Инвариантные подмодели ранга один газовой динамики со специальным уравнением состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 139-153.

УДК 517.958

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ

СОСТОЯНИЯ

Л.З. УРАЗБАХТИНА

Аннотация. В работе приведена классификация инвариантных подмоделей, построенных на трехмерных подалгебрах из оптимальной системы. Классификация подмоделей проведена по порядку инвариантной подмодели, модифицированной с помощью нормализатора и дополнительных интегралов.

Ключевые слова: уравнения газовой динамики, уравнение состояния, подалгебра, подмодель, нормализатор.

1. Введение

Рассмотрим уравнения газовой динамики (УГД)

du „ dp dS , .

p— + Vp = 0, — + pdiv u = 0, —- = 0 (1)

1 dt 1 ’ dt 1 ’ dt ' J

со специальным уравнением состояния, описывающие движение жидкости при больших

давлениях и высоких температурах [1]

p = BpY + F (S).

Здесь u — вектор скорости; p — плотность; p — давление; F(S) — функция энтропии; B,y — постоянные, By > 0, y = 0,1; d/dt = dt + u • V — оператор полного дифференцирования. Скорость звука с определяется по формуле с2 = Byp1-1 .

В этом случае УГД (1) допускают группу преобразований с 13-мерной алгеброй Ли.

Неподобные подалгебры сведены в оптимальную систему [2].

Базис алгебры Ли L13 состоит из операторов: Х1,... , Х13, где X1, X2, X3 — переносы по пространственным координатам; Х4,Х5,Хб — галилеевы переносы; Х7,Х8,Х9 — вращения; Х10 — перенос по времени; Х11 — равномерное растяжение независимых декартовых переменных x,y,z,t; Х12 = tdt — udu — vdv — wdw — (7 — 2)pdp — Ypdp — растяжение,

Y = 2y(y — 1)-1,7 = 0, 2 ; Х13 — перенос по давлению.

В оптимальной системе имеется 27 серий трехмерных подалгебр с одним инвариантом, зависящим от независимых переменных. Все они сведены в таблицу (см. Приложение). В первом столбце указан номер подалгебры из оптимальной системы [2]. Первая цифра номера указывает на размерность подалгебры. Последующие цифры номера указывают на порядковый номер подалгебры данной размерности. Номер подалгебры с одним штрихом указывает на то, что параметр 7 = 1, с двумя штрихами — 7 = —1. Во втором столбце записаны инварианты в декартовых переменных t, x, y, z, u, v, w или в цилиндрических переменных t, x, r, в, U, V, W, а в третьем столбце записан номер нормализатора.

L.Z. URAZBACHTINA, INVARIANT SUBMODELS OF A RANK OF ONE GAS DYNAMICS WITH THE SPECIAL EQUATION OF STATE.

© УРАЗБАХТИНА Л.З. 2009.

Работа поддержана грантом ГНТП-РБ госконтракт 13/3-ФМ.

Поступила 3 августа 2009 г.

На трехмерных подалгебрах такого типа можно строить инвариантные подмодели. Для того, чтобы получить подмодель, нужно записать представление решения. Оно получается приравниванием инвариантов, зависящих от газодинамических функций, к новым функциям от инварианта, зависящего от независимых переменных. Затем из этих выражений находим искомые газодинамические функции. После их подстановки в УГД (1) получаем инвариантую подмодель, которая представляет собой систему из 5 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [3].

Основная задача — найти интегралы у этой фактор-системы. Согласно теореме Коши-Ковалевской любая подмодель является интегрируемой. Однако очень сложно найти интегралы в простой алгебраической форме. С помощью нормализатора подалгебры можно понизить порядок фактор-системы или найти интегралы. Порядок нормализатора определяет число интегралов. Поэтому для последующей классификации в таблице (см. Приложение) в последнем столбце указана размерность нормализатора. Если размерность нормализатора равняется 3, то подалгебра самонормализована и симметрий, наследуемых из Ь13, у подмодели нет. Порядок инвариантной подмодели можно понизить за счет симметрий нормализатора или за счет дополнительных интегралов, не связанных с этими симметриями. Дополнительные интегралы получаются эвристическим путем по аналогии с известными примерами [4].

Классификация подмоделей проводится по порядку инвариантной подмодели, модифицированной с помощью нормализатора и дополнительных интегралов. В уравнения подмодели входят параметры: алгебраические коэффициетны из оптимальной системы или постоянные интегралы. При некоторых соотношениях на параметры можно найти новые интегралы, и подмодель полностью интегрируется.

Во второй части статьи рассмотрены подалгебры 3.2', 3.3', 3.6'. Эти подалгебры имеют нормализаторы размерности 6 и 7. Все эти подмодели сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению Риккати. При некоторых значения параметров уравнения Рик-кати интегрируются.

В третьей части работы рассмотрены подалгебры 3.1', 3.4', 3.1'', 3.14. Подмодели подалгебр 3.1', 3.4' сводятся к линейным фактор-системам дифференциальных уравнений второго порядка.

В четвертом пункте описаны подалгебры 3.22', 3.3''. У фактор-системы подалгебры 3.22' найдены особое и частное решения. У фактор-системы подалгебры 3.3'' найдены квадратура и интеграл.

В пятой части рассмотрена самонормализованная подалгебра 3.26. У подмодели найден один интеграл и получено точное(особое) решение.

