Использование линейной теории кавитации для математического моделирования отрывного обтекания профиля с конечной зоной отрыва Текст научной статьи по специальности «Физика»

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXII 2 001

№1—2

УДК 532.528

629.735.33.015.3.025.73:532.526

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ КАВИТАЦИИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ С КОНЕЧНОЙ ЗОНОЙ ОТРЫВА

А. Н. Храброе

Исследуется отрывное обтекание тонкого профиля. В рамках идеальной жидкости отрыв моделируется зоной постоянного давления конечной длины, начинающейся в некоторой точке на верхней поверхности. Приближение линейной теории кавитации позволило избежать нахождения формы отрывной зоны. Найдена область существования решения в зависимости от параметров задачи: угла атаки, координаты начала отрыва потока и коэффициента давления в зоне отрыва. Последний параметр однозначно связан с длиной отрывной зоны. В рамках данного подхода исследованы суммарные и распределенные аэродинамические нагрузки, действующие на профиль.

В работе [1] было рассмотрено стационарное отрывное обтекание тонкого профиля под углом атаки. При этом отрыв моделировался зоной постоянного давления Кирхгофа. В точках отрыва потока на верхней и нижней поверхностях профиля выполнялись асимптотические вязкие условия для давления. В работе [2] в том же приближении тонкой отрывной зоны бесконечной длины были найдены аналитические выражения для аэродинамических нагрузок, действующих на профиль в зависимости от угла атаки и координаты точки начала отрыва потока на его верхней поверхности. Эти формулы были использованы для математического моделирования аэродинамических нагрузок, действующих на крыло большого удлинения при его нестационарном движении на отрывных режимах обтекания. При этом динамика координаты начала отрыва потока описывалась обыкновенным дифференциальным уравнением, в которое входила некоторая постоянная времени, характеризующая запаздывание перестроения отрыва потока в нестационарных условиях. Результаты математического модели-

рования, проведенного в работе [2], показали, что предложенная модель достаточно хорошо описывает результаты экспериментальных исследований при нестационарном увеличении угла атаки. Для обратного хода с уменьшением угла атаки наблюдается некоторое отличие экспериментальных данных от результатов моделирования.

Анализ полученных данных показал, что для более полного описания наблюдаемых в эксперименте нестационарных зависимостей необходимо использовать более сложные математические модели аэродинамических нагрузок, возникающих при отрывном обтекании профиля. Одно из существенных упрощений математической модели, используемой в работе [2], является предположение о бесконечности отрывной зоны. Из этого предположения следует, что давление в отрывной зоне всегда постоянно и равно давлению на бесконечности. Хотя ясно, что при нестационарном движении профиля при наличии отрыва потока величина коэффициента давления в отрывной зоне также должна изменяться и, возможно, с некоторым запаздыванием.

Для устранения этих противоречий в настоящей работе рассматривается стационарная задача об отрывном обтекании тонкого профиля с конечной зоной отрыва потока, начинающейся на его верхней поверхности. Так как профиль тонкий и отрывная зона (область постоянного давления) узкая, для описания течения можно применить линейную теорию кавитации [3], [5]. С применением этого подхода в работах [6], [7] была рассмотрена задача обтекания пластинки с зоной кавитации на верхней поверхности. В работе [6] зона постоянного давления начиналась на передней кромке тонкого профиля и заканчивалась в некоторой точке на его верхней поверхности. В работе [7] рассмотрена задача об обтекании пластинки с началом зоны кавитации на передней кромке пластинки и точкой смыкания за ее задней кромкой. При использовании такого же подхода в работе [8] было рассмотрено обтекание бесконечно тонкой изогнутой дужки с зоной кавитации (отрыва потока), начинающейся также в носке и имеющей конечную длину, превосходящую длину дужки.

