Использование метода задержки координат (на примере задачи объема потребления безалкогольных напитков) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 338.27

использование метода

задержки координат

(на примере задачи объема потребления безалкогольных напитков)*

Н. Н. БУРЕЕВА,

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического моделирования экономических систем E-mail: bureeva@mm. unn. ru

Ю. С. ЕРШОВА,

аспирант кафедры математического моделирования экономических систем E-mail: juliagovorova@yandex. ru Нижегородский государственный университет

имени Н. И. Лобачевского -Национальный исследовательский университет

В статье используется методика задержки координат для прогнозирования временного ряда, представляющего объем потребления безалкогольной продукции. Результатом является построение прогноза с использованием фрактальной размерности. Точность прогноза позволяет использовать данную методику на рынке безалкогольной продукции.

Ключевые слова: метод, задержка координат, фрактальная размерность.

Модели временных рядов активно применяются в исследованиях динамики значительного числа реальных процессов различной природы. Они часто используются в исследованиях динамики пассажиропотоков, складских запасов, спроса на различные виды продукции, миграционных процессов в человеческом и биологическом сообществах, в радиотехнике, анализе химических процессов, мо-

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского - Национальном исследовательском университете.

делировании природных событий и многих других процессов [1].

Классические модели предсказания, такие как аддитивные, мультипликативные, авторегрессии и скользящего среднего, имеют ряд недостатков. Как правило, они чувствительны к шумам и часто требуют знания априорной информации о процессе. Одним из главных недостатков классических методов предсказания является необходимость определения их параметров на основе каких-либо априорных знаний о природе сигнала или эвристически [3]. Этого недостатка лишены так называемые непараметрические модели, требующие обучения с учителем. Однако такие модели (например, нейронные сети) нуждаются в длительной тренировке для того, чтобы определить большое количество внутренних параметров. Обученные на определенном множестве, эти модели будут плохо предсказывать процессы, которые не являются членами этого множества [2].

В авторском исследовании используется модификация метода задержки координат, позволяющая самостоятельно, без вмешательства человека оп-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жеорпя -и ЪР^тжгсх*

59

ределять параметры модели. В отличие от нейро-сетей и классических методов предсказания метод задержки координат может обрабатывать как периодические, так и стохастические массивы данных. Однако недостатком классического метода задержки координат является необходимость «ручного» определения его параметров. Предлагаемая модификация обеспечивает автоматическое определение параметров метода с использованием фракталов без учета априорной информации о сигнале [4].

Для исследования возможностей применения метода задержки координат для прогнозирования временного ряда, представляющего объем потребления безалкогольной продукции, использовались еженедельные и ежемесячные данные за шесть лет. Исследуемый временной ряд является нестационарным, характеризуется наличием возрастающего тренда и сезонной компоненты.

В основе рассматриваемой методики лежит понятие графика задержки координат. Пусть временной ряд состоит из отсчетов х,, х7, х,, ...,хм. Зная историю

X,

х,

временного ряда, можно построить зависимость х { от х Эта зависимость называется графиком задержки координат для величины лага, равной единице. Теперь, если график задержки координат известен, то можно предсказать следующую точку временного ряда по последнему отсчету процесса. В данном случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

1) по истории временного ряда строится график задержки координат (рис. 1, а);

2) назовем новой точкой последний отсчет ряда; для предсказания следующего отсчета находим эту точку на координатной оси х-х графика задержки координат (рис. 1, б);

3) выбираем значения К ближайших соседей вокруг новой точки (рис. 1, в);

4) проецируем значения К соседей на ось ординат X (рис. 1, г);

5) выполняем процедуру интерполяции спроектированных значений (рис. 1, д);

6) в результате интерполяции получаем предсказанное значение (рис. 1, е).

Xt

а

б

Новая точка

Новая точка

Г-1

X,

Ишергкинруем

* ■

Новая точка

х,

Интергкинруеи

■

Предсказанное значение

Новая точка

Новая точка

Рис. 1. Графическое отображение задержки координат для величины Ь = 1: а - построение графика задержки координат по истории временного ряда; б - нахождение новой точки на координатной оси х-1 графика задержки координат; в - выбор значений К ближайших соседей вокруг новой точки; г - проецирование значений К соседей на ось ординат хр д - интерполяция спроектированных значений;

е - получение предсказанного значения

Г-1

Г-1

Аналогично можно построить график задержки координат для величины лага, равной 2 как х( (х—1, х-2). Для произвольного значения лага Ь получаем х{ (хь1, х-2,..., хСледующее значение временного ряда предсказывается аналогичным образом.

Следует отметить, что метод имеет два параметра: число ближайших соседей и величину лага. В предложенном исследовании число ближайших соседей фиксировано и равно 2 Ь + 1, где Ь - величина лага. Для предсказания следующей точки временного ряда необходимо определить оптимальную величину лага. Это делается на основе фрактальной размерности графика задержки координат [4].

