Использование arch-структур и фильтра Калмана для. Моделирования динамики технико-экономических показателей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Подставляя все полученные значения в формулу (10), имеем:

0,823 МН -м

а

0.0266 м

= 30.468 МПа.

Видно, что при заданных ветровых возмущениях данная конструкция удовлетворяет условиям прочности по изгибающим напряжениям.

Выводы:

1. Разработана методика построения переходного процесса антенных опор сотовой связи, представляющих собой стержни переменного сечения с учётом сжимающих сил, при ветровых возмущениях.

2. Предложенная методика позволяет учесть особенности конструкции и тип нагружения АМС, тип основания, форму ветрового воздействия и имеет более простую реализацию по сравнению с ранее разработанными методиками.

3. Отличительной особенностью данного метода является то, что в уравнение переходного процесса АФЧХ входит в явном виде, что заметно снижает вычислительные затраты.

4. Предложенная методика построения математической модели АМС предназначена также для оценки форм и частот колебаний опор с учётом различных нагрузок и позволяет определять усилия, возникающие в АМС.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Санкин, Ю. Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределёнными параметрами / Ю. Н. Санкин // Саратов : Издательство Саратовского университета, 1977. - 312 с.

2. Санкин, Ю. Н. Случайные колебания виб-розащитных систем / Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков. - Ульяновск : УлГТУ, 2000. - 83 с.

3. Санкин, Ю. Н. Нестационарные задачи динамики стержневых систем при внезапном нагружении и соударении с препятствием / Ю. Н. Санкин // Механика и процессы управления : сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ, 2005.-С. 67-80.

Санкин Юрий Николаевич, д-р техн. .наук, профессор, действительный член Российской Академии инженерных наук и Академии нелинейных наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. E-mail: [email protected]

Гафуров Наиль Талгатович, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. E-mail: [email protected]

УДК 528.06

С. Г. ВАЛЕЕВ, Ю. Е. КУВАЙСКОВА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЫСН-СТРУКТУР И ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Описываются алгоритмы и программное обеспечение для построения комплекса моделей условной гетероскедастичности и модели фильтрации Колмана, расширяющих подход динамического регрес-

%

сионного моделирования временных рядов и позволяющих строить статистические модели показателей процессов в технике и экономике; эффективность программных модулей иллюстрируется на примере моделирования временного ряда доходности индекса Российской Торговой Системы (РТС).

Ключевые слова: динамическое регрессионное моделирование, временной ряд, условная гетероскеда-стичность, вАЯСН, авторегрессия, фильтрация.

О С. Г. Валеев, Ю. Е. Кувайскова, 2007

Введение

Для моделирования временных рядов в технике и экономике предлагается расширение инструментария подхода динамического регрессионного моделирования (ДРМ-подхода) использованием моделей условной гетероскедастично-сти и фильтрации Калмана. При этом в известный программный пакет АС ДРМ [I] интегрируются соответствующие программные модули.

Шестидесятые и семидесятые годы при анализе временных рядов были ознаменованы созданием и плодотворным применением моделей линейной фильтрации. Внимание исследователей было приковано к динамическому поведению первого момента. Одним из алгоритмов фильтрации является фильтр Калмана, представляющий собой рекуррентный алгоритм взвешенного сглаживания и прогнозирования временных рядов.

Однако развитие представлений о риске и неопределенности в экономике вызвали необходимость в таких методах, которые позволяли бы описать динамику высших моментов и особенно вариаций и ковариаций. Комплекс моделей авторегрессионной условной гетероскедастично-сти оказывается особенно полезным для моделирования динамики волатильности многих технико-экономических показателей.

Алгоритмы построения основных моделей условной гетероскедастичности и модели

фильтрации Калмана

Модель ARCI1

Модель ARCH, т. е. модель с авторегрессионной условной гетероскедастичностью (autoregressive conditional heteroskedasticity), предложена Р. Энглом в 1982 г. [2] для моделирования кластеризации волатильности. Процесс

ARCH р-то порядка, задается следую-

щим соотношением для условной дисперсиие,:

e,|QM ~лф,су,2), (1)

= ц +У,еД, +...+7/,%- (2)

• Здесь QM =(em>s,_2,...) - предыстория процесса г,, а о-,2 - условная по предыстории дисперсия 8,,Т.е. =к(е,|Пм)=£(£,2|Пм)- Условную

дисперсию часто называют волатильностью процесса. Для того чтобы условная дисперсия оставалась положительной, требуется выполнение соотношений ц >0 и у \,у > 0 [2].

Модель GARCH

Модель GARCH (generalized ARCH - обобщённая модель ARCH), предложенная Т. Бол-

лерслевом, является альтернативной модификацией модели ARCH, позволяющей получить более длинные кластеры при малом числе параметров.

