Использование метода принуждения при моделировании взаимодействия центрального банка с коммерческими банками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

УДК 519.83+519.86

NATURAL SCIENCE. 2016. No. 4

DOI 10.18522/0321-3005-2016-4-21-25

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ПРИНУЖДЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО БАНКА С КОММЕРЧЕСКИМИ БАНКАМИ*

© 2016 г. В.А. Магдесян, А.Б. Усов

USE OF THE METHOD OF COERCION WHEN MODELING INTERACTION OF CENTRAL BANK WITH COMMERCIAL BANKS

V.A. Magdesyan, A.B. Usov

Магдесян Владимир Артурович - магистр, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Во-ровича Южного федерального университета, ул. Мильчако-ва, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]

Усов Анатолий Борисович - доктор технических наук, профессор, кафедра прикладной математики и программирования, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]. ru

Vladimir A. Magdesyan - Master, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, email: [email protected]

Anatoliy B. Usov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Applied Mathematics and Programming, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Рассматривается взаимодействие центрального банка и коммерческих банков в сфере кредитования населения. При моделировании используется теоретико-игровой и иерархический подходы. В качестве метода иерархического управления используется метод принуждения. Указаны алгоритмы построения равновесия Штакельберга при аналитическом исследовании и имитационном моделировании. Приведены результаты аналитического исследования методом множителей Лагранжа для специального вида входных функций и имитационного моделирования для входных функций общего вида. Дан анализ полученных результатов, сделан ряд выводов о поведении системы в целом.

Ключевые слова: иерархия, двухуровневая система, Штакельберг, равновесие.

Examines the interaction of Central Bank and commercial banks in sphere of crediting of the population. When modeling uses a game-theoretic and hierarchical approaches. As a method of hierarchical control is used, the method offorcing. Provided the algorithms for constructing the Stackelberg equilibrium in analytical study and simulation modeling. The results of analytical studies by the method of Lagrange multipliers for a special type of input functions and simulation for the input functions of general form. The analysis of the obtained results, a number of conclusions about the behavior of the whole system.

Keywords: hierarchy, two-level control system, Stackelberg, equilibrium.

В современном мире системы управления - это многоуровневые иерархические системы, включающие в свой состав несколько субъектов управления. Имеется субъект управления верхнего уровня (начальник) и один или несколько субъектов нижнего уровня (подчиненных). Отношения между ними являются иерархическими; цели различных субъектов различны и могут даже противоречить друг другу. Предполагается, что все субъекты стремятся к достижению своих эгоистических целей, которые чаще всего противоречат объективным целям развития всей системы в целом [1-4]. Для достижения этих объективных целей нужен субъект управления верхнего уровня. Проблема выполнения объективных целей развития системы актуальна для экономических, эколого-экономи-

ческих, социальных и политических систем различной структуры. Теория математического моделирования разного рода систем управления включает как дескриптивные, так и нормативные аспекты [5, 6].

В данной статье исследуется двухуровневая банковская система. В качестве субъектов в ней рассматриваются центральный банк (ЦБ, ведущий) и один или несколько коммерческих банков (КБ, ведомых). Проблема моделирования поведения субъектов банковских систем чрезвычайно актуальна в настоящее время. Имеется значительное количество моделей (в основном математически неформализованных или рассматриваемых в рамках финансовой математики без учета иерархии), в которых изучаются различные стороны

* Работа выполнена при финансовой поддержке ЮФУ, проект № 213-01-07-2014/07ПЧВГ.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

взаимодействия субъектов разного вида банковских систем. Выделим близкие к данной работы [7-9]. В [7] проведен анализ банковской системы, включающей в качестве субъектов собственно банк и население. Взаимодействие между банками и населением моделируется в виде повторяющейся сигнальной игры, где банки посылают сигнал в виде обещанного процента по депозитам. Население, наблюдая эту ставку, принимает решение об инвестировании или отказывается от банковских вложений. В [8] рассматривается подход к оптимизации параметров франчайзингового договора на основе представления отношений франчайзера и франчайзи в виде иерархической игры. Эта работа является примером построения финансовых взаимоотношений между субъектами, где в качестве ведущего выступает франчайзер, а в качестве ведомого - франчайзи. Их отношения регулируются с помощью договора франшизы, в котором устанавливаются параметры и условия предоставления франшизы. В [9] рассмотрены критерии принятия финансовых решений в КБ. Здесь дан комплексный, системный подход к концептуальному управлению финансами КБ и к оценке инвестиционной привлекательности банковского учреждения на основе модели фундаментального анализа банка, которая адаптирована к стандартам отечественной учетной политики КБ.

