CC BY
27
УДК 533.6.011.72
ИНВАРИАНТЫ ПОДОБИЯ УДАРНЫХ ВОЛН. I. ЗАКОНЫ СХОЖДЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗЕ С ПОСТОЯННОЙ плотностью
У. Юсупалиев, Н. Н. Сысоев1
Используя методы подобия, и размерности, установлены безразмерны,е инварианты подобия, ударны,а; волн, с помощью которых определены законы схождения, сильны,а; сферических и цилиндрических ударны,х волн в газе с постоянной плотностью.
Ключевые слова: безразмерные инварианты подобия ударных волн? сходящиеся силь-ньте сферические и цилиндрические ударные волны в газе, показатель автомодельное™, дифференциальное уравнение.
Задача о схождении сильных сферических и цилиндрических ударных волн (УВ) в газе с постоянной плотностью рассмотрена в. Сис1ег1еу [1] и независимо Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем [2. 3]. Ими в качестве масштаба дли? 1Ы был принят радиус фронта УВ Язш(Ь) = А(-Ь)азш, масштаба скорости _ её скорость Изш (Ь) — dRsw а мо-
ментом Ь = 0 считался момент её кумуляции (а,^ - показатель автомодельности, А -размерная постоянная). Тогда при Ь < 0 волна сходится к центру сферы (оси цилиндра), а при Ь > 0 отражается от него (неё). Система уравнений задачи состояла из уравнений непрерывности, Эйлера и адиабатичности. решения которых искались в виде:
2 2
и = ^V(£), Р = РоО(0, с2 = ^Я(0, (1)
где £ = r/RsW(Ь) = г/А(-Ь)авш - автомодельная переменная, и - радиальная скорость газа относительно системы координат, связанной с неподвижным газом, находящимся в объеме сферы или цилиндра с радиусом Rsw.
ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: [email protected].
1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119991 Россия, Москва, Ленинские
горы, 1.
При выборе решений в виде (1) и заданных граничных условиях для безразмерных функций V(£), С(£) и Z(£) в точке £ = 1 уравнения системы решались численно. Именно таким способом в работах [1-3] были найдены значения величины но только для
некоторых значений показателя адиабаты газа 7, а именно: 7=1; 1.4; 1.67; 3 и 70 ^ то (см. табл. 1).
Т а б л и ц а 1
Значения показателя автомоделъности азш в законах схождения сферических и цилиндрических УВ в газе с постоянной плотностью, найденные авторами работ [1 — 3] и рассчитанные нами по формуле (16)
Показатель
адиабаты 1.0 1.4 1.67 3.0 то
газа 7
[Лит.] формула [Лит.] формула [Лит.] формула [Лит.] формула [Лит.] формула
Сферич. У В 1 [2] 0.717 [1-3] 0.688 [2, 3] 0.638 [2] 0.375 [2]
(V = 2) 1 (16) 0.665 (16) 0.630 (16) 0.554 (16) 0.460 (16)
Цилиндр. У В 1 [2] 0.834 [1.2] 0.810 [2] 0.50 [2]
(V = 1) 1 (16) 0.800 (16) 0.772 (16) 0.713 (16) 0.63 (16)
Плоская УВ [2] 1.0 [2]
(V = 0) 1 (16) 1.0 (16)
Первая попытка экспериментального определения величины авш для сходящейся сильной цилиндрической УВ была предпринята авторами работы [4]. Используя более совершенные экспериментальные методы при исследовании таких УВ. авторы работы [5] определили показатель автомодельности Определению этой величины посвя-
щена также работа [6], в которой сходящаяся цилиндрическая УВ генерировалась с помощью импульсного индукционного разряда (в-пинча в Аг и Хе). Было показано, что для сильных цилиндрических УВ (М > 5) значение величины азш в пределах ошибки измерений совпадает с предсказываемой авторами работ [1. 2] величиной (см. табл. 1). Однако экспериментальная проверка величины проводилась только для сходящейся цилиндрической УВ и только для одно- (7 = 1.67) и двухатомных газов (7 = 1.4). Что касается других значений величины 7, например, 1.4 < 7 < 1.67 (для газа) и 1 < 7 < 1.4 (для ионизованного газа, плазмы), то для них значения показателя автомодельности остались неизвестными. Разумеется, для их определения можно
снова воспользоваться численными методами [1 3], однако предпочтительнее иметь дело с аналитическим решением, так как оно нагляднее демонстрирует закономерности исследуемого явления и может помочь установить новые, ранее неизвестные его закономерности. Данное сообщение как раз и посвящено установлению такой зависимости показателя автомодельности азш от показателя адиабаты газа 7.