2. Подмодели, сводящиеся к одному обыкновенному дифференциальному

уравнению

Сделано оригинальное наблюдение: подмодели с нормализаторами размерности 6 и 7 сводятся к одному уравнению Риккати. Это достигается нахождением дополнительных интегралов. Для некоторых значений параметров уравнение Риккати интегрируется.

2.1. Подалгебра 3.3'. Представление инвариантного решения имеет вид (см. Приложение):

х . и1(^ У . ^1(^) , /,ч У . ) /п

и = - +-----— ,у = - +------— ,ю = —— ,р = Ьр1(Ь),р = — +----------------— ,а = 0.

ъ ъ ъ ъ ъ аъ аъ

После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему

. . 1 . р1

т1и1 = 0, т1ь1 =-----------, и>1(1 — т1) =-------,

арх ар1 (2)

р1 3 . аВ (т1 +2)

— + — + — = 0, т1р'1----------------^----->- = р1 — У1.

р1 т1 т1 р1

Из первого уравнения видно, что и1 = С, иначе возникает противоречие в четвертом уравнении. Постоянную С можно положить нулем, т.к. она убирается галилеевым переносом по оси х (оператор Х4), а решения УГД мы рассматриваем с точностью до допускаемых преобразований. Ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры примут вид:

Х1 = — дщ, Х2 = — д'О! — др1, Хз = —дх,

Х11 = %дх + и1д«1 + ^1д^1 + т1д'ш1 — Р1др1 + Р1др1 •

Инварианты нормализатора назначим новыми функциями:

Р1 — У1

р2 = -) Р2 = Р1т1 •

т1

В этих переменных операторы нормализатора примут простейший вид. По простейшему виду нормализатора можно понять, каким образом можно понизить порядок системы.

Фактор-система (2) в новых переменных примет вид:

1 , р2 — 2В Р2Р2 , 3р2

1 ар2 ’ 1 (р2 + В) а(р2 + В) ’ Р2 ’ .д.

/ _ Р2Р2 + 2Вр2 + 3аВр2 +

Р а(р2 + В) (р2 + В) (р2 + В) ар2

В системе (3) поделим 1-е, 2-е и 4-е уравнения на 3-е уравнение. Таким образом, перейдем от дифференцирования по переменной г к дифференцированию по переменной в = р2. Для определения р2 получим уравнение Риккати

-3а(в2 + В )р2й = р2 + 2аВр2в-1 + 1 + 3а2В + Вв-2.

Приведем последнее уравнение к каноническому виду с помощью замены рз = р2 + аВв-1:

— 3а(в2 + В )р3й = р3 + 1 + 6а2В + (2а2 В + 1)в-2.

Для того, чтобы привести уравнение Риккати к линейному неоднородному уравнению, необходимо найти частное решение. Частное решение будем искать в виде р3 = Ов-1. Существует действительное частное решение р3 = (6ав)-1 при условии на постоянные \[Иав = 1(В = —в2). Тогда р2 = (4ав)-1 + 3аФйФ-1(в2 — в2), где для упрощения записи

введена новая функция Ф = Ф(в) такая, что

в4/3

Ф*

3а(в2 — в 2)5/3'

Из системы (3) определим оставшиеся функции

v1 = у0 + — [ в-7/3Ф<ів, —1 = —0в-1/3Ф, г = г0 — — [ в-4/3Ф<ів,

3а 3

где Уо,то, г0 — постоянные. После подстановки найденных функций и1 ,У1,т1,р2,р2 в представление решения физические величины примут вид:

Х У т0 , -4/3^ то5-1/3Ф

и = —, V =--------- — Фа(в 1 ), т =-------------------,

Ь Ь 4аЬ У Ь

/с4/3 г

р = —-г, г = го + то Фф-1/3), (4)

тоФ ]

р = у + / 8-4/3¿ф + 3тоф,«-1/3(«2 - /Д.

а£ 4а2£ У £

Замечание. Значения параметра в берутся из интервала [0, в) или (в, +^), так как интеграл Л, в4/3 (в2 — в 2)-5/3ав сходится при в < в ив этом случае Ф < 0, а интеграл ^ в4/3(в2 — в2)-5/3ав сходится при в > в и Ф > 0. Тогда функция г = г (в) однозначно определена, монотонна и, значит, обратима.

Вывод. Фактор-система (2) является полностью интегрируемой в квадратурах, если выполнено соотношение л/12ав = 1.

2.2. Подалгебра 3.2;. Подалгебра имеет представление инвариантного решения вида (см. Приложение)

х — 1п \Ь\ и1(г) у v1(z) т1(г) . . у р1(г) . ^

и =---------и + ^^.^ = ^ + ^^- т = —^,р = Ьр1(Ь),р = + ,а = 0.

Ь Ь Ь Ь Ь аЬ аЬ

После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему

. . 1 . р1

т1и1 = 1, т^1 =--------------, т1(1 — т1) =---------------------,

ар1 ар1

р1 т1 3 . аВ (т1 +2)

— + — + — = 0, ---------^= р1 — Vl•

(5)

р1 т1 т1 р1

Из первого уравнения системы определяется и1. Оставшиеся уравнения системы совпадают с уравнениями (3). Таким образом, физическое представление решения отличается от (4) лишь формулой:

х — 1п |Ьв1/3|

и =-------------•

Ь

Вывод. Фактор-система (5) является полностью интегрируемой в квадратурах для значения параметра л/12ав = 1.

