CC BY
72
ОБЗОРЫ
УДК 159.9
ИНТУИТИВНОЕ ЧУВСТВО ЧИСЛА: ПРОБЛЕМЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОНТРОЛЬ ВИЗУАЛЬНЫХ СВОЙСТВ
Ю.В. КУЗЬМИНА* ФГБНУ «Психологический институт РАО», Москва
В обзоре обсуждаются исследования, касающиеся различных аспектов измерения интуитивного чувства числа (ИЧЧ) - способности оценивать количество объектов без точного подсчета. В частности, рассмотрены различные типы заданий и показатели, используемые для оценки ИЧЧ. Одной из центральных тем исследований, касающихся ИЧЧ, в настоящее время является вопрос о том, в какой степени приблизительная оценка количества связана с визуальными свойствами предъявляемых стимулов. Анализ различных исследований показывает, что тип заданий и особенности контроля визуальных свойств должны быть учтены при оценке развития ИЧЧ и сравнении результатов различных исследований.
Ключевые слова: интуитивное чувство числа, визуальные свойства, эффект конгруэнтности, математические достижения.
Введение
В настоящее время один из основных конструктов, который рассматривается как возможный базовый предиктор математических способностей, - это «чувство числа». В широком смысле чувство числа - это врожденное умение, существующее у людей, приматов и некоторых других животных, оценивать приблизительное количество объектов, не прибегая к их подсчету [9]. В исследовательской литературе часто употребляется термин «интуитивное (или несимволическое) чувство числа» (Approximate Number Sense), под которым подразумевается умение дискриминировать и сравнивать наборы объектов без использования символической числовой системы и точного подсчета [26].
Интуитивное чувство числа, по мнению многих исследователей, может являться одним из важных специфичных ранних предикторов дальнейших математических
© Кузьмина Ю.В., 2018
* Для корреспонденции:
Кузьмина Юлия Владимировна
мл.н.с. ПИ РАО
E-mail: [email protected]
достижений [34, 51, 58]. Однако, наряду с обнадеживающими исследованиями, показывающими, что интуитивное чувство числа связано с математическими достижениями, существует ряд исследований, в которых не удалось найти значимой связи [1, 45, 46]. Возможно, что противоречие в результатах связано с различиями в понимании самого конструкта и особенностями его измерения в различных исследованиях.
В настоящей статье будет проведен обзор исследований, в которых рассматривались вопросы надежности и валидности используемых тестов для измерения ИЧЧ. В частности, исследователи задаются вопросами о том, что именно измеряют используемые тесты: умение приблизительно оценивать количество объектов или в дополнение к этому другие когнитивные навыки? В какой степени визуальные параметры предъявляемых стимулов могут изменить оценку количества и исказить оценку этой способности у людей? Возможно ли сравнение результатов тестов на ИЧЧ между взрослыми и детьми в случае использования разных типов заданий? Ответы на эти вопросы могут прояснить механизмы, обеспечивающие умение человека оценивать
количество объектов без подсчета и его связь с математическими достижениями.
Задания на измерение ИЧЧ
Обсуждая способность индивидов воспринимать и оценивать количество объектов, исследователи различают несколько возможных стратегий. Первая стратегия связана с точной оценкой малого количества объектов без их подсчета (subitizing). В исследованиях показано, что большинство индивидов способно быстро и правильно определить количество объектов без их точного подсчета в случае, если количество объектов не больше четырех (по некоторым данным не больше трех) [44]. Некоторые исследования показывают, что нейрофизиологические механизмы, обеспечивающие сравнение больших и маленьких множеств, различаются [29, 30, 35].
Иная стратегия, стратегия подсчета, используется для оценки количества в случае увеличения числа объектов. По данным исследований, эта стратегия требует большего времени и эффективна только в случае последовательного переключения внимания с одного объекта на другой, что предполагает четкое восприятие каждого объекта в множестве [47, 48]. Однако при наличии большого количества объектов может быть использована и иная стратегия - приблизительная оценка количества. Приблизительная оценка количества - более быстрая, чем стратегия подсчета, но она обладает меньшей точностью [59]. Согласно мнению Clayton S. et al. (2015) [8], при быстрой, но приблизительной оценке большого количества объектов используются иные стратегии распределения внимания, чем при точном подсчете.
Для исследования способности оценивать количество объектов без их подсчета используются разнообразные варианты «теста точек». Один из самых распространенных типов таких заданий - тесты на дискриминацию множеств, к
которым относится известный тест «сине-желтых точек» - «blue-yellow dot test» (например, [26]). В тестах на дискриминацию происходит сравнение двух одновременно или последовательно предъявляемых наборов точек, а индивид должен указать тот, в котором их содержится большее количество.
Второй тип используемых заданий
- задачи на идентификацию сходства (same-different задачи). В этом типе задач индивид должен решить, содержат ли два последовательно предъявляемых набора одинаковое или разное количество точек (например, [50]). Еще один тип заданий
- задания на идентификацию изменений (detection task), которые могут использоваться для детей, не освоивших понятие «больше-меньше». В этих типах заданий индивиду в течение некоторого времени предъявляется «базовый» набор, содержащий определенное количество объектов. После некоторого промежутка времени предъявляется набор, который может отличаться в большую или меньшую стороны от базового. Индивид должен решить, отличается ли каждый предъявляемый набор от базового. В случае, когда в исследовании участвуют младенцы, реакцию на изменение количества отслеживают по продолжительности времени, в течение которого младенец смотрит на набор [60].
Более сложный тип заданий, который могут выполнять индивиды, освоившие арифметические операции, - это задания на приблизительную арифметику (сложение, вычитание, умножение). В этих заданиях индивиду предъявляются последовательно три набора точек. Индивид должен произвести арифметические действия с первыми двумя наборами (например, отнять или прибавить) и сравнить полученные результаты с количеством объектов в третьем наборе [21, 24].