Модели, предложенные в [7, 8], были исследованы, как и модель, рассмотренная в данной работе, с точки зрения теоретико-игрового подхода. В [9] проведено исследование модели фундаментального анализа КБ. В развитие моделей [7, 8] ниже с точки зрения теоретико-игрового и иерархического подходов изучается функционирование двухуровневой банковской системы, включающей ЦБ и один или несколько КБ.

Математическая постановка задачи

Рассматривается двухуровневая модель [3, 4] банковской системы, включающая ЦБ и несколько КБ. Взаимоотношения внутри системы устроены следующим образом: ЦБ воздействует на КБ. Его главной целью является поддержание всей банковской системы в некотором заданном состоянии. Добиться этого ЦБ может несколькими способами, поэтому, кроме того, он преследует свои частные цели и стремится к максимизации своего дохода. Подобная организация взаимоотношений обусловила иерархию между субъектами управления системы, в соответствии с которой ЦБ выступает в качестве субъекта управления верхнего уровня, КБ - нижнего. Данная система в случае

побуждения была проанализирована в [10]. Ниже исследован случай принуждения [4].

При принуждении ЦБ воздействует на множество допустимых управлений КБ. При этом у КБ не остается возможности выбора стратегии поведения, которая бы не обеспечивала поддержания системы в заданном состоянии. Воздействие при этом носит административно-законодательный характер. ЦБ запрещает КБ использовать стратегии, которые не удовлетворяют требованиям поддержания системы в заданном состоянии, с помощью издания различных законов и правил, жесткого требования им следовать. При этом из множества возможных стратегий принуждения ЦБ выбирает ту стратегию, которая отвечает его интересам (максимизации прибыли).

Предполагается, что ЦБ стремится к максимизации своего дохода. Его целевая функция имеет

вид

J0 = KVD(v, PSL) ■ v - R(KVD(v,PSL),v) -

-M(KVD(v, PSL), v) ^ max ,

к

(1)

где v = W/100 ; W — процент, под который ЦБ вы-

T

дает деньги КБ; PSL = ^^, T — процент, под который КБ выдает деньги клиентам; KVD(v, PSL) — размер выданных ЦБ кредитов; R(KVD,v) — затраты ЦБ на рекламу; M (KVD,v) — зарплата сотрудников ЦБ; K — максимальный процент, под который КБ может выдавать кредиты клиентам.

Целевая функция КБ J = KVD(v,PSL) ■ (PSL -v) - L(KVD(v, PSL),PSL) --S(KVD(v, PSL), PSL) - KVD(v, PSL) ■v ^ max , (2)

PSL

где L(KVD, PSL) — затраты в КБ на аренду помещения; S (KVD, PSL) — зарплата сотрудников КБ.

Функции R(KVDv) , M(KVD, v), L(KVD, PSL), S(KVD, PSL) являются выпуклыми возрастающими, KVD(v, PSL) — убывающая функция своих аргументов.

В модели предполагается, что все деньги, взятые у ЦБ, КБ выдает населению в виде кредитов.

Ограничения на управления ЦБ и КБ берутся в виде

PSLmn < PSL < K , (3)

к_„ < к < к

(4)

где , К — минимально и максимально воз

можный процент выплат по кредитам; утП, утах -минимальный и максимальный процент, взимаемый

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

ЦБ; К т1П, К тах - возможные значения параметра К Ведущий в этом случае управляет величиной ^

Кроме того, потребуем, чтобы количество выданных кредитов лежало в заданном диапазоне, т.е. кУтт < КУО(у,PSL) < ^х , (5)

где ^тт , ^тах = .

Итак, исследуется двухуровневая модель взаимодействия банков, описываемая соотношениями

(1)-(5).

Аналитическое исследование модели

Для модели (1)—(5) строится равновесие Шта-кельберга согласно следующему алгоритму:

1. Решается задача (2)-(4). Определяются оптимальные стратегии КБ в зависимости от стратегии ЦБ.

