Использование методов физической кинетики для определения электромагнитных свойств мелкой металлической частицы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Использование методов физической кинетики для определения электромагнитных свойств мелкой металлической частицы

Моисеев И. О. ([email protected]), Юшканов А.А., Яламов Ю. И.

Московский Государственный областной университет

Краткая аннотация

Проделано вычисление сечения поглощения электромагнитного излучения в

сферической металлической частице с помощью полно пространственного моментного метода. Расчет выполнен в пределе низкой частоты, когда вклад вихревых токов в поглощение доминирует, и для сравнительно мелких частиц (радиус ~ 10 нм), что позволяет пренебречь скин-эффектом. Приведено сравнение сечений поглощения в сферической частице рассчитанных моментным методом со значением, полученным в точном кинетическом расчете. Отличие в 7.6 % доказывает пригодность применения метода для расчета электромагнитных свойств металлических частиц.

Введение

В мелкой металлической частице электромагнитные свойства имеют ряд специфических особенностей по сравнению с такими же свойствами у крупных образцов металла. Например, поглощение электромагнитной энергии не может быть уже описано уравнениями макроскопической электродинамики, так как при размере Я частицы, сравнимым с длиной свободного пробега Л электрона в ней, рассеяние электронов на границе частицы приводит к нетривиальной зависимости свойств от отношения Я/Л.

Математическая модель и расчет

Будем рассматривать малую частицу, у которой Я/Л «1, где Л - длина волны

падающего излучения, при температуре Т много меньше температуры вырожденного электронного газа. Будем считать, что частица имеет ферми-поверхность сферической формы. Наша цель состоит в определении зависимости электромагнитных свойств частицы от ее размера и от частоты электромагнитного излучения.

Однородное переменное магнитное поле плоской электромагнитной волны вызывает отклик электронов проводимости, описываемый функцией распределения / = /о + /1, где /о - равновесная функция распределения, [1] равная /0 = 0 (Е -Е)

[1,0 < Е < Ef,

= ■ Ей Ef - энергия электрона и энергия Ферми соответственно. /1 -

10, Ef < Е.

отклонение функции распределения от равновесной/0. Она, в линейном, по внешнему полю, приближении, удовлетворяет кинетическому уравнения Больцмана для электронов [2,3]:

-1ф/1 + Г^ + еУЕ^Е = "А (1)

д г дЕ т

dfo

= -s(e - ef ),

dE

где a> - частота падающей электромагнитной волны, V - скорость электрона внутри частицы, E - напряженность электрического поля электромагнитной волны, т - время релаксации электрона, e - заряд электрона. Функцию fi можно представить в виде:

.. df s(v - v,)

f =~de Щ fЩ (2>

Здесь Vf - скорость электрона на поверхности Ферми, m - масса электрона.

Подставим fi в виде (2) в кинетическое уравнение (1). Домножим полученное

*

уравнение на величину комплексно сопряженную к щ - на (р1 :

. s(v- Vf) * V s(v v * ~ df) *

irn—-— щщ +-S(E - Vf)тт щ + eVE—щ =

mVf mVf dr dE

s(E - V,

TmVf

(3)

Заметим, что третий член левой части равенства (3) можно записать следующим образом:

eVE f щ/=- ^ S(V - V, ).

dE mVf

( m V V

Учтем, что плотность тока J = 2e I [ ~rs(v - Vf ^)(Pid V и

h У J mVf

i Г —

Q = 2 ] JE й г - диссипируемая в объеме частицы в единицу времени энергия, тогда уравнение (3) можно записать в виде (к - постоянная Планка):

E V V

iRe

2

f r2emV Л Л

\\tv s(e - Vf )vid 3v

v4 hmVf У у

Í з Л 2 — v h 3 у

2

Re

VrmVf

\js(V - Vf )ppp*d Vd 3r -

з

2 —

v h 3 у

Re

r \ i a

mVf

V j У

x

x

jó(V - Vf pp*d 3Vd:

Отсюда получаем:

r +

1

í 3 Л 2— v h у

"Re ¡S(V - Vf)-V P Pi'd Vd' r. 2

mVf д r

i* j3

б = "Re j jE*d r =

= 2__(_Re j¿(v- Vf)Ppd3VdV + h 2t j —V

mVf

i

+1 Re(ia) j ¿(V - Vf )pp d Vd 3r + 2 J mVf

+ -2 Re j —- *(V - Vf )P pi*d 3Vd 3r ).

(4)

2 дг

Второй член правой части выражения равен нулю, а третий, используя

уравнение Остроградского-Гаусса, запишем в следующем виде:

_L S(V - Vf )dP^L pi*d 3Vd 3r = r^V-Vf) Л

mVf dr J mVf Vdr

Id 3Vd 3r =

= — j^VV-Vf)

2j mVf

Vpppp*d VdS

Таким образом, для средней диссипируемой мощности @ справедливо выражение:

2яс | ]Е * а3г =

(5)

2 —-(-^Re js(V - Vf d Vd 3r +

h 2т J тТ/Г

mV

+

— Re f^Vzf 4 J

mVf

Vrp1p1*d VdS ).