Для оценки точности выполнения заданий в тестах на ИЧЧ применяется несколько показателей: пропорция правильных ответов, время реакции или фракция
Вебера. Фракция Вебера может варьировать в пределах от 0 до 1: чем ближе этот показатель к 1, тем менее точной является оценка количества. Фракцию Вебера можно интерпретировать как или минимальную разницу между двумя множествами, которую может воспринять индивид, или как стандартное отклонение («шум») для оценки любого количества на ментальной числовой линии. Фракция Вебера позволяет сравнивать результаты тестов на чувство числа при использовании различных стимульных наборов. Тем не менее некоторые авторы указывают на недостатки в употреблении этого показателя точности. В частности, обращается внимание на то, что этот показатель не может быть рассчитан для индивидов, которые дали менее 50% правильных ответов в тесте [31]. Имеются работы, в которых выявлено, что пропорция правильных ответов сильно коррелирует с фракцией Вебера; поэтому иногда может быть применен только какой-то один показатель [56].
Исследователями выделено несколько закономерностей, касающихся точности и времени реакции в заданиях на ИЧЧ. Одной из основных закономерностей является эффект размера (size effect), заключающийся в том, что индивиды точнее и быстрее сравнивают наборы, в которых содержится меньшее количество объектов (например, [9]). Также обнаружен эффект числовой пропорции (Numerical Ratio Effect), заключающийся в том, что по мере возрастания пропорции между двумя количествами, возрастает время реакции и число ошибочных ответов. Чем ближе друг к другу сравниваемые подмножества, тем труднее их различить (например, [36]). Сходный с ним эффект - эффект дистанции между числами (Numerical Distance Effect) - заключается в том, что уменьшаются время реакции и число ошибок, если сравниваемые подмножества далеки друг от друга [10].
В ряде работ показано, что по мере развития эффект пропорции становится ме-
нее выражен, то есть взрослые способны оценивать сходные подмножества более точно, чем дети [25, 27, 42]. Индивидуальные различия в эффекте дистанции и эффекте пропорции коррелируют с результатами решения более сложных математических задач [2, 10, 11].
Сравнимы ли результаты разных тестов?
Сравнимость результатов разных тестов - очень важная проблема, поскольку достаточно часто один и тот же конструкт или умение измеряется разными тестами и заданиями. Например, для измерения ИЧЧ у детей часто используются задачи на идентификацию изменений, а у взрослых - на дискриминацию или сравнение множеств. Для того чтобы сравнивать показатели ИЧЧ у детей и взрослых, необходимо убедиться в том, что задания разного типа измеряют один и тот же конструкт, а результаты обоих тестов будут иметь сильную корреляцию на одной и той же выборке. К сожалению, в настоящее время отсутствуют доказательства того, что результаты разных типов заданий на измерение ИЧЧ или разных протоколов одного и того же типа заданий можно сравнивать.
В частности, Smets et al. (2014) изучали два типа заданий (сравнение множеств и идентификацию сходства) на одной выборке и установили, что хотя по отдельности эти задания обладают хорошей надежностью расщепленных половин, результаты по этим двум тестам мало коррелируют [50]. Gebius and Van Der Smagt (2011) также использовали разные типы задач на одной выборке и обнаружили, что задачи на сравнение и идентификацию сходства мало связаны, в то время как задачи на идентификацию сходства и задачи на идентификацию различий продемонстрировали сходные результаты. При этом индивиды показывали гораздо худшие результаты в задачах на идентификацию различий, чем в задачах на сравнение. Указанные авторы предположили, что сравнение показателей чувства числа у детей, для которых исполь-
зуются задания на идентификацию различий, и у взрослых, для которых используются задания на сравнение, должно проводиться осторожно, поскольку эти задания отличаются своей трудностью и, возможно, измеряются разные конструкты [19]. Учитывая, что результаты заданий двух типов (на сравнение и идентификацию) мало коррелируют у одних и тех же лиц, можно предположить, что они измеряют разные способности, либо задействуют, помимо системы приблизительной оценки количества, другие когнитивные ресурсы.
Корреляция между заданиями на сравнение множеств и приблизительную арифметику зависит от возраста участников. Gilmore, Attridge and Inglis (2011) нашли, что на взрослой выборке нет значимой корреляции между точностью выполнения заданий на сравнение множеств и заданий на приблизительную арифметику, даже в ситуации, когда использовались одни и те же стимулы [21]. В то же время на детской выборке подтверждена значимая корреляция между заданиями на сравнение множеств и приблизительную арифметику [24].
Кроме того, получены данные о том, что даже при использовании одного типа заданий (на сравнение множеств) результаты могут очень сильно различаться в зависимости от того, как предъявляются сравниваемые множества. Price et al. (2012) [43] исследовали показатели заданий на сравнение множеств в трех условиях: последовательном предъявлении, одновременном предъявлении и смешанном предъявлении (точки двух цветов перемешаны). Они получили результаты, показывающие, что эффект пропорции может существенно различаться для трех условий, выполненных одними и теми же людьми. По их мнению, эти различия вызваны не тем, что разные типы заданий измеряют разный конструкт, а тем, что выполнение заданий в разных условиях задействуют дополнительно разные когнитивные ресурсы. В частности, при последовательном предъявлении наборов точек задействуются ресурсы рабочей па-
мяти, чего нет в условиях одновременного предъявления двух наборов. Авторы исследования делают вывод о том, что несмотря на различия в результатах различные варианты заданий измеряют один и тот же когнитивный процесс. Они полагают, что задания на одновременное предъявление двух наборов точек (как происходит в тесте сине-желтых точек) требуют наименьшего вовлечения других когнитивных процессов, помимо способности приблизительной оценки количества.
Проблема контроля визуальных свойств
Существенным фактором, способным изменить оценку умения приблизительно оценить количество объектов, представляется способ контроля визуальных характеристик предъявляемых стимулов. Некоторые исследователи считают, что невозможно четко отделить процесс оценки количества объектов от оценки визуальных свойств самих объектов или множеств, в которые эти объекты объединены [18, 28, 54]. Для того чтобы оценить, в какой степени выбор большего/меньшего набора объектов связан с визуальными параметрами, в некоторых исследованиях проводились эксперименты с манипулированием визуальными параметрами объектов, такими как размер объектов, плотность расположения, совокупная площадь или поверхностная площадь (convex hull).
