CC BY
17
УДК 621.981.011
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ АНАЛИЗА ИЗГИБА ПРОТАЛКИВАНИЕМ ТРУБНОЙ ЗАГОТОВКИ
© 2016 В.Д. Маслов, В.Д. Мисюра, А.А. Казарина
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва
Статья поступила в редакцию 15.04.2016
Приведены результаты моделирования процесса изгиба трубной заготовки проталкиванием. Установлен характер изменения толщины заготовки в процессе формоизменения. Построен аппроксимирующий полином, описывающий изменение толщины заготовки. Ключевые слова: изгиб трубной заготовки проталкиванием, конечно-элементный анализ, напряженно-деформированное состояние, аппроксимирующий полиномов Чебышева.
Наиболее распространенной операцией изготовления криволинейных деталей из труб является гибка. Эта операция осуществляется либо в штампах, либо на валковых машинах, либо в гибочных машинах и устройствах [1].
Расширить технологические возможности процесса и изготовить изделие с минимальным возможным радиусом кривизны позволяет метод изгиба трубной заготовки проталкиванием в криволинейный канал матрицы [2]. Трубная заготовка, имеющая скосы на ее торцах, проталкивается в криволинейный канал, диаметр которого равен диаметру исходной трубной заготовки. Геометрия криволинейного канала соответствует геометрии готового изделия.
Метод изгиба проталкиванием известен с середины прошлого века, но до настоящего времени в технической литературе недостаточно сведений об особенностях деформирования трубной заготовки, о предельных параметрах формоизменения.
В данной статье приводятся результаты исследования процесса формообразования отводов проталкиванием в инструментальном устрой-ствена универсальном листоштамповочном оборудовании
Аналитическое определение напряженно-деформированного состояния заготовки в процессе изгиба проталкиванием, без грубой схематизации процесса, является сложной задачей. Очаг деформации имеет нестационарный характер. Изменяются его границы и граничные условия. Напряженно-деформированное состояние заготовки изменяется как во времени, так и при переходе от точки к точке.
В данном исследовании, для определения напряженно-деформированного состояния
Маслов Валентин Дмитриевич, кандидат технических
наук, доцент. E-mail: а[email protected]
Мисюра Валентин Дмитриевич, аспирант.
E-mail: а[email protected]
Казарина Алена Андреевна, бакалавр.
E-mail: а[email protected]
заготовки, используется конечно-элементное моделирование процесса формообразования. Применяется программный продукт - ANSYS-LS/ DYNA [3]. Модель деформируемого металла при моделировании процесса - упрочняемый транс-версально анизотропный материал - Transverse Anisotropic Material. Коэффициент Ленкфорда R принят равным единице, то есть материал заготовки считается изотропный. Деформационное упрочнение материала в процессе формообразования описывается кривой упрочнения, полученной при испытании образца на одноосное растяжение.
Для моделирования деформируемой заготовки был выбран элемент SHELL 163 - оболочечный элемент с 4 узлами, возможностью изгиба и пру-жинения. Элемент имеет 12 степеней свободы в каждом узле. Геометрия оснастки и заготовки построена в CAD-системе SIEMENSNX6 с последующим импортированием в ANSYS/ LS-DYNA.
Кривизна деформируемой заготовки характеризуется относительным радиусом кривизны R^, который определяется как отношение радиуса срединной поверхности изогнутого изделия R к его наружном диаметру DH:
ЛОТН р. .
На рис. 1 в качестве примера показаны различные этапы моделирования процесса изгиба проталкиванием при относительном радиусе кривизны изделия R^ = 1. Изменение толщины моделируемой заготовки определяется либо по цветовой шкале, либо численными значениями из постпроцессора LS-DYNA.
Результаты моделирования показали, что процесс формообразования отвода проталкиванием в матрицу имеет свои особенности. Процесс осуществляется по более сложным закономерностям, чем процесс обычной гибки. Одновременно происходят два процесса: изгиб и продольный сдвиг элементов заготовки. Наличие сдвиговых деформаций, развивающихся в осевом
а) б) в)
Рис. 1. Этапы моделирования процесса формообразования отвода а - начальный этап; б - модель заготовки при изгибе на 60°; в - на 90°
направлении, уменьшает величину деформаций в зонах растяжения и сжатия. Изменяется картина деформированного состояния заготовки. Становится возможным изогнуть заготовку на меньший радиус.
