CC BY
18
УДК 514.764.227
Т. Р. Климова, М. В. Сорокина
ИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ С КРУЧЕНИЕМ НА ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ
Аннотация. В геометрии Картана связность Леви-Чивита заменяется метрической связностью с кручением. В результате пространственно-временное многообразие наделяется и кривизной и кручением. В дальнейшем этот подход привел к созданию теории Эйнштейна-Картана. Многочисленные варианты геометризации физических теорий, объединяющих различные виды взаимодействий, приводят к учету кручения. В настоящей работе на трехмерной сфере находятся все метрические связности с кручением, инвариантные относительно группы движений сферы.
Ключевые слова: риманово многообразие, линейная связность, кручение, группа автоморфизмов.
Впервые метрическая связность с кручением была построена Э. Картаном на двумерной сфере в рамках предлагаемой им геометризации единой теории гравитации и электромагнетизма [1]. В настоящей работе на трехмерной сфере находятся все метрические связности с кручением, инвариантные относительно группы движений сферы.
1. Пусть М - гладкое л-мерное многообразие, (х1) - локальные координаты на М, д (д^) - риманова метрика на М , V (Г|) - связность Леви-Чивита, V(г* ) - метрическая связность с кручением 5 (Эк-) Ф о, Т(Т-) - тензор деформации связности V. Тогда
ек _ т^к т^к т^к _ т-к . гг,к . ок _ „
=1 а 1 п , га =1 а+ , + =0 •
Кроме того, согласованность связности V с метрикой д имеет место тогда и только тогда, когда компоненты Т^к = Т?дкр тензора деформации кососимметричны по последним двум индексам [2]. Действительно, в локальных координатах имеем
^д^ - дркг р - д]ргрк = 0 (1)
или
д{д]к - дркГр - д]рГ1к - дркТ-р - д]рТгк = 0,
откуда
дрТ+дрЧ = о,
т. е.
Тук + Тк = 0,
что и доказывает наше утверждение. Циклируя (1), получим еще два равенства
9 - др? рк- дркг р = 0 9 д - дР]г р - дрг р =
Складывая два первых равенства и вычитая последнее, получим
(д* + 9-) = дрк(гр + г+ дрк(грк -гр) д-р(гр* -гр),
или
9ри(Г? + Г? + 8?г) = (Э+ Эди - Эд) + д^? + д,
откуда
2др*гр = (Э + Эди -Эд) + д?к8? + д?8? + д^р,
поэтому
9ркГр = +8ук + 8кд + 8Щ )
и
г Р = гРр + А( 8? + 8? + 8?).
Отсюда получаем выражение тензора деформации через тензор кручения:
Тк = !(8к + 8^ + 8к )
и
Циклируя (2), получим
Тук = ~(8ук + 8ку + 8Щ ). (2)
Т]И = ~ (8к + 8Цк + 8Ид ).
Складывая последние два равенства и учитывая косую симметрию тензора кручения по первым двум индексам, получим выражение тензора кручения через тензор деформации:
8г]к = Тук + ТМ •
2. Векторное поле ) является инфинитезимальным движением риманова пространства V = (М, д) тогда и только тогда, когда производная Ли от метрического тензора вдоль £ равна нулю: Ь^д = О. Как следствие нетрудно получить [3], что и Ь^у = 0. Потребуем, чтобы любое движение сохраняло и связность V:Ь^Ч = О, что равносильно равенству Ь^Т = О или Ь^8 = О.
Уравнения движений (уравнения Киллинга) имеют вид [3]:
+ %>Л = О, (3)
где ^ = , Ц = 4-^. Равенство нулю производной Ли от тензора деформации запишем в ковариантных производных
^ ?Тт + Чг ^к + V ; +Чк %?Тъ = О
или
^?Тт + Ъ (Т^ + Щд^ + ^Ц? ) = О,
(4)
где 5г- - символ Кронекера; дг - контравариантные компоненты метрического тензора
д: дг^?д? = 5г.
Пусть Vп является римановым пространством постоянной секционной кривизны и,
п (п +1)
следовательно, допускает группу движений О размерности г = -
2
■. Тогда равенства
(4) должны выполняться при любых и ^, удовлетворяющих (з). Поэтому из (4) следует
= О (5)
и
(6)
^д^к +5^^ +5^? -Цд?Тф-5)дгТк-51дг?Тф = О.
Умножая (6) на дгдтд и учитывая косую симметрию компонентов тензора деформации по последним двум индексам, получаем равносильные (6) соотношения:
дИТщк -д]1Т(кт + дк1Тут -дтТЦк + дтТк1 -дктТу1 = О (7)
Из (7) следует [4], что если риманово пространство V11, п Ф 3, допускает группу движений максимальной размерности, то оно не имеет инвариантного кручения.