Обычным методом контроля визуальных параметров служит сочетание стимулов, в которых визуальные свойства позитивно коррелируют с количеством объектов (конгруэнтные условия) и стимулов, в которых визуальные свойства негативно коррелируют с количеством объектов (неконгруэнтные условия). В тесте сине-желтых точек (протокол Panamath) по умолчанию в 50% попыток визуальные свойства (а именно - совокупная площадь включенных в набор точек) не коррелируют с количеством объектов (например, [26]). В дополнение к контролю совокуп-
ной площади некоторые исследователи также учитывают поверхностную площадь [7, 22] или их диаметр и плотность расположения, хотя эти два показателя тесно коррелируют с совокупной площадью [17].
Ряд исследований показывает, что в заданиях на сравнение количества люди подвержены сильному эффекту конгруэнтности, что выражается в том, что точность выполнения заданий на выбор наибольшего набора значимо выше, а время реакции меньше в конгруэнтных условиях, чем в неконгруэнтных [15, 17, 54]. В более ранних исследованиях эффекта конгруэнтности исследователи контролировали только какой-то один параметр, например, размер объектов в наборах или совокупную площадь (например, [28]). Так, Hurewitz, Gelman, Schnitze (2006) в серии экспериментов установили, что индивиды оценивают как больший тот набор, в котором содержатся круги большего диаметра или которые имеют большую совокупную площадь. При этом показано, что влияние континуальных (визуальных) свойств на оценку дискретных (количества) больше, чем обратный эффект (влияние дискретных свойств на оценку континуальных) [28].
Более поздние исследования показали, что, сравнивая количество объектов, человек может учитывать несколько визуальных свойств, которые могут давать противоречивую информацию о количестве. Например, в стимульном материале, предложенном Gebuis, Reynvoet (2011) [16]: в 25% попыток набор, содержащий большее число точек, обладает меньшей совокупной и поверхностной площадью (неконгруэнтные условия по двум визуальным параметрам); в 25% попыток наибольший набор имел большую поверхностную площадь, но меньше совокупную (неконгруэнтные условия по совокупной площади и конгруэнтные по поверхностной); в 25% попыток наибольший набор имел меньшую поверхностную, но большую совокупную площадь (конгруэнтные - по совокуп-
ной, неконгруэнтные - по поверхностной); в 25% попыток набор, содержащий больше точек, обладал большей совокупной и поверхностной площадью (конгруэнтные по двум условиям). Таким образом, в этом протоколе условия могли быть конгруэнтными по одному визуальному свойству и неконгруэнтными - по другому [16].
Szucs е! а1. (2013) [54] использовали этот протокол для сравнения точности ответов детей и взрослых в конгруэнтных и неконгруэнтных условиях. Они обнаружили, что в конгруэнтных условиях точность была достаточно высока как для детей, так и для взрослых, даже в случае, когда пропорция между сравниваемыми наборами была высокой. Для неконгруэнтных попыток точность значительно снижалась, особенно для наборов, которые содержали близкое число точек. Для пропорции, равной 0,88, точность была меньше уровня случайного угадывания и составила 40% для взрослых. Для детей точность ответов в неконгруэнтных попытках была еще ниже, чем у взрослых, и составила от 20 до 45% в зависимости от пропорции между двумя наборами. Указанные авторы подчеркивают, что в ситуации, когда визуальные стимулы контролируются строже, чем обычно, даже взрослым становится трудным извлечь информацию о количестве в случае, если она противоречит визуальным параметрам.
По мнению некоторых исследователей, при использовании разных тестов на точность ИЧЧ необходимо учитывать, как и какие именно визуальные параметры стимулов контролируются, поскольку способ контроля может существенно влиять на точность оценки количества, так же, как и разные визуальные свойства имеют разный эффект на оценку количества (например, [7, 54]). В условиях, когда контролируется несколько визуальных параметров, точность ответов значимо ниже, чем при условии контроля одного визуального параметра, но этот эффект может проявляться по-разному в условиях одновременного
и последовательного предъявления сравниваемых наборов [7, 49].
Smets, Moors, Reynvoet (2016) [49] рассматривали различия в точности и времени реакции в условиях контроля одного визуального параметра и нескольких визуальных параметров. Они сравнивали различия между двумя условиями в ситуации одновременного и последовательного предъявления стимулов. Согласно их данным, различия между двумя условиями выше в ситуации, когда стимулы предъявляются одновременно, хотя точность ответов выше при контроле одного визуального свойства и в последовательном, и в одновременном предъявлении. Время реакции было больше в условиях контроля нескольких визуальных свойств, но эти различия были значимы только в ситуации одновременного предъявления. Надо также отметить, что корреляция между точностью ответов в двух условиях была ниже при одновременном предъявлении. Таким образом, исследователями был сделан вывод, что тип контроля визуальных свойств имеет больший эффект для оценки ИЧЧ в условиях одновременного предъявления сравниваемых наборов.
Важность учета нескольких визуальных параметров подчеркивалась в работе Clayton, Gilmore and Inglis (2015) [7]. Они сравнивали точность сравнения двух наборов объектов в двух разных протоколах. В одном протоколе контролировался только один параметр - совокупная площадь, для чего использовался протокол Panamath, и протокол Gebuis, Reynvoet (2011), в котором контролировались поверхностная и совокупная площади. Они не обнаружили значимых корреляций в результатах выполнения тестов по этим двум протоколам. На основании этого Clayton et al. сделали вывод о том, что эти два теста измеряют разные когнитивные конструкты. Они также нашли, что есть значимые различия в ретестовой надежности для двух протоколов. Для протокола Panamath ретестовая надежность была очень низкой - 0,286. Ими
еще представлено доказательство наличия эффекта конгруэнтности для поверхностной площади для обоих протоколов. Эти авторы предположили, что учет поверхностной и совокупной площади является ключевым моментом при оценке эффекта конгруэнтности.