В отличие от этих работ в настоящей статье считается, что зона постоянного давления начинается в некоторой точке на верхней поверхности тонкого профиля (пластинки) и заканчивается на некотором конечном расстоянии за его задней кромкой. Основное внимание уделяется влиянию координаты точки отрыва и коэффициента давления в отрывной зоне на аэродинамические характеристики профиля. В работе [9] задача влияния положения точки отрыва потока с верхней поверхности плоской пластинки на ее несущие свойства исследовалась в нелинейной постановке. При этом отрыв потока моделировался полубесконечной зоной Кирхгофа, давление в которой всегда равно давлению на бесконечности. В настоящей работе эта задача рассматривается в более упрощенной линеаризованной постановке, что, однако, позволяет исследовать влияние коэффициента давления в отрывной зоне на аэродинамические характеристики. Для задачи моделирования отрывного обтекания в идеальной жидкости координата отрыва

потока на профиле и коэффициент давления в отрывной зоне являются независимыми параметрами. При рассмотрении вязкой задачи они будут однозначно определены условиями в точке отрыва.

1. Обратимся к математической постановке задачи. В настоящей работе рассматривается обтекание профиля неограниченным потоком невязкой несжимаемой жидкости. Зона отрыва моделируется конечной зоной постоянного давления (рис. 1). Отрыв начинается в точке с координатой дгд на верхней поверхности профиля. Будем считать, что нижняя поверхность профиля обтекается безотрывно, при этом начало зоны отрыва потока здесь совпадает с задней кромкой профиля. Течение будем считать стационарным и безвихревым. Скорость потока на бесконечности (Уд составляет угол атаки а с осью абсцисс связанной системы координат Оху, начало которой расположено в носовой точке профиля. Линейный масштаб выберем так, чтобы задняя кромка профиля находилась в точке с координатами (1, 0). Вследствие постоянства давления в зоне отрыва скорость потока на ее границе постоянна. Выберем масштаб скоростей так, чтобы эта скорость была равна 1.

Поставленная таким образом задача является достаточно сложной вследствие того, что граница зоны отрыва потока заранее неизвестна. Для ее упрощения и получения аналитических результатов используется приближение линейной теориёй кавитации. Будем считать, что угол атаки набегающего потока достаточно мал а «1. Кроме этого ограничимся рассмотрением обтекания тонких профилей. Если верхняя поверхность профиля описывается функцией у = У\{х), а нижняя — у = /2 (^), это условие можно записать в следующем виде; #, /<&« 1 (/ = 1, 2), которое выполняется везде, за исключением окрестности передней кромки профиля. Составляющую скорости потока, параллельную оси Ох, будем обозна-

а

II

У

0

X

А

2=Х*іу

и=О -З У=Р(4) I У=Р(1) ^ _ _ц=0

'с В о А

Рис. 1. Схема течения

чать через 1 + и, а составляющую скорости, параллельную оси Оу, соответственно через V. Из предположений о малости угла атаки и толщины профиля следует, что скорости возмущенного движения малы, и« 1, V « 1.

Условие непротекания, которое необходимо выполнить на части профиля, обтекаемой безотрывно, в первом приближении сводится к следующему выражению:

Коэффициент давления ср в линейном приближении может быть записан в следующем виде:

Обозначим значение коэффициента давления в отрывной зоне через ср =-а, тогда, с учетом (3) и (2), для дополнительной составляющей горизонтальной скорости потока на бесконечности получим следующее выражение:

Для вертикальной составляющей скорости потока на бесконечности имеем в первом приближении

Для решения поставленной задачи обычно используется теория функций комплексного переменного. При этом вводится потенциал и функция тока возмущенного течения в плоскости г = х + 1у:

и = 0Ф=_ду ду дх

Тогда соответствующий комплексный потенциал течения имеет вид:

с1х

На границе отрывной зоны в первом приближении имеем

(1)

и = 0.

(2)

с

Р

(3)

ст

(4)

и0 =

2

и0 =а.

