CC BY
19
Visnyk N'l'UU KP1 Seriia Radiolekhnika tiadioaparatobuduummia, "2018, Iss. 74, pp. 11—16
УДК 621.372(075)
Использование аппарата передаточных функций Вольтерра в решении задачи стохастической фильтрации с входным сигналом в виде белого Гауссова шума
Харченко О. И.
Харьковский национальный университет радиоэлектроники E-mail: dl.hnbycrbq&grnaiL com
В данной работе исследуется прохождение случайного процесса с Гауссовым распределением через нелинейный фильтр, обладающий эффектом стохастического резонанса. В расчетах использован математический аппарат рядов Вольтерра. С помощью рядов Вольтерра можно представить очень много систем, с которыми приходится иметь дело при решении задач связи. Показано, что важнейшую роль в данном анализе играет многомерное преобразование Фурье. Если передаточные функции Вольтерра известны, то путем подстановки их в общие формулы, выведенные па основе представления в виде рядов Вольтерра, можно получить требуемые даппые относительно выходного сигнала. К числу таких данных относятся выражения для спектра мощности различных моментов. Рассчитаны передаточные функции Вольтерра, па основании которых получены выражения для начального момента второго порядка и спектральной плотности мощности выходного сигнала. Рассчитаны и проанализированы частотные зависимости спектральной плотности мощности сигнала па выходе нелинейного стохастического фильтра, а также амплитудные характеристики при различных значениях параметров фильтра. Полученные результаты показали, что спектральная плотность мощности сигнала па выходе рассматриваемого нелинейного стохастического фильтра убывает с ростом частоты и возрастает с увеличением спектральной плотности мощности входного сигнала. Кроме того, анализ плотности вероятности выходного сигнала показал, что значения сигнала па выходе нелинейного стохастического фильтра описываются распределением Стыодепта. Для оценки точности и достоверности полученных результатов были проведены численные расчеты выходного сигнала методом Рупге - Кутта. Сравнительный анализ показал аналогичный характер кривых спектральной плотности мощности выходного сигнала, полученного в результате расчета численным методом и па основе рядов Вольтерра.
Ключевые слова: стохастический резонанс: нелинейный стохастический фильтр: белый Гауссов шум: ряды Вольтерра, передаточные функции Вольтерра, спектральная плотность мощности
DOI: 10.20535/RADAP. 2018.74.11-16
Введение
В системах связи часто приходится иметь дело с устройствами, выполняющими нелинейные преобразования. Значительное число нелинейных систем может быть представлено рядами Вольтерра. Норберт Винер первым использовал ряды Вольтерра для анализа нелинейных систем [1].
В настоящей работе ряды Вольтерра применяются к нелинейным системам, обладающим эффектом стохастического резонанса, на входе которых действует белый Гауссов шум.
Ряды Вольтерра описываются как «степенные ряды с памятью», в этом случае выходной сигнал нелинейной системы может быть представлен в виде степеней входного сигнала. Выходной сигнал в
результате приобретает вид:
Го 1 то п=1 П- -то
/то п_
йипдп (и1, ...,ип)^\ х (Ь - иг), (1)
-го Г=1
где у(Ъ) - выходной сигнал, х(Ъ) - входной сигнал и ядра описывают систему. Ядро первого порядка д1(и1) - это хорошо известная импульсная характеристика линейной системы. Ядра высших порядков можно рассматривать как импульсные отклики более высокого порядка, которые характеризуют нелинейности различных порядков [2 4].
12
КЬагсЬопко О. 1.
Коэффициент пу введен в работе А. Бедрося-на и Д. Райса [4] для упрощения записи многих уравнений.
Дальнейший анализ основан на использовании многомерного преобразования Фурье, которое имеет вид:
сю
(¡1, ...,и) = ! Лих ...
¿ипдп (их,... ,и,п)е
-](шгиг + ...+шпип)
,
где = 27г/г, функция С 0 тождественно равна нулю, что отражает принцип каузальности рассматриваемой нелинейной системы. 6?1 (/1) является передаточной функцией линейной системы [5.6]. Таким образом, преобразование ядра Вольтерра п-го порядка аналогично передаточной функции Вольтерра п-го порядка. Во многих случаях Сп можно получить без первоначального вычисления ядер Вольтерра [2.4].