Ряд исследований показал, что «вклад» различных визуальных свойств в оценку количества неравнозначен. Gilmore et al. (2016) сравнивали эффект двух визуальных параметров - поверхностной площади и совокупной площади - для оценки количества в заданиях на сравнение множеств [22]. Ими было найдено, что эффект конгруэнтности в большей степени характерен для поверхностной площади. Этот эффект остается значимым как для детей, так и для взрослых. Что касается эффекта совокупной площади, то с возрастом умение игнорировать нерелевантные характеристики совокупной площади (то есть когда площадь не коррелирует с количеством) развивается.
В другом исследовании было также выявлено, что оценка количества в большей степени связана с оценкой поверхностной площади, чем с оценкой размера точек [6]. При этом вклад этих двух визуальных свойств варьировал в зависимости от размера сравниваемых наборов. В случае, если два набора содержали достаточно большое количество точек (от 40 до 80), то поверхностная площадь оказывала сильный эффект на оценку количества. В ситуации, когда размер сравниваемых множеств был мал (от 10 до 19 точек), эффект поверхностной площади был менее заметен, а эффект размера точек становился значимым.
Некоторые авторы полагают, что в задачах на сравнение множеств невозможно полностью создать такие условия, чтобы все визуальные свойства предъявляемых стимулов были одинаковыми, а численность объектов различалась [33]. Leibovich and Henik (2013) предположили, что существует единый процесс, включающий в себя оценку физических свойств и оценку чис-
ленности. Более того, они считают, что в реальной жизни для приблизительной оценки количества вполне достаточно оценки визуальных свойств [33]. Невозможность отделить процессы оценки физических свойств объектов от оценки количества может означать, что низкие показатели в способности сравнивать количество объектов связаны не с недостаточной способностью соотносить численность объектов с символическим обозначением (числом), а с недостаточным механизмом соотнесения физических визуальных свойств и символической числовой системой [18].
Ряд нейрофизиологических исследований подтвердил то, что информация о количестве может восприниматься только опосредованно, через переработку информации об иных визуальных свойствах. В частности, Gebius and Reynvoet (2012) в серии экспериментов с помощью метода вызванных потенциалов оценили изменение в амплитуде N1 и P2 компонентов в заданиях на сравнение двух наборов объектов в условиях манипуляции визуальными параметрами и условиях изменения количества объектов [15]. Данные этой работы говорят о том, что изменение амплитуды N1 и P2 компонентов связано только с изменением визуальных свойств сравниваемых наборов. Реакция на изменение количества объектов возникает только тогда, когда оно связано с изменением визуальных свойств. На основании этих результатов был сделан вывод о том, что не существует отдельной системы оценки количества объектов, независимой от оценки визуальных свойств; вместо этого суждение о количестве основано на оценке различных визуальных параметров.
Имеются наблюдения, в которых определено, что оценка количества связана с оценкой визуальных параметров. Это привело к появлению теории сенсорной интеграции [14], согласно которой, разные сенсорные стимулы используются для того, чтобы вынести суждение о количестве. Каждое сенсорное свойство имеет какой-то
вес; те свойства, которые сильнее связаны с количеством, имеют больший вес и играют большую роль при определении количества. Сенсорные качества, которые негативно связаны с количеством (например, в меньшем наборе диаметр точек больше), имеют негативный вес. Финальный баланс весов приводит к решению о том, какой из наборов содержит наибольшее число объектов.
Некоторые авторы, рассматривая процесс приблизительной оценки количества, выделяют в нем две стадии: сенсорную стадию и стадию нормализации (например, [41, 52]). На первой стадии при оценке количества обрабатывается визуальная информация об объектах: оценивается их размер, плотность распределения, совокупная площадь. Эта информация может искажать оценку количества, и для того чтобы скорректировать эти искажения, нужна вторая стадия - стадия нормализации. На этой стадии искажающая сенсорная информация удаляется и остается только оценка количества, независимая от оценки сенсорных свойств.
В большинстве исследований выводы о связи оценки визуальных параметров и оценки количества следуют из наблюдений эффекта конгруэнтности. В то же время надо отметить, что в некоторых работах эффект конгруэнтности не был обнаружен или получены обратные данные, что точность возрастает в неконгруэнтных попытках (например, [39]). По мнению Clayton, Gilmore and Inglis (2015), это может быть связано с тем, что в указанных исследованиях не удалось в полной мере контролировать поверхностную площадь. Отсутствие эффекта конгруэнтности может быть также связано с методами, используемыми для контроля визуальных свойств [7].
Одна из гипотез, выдвинутых относительно присутствия эффекта конгруэнтности, касается того, что при сравнении множеств в неконгруэнтных условиях участники могут задействовать систему подавления нежелательных стимулов
(inhibitory function), для того чтобы оценить количество объектов отдельно от визуальных свойств [7, 23]). В неконгруэнтных условиях, так же, как и в известном тесте Струпа, индивид для того, чтобы вынести суждение о количестве, должен отсеять нерелевантную визуальную информацию. В таком случае задания на сравнение множеств в неконгруэнтных условиях измеряют не только (и не столько) умение приблизительно оценить количество, но и способность подавлять нежелательные стимулы.
В то же время имеется ряд исследований, в которых показано, что возможность оценивать количество объектов, например, в заданиях на сравнение или идентификацию различий, существует независимо от оценки визуальных свойств. В частности, некоторые исследователи говорят о том, что имеется отдельная система для прямой оценки количества отдельно (или параллельно) от системы оценки других визуальных свойств объектов [3, 40, 57]. В частности, Viswanathan & Nieder (2013) [57] записывали активность отдельных нейронов в вентральной вну-тритеменной области (ventral intraparietal area) и в префронтальной и задней теменной коре (prefrontal and posterior parietal cortex) у приматов во время выполнения заданий на сравнение множеств точек. Результаты исследования продемонстрировали, что нейроны в обеих областях реагируют на количественную информацию. Множественность первоначально вызывает отклик вентральной внутритеменной области, что может свидетельствовать о том, что информация о количестве идет от теменной к лобной доле. Информация о количестве, таким образом, присутствует как отдельная перцептивная категория в выделенной теменно-лобной системе. Эта система может формировать биологические основания чувства числа, позволяя приматам интуитивно оценивать число визуальных объектов. Авторы исследования предполагают, что «числовые» нейро-
ны развиваются спонтанно и естественно внутри визуальных нейронных структур, обеспечивая возможность приматов, новорожденных и людей из культур, не имеющих чисел, оценивать визуально число объектов.
