CC BY
12
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАБЛЮДАЕМЫХ РИСКОВ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ_
Эрнест В. Дзиркал, Виктор А. Нетес
Ключевые слова: статистический контроль качества и надежности, проверка гипотез, наблюдаемые риски, доверительные границы.
Резюме - В статье излагается концепция наблюдаемых рисков. Эти риски определяются после проведения испытаний для статистического контроля качества или надежности и зависят от результатов испытаний. Они позволяют оценивать вероятности ошибочных решений не перед экспериментом как традиционные (планируемые) риски поставщика и потребителя, а после у эксперимента. Математически доказываются основные свойства наблюдаемых
щ рисков. Числовые примеры иллюстрируют определяемые понятия и
^ демонстрируют их полезность.
«
о 1. ВВЕДЕНИЕ
Обычно в естественных науках эксперимент планируется таким образом, чтобы его ^ предполагаемая погрешность не превышала некоторого выбранного значения, а после окончания эксперимента оценивается его фактическая погрешность. Однако в задачах статистических проверок обычно используется другой подход. Вероятности ошибочных решений (риски) рассматриваются в качестве меры ошибочности решений, как до эксперимента, так и после него. Кажется странным, что после окончания эксперимента и принятия решения риски не уточняются.
Эта статья имеет цель восполнить этот пробел для задач контроля качества и надежности. Кроме того, решается проблема контроля с использованием доверительных границ и двух уровней контролируемого показателя.
Предлагаемый подход был официально принят в СССР в 1987 году и соответствующая методика была включена в стандарт [1]. Однако он не привлек внимание теоретиков и не упоминается в курсах лекций и руководствах. Поэтому авторы хотят привлечь внимание к этому подходу, описанному в их предыдущих статьях [2, 3] и справочнике [4].
2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
Q показатель качества или надежности некоторого объекта Q0 приемочный уровень Q Q1 браковочный уровень Q
О
о К
Н0 нулевая гипотеза: Н0 = {0 > Q0} для позитивного показателя (чем больше значение Q, тем выше качество или надежность); Н0 = {0 < для негативного показателя (чем меньше значение тем ниже качество или надежность) Н\ альтернативная гипотеза: Н\ = {0 < 01} для позитивного показателя; Н\ = {0 > 01} для негативного показателя
(Мы будем рассматривать далее позитивный показатель) х данные испытаний
Х0 область принятия Х1 область отклонения
а (планируемый) риск поставщика: а = Рг{хеХ1 ; Н0}
в (планируемый) риск потребителя: в = Рг{хеХ0 ; Н1}
0*(х,у) нижняя доверительная граница для 0 по данным испытаний х с доверительной вероятностью у
0 (х,у) верхняя доверительная граница для 0 по данным испытаний х с доверительной вероятностью у
п
Рг(п, Л) = V- функция распределения Пуассона
г=0 п!
К
и «
о
ч
о о К
3. НАБЛЮДАЕМЫЕ РИСКИ В СЛУЧАЕ ОДНОСТУПЕНЧАТОГО КОНТРОЛЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОЦЕНОЧНОГО НОРМАТИВА
В этом случае мы используем некоторую тестовую статистику Л(х), являющуюся функцией наблюдений, и оценочный норматив С. Пусть тестовая статистика Л(х) является позитивной (чем больше ее значение, тем сильнее уверенность в более высоком качестве или надежности испытываемого объекта). Нулевая гипотеза Н0 принимается, т.е. мы приходим к решению, что объект соответствует требованиям к качеству или надежности, когда Л(х) > С. Гипотеза Н0 отвергается, т.е. мы приходим к решению, что объект не соответствуем требованиям, когда Л(х) < С. Таким образом,
Отсюда
X о ={ х: Л (х) > С},
XI = {х: Л(х) < С} .
а = Рг {Л(х) < С; Но}, ( = Рг {Л(х) > С;Н,}.