(5)

и — ——

Зф _ д\\/ дх ду ’

Ф = ф + Лу,

и комплексно сопряженная скорость возмущенного течения может быть

Вследствие малости угла атаки и толщины профиля граничные условия для функции м> (г) могут быть снесены на ось Ох. При этом полем течения в плоскости г является внешность разреза вдоль действительной оси от точки О до точки С, в который превращается профиль и зона отрыва (см. рис. 1). На берегах разреза заданы значения скоростей:

Кроме этого необходимо выполнить условие замкнутости зоны отрыва потока. Вследствие замкнутости профиля с зоной отрыва суммарная интенсивность источников и стоков внутри разреза и, следовательно, на бесконечности должна быть равна нулю. Существование суммарного источника или стока на бесконечности дало бы в результате Ф»Юпг при

г->°о, и, следовательно, и'» — . Отсюда можно заключить, что необхо-

димым и достаточным условием замкнутости отрывной зоны является равенство К=§. Иными словами реальная часть вычета на бесконечности функции н' (г) должна быть равна нулю

Для однозначного решения задачи в теории линейной кавитации необходимо также потребовать, чтобы в точке замыкания зоны отрыва (каверны) г = Ь функция (г) имела особенность:

можно отобразить внешность разреза в плоскости г - х + гу на верхнюю полуплоскость вспомогательной плоскости С, = £, + щ . При этом разрез

представлена в виде:

м>(г) = и - ш = сіф/сіг.

V на ОА,

СІХ

и- О на АС,

СІХ

и = 0 на ВС.

г

itelR.es м>{г = со)] = 0.

(6)

(7)

С помощью конформного преобразования

(8)

ОАСВО в плоскости г переходит в действительную ось плоскости С,. Точка замыкания отрывной зоны С {г- Ь) переходит при таком преобразовании в бесконечно удаленную точку плоскости С,. Точка начала отрыва потока г = х0 переходит в точку £;0, а задняя кромка профиля г= Г — в точку

(ъ = -а, где а - \/^ Ь-\. Бесконечно удаленная точка в плоскости г-х + 1у переходит в точку ^ = / вспомогательной плоскости.

При введении в рассмотрение дополнительной функции g(Cl)-iw(z(C>)) = v + iu, для нее на действительной оси выполняются следующие условия:

= 0 -°° < £, < -а,

Яе[ёЮ] = Р&) -а<^<% о,

М#(0] = О ^О<^<00»

где Е = с1/\/с1х на верхней поверхности профиля (0<^<^о) И Р = = df2^dx — на нижней (-а<£<0). Кроме этого g{C))~C^ при £->оо (особенность в точке замыкания отрывной зоны). С учетом возможного наличия полюса в бесконечно удаленной точке решение задачи о нахождении функции g(Q может быть найдено с помощью формулы Келдыша — Седова [10]. Если ввести в рассмотрение функцию

т= , ^

№ + о)

то общее решение может быть записано в виде:

<9>

тИ(С,) •' 1-% й(^)

-а

где А и В — неизвестные константы. Это общее решение в различных обозначениях известно из теории линейной кавитации [3]—[5]. Формула (9) дает решение поставленной задачи для произвольного тонкого профиля.

2. Для математического моделирования аэродинамических нагрузок (в частности подъемной силы), действующих на профиль при наличии отрыва потока, можно еще упростить задачу и ограничиться рассмотрением тонкой пластинки. При этом имеется в виду, что толщина профиля мало влияет на его подъемную силу. Поправки, обусловленные формой профиля, могут быть изучены при дальнейших исследованиях.

Для пластинки /г(г) = 0, поэтому формула (9) может быть переписана проще. Возвращаясь к функции ^v(Q = -ig(Q, будем иметь

Таким образом, задача свелась к нахождению неизвестных констант Л, В и Ь в зависимости от параметров обтекания а, а и . Для решения данной задачи имеется три условия. Два условия получаются из комплексного

условия на бесконечности

м(2) = -^-1а при г->°о, (11)

и одно следует из условия замкнутости зоны отрыва (6).

Рассмотрим сначала условие на бесконечности. Во вспомогательной плоскости оно сводится к условию в точке <£ = /', которое с учетом (10) и (11) может быть записано в виде:

(А + /5)>/(/ + аХ/-^о) =-§-**• (12)

Введем дополнительно следующие обозначения:

где р и — действительные числа, зависящие по определению только от параметров задачи *о и Ь. Тогда условие (12) может быть разделено на действительную и мнимую части:

Ap-Bq = -^<5,

Ацл-Вр-- а.