Park et al. (2015), используя метод вызванных потенциалов, установили, что человеческий мозг более чувствителен к изменению количества, чем к изменению других визуальных свойств, и что реакция на изменение количества появляется раньше, чем реакция на изменение других свойств. Они полагают, что существуют нейрофизиологические механизмы для быстрой и прямой оценки информации о количестве [40].
Наличие различных механизмов для оценки количественности и визуальных свойств было также подтверждено в исследовании глазодвигательных реакций [38]. Результаты показали, что глазодвигательные реакции значимо различаются в заданиях на дискриминацию количества и на дискриминацию площади, даже в ситуации, когда участникам предъявлялись одни и те же стимулы. В частности, в задании на сравнение количества зарегистрировано большое количество переключений с одного объекта на другой и много коротких саккад. В заданиях на сравнение совокупной площади были зафиксированы более длительные саккады, но их было меньше, так же, как и меньше переключений. Интересно, что различия в количестве переключений в двух разных типах заданий были зафиксированы только для неконгруэнтных условий. На основании этих результатов был сделан вывод о том, что, оценивая количество объектов, человек способен переключаться с одного алгоритма на другой. В случае, если площадь может быть информативной для оценки количества, индивид будет пользоваться этими параметрами для суждений о количестве. В ином случае индивид способен выносить суждения о количестве независимо от оценки визуальных свойств [38].
Эффект визуальных свойств и возраст
Возраст является существенным фактором при оценке ИЧЧ. Изучая влияние визуальных свойств на умение оценивать количество объектов, некоторые исследователи пришли к выводу, что этот эффект с возрастом снижается. В частности, точность ответов в неконгруэнтных попытках была выше у взрослых, чем у детей, в то время как для конгруэнтных попыток взрослые и дети демонстрировали примерно одинаковую точность [54]. В другом исследовании также было показано, что взрослые в меньшей степени подвержены искажениям при оценке множеств под влиянием визуальных свойств, таких как размер объектов или занимаемая площадь [55]. Некоторые авторы полагают, что более высокие результаты взрослых (по сравнению с детьми) в неконгруэнтных попытках могут быть отчасти связаны с развитием самоконтроля и функции торможения [23].
Учитывая свидетельства о том, что дети в большей степени подвержены эффекту конгруэнтности визуальных стимулов при оценке численности объектов [13, 54], Leibovich and Henik (2013) [33] предположили, что способность оценивать визуальные свойства объектов развивается раньше в онтогенезе; она позволяет в дальнейшем понимать и воспринимать количество и развить символическую числовую систему. Они предположили также, что на ранних этапах способность воспринимать количество объектов ограничена только оценкой визуальных свойств и лишь на более поздних этапах развивается способность соотносить визуальные свойства и количественные, дискретные характеристики. На следующем этапе дети способны использовать и дискретные, и визуальные протяженные характеристики для оценки количественных отношений. С началом формального обучения дети становятся способными не только оценивать, что одно множество больше, чем другое, но и на сколько это различие.
Тип сравниваемых объектов: гомогенные или гетерогенные
Существуют также исследования, касающиеся того, как умение оценивать количество объектов связано с гетерогенностью объектов в сравниваемых наборах. Gelman and Gallistel (1978) [20] предположили, что гетерогенность элементов может облегчить подсчеты, поскольку дает возможность точнее отследить элементы, которые были уже подсчитаны. Отличие элементов друг от друга позволяет улучшить возможности переключения внимания с одного объекта на другой, что необходимо при стратегии подсчета.
Меньше известно относительно того, как гетерогенность объектов может изменить приблизительную оценку количества, когда нет возможности использовать точные подсчеты. Умение приблизительно оценивать количество объектов преимущественно изучалось в ситуации, когда сравниваемые наборы содержали объекты одинаковой формы, но отличающиеся по цвету и размеру.
Проводились исследования того, как гетерогенность или гомогенность объектов внутри наборов могут повлиять на оценку ИЧЧ. В частности, Cantlon and Brannon (2006) [5] изучали различия в оценке количества при сравнении гетерогенных и гомогенных наборов у мака-ков-резусов при манипулировании разными визуальными свойствами наборов: размером, цветом, формой. Они не обнаружили никаких значимых различий в результатах при сравнении количества в гомогенных и гетерогенных условиях: вне зависимости от гомогенности или гетерогенности стимулов был найден только эффект дистанции. Похожие результаты были получены в исследованиях детей до одного года, в которых не было найдено значимых различий при выполнении заданий на дискриминацию однородных и разнородных наборов стимулов [12, 53].
Для более старшего возраста обнаружены другие закономерности. В частности, показано, что в заданиях для гетерогенных и гомогенных объектов дети справляются лучше с задачами для гомогенных объектов, чем для гетерогенных. Например, Kelly Mix (1999) [37] показала, что дети 3-4 лет лучше справляются с задачами на соотнесение одинаковых объектов, чем разных. В 5-летнем возрасте дети уже способны соотнести как однородные, так и разнородные объекты.
Различия в оценке гетерогенных и гомогенных объектов могут по-разному проявляться в зависимости от типов используемых заданий. Cantlon et al. (2007) [4] измеряли способность детей 3-5 лет выполнять задания на сравнение множеств и задания на идентификацию соответствия в зависимости от гомогенности или гетерогенности наборов объектов (объекты внутри каждого набора могли отличаться по размеру, форме и цвету). Они констатировали, что гомогенность наборов улучшает возможности выполнения заданий на соответствие, но никак не связана с результативностью заданий на сравнение.
