CC BY
11
УДК 519.876.5: 550.8
Использование методов непараметрической статистики для повышения достоверности прогноза коллекторских свойств пород
А.Г. Черников1, М.Б. Матушкин2*, А.Ю. Дегтерёв3
1 Институт проблем комплексного освоения недр им. акад. Н.В. Мельникова РАН, Российская Федерация, 111020, г. Москва, Крюковский туп., д .4
2 ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Российская Федерация, 142717, Московская обл., Ленинский р-н, с.п. Развилковское, пос. Развилка, Проектируемый пр-д № 5537, вл. 15, стр. 1
3 Rock Flow Dynamics, Российская Федерация, 117418, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 25А * E-mail: [email protected]
Тезисы. Широко распространенные методы параметрической статистики, основанные на использовании для описания совокупностей значений их математического ожидания и дисперсии, имеют ряд принципиальных ограничений, из-за чего для некоторых задач оказываются неэффективны или принципиально непригодны. В ряде практических задач, решение которых требует применения статистического аппарата, имеющиеся ограничения могут быть крайне существенны. В то же время методы непараметрической статистики, лишенные подобных ограничений, все еще не нашли достаточно широкого применения, что объясняется более поздним развитием их теоретической базы и (в некоторых случаях) существенно большей ресурсоемкостью выполняемых вычислительных операций.
В настоящее время благодаря повсеместному распространению общедоступных персональных компьютеров достаточной вычислительной мощности принципиальные ограничения для использования методов непараметрической статистики отсутствуют, однако в ряде задач, где их применение могло бы быть востребовано, в частности при петрофизическом прогнозе, они все еще не используются в должном объеме.
В статье на примере задачи моделирования коллекторских свойств пород подземного хранилища газа, для решения которой традиционный статистический инструментарий оказывается неэффективным, показана востребованность процедур непараметрической статистики, рассмотрена работа инструментов, основанных на использовании этих методов. На примере реального подземного хранилища газа пошагово рассмотрены основные процедуры, выполняемые при петрофизическом прогнозе на базе методов непараметрической статистики.
Ключевые слова:
непараметрическая статистика, моделирование, геология, петрофизика, интерполяция, нечеткие величины, марковская последовательность, распознавание, прогноз, фильтрационно-емкостные свойства.
При рассмотрении классической регрессионной модели метод наименьших квадратов обеспечивает наилучшие несмещенные оценки, но только при соблюдении ряда условий, одним из которых является постоянство дисперсии отклонений, или гомо-скедастичность. Антонимом этого статистического термина является термин «гете-роскедастичность» [1, 2]. С позиций параметрической статистики при гетероскеда-стичности полученные оценки не будут обладать наименьшей дисперсией по сравнению с другими оценками данного параметра, а выводы, получаемые при стандартных проверках оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям. Для того чтобы определить наличие гетероскедастичности, обычно используют тесты, в которых рассматривают гипотезы об отсутствии гетероскедастичности.
В статье использованы данные о пористости и проницаемости одного из подземных газовых хранилищ. В распоряжении авторов находились определения, выполненные на 330 образцах, отобранных в 30 скважинах. По стратиграфической принадлежности образцы распределены неравномерно, причем в среднем на одну опробованную скважину приходится всего 11 образцов.
При интерпретации материалов геофизических исследований скважин (ГИС) неконтролируемые случайности в распределении керновых анализов проб по скважинам и стратиграфическим горизонтам, их привязки по глубине в интервале отбора образцов и наличие погрешностей в лабораторных определениях свойств пород приводят к размыванию естественного вида корреляционных связей вплоть до невозможности достоверного их установления методами параметрической статистики (рис. 1).
Другим усложняющим петрофизическое моделирование фактором, типичным для подземных газовых хранилищ, является растянутая на десятилетия технология накопления геологических (керн) и геофизических (комплексы, аппаратура, технологии) материалов. Результатом подобной пролонгированной практики накопления материалов становится несопоставимость керновых определений фильтрационно-емкостных свойств (ФЕС) с кривыми комплекса ГИС. Усложнение методики обработки данных за счет соблюдения принципа параметричности статистических методов также не гарантирует существенной адекватности моделируемых связей.