2. Найденные на первом шаге алгоритма величины PSL (К) подставляются в (1), (5). Решается задача (1), (3)-(5). Решение обозначим через К*.

3. Равновесие имеет вид (К , PSL (К )) и является равновесием по Штакельбергу для модели (1)-(5).

Проведем аналитическое исследование модели (1)-(5) методом множителей Лагранжа согласно этому алгоритму для следующих входных функций:

C

KVD(v, PSL) = —1;

L(KVD, v,PSL) = B2 ■ KVD ■ PSL2 • v ;

(6)

PSLl, если B3 <

K, если K < -

2■PSLm

1

K >-

2-B2 v + 2■ B3

2^ B2-v + 2-B3

Обозначим K1 =

2 ■ B2 ■ v + 2 ■ B3

Решим задачу ЦБ в случае Кт1п < К1 < Ктах. Тогда возможны три подслучая:

1. При Kmjn < K < K оптимальная стратегия ЦБ определяется формулой

*

K =

Kmin, если — 2 < — 3 ■ Kmin, — 3 <

—,

- !■ K

K2, если - 2 ■ —3 ■ Kmax < —2 < -2 ■ — 3 ■ ^

—

- 2 K

< —3 <

—

- 2 K

Kmax, если —2 >-2 —3 ■Kmax, —3 >

—

- 2 K

S(KVD, V, PSI) = B3 ■ KVD ■ PSL2 ;

R(KVD,v,PSL) = C2 ■ KVD ■ v3 ■PSL ;

M(KVD, v,PSL) = C3 ■ KVD ■ v3 ■ PSL2.

Здесь C1, C2, C3, B2, B3 = const.

Подставим (6) в (1)-(5). Первой решается задача КБ (2), (3). Решение проведем методом множителей Лагранжа. Оптимальное управление ведомого определяется формулой PSL* =

PSL mm, если B3 > 1" 2-PSL^B2v; mm 3 2-PSLmn

1 - 2^ PSLmin ■ B2 v

Равновесием в этом случае является одна из пар

>!< >1< стратегий (Kmin, K ), (Kx, K ).

2. Kj < K < Kmax .

В качестве K* может быть любое значение из промежутка (K15 Kmax). Равновесием является пара

(PSLmn, K* ) .

В результате равновесием системы является одна из пар: (Kmm,K*), (K^K*), (PSLmm,K*).

Имитация

В случае входных функций общего вида равновесие строится путем имитации в результате перебора областей допустимых управлений ЦБ и КБ с некоторым шагом [2-4].

Алгоритм имитационного моделирования для модели (1)-(5) при принуждении состоит в следующем:

1. Разобьем область допустимых управлений ЦБ на N частей точками ui = i-hK, где

K - K -

h = _max-mm , i = о, N .

K N ' '

2. Выбираем текущее значение ui .

3. Выбираем текущее управление КБ

v, = }■ hPSL , гДе hPSL =

K - PSLm N~

4. Находим максимальное значение (2), перебирая Vj, где ] = 0, N, при фиксированном ui.

5. В (1) подставляем найденное на предыдущем

>!< >1<

шаге значение V = V (ui).

6. Перебирая i = 0, N, находим пару (и*,V* (и*)), доставляющую максимум (1) при выполненном условии (5).

7. Равновесие Штакельберга при принуждении

( * * * ^

имеет вид и* , V (и* )|=1.

V

1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

Результаты счета

Численные расчеты при имитации проводились для входных функций вида

С! ■ Щ PSL) ■v

KVD (у, PSL) = ■

PSL4

(7)

L(KVD, v, PSL) =

S (KVD, v, PSL) =

B7 ■ KVD ■ PSL4 ■ V PSL ■ v

_ B2

PSL

PSL

ln(—) ■ Щ-)

V V

B3 ■ KVD ■ PSL6

у ■ M—Г-) ■ ln(-2

v3 PSL2

)

R(KVD,v, PSL) =

M (KVD, v, PSL) =

С2 ■ KVD ■ V PSL ■ v ■ PSL4 ln(—T-)

С3 ■ KVD ■ PSL'

2 PSL PSL v ■ ln(—) ■ h(—)

KF

IMP-ST

J1

J

KF

COMP-ST

max

COMP-ST

JC

(8)

(9)

Пример 5. Для входных данных примера 1 и B2=100 р. получим J0=7978,76 р.; ^=5805,86 р., KF = 0,7913.