Выполнены работы, в которых также использовались наборы объектов, содержавшие разные по форме стимулы. Например, в исследовании Kucian et al. (2011) [32] необходимо было выбрать наибольший из наборов, в одном из которых были нарисованы, например, перцы, а в другом - орехи. Однако в этом исследовании не сравнивались результаты оценки в ситуации сравнения одинаковых и различающихся объектов. Поскольку нет данных о том, в какой степени различия в форме объектов между наборами могут быть связаны с оценкой количества, трудно сказать, насколько гетерогенность между наборами влияет на результативность ИЧЧ.
Заключение
В целом обзор исследований, касающихся валидности измерений ИЧЧ, пока-
зал, что существует ряд неразрешенных вопросов. В первую очередь, исследования свидетельствуют о том, что оценка этой способности может существенно изменяться в зависимости от того, какой тип задания используется: сравнение множеств, идентификация сходства или идентификация различий.
Во-вторых, даже при использовании заданий одного типа на сравнение множеств возможны расхождения в точности ответов в зависимости от того, как предъявляются сравниваемые множества: последовательно, одновременно (но раздельно) или в смешанном виде.
В-третьих, на оценку точности ИЧЧ большой эффект оказывают способы контроля визуальных качеств. Во многих работах установлено, что точность ответов достаточно сильно различается в конгруэнтных и неконгруэнтных условиях, а увеличение количества контролируемых визуальных параметров может серьезно снизить точность ответов. Также найдено, что разные визуальные свойства имеют разный эффект на оценку количества. В настоящее время в ряде исследований обнаружено, что поверхностная площадь вносит наибольший вклад в оценку количества.
При сравнении результатов разных исследований необходимо учитывать наличие всех этих эффектов, чтобы сделать вывод о том, в какой степени расходятся или согласуются различные исследования, касающиеся предсказательной силы ИЧЧ по отношению к математическим навыкам и успешности в освоении математики. Также наличие эффекта визуальных свойств для оценки количества свидетельствует о том, что анализ изменений в ИЧЧ, происходящих в ходе развития, должен быть сделан с учетом этого эффекта. Возможно, что развитие ИЧЧ связано не с умением давать более точную оценку количеству объектов, а с тем, что эта оценка становится более независимой от нерелевантных визуальных свойств.
Литература
1. Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В. Роль когнитивных показателей учащихся старшего школьного возраста в успешности решения математических заданий // Знание. Понимание. Умение. - 2012. - № 2. - С. 237-244.
2. Bonny J.W., Lourenco S.F. The approximate number system and its relation to early math achievement: Evidence from the preschool years // Journal of Experimental Child Psychology. - 2013. - Vol. 114(3). - P. 375-388.
3. Burr D., Ross J. A visual sense of number // Current Biology. - 2008. - Vol. 18(6). - P. 425-428.
4. Cantlon J. et al. Heterogeneity impairs numerical matching but not numerical ordering in preschool children // Developmental Science.
- 2007. - Vol. 10(4). - P. 431-440.
5. Cantlon J.F., Brannon E.M. The effect of heterogeneity on numerical ordering in rhesus monkeys // Infancy. - 2006. - Vol. 9(2). - P. 173-189.
6. Chong S.C., Evans K.K. Distributed versus focused attention (count vs estimate) // Wiley Interdisciplinary Reviews: Cognitive Science.
- 2011. - Vol. 2(6). - P. 634-638.
7. Clayton S., Gilmore C., Inglis M. Dot comparison stimuli are not all alike: The effect of different visual controls on ANS measurement // Acta Psychologica. - 2015. - Vol. 161. - P. 177-184.
8. Clayton S., Gilmore C. Inhibition in dot comparison tasks // ZDM. - 2015. - Vol. 47(5). -P. 759-770.
9. Dehaene S. The number sense: How the mind creates mathematics. - Oxford University Press, 2011. - 288 p.
10. De Smedt B. et al. How do symbolic and non-symbolic numerical magnitude processing skills relate to individual differences in children's mathematical skills? A review of evidence from brain and behavior // Trends in Neuroscience and Education. - 2013. - Vol. 2(2). - P. 48-55.
11. Feigenson L., Libertus M.E., Halberda J. Links between the intuitive sense of number and formal mathematics ability // Child Development Perspectives. - 2013. - Vol. 7(2). - P. 74-79.
12. Feigenson L. A double-dissociation in infants' representations of object arrays // Cognition.
- 2005. - Vol. 95(3). - B37-B48.
13. Gebuis T., Gevers W. Numerosities and space; indeed a cognitive illusion! A reply to de He-via and Spelke (2009) // Cognition. - 2011. -Vol. 121(2). - P. 248-252.
14. Gebuis T., Kadosh R.C., Gevers W. Sensory-integration system rather than approximate number system underlies numerosity processing: A critical review // Acta Psychologica (Amst.). - 2016. - Vol. 171. - P. 17-35.
15. Gebuis T., Reynvoet B. Continuous visual properties explain neural responses to non-symbolic number // Psychophysiology. - 2012.
- Vol. 49(11). - P. 1649-1659.
16. Gebuis T., Reynvoet B. Generating nonsymbol-ic number stimuli // Behavior Research Methods. - 2011. - Vol. 43(4). - P. 981-986.
17. Gebuis T., Reynvoet B. The interplay between nonsymbolic number and its continuous visual properties // Journal of Experimental Psychology: General. - 2012. - Vol. 141(4). - P. 642-648.
18. Gebuis T., Reynvoet B. The role of visual information in numerosity estimation // PloS ONE.
- 2012. - Vol. 7(5). - e37426.
19. Gebuis T., Van Der Smagt M.J. False approximations of the approximate number system? // PLoS One. - 2011. - Vol. 6(10). - e25405.
20. Gelman R., Gallistel C. The child's understanding of number. - Cambridge, MA: Harvard University Press, 1978. - XIII, 260 p.