(1а) (1Ь)
(2а) (2Ь)
Наблюдаемый риск поставщика а(х ) при данных испытаний х определяется как
вероятность того, что результат испытаний для объекта, имеющего значение показателя не
*
менее 00, будет не лучше, чем х .
Наблюдаемый риск потребителя ((х ) при данных испытаний х определяется как вероятность того, что результат испытаний для объекта, имеющего значение показателя не более будет не хуже, чем х . Поэтому
а(х*) = Рг ^(х) < 5(х*); И0}, (За)
в(х*) = Рг {5(х) > 5(х*);И1}. (ЗЬ)
Таким образом, при определении наблюдаемых рисков мы используем само значение тестовой статистики, а не только тот факт, что оно больше или меньше оценочного норматива С [сравните (За,Ь) с (2а,Ь)].
Теоретически наблюдаемый риск соответствует наблюдаемому уровню значимости в математической статистике [5].
Оба наблюдаемых риска могут быть определены при обоих исходах испытаний (приемка и браковка). Если мы хотим уравнять планируемые риски поставщика и потребителя (а = в), вышеупомянутое правило принятия решений [соответствующее (1а,Ь)] может быть сформулировано также без использования оценочного норматива С на основе сравнения наблюдаемых рисков:
а > 3 - приемка, а < 3 - браковка (см. пример 1 и теоремы 3 и 4 ниже). Иными словами, мы принимаем решение, соответствующее меньшему из наблюдаемых рисков.
Рассмотрим приемочный контроль по альтернативному признаку и пусть приемочный и браковочный уровни дефектности составляют д0 = 0,05 и д = 0,15 соответственно. Предположим, что распределение числа дефектных изделий й является пуассоновским:
Пример 1
К
И
«
о
^ Рг {й = п; д) = ехр (-Щ)(Щ)п/п!,
^ где N - объем выборки, д - истинный уровень дефектности.
о
у Если N = 40, приемочное число Ас = 3, браковочное число Яе = Ас + 1 = 4, то а = 0,143 и
3 = 0,151.
Наблюдаемый риск поставщика а при наличии с( дефектных изделий в выборке определяется, как вероятность получить при уровне дефектности д0 не менее с( дефектных изделий в выборке.
Наблюдаемый риск потребителя / при наличии с( дефектных изделий в выборке определяется, как вероятность получить при уровне дефектности д1 не более с( дефектных изделий в выборке.
Поэтому
а = 1 -Рг(й*-1,^0), в = Рг(й\Щ^.
В табл. 1 показаны наблюдаемые риски для этого примера.
Таблица 1. Наблюдаемые риски _ для примера 1
d* 0 1 2 3 4 5 6 7 8
а 1,000 0,865 0,594 0,323 0,143 0,053' 0,017 0,005 0,001
в 0,002 0,017 0,062 0,151 0,285 0,446 0,606 0,744 0,847
Наблюдаемый риск поставщика равен планируемому риску поставщика при С = Яе = 4 (Яе - минимальное число дефектных изделий, при котором партия бракуется); с
ростом сС величина а быстро убывает.
Наблюдаемый риск потребителя ( равен планируемому риску потребителя при
С = Ас = 3 (Ас - максимальное число дефектных изделий, при котором партия принимается); ( быстро убывает с уменьшением С.
2 4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НАБЛЮДАЕМЫХ РИСКОВ
К
Д - -
^ Теорема 1. Если х е Х1, то а(х ) < а ; если х е Х0, то ((х ) < (.
^ Доказательство (мы приводим доказательства только для одного из рисков, для
Ор другого они аналогичны):
Пусть х* е Х1. Из (1Ь) Л(х*) < С и {х: Л(х) < Л(х*)} х: Л(х) < С}, поэтому
п
CD
g Pr {S(x) < S(x*)}< Pr {S(x) < C}.
О Отсюда с учетом (За) и (2a) получим а(x ) < а .