Для того, чтобы установить закономерности изменения толщины моделируемой заготовки (рассматривается только выпуклая образующая)
определили толщину в шести равномерно расположенных элементах на этой образующей. Схема замера толщины заготовки приведена на рис. 2.
Результаты замера толщины элементов после изгиба заготовки с исходной толщиной 1,0 мм и 1,5 мм приведены в таблице 1.
Таким образом, при обработке результатов моделирования процесса, получилась дискретная
I
I лмжч ■ 1МНН Н
~ 1 , - щ
паже I I 1 ^^^^^^^^ 1*35») I | -^--
II 1 ^ VI ~~ \
Е -У %/[ Лм.
т :Е \ ^"Т [
^^К ЕI Чч. §
Рис. 2. Схема замеров толщины элементов по модели Таблица 1. Значения толщины элементов на выпуклой образующей модели заготовки
Значение переменной X Значение У на внешней образующей
Номер элемента Угол а (град) Угол а (радиан)
0 0 0,0 1,299 2,0810
1,2 18 0,314 1,113 1,6702
1,3 36 0,628 0,970 1,4548
1,4 54 0,942 0,972 1,4578
1,5 72 1,256 0,991 1,4866
1,6 90 1,57 1,103 1,6552
функция распределения толщины по образующей (элементы 1,1-1,6). Для определения закономерности изменения толщины необходимо функцию, заданную таблично, заменить аппроксимирующим полиномом. Необходимое условие - отклонение функции от полинома на заданном множестве должно быть наименьшим [4].
Чебышевым создана теория наилучшего приближения функций [5]. Аппроксимирующие полиномы с использованием ортогональных полиномов Чебышева, обладают целым рядом замечательных свойств. Использование ортогональных полиномов Чебышева позволяет построить обобщенный полином с требуемой точностью, но более короткий, чем существующие полиномы. Это более удобно для вычислений. Разложение сходится быстрее, чем при использовании других полиномов. Для достижения требуемой точности многочлен Чебышева имеет значительно меньшую степень [5].
Ставится задача - построить аппроксимирующий полином четвертой степени(т=4), приближенно представляющий табличную функцию с шестью узлами аппроксимации(п=6). Значение функции в узлах аппроксимации приведены в табл. 2.
Для построения полинома используем новую переменную Ь = х/0,314.
Аппроксимирующий полином будем искать в виде [4]:
4
С0
7гРк,п(?) = ТгРо.п + *=о5* 5°
С^ С2 С3 С^
"2 "4
где п = 1,2,3,4,5,6;
Ь = 0,1,2,3,4,5.
Параметры полинома определяются следующим образом:
i=0
п
n(xi) ;
0,71
= 1
о -1 rtl ■ rti(ti~i:> -
Pl.n = 1 - 6— + 6—--— ;
' n n (n -1)
ti ti (tt - 1) P3>n = 1-12- + 30-
-20
Полиномы Чебышева степени 4 при 6 узлах аппроксимации: Ь = 0,1,2,3,4,5 будут иметь следующий вид:
ч
Р%п = 1 — 2 — ;
' n
п п (п - 1) к (tj - 1) fa - 2)
n (n - 1) (n - 2) '
ti ti (tt - 1) P4n = 1 — 20 — + 90 — ^ ' n n (n -1)
U (ti - 1) (ti - 2) n (n - 1) (n - 2) к (fit- 1) (fr-2) fo-3) n (n - 1) (n - 2) (n - 3) '
Проверка полиномов Чебышева на ортогональность выполнялись следующим образом: n
^Pj, пСОЪ. п(0 = 0 при )Фк. 1=0
Расчет аппроксимирующего полинома и построение графических зависимостей выполняется в программном продукте Microsoft Excel. Результаты расчета приведены на рис. 3. Результаты расчета сведены в таблицу 3. Таким образом, аппроксимирующий полином, построенный с использованием ортогональных полиномов Чебышева, имеет вид:
Q(t)=1,075+0,096 P_1.6 (t)+0,127 P_2.6 (t)+
+0,0037 P_3.6 (t)-0,0099 P_4.6 (t) На рис. 4 показаны графические зависимости аппроксимации результатов моделирования с помощью аппроксимирующего полинома.
Таким образом, использование ортогональных полиномов Чебышева при обработке результатов моделирования процесса изгиба проталкиванием, позволило установить закономерность изменения толщины по образующей изгибаемой заготовки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горбунов М.Н. Штамповка деталей из трубных заготовок. М. : Машгиз, 1960. C. 190.
