CC BY
62
Горные машины и оборудование
25
УДК 531.8 : 622.233
И.А. Жуков
ИСХОДНЫЕ ОСНОВАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ВЛИЯНИЯ ФОРМ БОЙКОВ НА ФОРМУ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА В МАШИНАХ УДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
Всесторонний подход к исследованию процессов, происходящих в ударных машинах различного назначения - горных, строительных, металлообрабатывающих, предполагает изучение одной из важных особенностей явления удара - закономерности формирования упругой волны деформации, или ударного импульса. Эта закономерность не была замечена и не исследовалась в классических трудах по продольному удару (Баре де Сен-Венан [1], Буссинеск Ж. [2], Тимошенко С.П. [3], Кильчевский Н.А. [4] и др.). Физический факт влияния формы ударяющего тела на форму ударного импульса и соответственно на эффект разрушения при ударе был официально заявлен в открытии №13 в 1964г. Александровым Е.В. [5]. Некоторые исследования в развитие этой проблемы сделаны в 60-80-х годах XX века [6-10]. Накопленные к настоящему времени знания в области теории продольного удара требуют обобщения и уточнения.
Наиболее широкое применение при решении задачи оценки влияния формы ударяющего тела на форму ударного импульса получила волновая теория удара, построенная на следующих допущениях: 1) плоские, поперечные к оси стержня, сечения остаются плоскими в процессе распространения волн продольной деформации; 2) материал стержня подчиняется закону Гука, т.е. деформации остаются в пределах упругости; 3) соприкосновение соударяющихся тел происходит в один и тот же момент времени по всей площади ударного торца. Согласно этой теории процесс распространения волн продольных колебаний в стержнях переменного поперечного сечения описывается дифференциальным уравнением
д2и
2
x,t _а2д ux,t
(1)
dtz dxz
где ux,t - функция смещения поперечного сечения стержня с координатой х в момент времени t; а = -Щр - скорость распространения упругой
волны продольной деформации в стержне с плотностью материала р и модулем упругости Е.
Уравнение (1) приведено Сен-Венаном в примечании к §60, выполненного им перевода на французский язык книги Клебша [1]. Впервые использование (1) для исследования продольного соударения стержней применительно к технологическим машинам, в частности к штамповочным молотам, показано в 1965-1968 гг. в работах Гла-дилова Ю.С. [6].
Ударяющие тела - бойки, имеющие форму
стержней переменного поперечного сечения, были исследованы с помощью волновой теории удара в работах профессора Дворникова Л.Т. [7] и его учеников: Шапошникова И.Д. (боёк в виде усеченного конуса), Мясникова А.А. (гиперболический боёк), Тагаева Б.Т. (цилиндрогиперболический боёк), Жукова И.А. (полукате-ноидальный боёк). В этих работах для исследования продольных колебаний стержней сложной формы, имеющих криволинейные образующие боковой поверхности, применяется уравнение
d2ux,t 2 д2их,1 ^ 2 1 dSx duXt,
дГ дхz Sx dx дх
где Sx - функция площади поперечного сечения бойка.
Однако ни в одной из выше названных работ нет ссылок на источники, из которых были заимствованы уравнения, и не приведено явного доказательства достоверности и корректности применения дифференциальных уравнений (1) и (2) для решения задач формирования упругих волн деформаций в волноводах машин при ударе по ним бойками сложных геометрических форм. Спорность вопроса возникает в силу того, что при растяжении-сжатии в телах переменного поперечного сечения нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно, и с этой точки зрения рассмотрение бойков, поперечный размер которых существенно изменяется по длине, на основе гипотезы плоских сечений оказывается некорректным.
Анализ известных классических работ в областях механики деформируемого твердого тела и уравнений математической физики позволил автору настоящей статьи сформулировать исходные условия к решению задач анализа влияния форм бойков на форму ударного импульса и на результативность процесса разрушения или обработки среды машинами ударного действия.