Рассмотрим задачу о распространении сильных сферических и цилиндрических ударных волн (УВ), сходящихся соответственно к центру сферы или оси симметрии цилиндра, при этом не интересуясь конкретным механизмом генерации УВ.
Для описания одномерного (радиального) движения газа за фронтом УВ используем те же самые уравнения, что и наши предшественники [1 3]. Так как процесс распространения УВ является адиабатическим, то в этом случае между давлением р и плотностью р газа выполняются следующие соотношения [3]:
др 1 др др 1 др 2 Р (2)
дЬ с2 дЬ дг с2 дГ р'
где с - скорость звука в газе, величины р и р связаны уравнением состояния. С учетом (2) уравнение непрерывности приведем к виду:
дР . дР . 2ди , 2 п ,а\
— + и— + рс — + рс — = 0, (3)
дЬ дг дг г
где показатель симметрии задачи V равен V = 0,1 и 2 для плоского, цилиндрического и
сферического случаев соответственно. Если разделить все члены уравнения (3) на р х
с (р• с = 0), то размерность полученного уравнения совпадёт с размерностью уравнения
движения. Тогда, сложив его с уравнением движения (Эйлера), получим уравнение:
ди 1 др ( ди 1 др\ . . и
+ + (и + с) = = 0, (4)
дЬ рс дЬ \дг рс дг) г
решение которого, в отличие от (1), будем искать в виде:
р = ро (АжСО) п(0, и = (ь)и(0, р = ро9(С), (5)
где в качестве масштаба плотности выбрана
ро
ставив (5) в уравнение (4) и приведя его к безразмерному виду, получим:
мо +12 + , / 1 + еп'(е) + 2 - йо +|от'2 +пя"11V ^К) но + ^ п(е жемо+
+' - + . -......1 Ыо + + ПШ) = 0, <«)
и(е) + п>(е) и(е) л/тейпшене)
po(Ь)Rsw (Ь) Rsw (Ь)Rsw (Ь) ^ где п1SW = -:-, п2^ = -2— _ безразмерные комплексы, штрих
ро(Ь)И ^(Ь) (д sw (Ь))
означает дифференцирование по безразмерной координате а точка - по времени Ь. Для решения уравнения (6) применим методы теории подобия и размерности. При распространении рассматриваемых УВ во времени и в пространстве они изменяются подобно самим себе и, следовательно, описывающие их уравнения должны быть инвариантными относительно линейного преобразования координаты г и времени Ь:
г
' = вг, Ь = вЬ, (7)
где в """""" коэффициент растяжения/сжатия. Обратим внимание, что функции, ВХОДЯЩ И 6 в состав безразмерных комплексов и п2^, зависят только от времени и их показатели подобия относительно преобразования (7) равны нулю (а[п1^] = а[п2^] = 0). Тогда, согласно [7], они представляют собой безразмерные инварианты подобия УВ: п1sw = C1sw и п2sw = C2sw (где C1sw и C2sw ~ постоянные). Эти последние равенства являются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Безразмерные инварианты п1SW и по структуре совпадают с инвариантами пи и п2г, установленными в [8] для сильноточных электрических разрядов в плотном газе, у которых в качестве масштаба длины был принят радиус разрядного канала.
Поскольку мы рассматриваем сильные УВ, распространяющиеся в газе с постоянной плотностью (р0(Ь) = 0^, то значение инварианта равно нулю (С1^ = 0). Тогда,
поделив уравнение (6) на Сполучим:
1 — &(£) + 2 п(£) + &(£) +
V д(£) и(£) С2¡¡ту/Ъяп(£)д(£)и(£)
+иШ + п'(£) \ (и(£) + у^п(£)/д(£)) + V 1еПп(£) =0
\и(£) л/7ейп(£)д(£)и(0) С^ С^^ д(£) ' {)
Граничные условия этого уравнения определяются значениями параметров газа за скачком уплотнения сильной УВ:
2 ( ■ \2 7 +1 2 ■
Р =—ггР0 \RR-sw(Ь)) ,Р = Ро-Т= —— Rsw(Ь). (9)
7 + / 7 — 1 7 +1
Сравнения (5) и (9) позволяют сформулировать граничные условия при 7 = 1 (на фронте УВ) следующим образом:
п(1) = , д(1) = , и(1) = , п'(1) = и'(1) = 0. (10)
7ей + 1 7ей — 1 7ей + 1
При установленных нами инвариантах nisw = C1SW = const и n2SW = C2SW = const уравнение (6) становится обыкновенным дифференциальным уравнением, зависимым только от автомодельной переменной и его решения представляют собой пространственные распределения основных характеристик газа за фронтом УВ.