Решая данную систему уравнений относительно констант А и В, получим

* 1 г > 1 (13)

Для получения в явном виде следствий условия замкнутости отрывной ЗОНЫ (6) необходимо разложить функцию IV (10) в окрестности точки

2 = оо с учетом формулы конформного преобразования С, = ч/—-— и пред-

V Ь — 2

ставить ее в виде:

Простые преобразования позволяют найти следующие выражения для коэффициентов £7] И 6] :

£

4 [р2+Ч2)

(15)

4 (/>2+?2)

{[А(а-^) + 2В]р-[2Аа^0-В(а-^0)]д}.

Из условия замкнутости отрывной зоны (6) следует, что а\ =0. Это дает в результате следующее соотношение:

Данное соотношение замыкает решение задачи. С учетом выражений (13) для констант А и В можно получить уравнение

которое определяет недостающую связь между параметрами задачи.

Поставленная задача расчета отрывного обтекания профиля может решаться различными способами. При задании угла атаки профиля а, координаты точки отрыва потока на верхней поверхности -х0 и значения коэффициента давления в отрывной зоне а с помощью решения нелинейного уравнения (16) можно найти длину отрывной зоны Ь, что позволяет определить значения параметров а, А и В, тем самым полностью находим комплексный потенциал течения (10). Однако ввиду сложности нелинейного уравнения (16) проще исследовать решение задачи, задавая не параметр а, а координату конца отрывной зоны Ь. Тогда уравнение (16) становится выражением для вычисления соответствующего значения параметра сг с последующим нахождением с помощью выражений (13) констант ,4 и

В, которые необходимы для решения задачи.

3. Перед подробным исследованием решения поставленной задачи обратимся к расчету аэродинамических нагрузок, действующих на профиль при его отрывном обтекании. Коэффициент подъемной силы профиля рассчитывается по следующей формуле:

[2Ла^о - в(а ~ ^0 )] Р ~ 1А(а ~ ^0 )+ 2В] Ч = °-

(16)

а

Р2^ о+Ч2

где знаками «-» и «+» обозначены значения коэффициента давления для нижней и верхней поверхностей профиля. С учетом выражения (3) это соотношение может быть переписано в виде:

Так как на отрывной зоне 1 <х<Ь имеем и+ = и =0, предыдущее соотношение может быть записано следующим образом:

где контур С охватывает профиль с отрывной зоной в плоскости г = д+ /у и обходится в направлении против часовой стрелки.

Аналогичные рассуждения для коэффициента момента тангажа, отсчитываемого относительно носика профиля, в котором расположено начало системы координат, приводят к следующей цепочке соотношений:

Из теории функций комплексного переменного [10] известно, что если функция /(г) представляется в области р0 < | ^ | < со сходящимся рядом Лорана

где Ур — замкнутый контур, лежащий в области регулярности функции

| ^ (> Ро и обходимый по часовой стрелке.

Отсюда с учетом соотношения (14) и направления обхода контура С в выражениях (1.7) и (18) следует, что

0

(17)

0

о

с

00

то справедливо соотношение

Су = 4яЛ>], т. =4 71^2 •

Вычисления коэффициентов Ь\, а тем более достаточно громоздки. Например, для коэффициента подъемной силы было получено следующее аналитическое выражение:

Следует отметить, что для проверки правильности вычислений было проведено сравнение полученной формулы (20) с результатами работы [8]. В последней была получена формула для подъемной силы кавитирующей дужки с параболическим прогибом. Каверна начиналась в носике дужки и имела конечную длину. При введении дополнительного параметра у, такого же, как в работе [8],

и с учетом начала отрыва потока в носке профиля дед = 0 (^о = 0) несложными преобразованиями выражения (20) можно получить

что совпадает* с результатами работы [8] при нулевой стрелке прогиба дужки.