Модель GARCH(/?,g):

+YiS,2-i +--- + YPS,% + 5,а,2, + • - • + 5 „сг = £2)

= M + i>ye^+Xs/7,2;y.

М /=>

При этом предполагается, что ц > 0, у,,...,у/; >0 и 5,,..„5, >0.

Как и в модели ARCH, а2 служит условной дисперсией процесса:

8,|n, ~ n(О,а;). (4)

Важнейший вывод, который следует из анализа модели ARCH, состоит в том, что наблюдаемые изменения в дисперсии (волатильность) временного ряда могут иметь эндогенный характер, т. е. порождаться определённой нелинейной моделью, а не какими-то внешними структурными сдвигами.

Модель EGARCH

В экспоненциальной модели (exponential GARCH, EGARCH), предложенной Д. Нельсоном (Nelson, 1991), логарифм условной дисперсии определяется с помощью некоторой функции g( ) стандартизованных ошибок:

со

1пст,2 =8. + V5ig(z,_t).

к=\

(5)

ARCH-N

Процесс АКСН-К - это процесс, условное распределение которого является нормальным:

е,|П, ~ы(о,о;)- (6)

Соответствующий стандартизованный процесс 2' имеет условно нормальное распределение с параметрами 0 и 1: г, ~ Лфд). Поскольку нормальная плотность определяется лишь двумя своими параметрами, плотность

распределения г, О, неизменна при всевозможных значениях Ц. Следовательно, г, независимы от входящих в набор а; случайных величин и любых функций от этих случайных величин. В частности, г, не зависит от сг2,£м,2м,

а2_рг,_2,г,_2,.... Это наблюдение позволяет

сформулировать определение ARCH-N процесса: е, =г,сг(, (7)

Мол) -

04ДСЯ-N

вАЯСН-М - процесс строится аналогичным вАЯСН при предположении об условной нормальности 8,|а, ~лф,ст2).

• АЯСН-М

Модель типа АЯСН-М предполагает явную функциональную зависимость условного среднего случайной величины у( от собственной условной дисперсии. Отвлекаясь от прочих регрессоров, возможно, участвующих в уравнении для условного среднего, можно записать

£(у,|я)= (9)

САЯСН-М

В модели вАЯСН-М непосредственно в уравнение регрессии добавляется условная дисперсия:

xt=Zla+ll^g((J?)+el, (Ю)

где £■(•) - некоторая возрастающая функция. Эта

новая компонента вводится для того, чтобы отразить влияние волатильности временного ряда на зависимую переменную.

В качестве g{■) обычно используют

я(о,2)=ст2, g(p^ = чJaJ = а' или ^(а,2)=Ьа,2.

Фильтр Колмана

В задаче фильтрации требуется оценивать процессы, то есть находить текущие оценки изменяющегося во времени сигнала, искаженного помехой, и, в силу этого, недоступного непосредственному измерению.

В работе [3] решается задача оценивания скалярной авторегрессионной последовательности х. = рмхм +£. по наблюдениям суммы

У; = Х1+пп 1=1,2,...,к, информационного параметра х{ и гауссовского белого шума п..

Поставленная задача нахождения текущей оценки хк = хк(у\,у2>...,ук) изменяющегося параметра хк на основе наблюдений у1,у2>"чУк обычно называется задачей фильтрации случайного процесса хк.

Для получения процедуры рекуррентной фильтрации предположим, что после к-1 наблюдения у1,у2,---,ук-р известны оценка хк_{ параметра хк_х и дисперсия ошибки Рк х=М{ггкА), 8 ;._1 =хк_1-хк_1. Будем искать оценку хк параметра хк на следующем (А'-м) шаге в виде линейной комбинации:

** = 4л-1 + Дл (п)

известной оценки и очередного наблюдения

Ук = хк+пк- Коэффициенты Ак и Вк этого

уравнения выберем из условия минимума дисперсии Д =М{е2} ошибки:

гк = Р к-1 0 ~ & к )£ к-I +(Вк ~ 1 )£,к + Вк.12 к , (12)

в которой отражены три составляющие ошибки оценивания на к-м шаге.

Первое слагаемое учитывает ошибку

£ =**_] -•%-! на предыдущем шаге. Второе

определяется величинои

изменения

х. = рмхм + t)i параметра, т. е. динамикой случайного процесса. Составляющая Вкпк ошибки связана с помехой пк, возникающей при наблюдении ук=хк + пк. Поскольку все слагаемые

(12) являются независимыми случайными величинами, то дисперсия ошибки фильтрации будет равна сумме:

D, =pV,(l-BtfPk.,+(Bt -1)% + вХ, (13)

где Vy = M{^kj, Vk = М{п2к). Минимальное значение дисперсии ошибки

Amin =pk=p0j^ + vk{pj находится из уравне-

ния dDr / dBk =0

и достигается при вк^рт + у-хрэк), где рж = р1{ры + V".