2.3. Подалгебра 3.6',Ь = 0. Представление инвариантного решения имеет вид (см. Приложение)

аУ . и1(г) У . vl(z) т1(г) . / ч У . р1(г)

и = и +~ъГ' v = 1 + — т = —■ р =^ р = ы + ~ьГ’

где а,Ь — произвольные постоянные.

После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему

/ / 1 (Л р1

т1и1 = и1 — av1, т1v1 = — -—, т1(1 — т1) = -—,

ЬР1 ЬР1

р1 т1 2 . ЬВ(т1 + 1)

— + — + — = 0, т1р1-----------—----- = р1 — Vl•

р1 т1 т1 р1

Ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры примут вид:

Х2 = ади1 — — дР1, Х3 = дх, Хи = гдх + и1дМ1 + vlдw1 + т1дад1 — Р1дР1 •

С помощью инвариантов нормализатора сделаем замену:

Р1 - *1

р2 — -------) Р2 — Р1^1-

ад1

Третий инвариант нормализатора мы использовать не будем, так как функция и1 входит только в 1-е уравнение, которое служит для определения и1.

Фактор-система (6) в новых переменных примет вид:

иу — и у — аУу, Уу — —~—,

1 Р2 — В Р2Р2

ЬР2’ 1 (р2 + В) Ь(р2 + В)’

, — _2р2 , — Р2Р2 + Вр2 + 2ЬВр2 + 1

Р2 ^і ’ Р2 ь(р2 +В) (р2 +В) (р2 +В) Ьр2

(7)

По аналогии с интегрированием системы (2) подалгебры 3.3; в системе (7) поделим 1-е, 2-е и 4-е уравнение на 3-е уравнение. Таким образом, перейдем от дифференцирования по переменной г к дифференцированию по переменной в — р2. Для определения р2 получим уравнение Риккати

—2Ь(в2 + В )р2. — р2 + ЬВр2в-1 + 1 + 2Ь2В + Вв-2.

Приведем последнее уравнение к каноническому виду с помощью следующей замены Рз — Р2 + (1/2)ЬВв-1

— 2Ь(в2 + В)рз. — р3 + 1 + 3Ь2В + ((3/4)62В + 1)Вв-2.

У последнего уравнения существует действительное частное решение р3 — (4Ьв)-1, при условии выполнения равенства на постоянные \/б&в — 1(В — —в2). Для того чтобы упростить запись, введем новую функцию Ф — Ф(в) такую, что

ф. - 1 5 1 3/2

2Ь| в2 - в2 | 7/4 ■

Тогда р2 — (3Ьв)-1 + 2ЬФ.Ф-1(в2 — в2). Из системы (7) определим оставшиеся функции

«1 — Ио|з|-1/2 + ^-^2--- J ^1|з|-1/2^в, «1 — «0 + ^0 J |в|-5/2Ф^в,

ад1 — |в|-1/2^0Ф, г — г0 — ^2° J |в|-3/2Ф^в,

где и0, «0,^0,г0 — постоянные. После подстановки найденных функций и1 ,^1,^1,р2,р2 в представление решения физические величины примут вид:

« — f + «00^ + / «.м-1/^,* — у + ^ / -8|-5/2ф^8,

Ы Ы 2Ы } 111 ’ г 2Ы} 1 1 ’

ю — , р — *!£13/!, г — ^0 [ -8|-з/2фЙ8,

г ^ф 2 ]

р — у Г |8|-з/2^Ф + — в2).

ьг 3о2г у г

Замечание. Так как интеграл | в |3/21 в2 — в2 |-7/4^в сходится при 5 > в и

/0 | в |3/21 в2 — в2|-7/4^з сходится при 0 < в < в, то функция г — г (в) будет монотонной

и, значит, обратимой на соответствующих интервалах.

Вывод. Фактор-система (6) является полностью интегрируемой в квадратурах, если выполнено равенство л/ббв — 1-

(8)

3. Подмодели, сводящиеся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений

Основным результатом данного параграфа является тот факт, что некоторые полученные системы являются линейными. Теория интегрирования линейных систем достаточно хорошо развита [5].

3.1. Подалгебра 3.1, с = 0, Ь = 0. Представление решения имеет вид

х - а 1п |г| и (г) у - 1п |г| VI(г) ^(г)

и =--------------1---, V =------------1-----, т =----------, р = гр1(г)

* г ’ г г ’ г ’

_ У - 1п |г| . Р1(г)

р Ь^ + ”

Подставим представление в УГД (1)

. . . 1 . р1

ад1и1 = а, = 1 — -—, тц1 — тм = -—,

Ьр1 Ьр1

р1 т1 3 . Ьв 2(т1 + 2)

— + — + — = 0, ^1Р1 + ^^-' - 1= Р1 - V!.

р1 т т р1

Ненулевые операторы нормализатора 6.7; в инвариантах подалгебры примут вид:

Х1 = -ди1, Х2 = - - др1, хз = дх •

Инварианты нормализатора имеют вид р2 = р1 - v1. Сделаем дополнительные замены

р2 = р1т1 и р2 = р1 - v1 + 1. В последней системе перейдем к дифференцированию по новой переменной в = в-1р2 и введем новую постоянную - = 3Ьв и функцию т2 = -ть В результате система примет вид:

/ а , 1 т , (2 в \ Р2

и1> = -э? ^ - -зв +-2?■ “’2‘ - в2-!] “’2 + 52-Г)■

/ _ ( 1 1 ^ вР2 , 1

Р2* ^3(в2 - 1) й2в2У т 3(в2 - 1) + 3в.