Таким образом, путем установления безразмерных инвариантов подобия УВ nisw и n2SW нам удалось свести дифференциальное уравнение в частных производных (4) к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям (6), n1SW = C1SW и n2SW = C2SW, что должно существенно облегчить решение поставленной задачи. Действительно, решением дифференциального уравнения у соответствующего инва~ рианту n2SW:
Rsw (t)Rsw {t)_ . . -;-^2 = C2sw, (11)
R SW (t) J
с начальными условиями Rsw (0) = 0 и (dRsw/dt)t=o = 0 является закон распространения ударных bojihi
Rsw (t) = Atasw, (12)
где asw = 1/(1 — C2SW). ^a начало отсчета t = 0 выберем момент кумуляции рассматриваемых УВ. Это можно сделать благодаря инвариантности уравнений непрерывности и движения относительно преобразования сдвига по времени. Тогда, согласно [2. 3], при t < 0 сферическая (цилиндрическая) УВ сходится к центру (оси симметрии) по закону:
Rcsw (t) = Acsw (—t)acsw, (13)
а при t > 0 — отражается от него (неё) по закону:
Rrsw (t) = ARswtaRSW, (14)
где Acsw и Arsw - размерные коэффициенты для сходящихся и отраженных УВ.
Попутно заметим, что применимость формул (13) и (14) для тороидальных УВ и правильных многоугольных УВ с фронтами замкнутой поверхности показана нами в работах [9, 10].
Для определения показателя автомодельности asw достаточно найти постоянную C2SW. А её найдем из уравнения (8) с граничными уеловиями (10) при £ = 1:
C2SW =--^ ^) =-. (15)
(7 +1)[1 + V2(T — 1)/Y ]
Итак, показатель автомодельное™ равен
1
(16)
aSW
1 +
(Y +1)[1^2(y - 1)/Y]
В таблице 1 приведены значения величины вычисленные по формуле (16) для тех же значений 7, что и в работах [1-3]. Сравнивая их, приходим к выводу, что вычисленные нами значения удовлетворительно совпадают с результатами численных расчетов работ [1 3].
Таким образом, с помощью инвариантов подобия п1SW ж п2SW удалось получить следующие основные результаты!
1. Аналитически подтверждены законы схождения сильных цилиндрических и сферических ударных волн в газе с постоянной плотностью.
2. Определена аналитическая зависимость показателя автомодельности а^ от показателя адиабаты газа 7 дл я 1 < 7 < ж.
[1J G. Guderley, Luftfahrtforschung 19(9), 302 (1942).
[2] К. П. Станюкович, Неустановившиеся, движения, сплошной среды (М., Наука.
[3J Л. Д. Ландау, Е. М. Лифтпиц, Гидродинамика, (М., Наука, 1988).
[4] R. S. Deimer and L. N. Wilson, Electrical generation of imploding shock waves. Exploding wires. New York, 1962. Vol. 2. P. 145-157.
[5] H. Matsuo and Y. Nakamura, ,J. Appl. Phys. 52(7), 4503 (1981). [6| П. H. Баронец, Изв. АН СССР, МЖГ, Л* 3, 182 (1984).
[7] А. А. Рухадзе, Н. Н. Соболев, В. В. Соковиков, УФН 161(9), 195 (1991).
[8] У. Юсупалпев, Краткие сообщения по физике ФИАН 39(5), 3 (2012).
[9] У. Юсупалнев, Краткие сообщения по физике ФИАН 39(7), 3 (2012).
[ 10J У. Юсупалнев, Н. Н. Сысоев, Краткие сообщения по физике ФИАН 40(8), 3 (2013).
ЛИТЕРАТУРА
1971).
Поступила в редакцию 9 января 2014 г.