Пример 6. Для входных данных примера 1 и B3 = 100р. получим J0 = 1918,16 р.; J1 = 5803,44р., KF = 0,7914.

При увеличении величин B2 и B3 доход КБ уменьшается.

Пример 7. Для входных данных примера 1 и B3=40 р.; PSLmn=0,12 в таблице указана зависимость доходов ЦБ и КБ от процента, под который КБ выдает деньги клиентам.

Результаты счета для входных данных примера 7 / Account results for the input data of Example 7

V V

Для характеристики степени согласованности интересов различных субъектов управления в иерархических системах вводится понятие индекса системной согласованности KF [4], который вычисляется по формуле

тIMP-ST

Kmin Kmax PSL* Je, Р- Jb р. KF

0,05 0,12 0,054137 7660,64 5805 0,77

0,05 0,15 0,053 7936,4 5805,46 0,79

0,05 0,18 0,053948 7770,83 5805,75 0,78

0,05 0,21 0,053652 7947,27 5805,39 0,8

J с OM P-S1

J max

Пример 1. Для входных функций (7) и PSLmn = 0,11, Kmn = 0,05, Kmax = 0,12, v = 0,02, B2 = 50 р., B3 = 10 р., с = 1000 р., C2 = 110 р., с = 100 р. получим, что К*=0,05, PSL* = 0,0536, J0 = 7978,76 р., Jx = 5806 р., KF = 0,791.

Пример 2. Для входных данных примера 1 и C = 3000 р. получим, что оптимальные стратегии субъектов не изменятся и J0 = 23936,28 р.; J = 17417 р., KF = 0,7914.

Таким образом, при увеличении величины Сь связывающей количество взятых у ЦБ кредитов и ставку по кредитам, доход обоих субъектов растет.

Пример 3. Для входных данных примера 1 и С2=200 р. получим J0=7568,49 р.; Jj=5806 р., KF = 0,785.

Пример 4. Для входных данных примера 1 и С3=300 р. получим J0=7861,44 р.; Jj=5806 р., KF = 0,788.

Таким образом, при увеличении величин С2 и С3 доход ЦБ уменьшается, что логично, так как увеличение затрат на рекламу или на зарплату сотрудников при принуждении не окупает себя.

Таким образом, повышение максимального значения, которое может достигать процент, под который КБ выдает деньги клиентам, уменьшает его доход (количество клиентов, обратившихся в банк за кредитами, падает). ЦБ в этом случае увеличивает свой доход.

Заключение

В работе на основе теоретико-игрового и иерархического подходов построена двухуровневая математическая модель банковской системы. Использован метод принуждения в качестве метода иерархического управления. Проведен ряд численных экспериментов исследования равновесия Штакель-берга. Выявлены некоторые закономерности функционирования системы, которые состоят в следующем:

1. Построение равновесия Штакельберга при принуждении возможно, ЦБ может добиться поддержания системы в заданном состоянии.

2. Доход ЦБ больше при принуждении, чем при побуждении. Доход КБ больше при побуждении, чем при принуждении.

4. При увеличении затрат ЦБ на зарплату сотрудников или затрат КБ на аренду помещения при принуждении субъекты терпят меньшие убытки, чем при побуждении. Повышение затрат на рекламу ЦБ и увеличение зарплат сотрудников ЦБ при принуждении уменьшает доход ЦБ, но увеличивает индекс системной согласованности.

2

V

V

IMP-ST

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2016. No. 4

При повышении затрат КБ на аренду помещения и зарплату сотрудников при принуждении индекс системной согласованности растет. Повышение величины максимально допустимого процента, под который КБ выдает деньги клиентам, уменьшает его доход (количество клиентов, обратившихся в банк, уменьшается). ЦБ в этом случае, напротив, увеличивает свой доход.

5. При принуждении индекс системной согласованности выше, чем при побуждении.

6. При принуждении КБ часто терпят убытки, и им невыгодно сотрудничать с ЦБ.