2. Патент 130241 Российская Федерация МКП B21C 37/29.Устройство для формообразования крутоизогнутых отводов / Маслов В.Д., Николенко К.А., Мисюра В.Д.; заявитель и патентообладатель Самарский гос. аэрокосмич. университет.- № 2013105307/02, заявл. 07.02.13; опубл. 20.07.13, Бюл. № 23. - 3 с.
3. LS-DYNA [Электронный ресурс] URL: http://www. cadfem.ru (дата обращения 14.10.2013).
Таблица 2. Значения функции в узлах аппроксимации
X 0,00 0,314 0,628 0,942 1,256 1,570
У 1,299 1,113 0,970 0,972 0,991 1,103
t 0 1 2 3 4 5
Машиностроение и машиноведение
А В С 0 Е Р в Н 1 J К
1 п V Р1,1 1 1 Р2,1 1 1
0 1 1,299 Р1,2 0,6 0,36 Р2,2 0,2 0,04
1 2 1,113 Р1,3 0,2 0,04 Р2,3 -0,8 0,64
2 3 0,97 Р1,4 0,2 0,04 Р2,4 -0,8 0,64
3 4 0,972 Р1,5 -0,6 0,36 Р2,5 -0,2 0,04
4 5 0,991 Р1,6 -1 1 Р2,6 1 1
5 6 1,103 Ш 0 2,8 Ш 0 3,36
1 6,448
ю и 12
13
14
15
16
РЗД
Р3,2
Р3,3
Р3.4
Р3.5
Р3,6
-1,4
-0,8
0.8
1,4
1,96
0,64
0,64
1,96
7,2
Р4,1
Р4,2
Р4,3
Р4,4
Р4,5
Р4,6
28
Проверка на ортогональность
(Р0,п)*(Р1,п) 0 верно
(Р0,п)*(Р2,п) 0 верно
(Р0,п)*(РЗ,п) 0 верно
(Р0,п)*(Р4,п) 0 верно
Рис. 3. Расчет параметров аппроксимирующего полинома Таблица 3. Расчет параметров полинома
Ь X У РоЮ Рх.бЮ Рг.бШ Рз.бШ Р4.6 оо У £= У-У
0 0,00 1,299 1 1 1 1 1 1,3007 -0,0017
1 0,314 1,113 1 0,6 -0,2 -1,4 -3 1,1044 0,0086
2 0,628 0,970 1 0,2 -0,8 -0,8 2 0,9872 -0,0172
3 0,942 0,972 1 -0,2 -0,8 0,8 2 0,9548 0,0172
4 1,256 0,991 1 -0,6 -0,2 1,4 -3 0,9996 -0,0086
5 1,57 1,103 1 -1 1 -1 1 1,1013 0,0017
ск - 6.448 0.2688 0.4276 0,0268 -0,026
- 6 2.8 3.36 7,2 28
Ь1 — 1.075 0.096 0.127 0,0037 -0,0009
С1гп
1,299
1,113
0,97
0,972
0,991
1,103
От
1,3 1,25 1,2 1,15
1Д
1,05 1
0,95 0,9
VI.,299
проксип ино м лационь
.1,113 ПО/ / 1,103
/ / / *
Уч / / /
0,97 0,972 0,991
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
Рис. 4. Построение аппроксимирующего полинома
4. Демидович Б.П., Марон И. А., Шувалова Э.З. Числен- 5. Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева. Минск: Выс-ные методы анализа. М. : Физматгиз, 1963. С 400. шая школа, 1984. С 157.
USE CHEBYSHEV POLINOMIALS FOR ANALYSIS BENDING TUBULAR BILLET OF BY PUSHING
© 2016 V.D. Maslov, V.D. Misyura, A.A. Kazarina
Samara National Research University named after Academician S.P. Korolyov
The results of the simulation of bending process billets pushing. The nature of the changes in the thickness of the workpiece during forming. Built approximating polynomial that describes the change of workpiece thickness.
Keywords: bending pipe billet pushing, finite element analysis, the stress-strain state, approximating the Chebyshev polynomials.
Valentin Maslov, Candidate of Technics, Associate Professor at the Metal Forming Processes Department. E-mail: а[email protected]
Valentin Misyura, Graduate Student at the Metal Forming Processes Department. E-mail: а[email protected] Alena Kazarina, Student at the Metal Forming Processes Department. E-mail: а[email protected]