Функцию ф1 будем искать моментным методом - раскладывая по моментам Сф и СгСф [4]: Ф1 = ^аСф + 1а2Сф+ Ъ1СфСх + 1ЪгСфСх ) =

= NСф(а\ + *а2 + Ъ;1Сг + *'Ъ2Сг), где N = exp(-ш sin0, а1, а2, Ъ1 и Ъ2 - функции

V

V .

координаты r. Ср и Сг - безразмерные скорости ( Cr = — cos a, C = — sin a cos в ), а, в,

V

V

f ' f

0, ф - углы в сферической системе координат в пространстве скоростей с полярной осью вдоль оси г.

1

1

1

f

В общем случае, функции а(г) и Ь(г) являются комплексными. Представим их в виде: а(г) = а1(г) + i а2(г), Ь(г) = Ь1(г) + i Ь2(г) . Здесь а1(г), а2(г), Ь1(г) и Ь2(г) - действительные функции.

Сначала найдем решение уравнения Больцмана, записанное в сферических координатах по всему пространству скоростей, предварительно умножив его первый раз на момент Сф и второй раз на момент СгСф [4]; получим систему из двух уравнений, связывающих моменты функции распределения с электромагнитным полем внутри и вне частицы:

!А/1 Ч rVí ^ г, д Ь .¡а еИТ г 10(--г а)а + 6 — Ь + -= 5-

т г д г с

Ъ-а - V, да - (1 -, а)Ь = 0 '

г дг т

здесь с - скорость света, И0 - амплитуда магнитного поля волны. Для низкочастотного случая (R/Vf «1 и (oRIVf «1) имеем:

6 И Ь + 2Ъ дЬ = 5 'а еИ Ъ Г

г д г с

Vf т д а 0 ,

— а - Vf — = 0 г д г

Проведя обезразмеривание, получим:

г = 4R, ёг = R ё4, а = к(г) е И0 R, Ь = /(г) е И0 R,

6 / + 2 Ё1

4 д£

.¡юR „

5-4

с

к д к

4 д4

= 0

Решения соответствующих дифференциальных уравнений приводят к следующему результату:

к = С4, / = 5 i (R 44/10 с + С2 / 43 , (6)

где С1 и С2 - неизвестные коэффициенты. Так как и /(0)*ю, то С2=0 и / = i (R 4 / 2с.

Теперь рассмотрим граничные условия функций распределения [5]:

Сг ф1=0 при ^ и Сг < 0. (7)

Отметим, что граничное условие (7) не может быть строго удовлетворено рассматриваемой нами моментной функцией распределения. Это связанно с тем, что в данном случае используется полно пространственный, а не полупространственный моментный метод [4]. При этом обычно выбираются моментные граничные условия. Они получаются домножением на моменты граничного условия (7) и

интегрированием по полупространству скоростей, соответствующему условию Сг < 0. Число моментных граничных условий в общем случае зависит от числа используемых моментов. В нашем случае имеется одно моментное условие. Обычно в качестве такового берут моментное условие меньшего порядка. При этом уравнение (7) домножается на момент наименьшего порядка (у нас это Сф) и интегрируется по полупространству скоростей Сг < 0.

В связи с этим будем использовать обобщенный способ подстановки моментных граничных условии: второй член правой части выражения (5) представим в виде двух слагаемых - падающего и отраженного потоков энергии.

- т ф зт„е - ^ г^ -

4 4 *

. (8) Второй

+ ^Яе Г5{У ъТс1Б

А J шГ/

4 mVf

член в (8) в точной кинетической теории равен нулю, поэтому минимизируем его по отношению к падающему потоку. Воспользуемся методом нахождения условного экстремума - нахождения минимального значения функционала. В нашем случае функционалом Ф будет полный поток энергии поступающий к частице, А - поток отраженной, В - поток поглощенной частицей электромагнитной энергии.

Ф=А-уВ, где у- коэффициент. (сделаем замену Сг = Ccos0, Сф = Csin&cosф, cos0 = А, С=ТТ)

А - Г Сгфф*3(С - 1)с1 С -

Сг < 0

= -[ Са(а12 + а22 + ЬС + Ь22Сг2 + 2а1Ь1Сг + 2 а2Ь2Сг) 8(С-1)с1ъС -

- а(1 - АС5б(С - 1)[(а^2 + а22)+ (ь12 + Ь22)V + (а1Ь1 + а2Ь2Са]сйА -0 -1

2 2 1 2 2 1 2, --п((а1 + а2 )(-4) + (Ь1 + Ь2 Х- —) + 2(а1Ь1 + а2Ь2)—) -

- -п(-Л(а12 + а22) - 12(Ь12 + Ь22) + 21з(а1Ь1 + а2Ь2)) ,

где 11,12,13 - значения соответствующих интегралов.

