) + у^ - Ws_1), где ц, V - параметры алгоритма, определяющие скорость и устойчивость итерационного процесса.

Таким образом, идентификация нелинейных зависимостей с помощью нечеткого логического вывода позволяет построить модель диагностирования, обученную на практических выборках данных. Введение нечеткого порога и включение нечетких оценок в процесс построения диагностической модели с последующей формализацией вычислительных процедур приближает решение задачи к реальным условиям и позволяет построить аналог натурных зависимостей величин.

Литература

1. Штовба С.Д. Идентификация нелинейных зависимостей с помощью нечеткого логического вывода // Exponenta Pro. - 2003. - № 2. - С. 9-15.

2. Пюкке Г.А., Портнягин Н.Н., Кузнецов С.Е. Диагностирование электрических цепей методом изовар // Изв. вузов. Электромеханика. - 1998. - № 1. - С. 35-40.

3. Айзинов С.Д., Белавинский А.Ю., Солодовниченко М.Б. Комплексная оценка надежности судовых радиоэлектронных средств // Эксплуатация морского транспорта. - 2003. - С. 242-247.

4. Выбор информативных параметров при контроле качества изделий электронной техники / Д.В. Гаскаров, В.И. Попеначенко, С.А. Попов, В.И. Шаповалов. - Л.: Общество Знание, 1979. -32 с.