Согласно утверждениям Г. Кольского [8], в конических стержнях при ударе распространяются продольные сферические волны, причем нормальное напряжение распределяется равномерно по каждой из сферических поверхностей. Волновое уравнение движения сечений в направлении параллельном оси конуса Г. Кольский записывает в виде
д2щ
Рг^Г =
дГ
г ^W1 , о г ди\ Ег—^- + 2 Е 1
(3)
drz Sr где г - радиус сферической волны; и\ - перемещение.
26
И.А. Жуков
В то же время, рассматривая продольные колебания конического стержня, исходя из гипотезы плоских сечений, Котляков Н.С. в работе [9], записывает формулу разности усилий, возникающих вследствие появления растягивающих или сжимающих напряжений в сечениях стержня,
E^lsMclx.
<Эх дх\
(4)
Используя выражение (4) в соответствии с методикой вывода уравнения продольных колебаний конического стержня, изложенной Н.С. Котляковым, согласно второму закону Ньютона, получается дифференциальное уравнение вида
Е—\sx —\dx = p-Sx-dx-^-. (5)
дх\хдх\ р Х dt1 Рассмотрение в общем виде элементарной части бойка, ограниченной криволинейной боковой поверхностью и двумя поперечными сечениями, отстоящими на бесконечно малом расстоянии друг от друга, фактически представляющей собой форму усеченного конуса, позволяет сделать вывод, что путем несложных преобразований, вводя
переменную а — 4еГр , уравнения (3) и (5) мо-
гут быть представлены в виде (2).
В качестве рекомендации в своей монографии [10] Пановко Я.Г. записывает фразу: «В тех случаях, когда распределенная масса и сечение стержня переменны по его длине, следует ... исходить из
с2^
dxl дх
= F
д2 и
-.»
дГ
(6)
где с2 = а2, F = Sx .
Результаты экспериментальных исследований по определению ударных импульсов, генерируемых бойками различных форм, изложены в работах Шапошникова И.Д. (для конического бойка) [11], Тагаева Б.Т. (для конического, гиперболического и цилиндро-гиперболического бойков) [12], Дворникова Л.Т. и Жукова И.А. (для полукате-ноидального) [13]. Все эти исследования отмечают удовлетворительную сходимость результатов вычисления ударных импульсов с помощью диф-
ференциальных уравнений (1), (2) и экспериментальных. В частности, результаты статистической обработки данных, полученных для бойка, имеющего форму полкатеноида, в котором радиальный размер нарастает быстрее, чем для любых других геометрических тел, свидетельствуют о том, что погрешность результатов составляет
А = (l0,0 + 4,0)%. Таким образом, можно сделать заключение о пригодности уравнения (2) для рассмотрения продольных колебаний стержней переменного поперечного сечения. Вполне очевидно, что погрешность вычислений может быть уменьшена при условии введения в рассмотрения наряду с продольными поперечные колебания, однако при этом волновые дифференциальные уравнения значительно усложняются, о чем свидетельствуют работы [9, 14-16].
На этом основании решение проблемы повышения эффективности воздействия на хрупкую среду при продольном ударе бойком по волноводу-инструменту путем рационального подбора форм бойков осуществляется с применением одномерной волновой теории удара. Для этого составляются уравнения движений сечений при продольном ударе для бойка (2) и для волновода (1). При этом волновод, как правило, считается полубесконечным стержнем постоянного поперечного сечения. Расчетная схема (рис. 1) составляется так , что начало системы координат совпадает с местом соударения бойка и волновода, а ось х направляется в сторону, противоположную направлению предударной скорости бойка V0.
Начальные условия:
- в момент начала взаимодействия смещения сечений бойка u^x,t) и волновода uB(x,t)
ця(х,0) = 0, и я(х,0) = 0;
- скорость смещения сечений, определяемая частной производной по времени, для бойка равна его предударной скорости Vo, а для волновода равна нулю:
диБ(х, 0) 8ив{х, 0)
---------= v а, --------= и.
dt 0 dt
Граничные условия, определяющие состояние концов бойка и волновода:
Рис. 1. Расчетная схема соударения бойка и волновода
Горные машины и оборудование
27
- в процессе взаимодействия смещения на границе бойка и волновода равны:
uB(0,t) = uB(0,t);
- в процессе взаимодействия силы взаимодействия на границе бойка и волновода равны:
5(0)
диБ(°,‘)_с
где Sq — площадь поперечного сечения волновода;
- неударный торец бойка свободен от деформаций:
диБ (/,0
= 0;
-в удаленных от ударного сечениях волновода деформации отсутствуют:
Нш
X—»-00
див (х,р
ах
= о.