Для оценки оптимальной длины лага Ьор( рассмотрим график зависимости фрактальной размерности графика задержки координат от величины лага Ь. Обозначим фрактальную размерность графика задержки координат для лага Ь как/Ь. Динамика этого графика изображена на рис. 2.

В области небольших значений лага с увеличением размерности пространства или величины лага растет и фрактальная размерность/Ь. Затем график выходит на насыщение. В этом случае внутренняя структура графика задержки координат такова, что добавление новой координаты (увеличение длины лага) не добавляет новой информации по отношению к пространству состояний. Это значит, что внутренние размерности соответствующих графиков задержки будут оставаться одинаковыми. Значение лага, при котором он выйдет на насыщение, может использоваться как оптимальная длина лага.

Для построения графика зависимости фрактальной размерности графика задержки от величины лага требуется значение Л|пах. Это значение подбирается как заведомо большее, чем внутренняя размерность данных. Полученные результаты не чувствительны к произвольному выбору переменных. Когда величина изменения оказывается в этой области, это говорит о том, что плоская часть графика фрактальной размерности от величины лага (рис. 2) была достигнута и далее нет необходимости в нахождении фрактальной размерности/Ь для Ь более высокого порядка [4].

Предлагаемый алгоритм выглядит следующим образом:

Фрактальная размерность

Рис. 2. График зависимости фрактальной размерности графика задержки координат от величины лага

1) определяем величину лага графика задержки координат. Принимаем значение текущей фрактальной размерности равной 1. Для значений величины лага от 1 до, например, 10 строим график задержки координат для текущего значения лага. Определяем фрактальную размерность графика задержки - новую точку на графике (рис. 2). Определяем, не вышел ли график на насыщение. Если да, то определили Ьор, нет - возврат к п. 1;

2) строим график задержки координат для определенного значения лага;

3) выполняем предсказание новой точки по построенному графику при помощи описанной процедуры интерполяции.

Метод был апробирован на месячных и недельных данных объема потребления напитков. Для недельных данных был построен график зависимости фрактальной размерности от величины лага (рис. 3). Определено оптимальное значение лага

о о.

10

Лаг

12

14

16

18

го

Рис. 3. Зависимость фрактальной размерности от величины лага

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ш5б7>ЪЯ те ЪР*?жг(Ъ4

(Ь = 10), при котором фрактальная размерность достигла насыщения. Фрагмент исходного ряда и построенный на основании модели фрактальной размерности прогноз представлены на рис. 4. Строилось предсказание на 10 точек. Ошибка прогноза составила 15%.

Кроме того, метод задержки координат был апробирован на месячных данных. График для

определения оптимальной длины лага, из которого видно, что при Ь = 5 кривая выходит на насыщение, представлен на рис. 5. Это говорит о том, что оптимальным лагом является значение Ь = 5. Результат прогнозирования объема потребления напитков представлен на рис. 6. Из графика видно, что полученные прогнозные значения практически точно повторяют реальные значения исследуемого

ю <и о.

5 <и

ю О

60 50 40 30 20 10

245

250

255

260

265

Время

Рис. 4. Фрагмент построения прогноза с помощью модели фрактальной размерности (недельные данные)

270

•Исхолныеданные

- Поел сказанные значения

Рис. 5.

Зависимость фрактальной размерности от величины лага

4 5 е

Величина лага

200

Рис. 6. Фрагмент построения прогноза с помощью модели фрактальной размерности (месячные данные)

ряда. Относительная ошибка прогноза составила не более 5 %.

Результатом проделанной работы является построение прогноза на основе метода задержки координат с использованием фрактальной размерности. Методика задержки координат была апробирована на месячных и недельных данных. Полученные ошибки прогноза подтверждают, что метод задержки координат можно использовать для прогнозирования экономических показателей, представленных объемом потребления безалкогольных напитков. Следует отметить, что наиболее точный прогноз получен на месячных данных. Это объясняется тем, что в недельных данных присутствует случайная составляющая (шум),

которая негативно влияет на модель и дальнейшее построение прогноза.

Список литературы

1. Тихомиров Н. П., Дорохина Е. Ю. Эконометрика: учебник. М.: Экзамен, 2003.

2. Цыплаков А. Учебное пособие по эконометрике: URL: http://www. hometask. boom. ru/ economics/index. html/.

3. Эконометрия: учеб. пособие. URL: http://window. edu. ru/window_catalog/pdf2txt?p_ id=11363&p_page=67.

4. Large-scale Automated Forecasting Using Fractals, Chakrabarti Deepayan. Center For Automated Learning and Discovery, 2002.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ж£брпя -и ЪР*?жг(Ъ4

63