Предположим, что для конкретной системы функции Сп щи п = 1, 2,... известны. Тогда можно получить выражение для у(Ь), используя передаточные функции Вольтерра.
Полные формулы ряда Вольтерра это бесконечные ряды, в которых громоздкость вычисления п-го члена быстро возрастает с ростом значения п. В то же время, при изучении систем связи часто можно пренебречь членами ряда выше второго или третьего порядка [4].
Для вычисления передаточных функций воспользуемся методом гармонического входного сигнала. который был подробно изложен в [4].
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение вида:
^(¿/сМ)у + ^ щу1 = х(г).
I= 2
Нелинейная стохастическая фильтрация на основе стохастического резонанса
Борьба с шумами является одной из основных задач радиотехники, радиолокации и связи. До настоящего времени разработано большое число различных методов решения этой задачи [7 9]. Вместе с тем. в 90-годах прошлого века были проведены исследования в области прикладной физики, которые привели к парадоксальным результатам. Оказалось. что при определенных условиях шум может играть конструктивную роль, обеспечивая усиление входного сигнала. Этот эффект получил название стохастического резонанса (СР). Приложение этого явления в радиотехнике и связи получило название нелинейной стохастической фильтрации [10].
Уравнение, описывающее эффект СР, имеет вид [11 13]:
^ = ау(€) — Ъу(г)3 + х(г),
(4)
(3)
Предполагается, что выходной сигнал тождественно равен нулю, если равен нулю входной сигнал х^). Предполагается также, что система устойчива. Р (¿/сМ) является многочлен ом от ¿/А, и коэффициенты в Р (¿/А) и коэффициенты а; не зависят от I, х и у (€). В [ ] показано, что для заданных начальных условий существует единственное решение уравнения (3). В работе [4] для изложенных условий были определены передаточные функции Вольтерра. Результаты данного расчета приведены в табл. 1.
где х(Ь) = з(г) + п(г), з(г) = Азт(2п¡0Ь + у) -полезный сигнал, п(Ь) - белый Гауссов шум.
Данное уравнение является частным случаем уравнения ( ), где учтено, что Р(¿/А)у =
с з
Ау/А — ау(Ь) и о-1У1 = Ьу(Ь) . Используя получен-=2
ные выражения, определим передаточные функции Вольтерра для уравнения СР. Результаты расчета передаточных функций Вольтерра нелинейной системы в режиме СР приведены в третей колонке табл. 1.
Определим параметры выходного сигнала, при условии, что на входе нелинейного стохастического фильтра действует только шум. Предполагается, что шум представляет собой стационарный Гауссов процесс с нулевым средним значением и двусторонним спектром мощности Шх. Полученные выражения для начального момента второго порядка выходного сигнала приведены в табл. 2, где в первой колонке показан общий вид выражений, полученный в работе [4], а во второй результаты расчета для нелинейного стохастического фильтра.
В результате начальный момент второго порядка выходного процесса равен:
(у2(<))
л№х/2а — 3Ъ\¥1/4А, И а > 0, — Шх/2а + 3 Ъ"/4а3, X а < 0.
Используя передаточные функции Вольтерра, определим двусторонний спектр мощности выходного сигнала "у Основные члены ряда двустороннего спектра мощности выходного сигнала "у (^ приведены в табл. 3.