Замечая, что Вк=Ук1Рк, и учитывая Ак = рк_{(1-Вк), получим после подстановки

оптимальных значений коэффициентов Ак и Вк в формулу (11) следующий алгоритм фильтрации:

*1 = 2» + Ук~' (л - ) > (14)

рк=рл\+у;'р,*)> (15)

где *„ = Р*-Л-.> Р„=р1,Р,-,+У«- В уравнении (14) величина хж является экстраполированной на один шаг оценкой параметра хк (прогнозом

хк ) на основе наблюдений У^У2->---->Ук-\ • ^

том приведённых рассуждений в [3] определяются начальные условия для алгоритма (14), (15).

При анализе вывода алгоритма фильтрации (14), (15) отмечается, что представление (11) текущей оценки хк в виде линейной комбинации

предшествующей оценки хк_х и очередного наблюдения ук резко ограничивает класс возможных процедур. В связи с этим полученный результат (14) может рассматриваться как наилучшее (в смысле минимума дисперсии ошибки) правило лишь в довольно узком классе рекуррентных алгоритмов оценивания изменяющегося параметра.

Замечательным достижением Р. Калмана и Р. Бьюси [3] было доказательство строгой оптимальности алгоритма (13) в классе любых (не только рекуррентных) процедур оценивания параметра хк, заданного скалярными или векторными уравнениями авторегрессии. Поэтому рекуррентное правило оценивания (14), (15) часто называют фильтром Калмана.

Программное обеспечение

Автоматизированная система динамического регрессионного моделирования (АС ДРМ) предназначена для обработки временных рядов. В очередной версии пакета реализован широкий набор процедур и функций, необходимых для детального анализа свойств временного ряда, моделирования, прогнозирования, а также проверки остатков на выполнение предпосылок метода наименьших квадратов и дискриминации моделей по различным критериям качества.

Программные модули «GARCH» [4] и «Фильтр Калмана» были реализованы и подключены к пакету АС ДРМ.

Модуль «GARCH» предназначен для построения базовых конструкций ARCH и GARCH моделей временных рядов любого порядка, а также их модификаций: ARCH-N, GARCH-N и ARCH-M, GARCH-M, EGARCH. Модель интерпретируется как разновидность регрессии, в которой ошибка представляет собой случайный процесс типа ARCH или GARCH. В этой регрессии дисперсия ошибки г'-го наблюдения зависит от квадрата ошибки предыдущих наблюдений (г-1, г-2 и т. д.).

Модуль «Фильтр Калмана» представляет собой рекуррентный алгоритм взвешенного сглаживания и прогнозирования временных рядов. Для применения фильтра Калмана нужно представить модель в виде уравнений процесса и наблюдения. Алгоритм фильтра Калмана позволяет по ряду данных наблюдений за различные моменты времени получить оптимальные оценки модели в смысле минимума среднеквадратической ошибки оценивания. Фильтр Калмана гарантирует оптимальные оценки, когда случайные компоненты модели представлены белым гауссовым шумом.

Результаты обработки ряда

В качестве объекта исследования были привлечены данные индекса Российской Торговой Системы (РТС) ежедневно за период 4.09.1995 -5.04.2007; временной ряд содержит 2893 наблюдения (www.rts.ru).

’4

• • «

• ■ 4

Ад

• • •

• ; ;

• • 4 • *

» I

*•* ! • • . I

• I :

V и*> жи м до.» т т \ \* * та \

а б

Рис. 1. а) спектральный анализ ряда индекса РТС; б) автокорреляционная функция ряда индекса РТС

Автокорреляционная функция (рис. 1, а), спектральный анализ (рис. 1, б) указывают на наличие автокорреляции, что предполагает выделение гармонической или авторегрессонной составляющих.

Для ряда доходности индекса РТС был построен ряд комплексных моделей, включающих трендовую и гармоническую составляющие; на последнем этапе остатки сглаживались комплексом авторегрессионных моделей с условной ге-тероскедастичностью или фильтром Калмана.