Теорема 2. sup а (x) = а , sup в(x) = в .
xeXi xeX0
Доказательство. Пусть а = supS(x). Если существует x е X1 такое, что S(x ) = а ,
то X ={x: S(x) < S(x*)} и а = Pr {X1; H0} = Pr {S(x) < S(x*);H0} = a(x*).
*
Если такого х не существует, то найдется последовательность xn е X1 такая, что S(xn) t а . Тогда последовательность множеств X'n ={x: S(x) < S(xn)} возрастает и UXn = X1, откуда Pr { Xn Pr { Xi}.
Поэтому a (xn) = Pr {X n; HQ Pr {Xi; HQ} = а .
Теорема 3. Пусть а = в. Тогда в(х*) < а(х*) для x* е X0, а(x*) < в(x*) для x* е X1. Доказательство. Если x* е X0, то S(x*) > C и
в(x*) < в = а = Pr {S(x) < C; H0} < Pr {S(x) < S(x ); H0} = a(x*. Теорема 4. Пусть а = в. Если в(х*) < а(х*), то x* е X0; если а(x*) < в(x*), то x* е X1.
Доказательство. Предположение о том, что х е Х1, когда в(х ) < а(х), влечет противоречие, потому что в этом случае а(х ) < /(х ) < а(х ). Следовательно, х е Х0.
К
и
5. КОНТРОЛЬ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ
Правило принятия решений в случае контроля с использованием доверительных границ таково [2, 4, 6]:
0.( х, 1 -в) > й, 0 *( х, 1 - а ) > 00 - приемка; (4а)
0.( х,1 -в) < б*( х, 1 - а) < 00 - браковка. (4Ь)
При некоторых естественных ограничениях объем испытаний может быть выбран так, чтобы обеспечить выполнение одного из этих двух условий приемки или браковки [2, 4, 6].
Обычно доверительные границы строятся на основе некоторой статистики £(х) [6] так,
что
0*(х, у) = Л(4(х), у), 0.(х, у) = Б(4(х), у),
где Л(.,.) и В(.,.) - некоторые функции. В этой ситуации решающее правило (4а,Ь) эквивалентно решающему правилу, соответствующему (1а,Ь) с 5(х) = £(х) и некоторым оценочным Д нормативом С [6].
О Л
^^ В случае контроля с использованием доверительных границ наблюдаемые риски а (х*) и
^ в (х*) определяются из уравнений
О
Е 0*(х*,1 - а) = 00, (5а)
0.(х*,1 -в) = 01. (5Ь)
В некоторых случаях объем испытаний зависит от внешних обстоятельств. Например, продолжительность эксплуатационных испытаний часто равна стандартному периоду времени: месяцу, кварталу, году. В этих случаях невозможно заранее спланировать испытания так, чтобы обеспечить требуемые риски а и в, поэтому контроль с помощью доверительных границ очень удобен.
После получения всех возможных данных х мы определяем доверительные границы б(х, у1) и б*(х, у2) так, чтобы удовлетворить одному из следующих условий:
б*(х,к) >00, 0*(х,г2) = й; (6а)
б.(х,Г2) < 01, 0'(х,Гг) = 00. (6Ь)
Это может быть достигнуто за счет соответствующего выбора значений у1 и у2 при некотором заранее заданном соотношении между ними (можно рекомендовать, чтобы у1 = у2).
В случае (6а) принимается решение о приемке с риском потребителя ¡3 = 1 -у2, в случае (6Ь) принимается решение о браковке с риском поставщика а = 1 - у1.
Пример 2
Рассмотрим объект, для которого по данным эксплуатационных испытаний осуществляется контроль средней наработки на отказ. Ее приемочный и браковочный уровни равны Т0 и Т1 = 0,5-Т0 соответственно. Продолжительность испытаний ограничена и равна t = 4Т0. Пусть время безотказной работы имеет экспоненциальное распределение. В этом случае нельзя гарантировать планируемые риски а и 3 меньшие, чем 0,2. Такие риски не удовлетворяют ни поставщика, ни потребителя. Тем не менее, испытания были проведены и их данные собраны.