Табл. 1 Передаточные функции Вольтерра
Перед, функции Вольтерра для ур-я (3) [4] Перед, функции Вольтерра для ур-я (4)
Gi(fi) 1 Р (ЗШ!) 1 -а+зш1
G2(fl,f2 ) -2а201(Г1)01(Г2) Р (3Ш1+3Ш2) 0
G3U1J2 ,fs) -6 Ь
Р (3Ш1+3Ш2+3Ш3) + Р(з<Ш1+ЗШ2+ЗШз) ( —а+ jшl)(-а+jш2)(-а+jшз)(-а+jшl+jш2+jшз)
Табл. 2 Основные члены ряда для одномерного момента второго порядка выходного сигнала
Основные составляющие начального момента второго порядка выходного сигнала для ур-я (3) [4] Основные составляющие начального момента второго порядка выходного сигнала для ур-я (4)
т)2 0
то / dflWx(fl)Gl(fl)Gl(-fl) -то Шх/2а, На > 0, -Шх/2а,\1а< 0
то то / <1/1 1 ¿/2Шх(/1'Щх(/2)[С1(/1)С3(-/1,/2, -/2) -то -то -3ЪШ2/4а3, И а> 0, ЗЪШХХ/Аа3, И а < 0
Табл. 3 Основные члены ряда двустороннего спектра мощности выходного сигнала
Основные составляющие двустороннего спектра мощности выходного сигнала.для ур-я (3) [4] Основные составляющие двустороннего спектра мощности выходного сигнала.для ур-я (4)
mfs (/) 0
2 со Wx(/)Gi(/) + 1¡ d/iWx(/i)G3(/,/1, -/1) — то ^х (3ЬШ4а-(2а22+2+42а2ш2, X а > 0, х 4а2(а2+ш2)2 ' ' (3 а2!+Ла2ш2 а < 0 х 4а2(а2+ш2)2
то ■hl dfiWx(fi)Wx(f - fi)\G2(fi,f - Zi)\2 -с
TO TO i I dfi f d/2Wx(/i)Wx(h)Wx(/ - fi - — то —то h)\G3(/uhJ - fi - f2)\2 2(а2 +ш2)а2 (ш2+9а2) ^х , ^ а > 0, 2(а2+ш2 )а2(ш2+9а2) ^х^ а < 0
Компоненты разложения двустороннего спектра мощности выходного сигнала для начальных значений п имеют вид:
( ш (3ЬШх-2а2)2+4а2ш2 + 9Ь2 Ш3 Х а > О"
Ш (f) ~ ) У 4 а2 (а2 +ш2)2 2( а2 +ш2)а2 (ш2 +9а2) ^ > 11 а > 0; ,_ч
(; ' ~ 1 ш (3ЬШх + 2а2)2 +4а2ш2__9Ь2 а< 0 ^
\УУх 4а2( а2+ш2)2 2( а2+ш2)а2 (ш2+ 9 а2 ) УУ х > 11 а< 0.
Используя данную формулу, построим график зависимости спектральной плотности мощности выходного сигнала и сравним с численным решением уравнения СР методом Рунге-Кутта (рис. 1). Графики имеют одинаковый характер, спектральная плотность мощности сигнала на выходе стохастического нелинейного фильтра убывает с ростом частоты, что является характерным свойством нелинейных систем [12.14].
Рассмотрим частотные зависимости спектральной плотности мощности выходного сигнала, рассчитанные с помощью выражения (5) (рис. 2).
Как видно, с ростом входной спектральной плотности мощности спектральная плотность мощности на выходе также возрастает, однако при положительном а рост выходной мощности характеризуется большей крутизной. Частотная зависимость вновь отражает свойство нелинейных систем, о котором говорилось выше.
1 1 1 1
1
-J Ii
ц . _
г------------ ------------- - . i-. ------- —о-
О 0.2 0.4 0.6 /
Рис. 1. Спектральная плотность мощности сигнала на выходе нелинейного устройства в случае белого Гауссова шума на входе (черная линия численный расчет методом Рунге-Кутта. синяя расчет по формуле ( ), а = Ъ =1)
Как известно, при прохождении случайного процесса с нормальным распределением через линейную систему закон распределения выходного си-
14
Kharchenko О. 1.
Wx
10 4
Wy
2000
10
Wx
8
10 jf
(a)
(6)
Рис. 2. Спектральная плотность мощности сигнала на выходе стохастического нелинейного фильтра в случае белого Гауссова шума на входе: (а) а = — 1; (б) а = 1)
гнала сохраняет нормальные свойства, в то время. как в нелинейных системах такое соответствие утрачивается [6.14]. Результаты расчета плотности распределения выходного сигнала для нелинейного стохастического фильтра приведены на рис. 3.