У последней системы имеются две квадратуры

и1 = ио - 33 1п |в|, Vl = Vo - 11п |в| + I, I = -^2 У ^вт“,

где и0^0 — постоянные.

Подмодель сводится к системе двух линейных уравнений с переменными коэффициентами

' - I 2 в ^ О. Р2

Ш2з = ( ------------------72----7 ) т2 +

3в в2 - 1) (в2 - 1) ’

, = ,___________________________. вР2 + ^_

р2* 3(в2 -1) ¿2з2; 2 3(в2 -1) + 3».

(9)

Физические величины примут вид

х - а 1п |г3“| у - 1п |г-3“| +1 т2 в-гв

и =------------------, V =------------------, т = —, р =-----------,

г г -г т2

у + р2 - 1п |г^ | +1

р-

Ьг

где р2, т2 определяются из системы (9). Связь между переменными в и г такова

1

г

Вывод. Фактор-система (8) сводится к системе двух линейных уравнений (9) и трем квадратурам.

3.2. Подалгебра 3.4, с = 0,Ь = 0. Подалгебра имеет представление инвариантного решения вида (см. Приложение)

а(У - 1п |г|) . и1(г) У - 1п |г| . ^(г) т1(г) , / ч

и = -----;--------1-;---, V =------------1--------, т =------, р = гр1(г),

Ьг Ьг г г г 1

_ У - 1п |г| . Р1(г)

р -—ЦТ- + ~ЬГ.

После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему

. . 1 / Р1

т1и1 = а + и1 - аv1, = 1 - -—, т1(1 - т1) = -—,

Ьр1 Ьр1 (10)

р1 т1 2 . ЬВ (т1 + 1)

— + — + — = 0, т1р1----------^= р1 - Vl + 1.

р1 т1 т1 р1

Ненулевые операторы пятимерного нормализатора в инвариантах подалгебры имеют

вид Х2 = - ади1 - д^ - дР1 , Х3 = дх .С помощью инвариантов нормализатора в системе

(10) сделаем замену р2 = р1 - v1 + 1, и2 = и1 - av1 и дополнительную замену р2 = р1т1.

Систему (10) запишем в виде разрешенном относительно производных по переменной

в = в -1р2

, и2 ат2 , 1 т2

423 = - ( - -V, = - 2в + -V ,

1 в р2

т2з = тт: - “2—7 т2 +

2" V25 52 -іу 52 - 1’

' - I 1 1 ^ 5Р2 2.

Р2в ^2(в2 - 1) ¿252У ^2 2(в2 - 1) + 2в’

где д = 2Ьв, ^2 =

Решения первых двух уравнений системы находятся в квадратурах

( а [ ^2(5) Л I 1-1/2 ^ I I . т т 1 [ ^2(5) ,

и2 = ^0- ^ у |в| ' , ^ ^ - 21п |в| + 7’ 1 = ^

где м0,^0 — постоянные. Оставшиеся уравнения образуют систему линейных уравнений второго порядка

“2' “ - в2-!,) т2 + в2-! ■

, _ , 1 1 \ вр2 2.

р23 \2(в2 - 1) -2в2У т2 2(в2 - 1) + 2в.

Связь между переменными в и г такова

г = г0 - (2-)-^ У в-1т2(в)-в,

где г0 — постоянная. Физические величины имеют вид

а ( | | |1/21 |в|—1/2 [ т2(в) \ и01в|—1/2

и = Ьг (у- 1п|г|в|1/21 +1 - V/ **) + *

(11)

ЬЬ V д2 і |5|3/2 у ЬЬ

у - 1пк|^|1/2| + 1 ^2(з)

ш = —3—, Р =

р

Ь ’ дЬ ’ и>2(з)

у - 1п |ф|1/2| + Р2(в) + 1

ьь ■

Вывод. Фактор-система (10) сводится к системе двух линейных уравнений (11) и трем квадратурам.

3.3. Подалгебра 3.4, с = 0, Ь = 0. Представление решения имеет вид а 1п |*| — ау «1(/) у — 1п |*| VI(I) ^(/) + г

И =------Ь*----+ ~ЬГ’ " = —Г“ + ~ и = —р =<Р1(/)-

_ г , Р1(1)

р = “7 + ,

с* с*

где I = у — 1п |*| — с-1Ьг.

Нормализатор у подалгебры 6-мерный. В инвариантах подалгебры ненулевые операторы нормализатора имеют вид

Ь

Х1 = —д«х ) Х2 = д1 — д^х ) Х3 = — — д^х — др1 •

В фактор-системе сделаем замены 7 = I + ^1 — Ьс-1и + 1,р2 = р1 — и^,р2 = 7р1, где

7, р2 — инварианты нормализатора,

г/ /7-1 р2 + / ь(р2 + ^!) — с 7/ о

7и1 = и1 — а, ^1 = 7---------------------------------------------, и =- -, 7р2 = — 2р2,

ср2 с2р2

/ , / Р2 сВ(+ 2) _

р2 + и1-----------7----------------= °-

7 Р2

Из первого уравнения находим квадратуру м1(/) = и0 ехр / 7-1^/ + а, где и0 — постоянная.