С интегралом В - ГСгф1 ф1 ^(С -С проделываем аналогичную операцию.

Сг <0

В--п(11(а12 +а2) +12(ЬЬ +Ь22) +ЩаА +а2Ь2)).

Ф= -п( ¡1 (а22+а22)(-1-у) + /2 (Ь12+Ь22)(-1-г) + 2 /3 (^^2X1-7))= =п( /1 (а12+а22)(1+г) + /2 (Ь12+Ь22)(1+г) + 2 / 3 (а^^^Х^)). Найдем частные производные от функционала Ф по всем переменным и приравняем

их нулю для нахождения экстремума

Фа1=2 /1 а!0+1) + 2 /3 ^(1-?/) = 0, Фа2=2 /1 а2(г+1) + 2 /3 ^(1-^) = 0, ФЬ1=2 /2 Ь1(у+1) + 2 /3 а1(1-г) = 0,

ФЬ2 -2 /2 Ь2(г+1) + 2 /3 а2(1-г) = 0. Получим две системы уравнении:

[2 /хах(у +1) + 2/ъ\(у-1) = 0 |2 /ха1(у +1) + 2/ъЬ1(у-1) = 0 [2 /ъах (у-1) + 2 / Ь (у +1) = 0, [2 /ъа2(у-1) + 2 / 2Ь2 (/ +1) = 0,

4 /1/2 ^(уН)2 - 4 /32 а1Ь1(г-1)2= 0, 4 /1/2 а2Ь2(у+1)2 - 4 /32 а2Ь2(г~1?= 0.

/1

(У + 1)2 _ / 3

V- 1 /1 /2 ,

/32 + /1 /2 - 2/3^

/1 /2 - /32

^2

- /32 + /1/2 + 2/3>/У2

/1 / 2 - / 3

Зная, что /1 = 1/4, /2 = 1/12 и /3 = 2/15, получим значения

8^3 -139

11

^2

- 80д/3 -139

11

Т- 1ч /.

г-К / 3

а1 = -Ь1(-— , а2 _ Ь2 (-

>+1 /1

1 /1

(9)

У -1 _л//7

Г +1 /3

2 и '

у +1

1 = лДЛ

/ 3

(10)

Найдем значение у, при котором выполняется условие | А | /В<1. (Выразим из (9) Ь1 и Ь2, и подставим).

И1 _ - П (/1 (а12 + а22) - 2 /3 (а1Ь1 + а2Ь2 ) + /2(Ь12 + Ь2 )) _

5 - П (/1 (а12 + а22) + 2 /3 (а1Ь1 + а2Ь2) + /2 (Ь12 + Ь22))

(а12 + а22)

- 2 /3

а.

у +1

Т-Г

2 /1 ( 7 +1 + а2 —

2/

13 V

7-1

\\

у у

+ / 2

2 /,2 (у + 1

1 / 2 , ^3 V

г-1

+а

2 V (7 + 1

2 /2. 13 V

2

7-1

/1 (а12 + а22)+ 2 /3

( 2 / (г +1 > а1

7 -1

+ а2 2/

3

2 / (г +1 ^

7 -1

+/

(, 2 /1 (7 +1 ^

у у

1 / 2 . 73 V

г-1

+а

2 /£_ (у+л >2'

2 /32 (г-1

2

2

2

3

/

3

Iх + 213 А.

1 3

у + 1

7-1

+1

I 1

2 I 2

3

/ +1 7-Т

1 +11 1 7 +1

1 + 2--+1 1 + -/

7-1 _

11 - 213 А

и

/ +1 7-1

+1

112

2 12

3

7 +1

7-1

_ г-1

у +1 у +1

1 - 2 +1 1 -

--7

7-1

7-1

Т.о., для соблюдения условия | А | /В<1 значение 7 должно быть по модулю меньше 1.

80л/3 -139

у.

11

-0.039

Соответствующая ошибка при использовании таких граничных условии составила порядка 4%.

Подставляя это значение 7 в (9) и (10) имеем:

12

а1 - Ь,^ ^ - Ь1 1 1 13 11 1

^л/3

а

и а

12 Ь — и а2 - Ь

11 22

Ь2 К

при г - К.

л/3

II

11

или

(11)

А в стандартной подстановке получаем зависимости а1= 8 Ь1/15.

Учитывая решения (6) для функции а1(г), а2(г), Ь1(г) и Ь2(г) будем иметь на границе частицы (г=К) следующее:

а(К) - ^Ь(К)

а(К) - С1

/тЯ

в(К) -

2 с

С -

11

12 шК Г ~2с~

а - /

I

12 совИ0К , ,аеИ0 2 2 0 г и Ь -/-0 г .