При применении ARCH-мoдeлeй к реальным данным было замечено, что модель ARCH(1) не даёт достаточно длительных кластеров волатильности, а только порождает большое число выбросов. Для корректного описания данных требуется довольно большая длина лага р, что создаёт трудности при оценивании. Модель GARCH позволяет получить более длинные кластеры при малом числе параметров. Модель EGARCH асимметрично реагирует на ошибки разных знаков. Таким образом, условная дисперсия реагирует асимметрично на неожиданные падения и подъёмы рынка. Доходность индекса РТС отрицательно коррелирует с изменениями волатильности индекса, т. е. присутствует так называемый «эффект левереджа».

Сравнение эффективности построенных моделей (в смысле минимума среднеквадратического отклонения) показывает, что наилучшей моделью является комплексная модель индекса РТС, включающая тренд, гармоники и фильтрацию Калмана; СКО итоговой модели составило а=2,6932, внешнее СКО ад= 1,9083.

Рис. 2. а) график исходного ряда доходности

индекса РТС;

б) график комплексной модели ряда при сглаживании

остатков фильтром Калмана

В таблице 1 представлены результаты анализа эффективности построенных комплексных моделей, согласно которому наиболее предпочтительной является модель, включающая фильтр Калмана, а не модели условной гетероскеда-стичности.

Таблица 1

Модели Фильтр Калмана ARCH GARCH ARCH-N

Внутреннее СКО 2,6932 3,4006 2,8261 3,366

Внешнее СКО (10%) 1,9083 2,9023 2,4664 2,7248

Модели GARCH-N ARCH-M GARCH-M EG4RCH

Внутреннее СКО 2,8329 3,7004 3,5319 2,8318

Внешнее СКО (10%) 2,2228 3,0627 2,2536 2,106

Последние могут оказаться более эффективными при применении к исходным наблюдениям. В таблице 2 приведены результаты анализа для этого случая.

Таблица 2

Модели Фильтр Калмана ARCH GARCH ARCH-N

Внутреннее СКО 2,6234 2,0511 2,1876 3,8348

Внешнее СКО (10%) 2,84303 2,27183 2,48382 4,37267

Модели GARCH- N ARCH- М GARCH -М EGARCH

Внутреннее СКО 4,1096 4,1711 4,2636 4,1566

Внешнее СКО (10%) 4,34875 • 5,04662 4,74136 4,87226

При сравнении различных спецификаций моделей условной гетероскедастичности и фильтра Калмана, построенных для ряда доходности индекса РТС по минимуму СКО, наилучшей оказывается модель ARCH(l).

Рис. 3. а) график ряда доходности индекса РТС;

б) график модели А11СН(1)

Заключение

При анализе изменения каких-либо экономических показателей (цен, процентных ставок и т. д.) в течение долгого времени исследователи выделяют два компонента: один из них, тренд, изменяется согласно некоторой закономерности, а другой, волатильность, - случайным образом. Хотя реальная волатильность переменна, мате-

матики долгое время имели в своём распоряжении только такие статистические методы, которые основаны на предположении о её постоянстве. С появлением авторегрессионных моделей с условной гетероскедастичностью стало возможным предсказывать изменение волатильности, а добавление в АС ДРМ модуля построения комплекса моделей GARCH и фильтра Калмана позволяет более достоверно прогнозировать тенденции изменения показателей техникоэкономических процессов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валеев, С. Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений / С. Г. Валеев. -М.: Наука, 1991. - 272 с. (второе издание, дополненное и переработанное: Валеев С. Г. Регрессионное моделирование при обработке данных. -Казань : ФЭН, 2001. - 296 с.).

2. Engle, Robert F. (1982), "Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation,"Econometrica, 50, 987-1008.

3. Васильев, К. К. Методы обработки сигналов : учебное пособие / К. К. Васильев. - Ульяновск : УлГТУ, 2001. - 78 с.

4. Валеев, С. Г. Моделирование нестационарных временных рядов на основе ДРМ-подхода и ARCH-структур / С. Г. Валеев, Ю. Е. Кувайскова, Е. В. Сухарева // Труды меж-дународ. «Конференции по логике, информатике, науковедению» : Математические методы и-модели в науке, технике, естествознании и экономике. -Ульяновск : УлГТУ, 2007. - С. 52-54.

5. Валеев С. Г. Модели сглаживания временных рядов / С. Г.* Валеев, С. В. Куркина, Ю. Е. Кувайскова // Труды международ. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» : Информатика, системы искусственного интеллекта и моделирование технических систем. -Ульяновск : УлГТУ, 2006. - С. 83-85.

@®©©©©@®©©®Q©©©®®©®

Валеев Султан Галимзянович, доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области астрометрии и небесной механики, математической статистики и разработки информационных технологий.

Кувайскова Юлия Евгеньевна, аспирант кафедры прикладной математики и информатики

УлГТУ.

!о> кто • м> f мл » ко і :осо і гу. j<:q зіх. э*ос