В оставшихся уравнениях обозначим р2 = в и поделим 2-е, 3-е и 5-е уравнения на 4-е уравнение. Получим систему линейных уравнений третьего порядка

с(7 + 1)

+ (6з + 1)^13 + р2з — —-

2

с

З(С2З - 6)^1з - Ьзр2з — 2і (12)

О т 2 2 _ сВІ . ЗР2

— 5 ^1з — 5 Р2з — 2 + 2"'

Связь между переменными в и I дается квадратурой

1 Г

I — !о — ~

2 У в

где 10 — постоянная.

Замечание. Если исключить из системы (12), то получим систему второго порядка для функций і и р2.

Вывод. Система (12) сводится к линейной системе двух уравнений и трем квадратурам.

3.4. Подалгебра 3.1/;. Представление инвариантного решения имеет вид (см. Приложение):

и — м1(г) ехр(—у), V — ^1(^) ехр(—у), и — и1(г) ехр(—у), р — р1(г) ехр(3у),

р — £1(2:) ехр( у) +

После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему

/ /2 р1 / /\ р1

и1и1 — и1 v1, — v1-----, — и1) — —

Р1 1/3 Р1 (13)

+ її + 2::1 — 0, 1 + + иіР; + Др‘ (и1 — ^ —0.

р1 и1 и1 3

Запишем ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры

X2 = uiöMl + vidvi + widwi — 3pidPl — p1dPl, X3 = dz•

Вычислив инварианты нормализатора, сделаем замену

1/3 1/3 1/3 -1/3

«2 = Pl «1, V2 = р/ V1, W2 = р/ W1, Р2 = Pl Pb

При исследовании подмоделей мы пытаемся понизить порядок системы с помощью нормализатора. Но у некоторых систем интегралы находятся без использования нормализатора. Из первого уравнения с помощью четвертого уравнения системы найдем интеграл w|w2 = Uo, где u0 — постоянная. Оставшиеся уравнения системы (13) в новых переменных примут вид:

/ Pl 2 г\ / 2 Pl / Pl г\

W2V2 - W2V2-------v2 + Р2 = 0, W2W2 - w2----------W2V2 + P2 + P20— = 0,

3р1 3р1 3р1

2p/

W2 + W2-------+ 2V2 = 0, (14)

3р1

, p1 B (w2 — v2) Bp1

1 + V2P2 + W2P2 + W2P2T-----1-----3--------W2-— = 0.

3р1 3 9р1

У системы (14) можно найти еще один интеграл слудующим образом: прибавим к первому уравнению, умноженному на v2, второе уравнение, умноженное на w2, и полученный результат упростим с помощью четвертого и пятого уравнений. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение ((v° + w° — B )w2)/ = 2. Интегрирование с точностью до переноса по z дает интеграл

2 2z 2 п

Vo = --- — Wo + B.

W2

Если у системы (14) найти все производные, то из уравнения для р1 получим квадратуру

( [ /^3vo P2V2 + 1 \

P1 = ро exp \-J + W2(W| — f)) dZ

В силу найденых интегралов остается два уравнения

/ 2 B / 2

(w2 — V)w2 = Ö(1 + P2V2),

B 3 3 (15)

3w2 (w° — — )p2 = P2 (1 + P2V2) — P2V2B — 3w° •

3

Уравнения системы (15) после исключения z в силу интеграла в переменных

s = w°, v2 = s-1/4V(s), p2 = s1/4p(s) примут вид

4s1/2V/ = —(3s — B)—P—, 4s5/4p/ = —B — (3S — B) •

V ;1+ pV’ 1 1+ pV

Вывод. Фактор-система (13) сводится к системе двух нелинейных уравнений.

3.5. Подалгебра 3.14. Подалгебра имеет четырехмерный нормализатор. Значит, должен определиться всего один интеграл. Но без использования нормализатора возможно найти два дополнительных интеграла подмодели.

Представление решения имеет вид (см. Приложение)

U = U1(r) exp(—0/а), V = V (г) exp(—9/а), W = W1(r) exp(—0/а),

р = р1(г) exp(30/a), p = p(r) exp(9/a) + t.

Ненулевой оператор нормализатора в инвариантах подалгебры имеет вид

X12 = U1dU1 + V1 ÖVl + W1dW1 — 3P1dp1 — P1dp1 •

Вычислив инварианты нормализатора сделаем замену

^2 = р1/3 и1; ^2 = р1/3>1, ^2 = Р^, Р2 = Р-1/3р1. После подстановки представления решения УГД (1) примут вид:

U2V2 pir U2W2 о VV/ , Р2 - V22 pir + , V2W2 W2

V2U2r-------------------------о-= 0, V2V2r + -о----+ P2--------------= ->

3 pi ar 3 pi ar r

W2V2 pi V2W2 p2 W22 , 2V2 pi 2W2 V2 , ,

V2w2r - ^ W, V2 + —pir + — + — = 0, (16)

3 pi r ar ar 3 pi ar r

1+ PV2 + ^^ ^ + B(V2-^pir - W + Ъ)=0.

3 pi ar 3 3 pi ar r

Запишем систему (16) в виде системы Коши-Ковалевской

.B 2. U2 1 .B 2. / .B 2. V2 2

(■3 - V2 )V2и2 = 3m, (-3 - V2 )V2 = -(■3 - V2 ) 3m>

3 U2 3 3 3 r 3

(B лг2\лгл*т/ (B ^p2 + aV2W2^ , W2

(y - V2 )v2w2 = -(^ - v2 )(—ar—) + t" m’

,B t,2nt, pi ,B тл2, 3W2

(3 - V2)V2pi = m - (- - V22)- 2

(17)

3 2/ pi v3 2/ ar ’

/B 2ч / /B 2. (p2 — B)

("3 - V2 )V2p2 = -("3 - V2 )-------3 m>

где m = 1 + (ar)-1p2W2 + (V22 + W22)V2r-1.