Доверительные границы для средней наработки на отказ равны [4]:
Т* = ^Д^ (г), Т* = ^ДгДг -1),
где t = 4Т0 - продолжительность испытаний, г - число отказов за это время и ДДи) - квантиль пуассоновского распределения, т.е. корень уравнения Рг(и, ДДи)) = у.
К
щ Выбирая у1 и у2 так, чтобы удовлетворить (ба) или (6Ь), получим результаты,
^ приведенные в табл. 2.
«
Максимальные значения наблюдаемых рисков а и /3 равны 0,2, но они соответствуют только случаям г = 5 и г = 6. Для других результатов испытаний наблюдаемые риски меньше, чем 0,2. Поэтому, если, например, число отказов г = 2, то объект будет принят с наблюдаемым
О о
^ риском ¡3 = 0,015, и потребитель может не опасаться, что его риск слишком велик.
О
о К
Таблица 2. Решения и риски для примера 2
Число отказов Решение Наблюдаемый риск: а для приемки, 3 для браковки
0 < 0,001
1 0,005
2 3 Приемка 0,015 0,05
4 0,10
5 0,20
6 0,20
7 8 Браковка 0,13 0,05
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Авторам представляется, что с теоретической точки зрения значение предложенного подхода состоит в следующем:
• Проблема оценки погрешности эксперимента при статистическом контроле решается естественным образом, т.е. после завершения испытаний с учетом их результатов. Это решение стоит включить в учебники, справочники, стандарты и т. п. с тем, чтобы дополнить традиционный подход, использующий только планируемые риски.
• Давно поставленный вопрос, как могут быть использованы доверительные границы при статистическом контроле (т.е. о связи между определительными и контрольными испытаниями), решен для случая контроля качества или надежности по двум уровням.
В практическом отношении значение предложенного подхода различается в случаях наличия или отсутствия предварительного планирования испытаний. В первом случае, когда объем наблюдений равен запланированному, этот подход позволяет:
• Определить наблюдаемые риски и уточнить фактическую уверенность в правильности принимаемых решений.
• Контролировать качество или надежность, непосредственно использую доверительные границы самого проверяемого показателя, а не косвенные характеристики, связанные с этим показателем (число отказов, дефектных изделий и т.п.). Это позволяет контролировать комплексные показатели, такие как коэффициент готовности и коэффициент сохранения
К эффективности.
Д • Ввести в результаты испытаний некоторую количественную оценку качества,
например, разделяя принятые изделия по уровням качества в соответствии со значениями ^ наблюдаемых рисков, зафиксированных при испытаниях соответствующих партий. ^^ Во втором случае кроме отмеченных выше существует еще одно важное преимущество:
^ несмотря на отсутствие предварительного планирования испытаний, возможно принять решение ^ о соответствии или несоответствии объекта заданным требованиям, используя все полученные О статистические данные и указывая наблюдаемые риски.
О
К
ЛИТЕРАТУРА
1. ГОСТ 27.410-87. Надежность в технике. Методы контроля показателей надежности и планы контрольных испытаний на надежность.
2. Дзиркал Э.В. Статистический контроль с помощью доверительных границ при фиксированном объеме наблюдений // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1982. № 2.
3. Нетес В.А. Наблюдаемые риски при статистическом контроле // Надежность и контроль качества. 1991. № 10.
4. Надежность технических систем: Справочник / Под ред. И. А. Ушакова. М.: Радио и связь, 1985.
5. Кокс Д.Р., Хинкли Д.В. Теоретическая статистика: Пер. с англ. М.: Мир, 1978.
6. Павлов И. В. Статистические методы оценки надежности сложных систем по результатам испытаний. М.: Радио и связь, 1982.