Рис. 3. Гистограмма и плотность распределения выходного сигнала (а = Ь = 1)
Проведенный расчет плотности распределения выходного сигнала для нелинейного стохастического фильтра показал, что выходной процесс описывается распределением Стыодента [15].
Выводы
является одним из основных свойств нелинейных систем.
Рассчитана и построена частотная зависимость спектральной плотности мощности выходного сигнала при различных значениях спектральной плотности мощности входного сигнала. Показано, что при различных параметрах стохастического нелинейного фильтра его амплитудные характеристики имеют различный характер.
Анализ плотности распределения сигнала на выходе нелинейного стохастического фильтра показал. что значения выходного сигнала имеют распределение. отличное от нормального и описываются законом Стыодента.
В дальнейшем планируется рассмотреть в виде входного сигнала аддитивную смесь гармонического сигнала и белого Гауссова шума.
Перелж посилань
В настоящей работе получил дальнейшее развитие метод передаточных функций Вольтерра применительно к нелинейным системам. Были определены передаточные функции Вольтерра для нелинейного стохастического фильтра.
Рассмотрен случай входного сигнала в виде белого Гауссова шума. На основе рядов Вольтерра получены выражения для начального момента второго порядка и спектральной плотности мощности выходного сигнала. Анализ результатов расчета функций спектральной плотности мощности выходного сигнала, полученных на основе рядов Вольтерра и на основе метода Рунге-Кутта. показали одинаковый характер ее частотной зависимости. Эта зависимость носит убывающий характер, что
1. Wiener N. Nonlinear Problems in Random Theory. Cambridge. Mass.Technology Press. 1958. 142 p.
2. Пупков К.Л. Функциональные ряды в теории нелинейных систем / К.Л. Пупков. В.11. Каналин, Л.С. Ющенко М. : Наука. 1978. 448с.
3. Хи В. Modilied Volterra series transfer function method // IEEE Photonics Technology Letters. 2002. Vol. 14. Iss. 1. pp. 47-48.
4. Bedrosian E. The Output Properties of Volterra Systems (Nonlinear Systems with Memory) Driven by Harmonic and Gaussian Inputs / E. Bedrosian. S. Rice // Proceedings of the IEEE. 1971. Vol. 59. No 12. pp. 58-82.
5. Нефедов В.И. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник для академического бакалавриата / В. И. Нефедов. Л. С. Сигов ; под ред. В. И. Нефедова. М. : Издательство Юраит. 2018. 266 с.
6. Волощук Ю. 1. Сигнали та процеси у радштехшщ / Ю. 1. Волощук. Xapjciu : Компашя СМГГ. 2005. 228 с.
7. Sklar В. Digital Communication. Fundamentals and Applications. Second Edition / B. Sklar. Prentice Hall PTR. 2003. 1099 p.
8. Радиотехника: Энциклопедия / Под. ред. Ю.Л. Мазо-ра. Е.А. Мачусского, В.И. Правдьио. М. : Додека-XXI, -200-2. 944 с.
9. Ширмаи Я.Д. Радиоэлектронные системы: основы построения и теория / Я.Д. Ширмаи, С.Т. Вагдасаряи, Д.И. Леховицкий и др. М. : Радиотохиика, '2007. 512 с.
10. Домбровский Л.П. Стохастический резонанс и фильтрация сигналов в нелинейных радиотехнических системах. Дисс. канд. техн. наук но спец. 05.12.04 / Домбровский Л. П.. 2010. 110 с.
11. Семенов В.В. Индуцированные шумом эффекты в модели бистабилышго осциллятора с переменной диссипацией / В.В. Семенов, Л.В. Нейман, Т.Е. Вадивасова, B.C. Лиищенко // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, JY" 1. С. 5 15.
12. Kharchenko О. Simulation of the Stochastic Resonance Effect in a Nonlinear Device / O. Kharchenko // Global Journal of Researches in Engineering-F. 2015. Vol. 15, Iss. 7. p. 19-23.