Из системы (17) видно, что функции U2 и pi определяются через квадратуры (следствие инвариантности относительно оператора X12)

, , mdr

U2 = Uo exp

^2(В - 3^22)

Р1 =Ро ехр(3/ (^(вт 3^)- а|)*

где Цо,ро — постоянные.

Первое уравнение системы (16) умножим на 2(U2V2)-1 и результат прибавим к четвертому уравнению, деленному на V2. Получим интеграл V2Uf = С'1г_1,С'1 — постоянная, который равносилен квадратуре для [/2. Второе и третье уравнения умножим на У1,Ж1 соответственно, сложим и результат подставим в 5-е уравнение, найдем еще один интеграл (V2 + Ж22 — В)У2 = г + С2г-1, где С2 — постоянная. Оставшиеся уравнения системы (16), с учетом найденных интегралов, образуют систему второго порядка.

/В 2. , ,В 2. V 2

("3 — ^2 )^2 = — (_3 — ^2 )~ 3т,

,в ТЛ2^ТЛ , В 2 (р2 — в)

(у — ^2 )^2р2 = — (у — ^2 ) 3 т-

Вывод. Фактор-система (16) сводится к системе двух дифференциальных уравнений,

двум квадратурам и интегралу.

4. Подмодели, сводящиеся к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений

4.1. Подалгебра 3.22;, с = 0. Для подалгебры 3.22; представление решения имеет вид (см. Приложение)

тт и1(г)+ X У1(г) ^1(г) х — Р1(г)

и =-----т-----------, V = —т~, W = —7—, Р = Р1(г)^ Р =-----:--•

г г г сг

Подставим представление решения в УГД (1)

1 , pi W2 V W

_П Т/Т// Т/ ^1 __ Г К 1 тгутг/ ГІГ _ 1-І I'M

1

V!и + — = 0, уу/ — V! — , уж — ж = —

1 сР1 1 сР1 г 1 г

V в2 V (18)

(Р1У)' + 2Р1 + Р^ = 0, Р1 + Ц — РУ1 + ^(1 + V' + -) = 0.

г Р1 г

Ненулевые операторы нормализатора 5.53' в инвариантах подалгебры имеют вид

Х1 = ди1 + дР1, Х11 = гдг + и15и1 + у15у1 + Ж15^1 — р15Р1 + р15Р1. Вычислив инварианты

нормализатора, сделаем замены

У У1 ж Ж Р1 + Ц

У2 = ---, Ж2 = ----, Р2 = Р1 г, Р2 = ----------•

г г г

Из первого уравнения системы (18) находим функцию

^г

Ui(r) = Uo -

СР2 У2 ’

где и0 — постоянная. Тем самым, использована инвариантность относительно оператора Х1. В новых переменных У2, Ж2,Р2,Р2, в = 1пг система (18) становится автономной системой

Wi, - ^ = W - V22 + V2 + - -5-2^,

Cp2 -p2 -2p2V2

V2W2, — W2 - 2V2W2, (p2V2), + p2V2 + 2p2 — 0, (19)

—B 1 —в2

V2p2, + У), = p2(1 - V2)--------------------1 (1 + 2V2).

s p2 s —p2 p2

Условие автономности возможно в силу инвариантности относительно оператора Xii. Поделим второе уравнение системы (19) на V2W2, а третье уравнение на p2V2, и, исключая V2, получим интеграл

p2V2W22 = Co exp-5s,

где C0 — постоянная. После подстановки функции W2, найденную из интеграла, в систему (19) получим систему третьего порядка

—Co exp 5s 1

—p2 V2V2, - P2, = 77 —p2V22 + —p2V2 + P2 -

У2 СР2У2

(Р2У2 Уз + Р2У2 + 2Р2 = 0,

Р2У2Р'2, + сВУ2 — Р2Р2(1 — У2) — с 1 + с^2(1 + 2У2).

У этой системы имеется особое решение, когда определитель матрицы при производных равен нулю:

Ц = Ц Т ^06г, У2 = —2, Ж = 0, Р2 = — 2, Р2 = Т4^06.

Физические величины примут вид

и = х Т 4У°6г, у = — 2г, Ж = 0, Р = — Ч, Р = х (20)

Г Г 2г сГ

Подмодель (18) имеет частное решение

Ui = -^-- C3, Vi = r, Wi = 0, pi = ^2, pi = C3, 4—C2 r4

Физические величины в данном случае примут вид

г4 X г С2Г X

Ц = — ^, У =7, Ж = 0, Р =—, Р ^-7. (21)

4сС2Г ГГ г4 сГ

Вывод. Фактор-система (18) сводится к системе трех уравнений, одному интегралу и одной квадратуре. Найдены 2 точных решения (20) и (21).