3. Рассмотрим случай п = 3 . Классическим представителем риманова пространства постоянной кривизны является сфера. Существует система координат, в которой метрика 8 3 имеет вид
с1з2 =-
Сх12 + Сх22 + Сх32
1 + -(х12 + х22 + х32
(8)
где к = —, Я - радиус сферы. Подставим компоненты метрического тензора Я
дц =
5и
1 + -(х12 + х22 + х32
в (7), получим
5йТщк-5]1Ткт + 5к1Тут -5тТЦк + 5тТШ-5ктТу1 =
(9)
(1О)
Условия (1О) должны выполняться тождественно. Непосредственной проверкой для различных серий индексов получаем, что тензор деформации в этом случае кососиммет-ричен по всем индексам. Следовательно, тензор деформации связности V имеет только одну существенную компоненту .
Далее, интегрируя уравнения движений
I?д p9ij + ¿11 P9pi + ¿ j I P9ip = 0,
Pi j' yp
(11)
находим базисные векторные поля алгебры Ли инфинитезимальных движений метрики (8). Они имеют вид
X = Г1 - к (-х12 + х 22 + х32) 1Э1 + —х1 х 2Э2 + —х1 х 3Э3, 1 ^ 4 ) 1 2 2 2 3
X2 = 2x2x 1Э1 + ^ 1 -4(x12 - x22 + x32)j¿2 + kx3x%,
X3 = 2x3x 1Э1Э3 + kx3x2Э2 + ^ 1 -4(x12 + x22 - x32) j,
X12 = x 2Э1 - x 1Э2, X13 = x 3Э1 - x 1Э 3,
X23 — x ¿2 x д 3 •
(12)
Запишем условия инвариантности тензора Т относительно группы движений в координатах:
£lBlTijk +di llTjk +д j llTilk +дк — о.
(13)
С учетом косой симметрии тензора Т , по всем индексам распишем уравнения (13) для операторов (12). Получим систему уравнений в частных производных
1 + 4(x12 - x22 - x32) jd1T123 + 2x1 x2d2T123 + 2x1 x3d3T123 + 3kx 1T123 — о 2x1 x2d1T123 + ^ 1 + 4(-x12 + x22 -x32)jd2T123 + 2x2x3d3T123 + 3kx2T123 — о 2x1 x3d1T123 + 2x2x3d2T123 + ^ 1 + 4(-x12 -x22 + x32) jd3T123 + 3kx3T123 — о
x ¿1^123 x ¿2^123 — о
x ¿1^123 x д3T123 — о x ¿2^123 x ¿3T123 — о
(14)
Интегрируя последние три уравнения системы (14), находим, что
T123 — T123 (x + x + x ) .
(15)
Подставляя (15) в первые три уравнения системы (14), находим общее решение системы (14):
T —
123
123
(1+4(
—I x12 + x22 + x32
3
где c — const .
Поднимая последний индекс, получаем
c3
T2 = ь Cl2-(17)
1 + —(х12 + X22 + X3
4 (х12 + X22 + х32)
Коэффициенты связности Леви-Чивита на сфере имеют вид
к((-8kXj j
2^ 1 + 4(х12 + X22 + X32 ))
Гк -—-• (18)
Следовательно, компоненты метрической связности с кручением, инвариантной относительно группы движений на трехмерной сфере, согласно (17) и (18), определяются формулами:
г к =
У
к(хк - bkXj - §кX,) + 2сшЬ1к
2 ^ 1 + 4 (x 12 + x22 + x32 ))
Таким образом, полученная нами связность однозначно определяется двумя постоянными - кривизной к = Я- и кручением К= с.
Список литературы
1. Гордеева, И. А. Многообразия Римана-Картмана / И. А. Гордеева, В. И. Паньженский, С. Е. Степанов // Итоги науки и техники. Сер.: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2ОО9. - Вып. 123. - С. 11О-141.
2. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. - М. : ИЛ, 1957. - 152 с.
3. Эйзенхарт, Л. П. Непрерывные группы преобразований / Л. П. Эйзенхарт. - М. : ИЛ, 1947. -359 с.
4. Паньженский, В. И. Максимально подвижные римановы пространства с кручением / В. И. Паньженский // Математические заметки. - 2ОО9. - Т. 85, № 5. - С. 754-757.
Климова Татьяна Романовна
студентка,
Пензенский государственный университет E-mail: tvoechudo94 @gmail.com
Сорокина Марина Валерьевна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]
Klimova Tat'yana Romanovna
student,
Penza State University
Sorokina Marina Valer'evna
candidate of phisical and mathematical sciences, associate professor,
sub-department of mathematical education, Penza State University
УДК 514.764.227 Климова, Т. Р.
Инвариантные связности с кручением на трехмерной сфере / Т. Р. Климова, М. В. Сорокина // Вестник Пензенского государственного университета. - 2016. - № 2 (14). - С. 91-95.