I 2 с

2 с

Значит 71 будет иметь вид:

/1 - N0

I г 2 2 г + /—Сг

Il

К г

ШеИ0К - exp(-/a ^) sin(@)(/'a2 + /Ь2) 2 с

Теперь найдем поглощаемую энергию Q, которая в выражении (5) составлена из двух частей. Первая часть в выражении (5) в низкочастотном пределе (т—го и -0) будет равна нулю. Соответственно, будем искать решение вычислением второй части

2

2

выражения (5), которая может быть найдена двумя способами. Покажем, что они эквивалентны:

- г . „ * (т ?8(У - V)

— 1 г *

Q _ 2КеI^фЕФ 1

ФЕФ 1 г

к

V " У

^ I-

т¥.

-Vrф1ф1 1 Тс®

1 Г * 3

Для | ]фЕф 1 г найдем выражение для

] ф :

2( ! ' е

I Тф/с V

2е2 т3 И 0 Ш(

2 с к3

ж п 2п

11I

0 0 0

II

2 С2 г X

X

- УУ

mVf

4пт 2е2 И п R(Vf

sma V2 ёУёаёв

—( /. '

2

^т 0 exp(-i шt)

с

Вычислим среднее значение энергии Q первым способом:

- 1 2

-1 -1 IX 71 ¿.Л

Q1 _ ^ | ф *<3г _ ^ 111

(И,

0 0 0

4пт е2И0R( V/

3л/3 к

с

г sin 0Х

X-

0 г3 sin2 01г10 1ф_

2с

1 32п2 R5 т2е2И02R(2VÍ2

2 1873 5 къс2

8 п2 т 2е2 И 02(2Vf2 R6

45^/3

3 2

к с

Вычислим среднее значение энергии Q вторым способом:

а _ 2

' т х V к у

Re |

¿(V - Vf)

т

mVí 2 к3mVí

X

V 2

-Vf)Vcosаsin20 —^sin2а cos2в

X

X

Г Г

X

\\

i(R

/2 ¡( R — +-Сг

/1 2с

Vf■

i(R

/2 ¡( R

--(г

/1 2с

\\

X

X е 2 И 02 R "V2 sinаsin 0 IV 1а 1в 101ф_

2к3с2 -у

ж п 2п

± Ц\8(у - V-,)

10 0 0

V6

Vf/

■X

п 2п

X

sin3 аcos2 аcos R sin 0101/_

00

8 п2m2e2И02Vf2(2R6

45л/3

3 2

к с

3

Таким образом, Q1=Q2.

Найдем сечение поглощения а электромагнитного излучения мелкой металлической частицей [6,7] (п - концентрация электронов проводимости, у = Ка /Vf - безразмерная частота падающего излучения):

n = 8

m3 nVf3 п2ne2R4Vf

m v h у

и 00

3 2mc

-08Л- 8п 8п2т2а2е2И02У/К6 - 8п2па2Кбе2 - 16у2 (12) а- сИ02 - сИ02 45у[3къс2 ~ 15^3сЗт¥, "^1573'

Обсуждение результатов

Отметим, что при использовании обычного моментного метода, где имеют место

быть граничные условия, связанные между собой соотношением а1=8-Ь1/15,

выражение для вычисления сечения поглощения выглядит следующим образом:

128 у2

а - а0-

0 225

Сравним результаты, полученные в точном кинетическом расчете [1,2]

а = (2/3) ob с нашими результатами:

' 2 16 л

3 15V3

3 X100 / « 7.6 /

Обычный моментный метод дает отличие в 14.6 %.

Точность приемлема и соответствует точности используемых приближении, в

частности, интеграла столкновении. Данный метод гарантирует положительность

значении для произвольной функции распределения f и позволяет использовать его

для любых частот электромагнитного поля. Литература

1. Харрисон У. Теория твердого тела, М., Мир, 1972 г.

2. Лесскис А.Г., ПастернакВ.Е., Юшканов А.А., //ЖЭТФ, 1982 г., т. 83, с. 310.

3. Лесскис А.Г., Юшканов А.А., Яламов Ю.И., //Поверхность, 1987, 11, с. 115.

4. Коган Н. М. Динамика разреженного газа. М., Наука, 1967 г.

5. Займан Дж., Электроны и фононы, М., Наука, 1973 г. гл. 13.

6. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Электродинамика сплошных сред, М.: Наука, 1982 г. §§ 59, 92, 93.

7. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Физическая кинетика, М.: Наука, 1979 г., (528 стр.).

8. Морс Ф.М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, М., ИЛ., 1958 г. т.1, гл.3, (930 стр.).

9. TrodahlH.J., Phys. Rev., 1979, B19, 1316.