4.2. Подалгебра 3.3",6 = 0. Рассматривается подалгебра с четырехмерным нормализатором. У подалгебры с четырехмерным нормализатором найдено 2 интеграла. Один интеграл найден с помощью нормализатора, другой интеграл найден по аналогии с нахождением интеграла типа Бернулли. Представление инвариантного решения имеет вид (см. Приложение)

и = Ц1(г)ехр(а), V = у(г)ехр(а), Ж = Ж1(г)ехр(а), р = Р1(г) ехр(—3а),

а0 — х

Р = р1(г)ехр(—а) + Г, а = —-—.

о

Запишем ненулевой оператор нормализатора в инвариантах подалгебры

Х12 = и1ди1 + У1 ду1 + Ж1д^1 — 3Р1др1 — Р1др1.

Вычислив инварианты нормализатора, сделаем замену

Ц2 = р1/3Ц1, У2 = р1/3У1, Ж = р1/3Ж1, Р2 = р-1/3Р1.

Подставим представление решения в УГД (1) и, используя замену, получим фактор-систему:

Ц2 I ЛГТ Т' Ц2У2 Р1 | Р2 п

--Т П + У2Ц2-------3------+ Т = 0,

о 3 Р1 о

У2 + р1 + Р2 р1 Ж

ТП + у2у2 — 3--------+ Р2 + V — = -------,

о 3 Р1 3 Р1 г

Ж2 Т^ТЛг, Ж2У2 р1 ар2 У2Ж2

----— П + УЖ-------------------— =-----------, (22)

о 3 Р1 ог г

1,/ ВП , Т/ / , У2Р2 Рі , В (ЛҐ і У2 У2 РІ Л „

1 + (Р2 - 3)Т + У2р + ----+ 3(У2 +----------------Г —) = 0,

3 о 3 р1 3 г 3 р1

где п = и2 — аЖ2г-1.

У фактор-системы (22) найдем интеграл типа Бернулли. Умножим первое уравнение на и2, второе уравнение на У2, третье уравнение на Ж2. Сложим полученные уравнения.

Из полученного вычтем пятое уравнение. Затем исключим величину пО-1 + У2р1р-13-1,

найденную из четвертого уравнения. В результате получим интеграл

У2(|и |2 — В ) = г + Сг-1,

где С — постоянная.

Запишем в новых переменных оператор Х12 = р15Р1. Значит, в системе (22) исключается величина р-1р1. Для р1 получим квадратуру

к — (В — 3У22 )пО-1

V

р1 = ро “РІ ' У2( В — У22) *

Останется система трех уравнений, в силу полученного интеграла:

(| — V? )У2 = —(| — уй ^ — “

(| — V« = (В — у?)( “Рi—^^,

(В — №р2 = —(В — .

У системы имеется особое решение при У2 = в, 3в2 = В. При этом физические величины примут вид

Ц = и2р-1/3 ехр(а), V = вР-1/3 ехр(а), И = И2р-1/3 ехр(а),

, ) , 3 > о (г + в (в2 + И-’!)) 1/3 ( ч Г <23)

р = р1(г) ехр(—3а), р = —о-----р1 ехр(—а) + Г,

гп

где Ц2, И2,р1 — произвольные.

Вывод. Фактор-система (22) сводится к системе трех уравнений, одной квадратуре и интегралу. Найдено точное решение (23).

5. Подмодель для самонормализованной подалгебры

Рассматривается самонормализованная подалгебра 3.26. Представление инвариантного решения имеет вид (см. Приложение)

и = и^К, V = У(в)га, И = И1(в)га, р = Р1(в)г(^-2)а,

р = р1 (в)га^ + Г, а = ——, в = Х.

7+1 г

УГД (1) редуцируются к виду:

(и — -У^ + а^У + ^ = 0,

1 р1

(и — -У )У/ + аУ2 — -Р1 + «7 — = Ж?,

р1 р1 (24)

(и — -У Ж + (а + 1)У ^1 = 0,

((и — -У )р 1) + (а(7 — 1) + 2)р 1У1 = 0,

1 + (и — -У)р1 + «7Р 1У1 + В7р^ (и{ + (а + 1)У — -У/) = 0.

Поделим третье уравнение системы на (и1 — -У1)Ж1, четвертое на (и1 — -У1)р1 и, исключая величину (и1 — -У1)-1У1, получим интеграл

(и — -У)р1 = ЖЖ(3г+1)а,

где Ж0 — постоянная. Значит, система (24) сводится к системе четвертого порядка.

Если в полученном интеграле положить Ж1 = 0, то найдем точное решение при 7 = 1/7:

/ \ — 1 Т т Т Г _ р0 лг _ 0 / 0 1/7 р0

и1 = -Уl, р1 = 4/ о | ^ , У1 = — 2 [ Вр1-------------

^¡2+^ V ^¡2+1

12Р1(в2 + 1)5/4 = В2 2/7 + Р0 _ 2ВР1/7Р0

Ро Р1 -\/в2 + 1 У в2 + 1

Замечание. Полученное точное решение совпадает с особым решением системы (24). Если в интеграле положить 7 = 1/7, тогда (и1 — вУ1)р1 = И0. Четвертое уравнение системы (24) обращается в тождество и останется система четвертого порядка.

Вывод. У фактор-системы (24) найден один интеграл и точное(особое) решение.