С помощью формулы (20) можно исследовать также зависимость несущих свойств тонкого профиля от угла атаки и координаты отрыва потока на его верхней поверхности при длине зоны отрыва потока, стремящейся к бесконечности. Введем в рассмотрение малый параметр е -» 0 и положим Ь = \/е2. Тогда можно вычислить главные члены разложений параметров, входящих в соотношения (16) и (20) при е -> 0

2тмхЬ

х (/?2+92я4о)+т-М(а^О-и +—[р2 +?2)(а-£0) •

(20)

Ь =

соэ — 2

г

С

У

Тогда из соотношения (16) следует, что

а

а

= 2б

Подстановка этого выражения совместно с полученными оценками остальных параметров в соотношение (20) приводит к следующему пределу при стремлении длины отрывной зоны к бесконечности:

который совпадает с соотношением, полученным в работе [2], для несущих свойств тонкого профиля при моделировании отрывной зоны зоной постоянного давления Кирхгофа.

4. Исследуем, как влияет отрыв потока с верхней поверхности тонкого профиля (пластинки) на его суммарные и распределенные аэродинамические характеристики. Полученное решение зависит от нескольких параметров. Основным параметром задачи является угол атаки а. Кроме этого решение зависит также от координаты начала отрыва потока на верхней поверхности профиля *0, от коэффициента давления в отрывной зоне а и координаты ее конца Ь. Два последних параметра не являются независимыми, их связывает между собой соотношение (16). Поэтому решение задачи начнем с исследования этого соотношения. Параметр су входит в данное уравнение только в виде отношения ст/а, поэтому будем исследовать связь между параметрами сг/а и Ь. Параметр Ь может изменяться в диапазоне от 1 (задняя кромка профиля) до бесконечности (зона Кирхгофа). Для удобства в рассмотрение была введена обратная величина 1/1, которая уже изменяется в интервале от нуля до единицы. На рис. 2 показаны результа-

2 ла

4

1,0

о

о

2

3

4

5

Рис. 2. Зависимость длины отрывной зоны от коэффициента давления в ней при различных значениях координаты начала отрыва потока

ты расчетов для параметра ст/а при изменении 1/1 е (0,1) в соответствии с соотношением (16), причем задаваемое значение параметра МЬ откладывалось по оси ординат, а получаемое значение параметра ст/а — по оси абсцисс.

Видно, что при стремлении длины отрывной зоны к бесконечности коэффициент давления в ней стремится к нулю, чего и следовало ожидать для отрывной зоны Кирхгофа. Кривая, полученная для дер = 0, совпадает с решением, представленным в работе [7], и решением для нулевой стрелки прогиба дужки из работы [8]. При стремлении координаты точки замыкания отрывной зоны к задней кромке профиля коэффициент давления (разрежения) в ней возрастает, но в зависимости от координаты точки начала отрыва потока на верхней поверхности существует некоторое предельное значение ст/а, при превышении которого решение не существует. Этим решения для срыва потока с верхней поверхности принципиально отличаются от решения для срыва потока с передней кромки. Для нахождения этого предела существования решения по параметру ст/а необходимо провести исследование асимптотики решения при Ь —> 1. В этом случае можно положить Ь = 1 + е. Тогда главные члены разложений параметров а и ПРИ е 0 можно выразить следующим образом:

Для вычисления главных членов разложений параметров р и д введем

Подстановка этих выражений в соотношение (16) позволяет вычислить интересующий предел

1

а—?

переменную 0, при которой хо = вт 0. Несложные вычисления позволяют получить

4/Т Г—7 ’

V 6 V СОБ 0

(21)

Рис. 3. Предельное значение коэффициента давления в отрывной зоне

Полученная зависимость максимально возможного разрежения в отрывной зоне профиля от координаты точки отрыва потока на его верхней поверхности показана на рис. 3. Видно, что при начале отрыва потока вблизи задней кромки профиля возможный коэффициент давления в отрывной зоне может меняться в узком диапазоне. По мере роста отрывной зоны увеличивается и возможный диапазон изменения данного коэффициента. При начале отрыва потока с передней кромки в идеальной жидкости можно построить решение с любым произвольным отрицательным коэффициентом давления в отрывной зоне.