При массовой обработке геолого-геофизических материалов с целью петрофизиче-ского моделирования подземных газовых хранилищ для оценки аналитического выражения связи двух слабо коррелируемых параметров авторами применен непараметрический метод, названный «ранжированной регрессией». Этот способ, относящийся к подмножеству «непараметрических» методов статистики, аналогичен ранговой корреляции, и его реализация, демонстрируемая на примере с керном, состоит в следующем: ранжирование допускает восстановление естественного
вида связи из «зашумленной» зависимости между двумя априори коррелируемыми параметрами исходя из попарного сопоставления значений их накопленной вероятности в ранжированной выборочной совокупности. При этом обязательно условие: оба сопоставляемых параметра относятся к общей генеральной совокупности и объемы сопоставляемых подвыборок равновелики. Причем условие равновеликости без труда преодолевается с помощью известного метода рандомизации числовых данных (метода Монте-Карло) [3, 4]. Также при ранжировании учитывается вид восстанавливаемой связи - прямая или обратная (рис. 2).
Сопоставляя попарно коррелируемые параметры в точках (интервалах) их равновероятного положения в выборке и заменяя значения накопленной вероятности соответствующими значениями коррелируемых параметров, получаем кривую ранжированной регрессии. Восстановленная связь открытой пористости и проницаемости (см. рис. 1, 2), аппроксимированная регрессионной кривой 5-й степени, представлена на рис. 3.
Разработана модификация метода ранжированной регрессии - способ моделирования ФЕС с использованием нормальной
ад
!■ 2,5
2,0 1,5 1,0 0,5 0
-0,5
-1,5
О определения •••• линейный тренд: у = 7,1832х - 1,4389 Я2 = 0,1565
о
о
о о о о°ои л. ^ 0 э о
о ° ° 0 <а й о о <£Р ОО О о ..."
О <§Ор
№ ш Оэ °о
о1*»?» о о о 30 да
°о®< )
0,10
0,14 0,18
0,22
0,26
Рис. 1. Поле корреляции открытой пористости (Коп) и логарифма коэффициента проницаемости (Кпр, мД) для терригенных отложений одного стратиграфического горизонта: Я2 - коэффициент детерминации
& 3,0
ад
0,30 К
2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0
-0,5 -1,0 -1,5
0,30
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Накопленная вероятность
Рис. 2. Ранжированные значения Коп и 1§Кпр (см. рис. 1), совмещенные на шкале накопленной вероятности
0
& 2,5
О определения
— полиномиальная аппроксимация:
у = -290626Х + 282664Х - 106590Х + 19504х2 --1719,2х + 56,969 Я2 = 0,9924
о
ar °
0,5 0
-0,5
0,10
0,14 0,18
0,22
0,26 0,30 К
Рис. 3. Пример трансформации поля корреляции значений Коп и LgКпр (см. рис. 1) в кривую ранжированной регрессии и аппроксимации ее полиномом 5-й степени
(для терригенных отложений)
о4
40
4
«35 30 25 20 15 10 5 0
-3 -4
0
100 200 300 400 500 600 700 800
Глубина нормирования, м
Данные:
• лабораторные (керн)
• ГК
• ПС
л • и-й стратиграфический горизонт
Рис. 4. Результаты предварительной увязки лабораторных определений Коп с нормированными значениями ГК и ПС в пределах стратиграфических горизонтов
геофизической модели объекта [5], суть которого состоит в следующем:
1) все результаты керновых определений, помеченные номером скважины и глубиной отбора, получают стратиграфическую привязку. Таким образом, глубины отбора образцов, извлеченных из разных скважин, но из определенного стратиграфического горизонта, могут быть сопоставлены с кривыми ГИС на нормальном разрезе. Если образцы привязываются к «материнской» скважине, увязка выполняется по фактическим глубинам отбора. Если
используется коллекция образцов из разных скважин, привязка выполняется методом Монте-Карло (рис. 4, 5) в пределах установленных стратиграфических подразделений, показанных на рис. 4-8 пронумерованными отрезками;
2) затем для каждого стратиграфического интервала выполняется раздельное (поточечное) ранжирование значений кривых гамма-каротажа (ГК) и Коп. При ранжировании учитывается вид регрессионной связи между значениями ГК и Коп - отрицательная, и затем производится перестроение
& 5
^ 4
3 2 1 0 -1 -2 -3
4
т Л' т. < ü f
ñ А * » *
f Г 1 f — Y I • *
я _ JB E íí "V
V» » Л/ 1 с Е ■ г 4i H и
1 1 1 г »¿дата Ш *
IV Y
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Глубина нормирования, м
Рис. 5. Результаты предварительной привязки по нормированной глубине лабораторных определений Кпр, мД, к кривым ГК и ПС: здесь и далее на рис. 6 и 7 см. экспликацию к рис. 4
5
ü 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
A —V -- f
ад Л L _ \ y Щ—
ЧЛ f=p £ 4 V: Ц te
0 1! 1 5 4 * \ V
4 « и
3 В
о
2 О
С I 1 К
-0 К
--i и
I--2Í
3С
4
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Глубина нормирования, м
Рис. 6. Модель изменения открытой пористости и ГК для терригенных и карбонатных интервалов разреза, установленная способом ранжированной регрессии
ад
100
200
300
400
500
6 g
5 ° V С 4 к
1
О сЗ 2 «
О
С
1
0
600 700 800
Глубина нормирования, м
Рис. 7. Модель изменения ^Кпр и нормированных значений ГК и ПС для терригенных и карбонатных интервалов разреза, установленная способом ранжированной регрессии
4
0
ад
& 2
: 1
-1
-2
00
о
А
Ч Г
— и-й стратиграфический горизонт
— К
Глубина нормирования, м Рис. 8. Нормальная петрофизическая модель (Коп и ^Кпр)
Q
ЩЬ!