6. Приложение. Таблица трехмерных подалгебр с одним инвариантом,

зависящим от независимых переменных

3.6 ; (и — х + ау)г-1, ^г-1/^, адг-1/^; рг(2-^)/^, (р — у)г-1 =3.6

3.7 ^¿7/(1-7); мг-1/^; р^2-^^, (р — у)г-1 =3.7

3.14 —* 7 = — 1 : г; иехр(0/а); рехр(—30/а), (р — ¿) ехр(—0/а) 7 = — 1, в = (7 + 1)-1 : 0 + ав 1п |г|; иг-в; рг(2-т)в, (р — ¿)г-^в 4.52

3.24 а = 1/7 : 0 + аа 1п |г|; иг-а; рг(2-^)а, (р — х)г-1 4.60

3.26 а = (7 + 1)-1 : хг-1; иг-а; рг(2-^)а, (р — ¿)г-“^ =3.26

3.29 г^7/(1-т); и^г-1; р^-1 г1/(^'), (р — х)г-1 =3.29

3.1' с = 0, Ь = 0 : г; ¿и — х + а 1п ^|, ¿V — у + 1п |^|,¿ад; р£-1, Йр — у + 1п ^| с = 0 : у — 1п ^| — Ьс-1г; ¿и — х + а 1п |¿|, ¿V — у + 1п ^|, ¿ад — г; р¿-1, c¿p — г 6.7', а = 0

3. г; ¿и — х + 1п ^|, ¿V — у, ¿ад; р¿-1, а¿p — у 6.7,а = 0

СО 3. г; ¿и — х, ¿V — у, ¿ад; р¿-1, a¿p — у 7.8'

3. с = 0, Ь = 0 : г; — а/, ¿V — I, ¿ад — г; р¿-1, b¿p — / с = 0 : / — Ьс-1г; c¿и — аг, c¿v — Ьг, ¿ад — г; р¿-1, c¿p — г, 1 = у — 1п |¿| 5.14', а = Ь = 0

3. Ь = 0 : г; — ау, ¿V — у, ¿ад; р¿-1, Ь¿p — у 6.22'

3. а, Ь = 0,: ¿г-(“+1)/“; (¿и — х)г-1, (¿V — у)г-1, адг1/а; рг1/а, (Ь¿p — у)г-1 4.36'

3.8' 1- ¿ 3 1- у) 1 ¿1 ,( 17 "1у 1 1 с- ¿р Ьс (с 1 1 -3 ■+о -Л ^ ;( р 111-¿ 0 = с а, 4.37'

3. ^2 + с2 + а2 = 0 : ¿, (а^и — х) + в)г-1, (а^ — в^)г-1, аадг-1, рг, (ар — в)г-1, а = ^¿2 + c¿ — а, в = ¿у — ах Ь2 + е2 = 0 : ¿; ((e¿2 — Ь)^и — х) + ¿г — Ьх) /-1, ((e¿2 — Ь)^ — ^¿г + ^Ьх) /-1, (^¿2 — Ь)ад — e¿z + еЬх) /-1, р/, (^¿2 — Ь)р — ¿г + Ьх) /-1, / = а^г — Ьх) — в(e¿2 — Ь) =3.9'

3.10' 1- )/ у) 1 (р р, / 1- )/ у) Ь у 1 £ ^ 1 1- = / 1- )/ у) а 1 ¿; 0 = Ь =3.10'

3.11' ¿; (и — ау)г-1, г^-1, адг-1; рг, (р — у)г-1 4.44'

^ ° со „о (у — 2-1^2)г-1; (и — a¿)z-1/2, (V — ^)г-1/2, адг-1/2; рг1/2, (р — ¿)г-1/2 =3.12'

3.13' а = 0 : г ехр ¿; (аи — Ьу) ехр ¿, V ехр ¿, ад ехр ¿; р ехр ¿, (ар у) ехр ¿ 4.44'

3.16' 0 + 2-1а 1п |г|; ( / — Ь¿)г—1/2, Уг-1/2, Жг-1/2; рг1/2, (р — ¿)г-1/2 4.47'

3.18' 1- ¿ г р 1- г ¿ 1- г ¿ 1-)г 1-)г х) х) 1 1 ¿¿ ( (Ьр 1г ¿| 1п а 1 0 0 = Ь 4.49'

3.19' с = 0 : (Ь +1)1п |г| — Ь 1п |¿| — а0; ( / — ср^г ^^¿г ^^¿г 1; р^-1, (cp¿ — х)г-1 4.49'

3.20' (х — 2-1¿2)г-1; ( / — ¿)г-1/2, Уг-1/2, Жг-1/2; рг1/2, (р — ¿)г-1/2 =3.20'

3.21' с = 0, а2 + b2 = 1 : r; Ut — x + а0 + bln |t|, Vt, Wt; pt-1, ctp — x + a0t + b ln |t| 4.47 а = b = 0

3.22' с = 0 : r; Ut — x, Vt, Wt; pt-1, cpt — x 5.53'

3.23' —* 1 1 b ln |r| — а0 + t; [/r-1; pr, (p — x)r 4.60,7 = 1

3.1'' z;uexp(y);pexp(—3y), (p — ^ехр(—y) 5.32 7 = —1

.3' 3. 1- b oT e 1 (x p( x e 1 t) 1 со - p r; 0 = b 4.52 7 = —1 а = b = 0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: ГИТТЛ. 1955. 804 с.

2. Хабиров С.В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Препринт института механики УНЦ РАН. Уфа. 1998. 33 с.

3. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. 399 с.

4. Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике. Уфа: Гилем. 2003. 192 с.

5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.

М.: ФИЗМАТЛИТ. 2002. 256 с.

Лилия Зинфировна Уразбахтина,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450025, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]