Из системы дифференциальных уравнений (1) и (2) с учетом начальных и граничных условий определяется ударный импульс, который связан с
функцией смещения сечений волновода зависимостью:
F(X,t)=ES0d-^.
ОХ
Наличие аналитических выражений импульсов, генерируемых бойками различных форм позволяет сравнить их с целью выявления наиболее рациональных.
Таким образом, с достаточной для практики степенью точности волновые дифференциальные уравнения (1) и (2) применимы для решения задачи определения формы ударного импульса, вызванного в длинном стержне постоянного поперечного сечения при ударе по нему бойками различной конфигурации, и не могут быть применены к решению задачи оценки характера распределения напряжений в бойке.
Настоящая статья написана по материалам исследований, выполненным при государственной поддержке гранта Президента Российской Федерации для молодых российских ученых МК-854.2014.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Clebsch, A. Theorie de l'elasticite des corps solides / V.F. Saint-Venant. - Paris: Dunod, 1883.
2. Boussinesq, J. Applications des potentials a l’etude de l’equilibre et du mouvement des solides elastiques / Gauthier - Villars, Paris, 1885.
3. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле. - М.-Л., Физматгиз, 1959. - 439 с.
4. Кильчевский, Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. - Киев: Наукова думка, 1976. -320 с.
5. Открытие 13 СССР / Е.В. Александров. - Приоритет от 30.10.1957, опубл. 19.03.1964, Бюл. №7. - 1 с.
6. Гладилов, Ю.С. Исследование продольного удара штока штамповочного молота: автореф. дисс. ... кан. тех. наук. / Гладилов Юрий Сосипатрович. - Фрунзе, 1968. - 28 с.
7. Жуков И.А. Бойки ударных механизмов, имеющие аналитическое решение / И.А. Жуков, Л.Т. Дворников // Справочник. Инженерный журнал. - 2008. - №10(139). - С. 17-20.
8. Кольский, Г. Волны напряжения в твердых телах. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. - 192 с. (Oxford, 1953).
9. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. Изд. 4-е, испр. и доп. - М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 505 с.
10. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Изд. 3-е., доп. и переработ. - Л.: Машиностроение, 1976. - 320 с.
11. Шапошников, ИД. Исследование волновых ударных импульсов с целью повышения эффективности работы вращательно-ударных механизмов бурильных машин, автореф. дисс. ... кан. тех. наук. / Шапошников Израиль Давидович. - Фрунзе, 1969.
12. Тагаев, Б.Т. Поиск путей увеличения эффективности ударного разрушения горных пород при бурении: автореф. дисс. ... кан. тех. наук. / Тагаев Базарбай Тагаевич. - Фрунзе, 1985.
13. Дворников, Л.Т. Продольный удар полукатеноидальным бойком: Моногр. / Л.Т. Дворников, И.А. Жуков. - СибГИУ, Новокузнецк. - 2006. - 80 с.
14. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 674 с.
15. Мясников, А.А. Модифицированное уравнение продольных колебаний стержней переменного поперечного сечения в цилиндрической системе координат // Материалы 7 научно-практической конференции по проблемам машиностроения, металлургических и горных машин. - Новокузнецк: СибГГМА, 1998. - С. 70-79.
16. Жуков, И.А. Модификация дифференциальных уравнений волновой теории продольного соударения стержней / И.А. Жуков, Л.Т. Дворников // Известия ТПУ. - 2008. - Т. 313. - №2. - С. 5-9.
Автор статьи:
Жуков Иван Алексеевич канд. техн. наук, доцент каф. теории и основ конструирования машин СибГИУ Email:, [email protected]