13. Zhang X., Hu N.. Hu L. and Cheng Z. Stochastic resonance in multi-scale bistable array / X. Zhang, N. Hu, L. Hu, Z. Cheng // Physics Letter Л. 2013. Vol. 377, No 13. pp. 981-984.
14. Левин В.P. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая / В.Р. Левин. М. : Сов. радио, 1969. 752 с.
15. Ивченко Г.И. Введение в математическую статистику / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. М. : ЛКИ, 2010. 600 с.
References
[1] Wiener N. (1958) Nonlinear Problems in Random. Theory, Cambridge, Mass.Technology Press., 142 p.
[2] Pupkov K. A., Kapalin V. 1. and Yushchenko A. S. (1978) Funktsional'nye ryady v teorii nelineinykh sistem [Functional series in the theory of nonlinear systems], Moskow, Nauka, 448 p.
[3] Xu B. and Brandt-Pearce M. (2002) Modiliod Volterra series transfer function method. IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 14, Iss. 1, pp. 47-49. DOl: 10.1109/68.974157
[4] Bedrosian E. and Rice S. (1971) The output properties of Volterra systems (nonlinear systems with memory) driven by harmonic and Gaussian inputs. Proceedings of the IEEE, Vol. 59, Iss. 12, pp. 1688-1707. DOl: 10.1109/proc.1971.8525
[51 Nefedov V. 1. ed. and Sigov A. S. (2018) Radiotekhni-cheskie tsepi i signaly: uchebnik dlya akademicheskogo bakalavriata [Radio circuits and signals], Moskow, Yurait, 266 p.
[6] Voloshchuk Yu. 1. (2005) Syhnaly ta protsesy u radiotekhni-tsi [Signals and processes in radio engineering] Kharkiv, Kompaniia SM1T, 228 p.
[7] Sklar B. (2001) Digital Communication. Fundamentals and Applications, Second Edition, Prentice Hall PTR, 1099 p.
[8] Mazor Yu. L. eds., Machusskiy E. A. and Pravda V.l. (2002) Radiotekhnika: Ensiklopedia [Radio engineering: Encyclopedia], Moskow, Dodeka-XXl, 944 p.
[9] Shirman Ya.D., Bagdasaryan S.T. and Lekhovitskii D.l. (2007) Radioelektronnye sistemy: osnouy postroeni-ya i teoriya [Radioelectronic Systems: Fundamentals of Construction and Theory], Moskow, Radiotekhnika, 512 p.
[10] Dombrovskii A.N. (2010) Stokhasticheskii rezonans i fil'tratsiya signalou v nelineinykh radiotekhnicheskikh si-stemakh [Stochastic resonance and signal filtering in nonlinear radio engineering svstems. Cand. of techn. sci. diss.], 110 p.
[11] Semenov V.V., University S.S., Neiman А.В., Vadivasova Т.Е., Anishonko V.S., University O., University S.S. and University S.S. (2016) Noise-induced effects in the doublewell oscillator with variable friction. Izuestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, Vol. 24, Iss. 1, pp. 5-15. DOl: 10.18500/0869-6632-2016-24-1-5-15
[12] Kharchenko O. (2015) Simulation of the Stochastic Resonance Effect in a Nonlinear Device. Global Journal of Researches in Engineering: F Electrical and Electronics Engineering, Vol. 15, Iss. 7, p. 19-23.
[13] Zhang X., Hu N.. Hu L. and Cheng Z. (2013) Stochastic resonance in multi-scale bistable array. Physics Letters A, Vol. 377, Iss. 13, pp. 981-984. DOl: 10.1016/j.physleta.2013.02.025
[14] Levin B.R. (1969) Teoreticheskie osnouy statisticheskoi radiotekhniki. Kniga peruaya [Theoretical bases of statistical radio engineering. Vol. 1], Moskow, Sov. radio, 752 p.
[15] Ivchenko G. 1. and Medvedev Yu. 1. (2010) Vvedenie v matematicheskuyu statistiku [Introduction to mathematical statistics], Moskow, LK1, 600 s.
Використання апарату передаточних функцш Вольтерра у вир1шенш зада-Hi стохастично!" фшьтрацй з вхщним сигналом у вигляд! бшого Гауссового шуму
Харченко О. I.