21. Gilmore C., Attridge N., Inglis M. Measuring the approximate number system // Quarterly Journal of Experimental Psychology. - 2011. -Vol. 64(11). - P. 2099-2109.
22. Gilmore C. et al. Congruency effects in dot comparison tasks: Convex hull is more important than dot area // Journal of Cognitive Psychology. - 2016. - Vol. 28(8). - P. 923-931.
23. Gilmore C. et al. Individual differences in inhibitory control, not non-verbal number acuity, correlate with mathematics achievement // PloS One. - 2013. - Vol. 8(6). - e67374.
24. Gilmore C. et al. Measuring the approximate number system in children: exploring the relationships among different tasks // Learning and Individual Differences. - 2014. - Vol. 29.
- P. 50-58.
25. Halberda J., Feigenson L. Developmental change in the acuity of the «Number Sense»:
The Approximate Number System in 3-, 4-, 5-, and 6-year-olds and adults // Developmental Psychology. - 2008. - Vol. 44(5). - P. 14571465.
26. Halberda J., Mazzocco M.M.M., Feigenson L. Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement // Nature. - 2008. - Vol. 455(7213). - P. 665668.
27. Holloway I.D., Ansari D. Mapping numerical magnitudes onto symbols: The numerical distance effect and individual differences in children's mathematics achievement // Journal of Experimental Child Psychology. - 2009. - Vol. 103(1). - P. 17-29.
28. Hurewitz F., Gelman R., Schnitzer B. Sometimes area counts more than number // Proceedings of the National Academy of Sciences of USA. - 2006. - Vol. 103(51). - P. 1959919604.
29. Hyde D.C., Spelke E.S. All numbers are not equal: an electrophysiological investigation of small and large number representations // Journal of Cognitive Neuroscience. - 2009. -Vol. 21(6). - P. 1039-1053.
30. Hyde D.C., Spelke E.S. Neural signatures of number processing in human infants: evidence for two core systems underlying numerical cognition // Developmental Science.
- 2011. - Vol. 14(2). - P. 360-371.
31. Inglis M., Gilmore C. Indexing the approximate number system // Acta Psychologica. -2014. - Vol. 145. - P. 147-155.
32. Kucian K. et al. Non-symbolic numerical distance effect in children with and without developmental dyscalculia: a parametric fMRI study // Developmental Neuropsychology. -2011. - Vol. 36(6). - P. 741-762.
33. Leibovich T., Henik A. Magnitude processing in non-symbolic stimuli // Frontiers in Psychology. - 2013. - Vol. 4. - P. 375.
34. Libertus M.E., Feigenson L., Halberda J. Is approximate number precision a stable predictor of math ability? // Learning and Individual Differences. - 2013. - Vol. 25. - P. 126-133.
35. Libertus M.E., Woldorff M.G., Brannon E.M. Electrophysiological evidence for notation independence in numerical processing // Behavioral and Brain Functions. - 2007. - Vol. 3(1).
- P. 1.
36. Lyons I.M., Nuerk H.C., Ansari D. Rethinking the implications of numerical ratio effects for
understanding the development of representational precision and numerical processing across formats // Journal of Experimental Psychology: General. - 2015. - Vol. 144(5). - P. 1021-1035.
37. Mix K.S. Similarity and numerical equivalence: Appearances count // Cognitive Development. - 1999. - Vol. 14(2). - P. 269-297.
38. Odic D., Halberda J. Eye movements reveal distinct encoding patterns for number and cumulative surface area in random dot arrays // Journal of Vision. - 2015. - Vol. 15(15). - P. 5. doi: 10.1167/15.15.5.
39. Odic D. et al. Developmental change in the acuity of approximate number and area representations // Developmental Psychology. -
2013. - Vol. 49(6). - P. 1103-1112.
40. Park J. et al. Rapid and direct encoding of nu-merosity in the visual stream // Cerebral Cortex. - 2015. - Vol. 26(2). - P. 748-763.
41. Piazza M., Izard V. How humans count: nu-merosity and the parietal cortex // The Neu-roscientist. - 2009. - Vol. 15(3). - P. 261273.
42. Piazza M. et al. Developmental trajectory of number acuity reveals a severe impairment in developmental dyscalculia // Cognition. -2010. - Vol. 116(1). - P. 33-41.
43. Price G.R. et al. Nonsymbolic numerical magnitude comparison: Reliability and validity of different task variants and outcome measures, and their relationship to arithmetic achievement in adults // Acta Psychologica. - 2012. -Vol. 140(1). - P. 50-57.
44. Revkin S.K. et al. Does subitizing reflect numerical estimation? // Psychological Science. - 2008. - Vol. 19(6). - P. 607-614.
45. Rodic M. et al. Cross-cultural investigation into cognitive underpinnings of individual differences in early arithmetic // Developmental Science. - 2015. - Vol. 18(1). - P. 165-174.
46. Sasanguie D. et al. The approximate number system is not predictive for symbolic number processing in kindergarteners // The Quarterly Journal of Experimental Psychology. -
2014. - Vol. 67(2). - P. 271-280.
47. Sathian K. et al. Neural evidence linking visual object enumeration and attention // Journal of Cognitive Neuroscience. - 1999. - Vol. 11(1). - P. 36-51.
48. Simon T.J., Vaishnavi S. Subitizing and counting depend on different attentional mecha-
nisms: Evidence from visual enumeration in afterimages // Perception & Psychophysics. -1996. - Vol. 58(6). - P. 915-926.
49. Smets K., Moors P., Reynvoet B. Effects of presentation type and visual control in numeros-ity discrimination: implications for number processing? // Frontiers in Psychology. - 2016.
- Vol. 7. - P. 66.
50. Smets K. et al. Concurrent validity of approximate number sense tasks in adults and children // Acta Psychologica. - 2014. - Vol. 150.
- P. 120-128.
51. Starr A., Libertus M.E., Brannon E.M. Number sense in infancy predicts mathematical abilities in childhood // Proceedings of the National Academy of Sciences of USA. - 2013. -Vol. 110(45). - P. 18116-18120.