Иг
-
■ V т
4 / I*
БУ
/
г?
„ у'
2ог
Рер
Г
Оот
•к
м 7
а р
Ьр
1
РеИ . /
Г
Ог
К '
/
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
к„ к„ к„
Рис. 9. Кроссплоты, демонстрирующие связь проницаемости (^Кпр) и открытой пористости (Коп) в модели для различных стратиграфических горизонтов
0
увязанных значений Коп в соответствии с положением равновероятных точек ГК на шкале глубин. Таким образом осуществляется увязка нормальных кривых ГК или потенциала самопроизвольной поляризации (ПС) с лабораторными определениями значений ФЕС. Видно (см. рис. 6, 7), что первоначально хаотически расположенные (см. рис. 4, 5) значения К^ и lgKp распределяются в соответствии со стратиграфической глубиной и значениями ГК и ПС;
3) следующий этап заключается в восстановлении значений Коп для всего нормального разреза исследуемого объекта и установлении связи между данными ГИС и значениями ФЕС. Для этого широко используются методы Монте-Карло, ранжированной регрессии, фильтрации и многофакторного анализа. Аналогичным образом устанавливаются зависимости для других показателей, и создается нормальная петрофизическая модель объекта, адекватная его геофизической нормальной модели (рис. 8).
Нормальная петрофизическая модель позволяет оценить стратиграфическую изменчивость не только ФЕС, но и их взаимных связей. Кроссплоты1, характеризующие связь между пористостью и логарифмом проницаемости в различных стратиграфических интервалах модели, приведены на рис. 9;
4) заключительным этапом петрофизиче-ского моделирования является адаптация обобщенной модели ФЕС к замеренным геофизическим показателям во всех скважинах на подземном хранилище газа для построения 3Б-модели изменчивости его ФЕС [6, 7].
Оценка предлагаемой методики петрофи-зического прогнозирования осуществлялась путем сопоставления эффективного объема по-рового пространства пласта коллектора с результатами режимных измерений в наблюдательных скважинах.
***
Преимущества предлагаемого метода состоят в обеспечении постоянства дисперсии отклонений (в пределах выделенных породно-стратиграфических кластеров) как исходных геофизических, так и прогнозируемых
Кросплот - специализированная диаграмма, которая сравнивает многократные измерения величин, сделанных в одно время или в одном месте по двум или больше осям.
петрофизических характеристик объекта, что объективно смягчает требования к имеющейся для количественной интерпретации исходной геолого-геофизической информации и в итоге оптимизирует и ускоряет сам процесс обработки данных. Фактически методику можно рассматривать как элемент инновационной технологии больших данных, феномен которой обусловлен постоянным ростом объема данных, накопленных крупным компаниями, в том числе нефтегазового комплекса. Собранная информация для многих организаций является важным активом, однако обрабатывать ее и извлекать из нее пользу с каждым днем становится все сложнее и дороже.
Список литературы
1. Магнус Я.Р. Эконометрика / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А. А. Пересецкий. - М.: Дело, 2004. - 576 с.
2. GREENE, W.H. Econometric analysis / William H. Greene. - New York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 с.
3. Литтл, Р. Дж.А. Статистический анализ данных с пропусками / Литтл Р. Дж.А., Рубин Д.Б. -М.: Финансы и статистика, 1991. - 336 с.
4. Шитиков В.К. Рандомизация и бутстреп: статистический анализ в биологии и экологии с использованием R / В.К. Шитиков,
Г.С. Розенберг. - Тольятти: Кассандра, 2014. -314 с.
5. Дегтерёв А.Ю. Специфика межскважинной корреляции при геологическом моделировании подземных хранилищ газа в водоносных пластах / А.Ю. Дегтерёв, В.Е. Кан,
А.Г. Черников и др. // Каротажник. - 2016. -№ 3 (261). - С. 67-87.