Литература

1. Угольницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием. М., 2010. 336 с.

2. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Динамические иерархические игры двух лиц в программных стратегиях и их приложения // Математическая теория игр и ее приложения. 2013. Т. 5, вып. 2. С. 82-104.

3. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Исследование дифференциальных моделей иерархических систем управления путем их дискретизации // Автоматика и телемеханика. 2013. № 2. С. 109-122.

4. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Равновесия в моделях иерархически организованных динамических систем с учетом требований устойчивого развития // Автоматика и телемеханика. 2014. № 6. С. 86-102.

5. Кононенко А.Ф. О многошаговых конфликтах с обменом информацией // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1977. № 4. С. 922-931.

6. Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Динамические модели конфликтов. Иерархические игры // Автоматика и телемеханика. 2015. № 2. С. 89-106.

7. Белянин А.В. Эволюция рынка частных сбережений: теоретико-игровой анализ. М., 2005. 44 с.

8. Соломаха А.Г., Соломаха Г.М. Теоретико-игровой подход к оптимизации параметров франчай-зингового договора. // Вестн. ТвГУ. Экономика и управление. 2014. № 4, т. 1. С. 184-190.

9. Масленченков Ю.С. Финансовый менеджмент в коммерческом банке. Фундаментальный анализ. М., 1996. 194 с.

10.Магдесян В.А., Усов А.Б. Моделирование социального партнерства в банковской системе // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2016. № 1. С. 21-25.

References

1. Ugol'nitskii G.A. Ierarkhicheskoe upravlenie ustoichivym razvitiem [Hierarchical management of sustainable development]. Moscow, 2010, 336 p.

2. Ugol'nitskii G.A., Usov A.B. Dinamicheskie ierar-khicheskie igry dvukh lits v programmnykh strategiyakh i ikh prilozheniya [Dynamic hierarchical two-person game in program strategies and their applications]. Matema-ticheskaya teoriya igr i ee prilozheniya. 2013, vol. 5, no. 2, pp. 82-104.

3. Ugol'nitskii G.A., Usov A.B. Issledovanie differ-rentsial'nykh modelei ierarkhicheskikh sistem upravleniya putem ikh diskretizatsii [Investigation of differential patterns of hierarchical control systems by their sampling]. Avtomatika i telemekhanika. 2013, no. 2, pp. 109-122.

4. Ugol'nitskii G.A., Usov A.B. Ravnovesiya v modelyakh ierarkhicheski organizovannykh dinamiche-skikh sistem s uchetom trebovanii ustoichivogo razvitiya [Equilibrium models of hierarchically organized dynamic systems taking into account the requirements of sustainable development]. Avtomatika i telemekhanika. 2014, no. 6, pp. 86-102.

5. Kononenko A.F. O mnogoshagovykh konfliktakh s obmenom informatsiei [About multistep conflicts with the exchange of information]. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki. 1977, no. 4, pp. 922-931.

6. Gorelov M.A., Kononenko A.F. Dinamicheskie modeli konfliktov. Ierarkhicheskie igry [Dynamic model of conflict. Hierarchical games]. Avtomatika i telemekhanika. 2015, no. 2, pp. 89-106.

7. Belyanin A.V. Evolyutsiya rynka chastnykh sbe-rezhenii: teoretiko-igrovoi analiz [The evolution of the market of private savings: game-theoretic analysis]. Moscow, 2005, 44 p.

8. Solomakha A.G., Solomakha G.M. Teoretiko-igrovoi podkhod k optimizatsii parametrov franchaizin-govogo dogovora [Game-theoretic approach to the optimization of the franchise contract parameters]. Vestn. TvGU. Ekonomika i upravlenie. 2014, no. 4, vol. 1, pp. 184-190.

9. Maslenchenkov Yu.S. Finansovyi menedzhment v kommercheskom banke. Fundamental'nyi analiz [Financial management in commercial bank. Fundamental analysis]. Moscow, 1996, 194 p.

10. Magdesyan V.A., Usov A.B. Modelirovanie sotsi-al'nogo partnerstva v bankovskoi sisteme [Modelling of social partnership in the banking system]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2016, no. 1, pp. 21-25.

Поступила в редакцию /Received_30 июня 2016 г. / June 30, 2016