На рис. 4 показаны несущие свойства тонкого профиля, найденные с помощью выражения (20), для решений, представленных на рис. 2. Вдоль оси ординат отложено значение параметра су /2па, вдоль оси абсцисс —

значение параметра ст/а. Видно, что несущие свойства профиля непо-

а/а

Рис. 4. Зависимость несущих свойств профиля от коэффициента давления в отрывной зоне при различных значениях координаты начала отрыва потока

средственно связаны с координатой начала отрыва потока на его верхней поверхности. При стремлении этой координаты к задней кромке профиля отношение су/2%а стремится к 1, как это и должно быть при безотрывном обтекании тонкого профиля. Для случая, когда отрыв потока начинается на передней кромке профиля х$ =0, при стремлении коэффициента давления а к нулю (длина отрывной зоны стремится к бесконечности) отношение с,,/2ла стремится к 1/4, что для малых углов атаки соответствует решению Релея [5]:

полученному при обтекании пластинки под углом атаки в схеме Кирхгофа.

При увеличении разрежения в отрывной зоне коэффициент несущих свойств профиля увеличивается. Однако, ввиду существования предельного значения (21), существует и предельное значение коэффициента су. Для

его нахождения в выражение (20) необходимо подставить главные члены разложений параметров а, £,0, р и д при /, = 1 + 8 и учесть соотношение (21). Алгебраические преобразования позволяют получить следующее предельное значение несущих свойств тонкого профиля:

Данная зависимость, пересчитанная в зависимость от максимального значения с/а , представлена на рис. 4 штрихпунктирной линией. Анализ представленных результатов для различных координат отрыва потока на верхней поверхности профиля х0 показывает также, что в зависимости от коэффициента разрежения в отрывной зоне в идеальной жидкости могут быть получены решения с несущими свойствами, несколько превышающими их при безотрывном обтекании профиля.

Для демонстрации полученных решений были построены распределения давления по профилю при его отрывном обтекании. На рис. 5 представлены полученные с помощью соотношения (3) распределения давления для координат начала отрыва потока х$ =0,1; 0,3; 0,5 и 0,7 и координаты конца отрывной зоны 1=2.

На графиках видна особенность коэффициента давления вблизи передней кромки, характерная для теории тонкого профиля. Эта особенность может быть устранена построением равномерно пригодного решения, например, при более детальном рассмотрении окрестности передней кромки с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений. В этом случае можно получить полное решение обтекания профиля вязким несжимаемым потоком с использованием полученного в данной работе

2л8та

у 4 +л бит а’

(22)

X

Рис. 5. Распределение давления на профиле при его отрывном обтекании

невязкого решения, расчета течения в вязком пограничном слое и учета вязко-невязкого взаимодействия в точке отрыва потока.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 99-01-00042).

ЛИТЕРАТУРА

1. Храброе А. Н. Неединственность ламинарного отрывного обтекания профиля под углом атаки в схеме Кирхгофа//Ученые записки ЦАГИ.—

1985. Т. XVI, №5.

2. К о л и н ь к о К. А., X р а б р о в А. Н. Математическое моделирование нестационарной подъемной силы крыла большого удлинения в условиях срыва потока//Ученые записки ЦАГИ.— 1998. Т. XXIX, № 3—4.

3. Т u 1 і n М. P. Supercavitating flows — small perturbation theory//Journal

of Ship Research.— 1964. Vol. 7, N 3.

4. W u T. Y. Cavity and wake flows//Annual Review of Fluid Mechanics.—

1972. Vol. 4.

5. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости.— М.: Наука.—

1979.

6. G е u г s t J. A. Linearized theory for partially cavitated hydro-

foils//lntemational Shipbuilding Progress.— 1959. Vol. 6, N 60.

7. Geurst J. A. Linearized theory for fully cavitated hydrofoils//

International Shipbuilding Progress.—1960. Vol. 7, N 65.

8. Терентьев А. Г. К решению линейной задачи кавитационного обтекания криволинейной дуги//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.—

1972, №1.

9. Чаплыгин С. А., Лаврентьев А. Л. О подъемной силе и сопротивлении длинного плоского крыла в предположении срыва с его верхней поверхности//Труды ЦАГИ.— 1933. Вып. 123.

10. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного.— М.: Физматгиз.— 1958.

Рукопись поступила 2/VIII1999 г.