6. Черников А.Г. 3Б-моделирование петрофизических свойств сложнопостроенных объектов подземного хранения газа
на основе алгоритма нечетких марковских последовательностей / А.Г. Черников, М.Б. Матушкин, А.Ю. Дегтерёв // Вести газовой науки: Проблемы ресурсного обеспечения газодобывающих районов России. - М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2016. -№ 1 (25). - С. 148-157.
7. Матушкин М.Б. Пакетная обработка геолого-геофизических данных для создания геолого-технологических моделей / М. Б. Матушкин, А. Г. Черников // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2011. - № 12. -С. 115-124.
Application of distribution-free statistical methods to upgrade certainty of reservoir quality prediction
A.G. Chernikov1, M.B. Matushkin2*, A.Yu. Degterev3
1 Research Institute of Comprehensive Exploitation of Mineral Resources, Bld. 4, Kryukovskiy tupik, Moscow, 111020, Russian Federation
2 Gazprom VNIIGAZ LLC, Bld. 1, Estate 15, Proyektiruemyy proezd no. 5537, Razvilka village, Leninsky district, Moscow Region, 142717, Russian Federation
3 Rock Flow Dynamics, Bld. 25A, Profsoyuznaya street, Moscow, 117418, Russian Federation * E-mail: [email protected]
Abstract. Widely used methods of parametric statistics based on description of data arrays with their mathematical expectation and dispersion has few principal limits making them inefficient or absolutely unfit for some tasks. For a number of applied tasks which require statistical apparatus this limits could be rather important. At the same time, methods of distribution-free (non-parametric) statistics, which don't suffer from such disadvantages, are not popular still. It could be explained with later development of their theoretical foundation and in some cases with higher resource intensity of computations.
Nowadays, thanks to all-round expansion of the omnibus and rather powerful personal computers, there are no principal bounds for application of non-parametric statistical methods, but in some tasks where they could be useful, in particular for petrophysical prognoses, they are not practiced still in necessary extent. In this paper on example of modelling reservoir properties of underground gas storages, where traditional statistical apparatus fails, the relevance of non-parametric statistical procedures is demonstrated. The main distribution-free statistical procedures usually being followed during petrophysical predictive modelling are examined step-by-step.
Keywords: distribution-free statistics, simulation, petroleum physics, geology, interpolation, fuzzy variables, Markov sequence, recognition, forecast, porosity, permeability.
References
1. MAGNUS, Ya.R., P.K. KATYSHEV, A.A. PERESETSKIY. Econometrics [Ekonometrika]. Moscow: Delo, 2004. (Russ.).
2. GREENE, W.H. Econometric analysis. New York: Pearson Education, Inc., 2003.
3. LITTLE, Roderick J.A., and Donald B. RUBIN. Statistical analysis with missing data. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2002.
4. SHITIKOV, V.K., G.S. ROZENBERG. Randomization and bootstrap: statistical analysis in biology and ecology using R [Randomizatsiya i butstrep: statisticheskiy analiz v biologii i ekologii s ispolzovaniyem R]. Tolyatti, Russia: Kassandra, 2014. (Russ.).
5. DEGTEREV, A.Yu., V.Ye. KAN, A.G. CHERNIKOV et al. Special features of crosswell correlation at geological modelling of underground gas storages in water-bearing strata [Spetsifika mezhskvazhinnoy korrelyatsii pri geologicheskom modelirovanii podzemnykh khranilishch gaza v vodonosnykh plastakh]. Karotazhnik. 2016, no. 3 (261), pp. 67-87. ISSN 1810-5599. (Russ.).
6. CHERNIKOV, A.G., M.B. MATUSHKIN, A.Yu. DEGTEREV. 3D-simulation of petrophysical properties of complex underground gas storage objects using an algorithm of fuzzy Markov sequences [3D-modelirovaniye petrofi zicheskikh svoystv slozhnopostroyennykh obyektov podzemnogo khranilishxha gaza na osnove algoritma nechetkikh markovskikh posledovatelnostey]. Vesti Gazovoy Nauki. Moscow: Gazprom VNIIGAZ LLC, 2016, no. 1 (25): Issues for resource provision of gasextractive regions of Russia, pp. 148-157. ISSN 2306-8949. (Russ.).
7. MATUSHKIN, M.B., M.B. CHERNIKOV. Batch processing of geological measurements and well logs for designing geological-engineering models [Paketnaya obrabotka geologo-geofizicheskikh dannykh dlya sozdaniya geologo-tekhnologicheskikh modeley]. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten. 2011, no. 12, pp. 115-124. ISSN 0236-1493. (Russ.).