У цш робот! досшджуеться проходжеппя внпадко-вого процесу з Гауссовим розподшом через пелипйппй фгльтр, що мае ефект стохастичпого резонансу. У розра-хупках використапо математичпий апарат ряд!в Вольтерра. Розраховапо передатш фупкцп Вольтерра, па шдстав! яких отримапо вирази для початкового моменту другого порядку та спектрально! пдлыюст потужпо-ст! виндпого сигналу. Отримаш результатп показали, що спектральпа пдльшеть потужпост! сигналу па виход! дапого пелшшпого стохастичпого фгльтру убувае 1з зро-стаппям частоти i зростае 3i збшынеппям спектрально! пцлыюст! потужпост! вх1дпого сигналу. Розраховуються та апал1зуються частоти! залежпост! спектрально! пцль-пост! потужпост! виндпого сигналу пелипйпого стохастичпого фгльтра, а також амшнтудпих характеристик у випадку р!зпих зпачепь параметр!в фгльтра. Отримаш результати показали, що спектральпа щгльшеть поту-жпост! виндпого сигналу розгляпутого пелипйпого стохастичпого фгльтра змепшуеться 1з зростаппям частоти i збглынуеться при 3pocTaiuii спектрально! пдлыюст! по-тужпост! вх1дпого сигналу. Кр1м того, апал!з фупкцп пцлыюст! iMQBipiiocTi виндпого сигналу показав, що значения виндпого сигналу пелшшпого стохастичпого фгльтра описуються розподшом Стыодента. Для оцшки точпост та достов1рпост1 отриманих результате проведено чисельш розрахупкн виндпого сигналу методом
16
Kharchenko О. I.
Рунге-Кутта. Пор1вняльний анал!з залежностей шДльно-ctí спектра потужноста вих!дного сигналу, отриманих численним розрахунком, i на ochobí ряд!в Вольтерра показуе i'x под!бний характер. Дал! плануеться розгля-нути нелшшний стохастичний фшьтр, на вход! якого д!е сум!ш гармошйного та бшого Гауссового шуму.
Ключовг слова: стохастичний резонанс; нелшйний стохастичний фшьтр; б!лий Гауссовий шум ; ряди Вольтерра; передатш функцп Вольтерра; спектральна щшь-н1сть потужноста
Using of Volterr's Transfer Functions in Solving the Problem of Stochastic Filtration with Input Signal in the Form of White Gaussian Noise
Kharchenko 0. I.
This paper is continuation of the researches of nonlinear systems in case of different input signals. Earlier, the case of a harmonic input signal was considered. Expressions for the output harmonics were received. In present paper Gaussian random process passing through the non-linear filter having the effect of a stochastic resonance is researched. Volterra series is used in calculations. A substantial number of the systems encountered in communication problems can be represented as Volterra series. It is shown that the n-fold Fourier transform plays an important role in this analysis. When the Volterra transfer functions are known, items of
interest regarding the output can be obtained by substituting them in general formulas derived from the Volterra series representation. These items include expressions for the output power spectrum and various moments. Volterra transfer function by means of which expressions for the second order initial moment and power spectral density of output process are calculated. The frequency dependences of power spectral density of the output signal of the nonlinear stochastic filter and also amplitude characteristics are calculated and analyzed in case of different parameter values of the filter. The obtained results showed that power spectral density of the output signal of the considered nonlinear stochastic filter decreases when frequency increases and increases when power spectral density of an input signal increases. Besides, the analysis of probability density function of an output signal showed that values of the non-linear stochastic filter output signal are described by Student's t-distribution. Numerical calculations of an output signal by Runge-Kutta method were carried out for assessment of accuracy and reliability of the obtained results. The comparative analysis of dependences of an output signal power spectrum densities are obtained by the numerical calculation and on the basis of Volterra series shows their similar character. Further it is planned to consider nonlinear stochastic filter driven by the mixture of harmonic and Gaussian input.
Key words: stochastic resonance; nonlinear stochastic filter; white Gaussian noise; Volterrs series; Volterrs transfer function; power spectral density