52. Stoianov I., Zorzi M. Emergence of a «visual number sense» in hierarchical generative models // Nature Neuroscience. - 2012. - Vol. 15(2). - P. 194-196.
53. Strauss M.S., Curtis L.E. Infant perception of numerosity // Child Development. - 1981. -Vol. 52(4). - P. 1146-1152.
54. Szucs D. et al. Visual stimulus parameters seriously compromise the measurement of approximate number system acuity and comparative effects between adults and children // Frontiers in Psychology. - 2013. - Vol. 4. - P. 444.
55. Tokita M., Ishiguchi A. Effects of perceptual variables on numerosity comparison in 5-6-year-olds and adults // Frontiers in Psychology. - 2013. - Vol. 4. - P. 431.
56. Tosto M.G., Petrill S.A., Malykh S. et al. Number sense and mathematics: Which, when and how? // Developmental Psychology. - 2017. -Vol. 53(10). - P. 1924-1939.
57. Viswanathan P., Nieder A. Neuronal correlates of a visual «sense of number» in primate parietal and prefrontal cortices // Proceedings of the National Academy of Sciences of USA. -2013. - Vol. 110(27). - P. 11187-11192.
58. Wang J.J., Odic D., Halberda J., Feigenson L. Changing the precision of preschoolers' approximate number system representations changes their symbolic math performance // Journal of Experimental Child Psychology. -2016. - Vol. 147. - P. 82-99.
59. Whalen J., Gallistel C.R., Gelman R. Nonverbal counting in humans: The psycho-physics of number representation // Psy-
chological Science. - 1999. - Vol. 10(2). -P. 130-137.
60. Xu F., Arriaga R.I. Number discrimination in 10-month-old infants // British Journal of Developmental Psychology. - 2007. - Vol. 25(1). - P. 103-108.
References
1. Tikhomirova TN, Kovas YuV. Rol' kogni-tivnykh pokazateley uchashchikhsya starshego shkol'nogo vozrasta v uspeshnosti resheniya matematicheskikh zadaniy. Znaniye. Poni-maniye. Umeniye 2012; 2:237-244 (in Russian).
2. Bonny JW, Lourenco SF. The approximate number system and its relation to early math achievement: Evidence from the preschool years. Journal of Experimental Child Psychology 2013; 114(3):375-388.
3. Burr D, Ross J. A visual sense of number. Current Biology 2008; 18(6):425-428.
4. Cantlon J et al. Heterogeneity impairs numerical matching but not numerical ordering in preschool children. Developmental Science 2007; 10(4):431-440.
5. Cantlon JF, Brannon EM. The effect of heterogeneity on numerical ordering in rhesus monkeys. Infancy 2006; 9(2):173-189.
6. Chong SC, Evans KK. Distributed versus focused attention (count vs estimate). Wiley Interdisciplinary Reviews: Cognitive Science 2011; 2(6):634-638.
7. Clayton S, Gilmore C, Inglis M. Dot comparison stimuli are not all alike: The effect of different visual controls on ANS measurement. Acta Psychologica 2015; 161:177-184.
8. Clayton S, Gilmore C. Inhibition in dot comparison tasks. ZDM 2015; 47(5):759-770.
9. Dehaene S. The number sense: How the mind creates mathematics. Oxford University Press, 2011: 288.
10. De Smedt B et al. How do symbolic and non-symbolic numerical magnitude processing skills relate to individual differences in children's mathematical skills? A review of evidence from brain and behavior. Trends in Neuroscience and Education 2013; 2(2):48-55.
11. Feigenson L, Libertus ME, Halberda J. Links between the intuitive sense of number
and formal mathematics ability. Child Development Perspectives 2013; 7(2):74-79.
12. Feigenson L. A double-dissociation in infants' representations of object arrays. Cognition 2005; 95(3):B37-B48.
13. Gebuis T, Gevers W. Numerosities and space; indeed a cognitive illusion! A reply to de Hevia and Spelke (2009). Cognition 2011; 121(2):248-252.
14. Gebuis T, Kadosh RC, Gevers W. Sensory-integration system rather than approximate number system underlies numerosity processing: A critical review. Acta Psychologica (Amst) 2016; 171:17-35.
15. Gebuis T, Reynvoet B. Continuous visual properties explain neural responses to nonsymbolic number. Psychophysiology 2012; 49(11):1649-1659.
16. Gebuis T, Reynvoet B. Generating nonsymbolic number stimuli. Behavior Research Methods 2011; 43(4):981-986.
17. Gebuis T, Reynvoet B. The interplay between nonsymbolic number and its continuous visual properties. Journal of Experimental Psychology: General 2012; 141(4):642-648.
18. Gebuis T, Reynvoet B. The role of visual information in numerosity estimation. PloS ONE 2012; 7(5):e37426.
19. Gebuis T, Van Der Smagt MJ. False approximations of the approximate number system? PLoS One 2011; 6(10):e25405.
20. Gelman R., Gallistel C. The child's understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1978:XIII, 260.
21. Gilmore C, Attridge N, Inglis M. Measuring the approximate number system. Quarterly Journal of Experimental Psychology 2011; 64(11):2099-2109.
22. Gilmore C et al. Congruency effects in dot comparison tasks: Convex hull is more important than dot area. Journal of Cognitive Psychology 2016; 28(8):923-931.
23. Gilmore C et al. Individual differences in inhibitory control, not non-verbal number acuity, correlate with mathematics achievement. PloS One 2013; 8(6):e67374.
24. Gilmore C et al. Measuring the approximate number system in children: exploring the relationships among different tasks. Learning and Individual Differences 2014; 29:50-58.
25. Halberda J, Feigenson L. Developmental change in the acuity of the «Number Sense»:
The Approximate Number System in 3-, 4-, 5-, and 6-year-olds and adults. Developmental Psychology 2008; 44(5):1457-1465.
26. Halberda J, Mazzocco MMM, Feigenson L. Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement. Nature 2008; 455(7213):665-668.
27. Holloway ID, Ansari D. Mapping numerical magnitudes onto symbols: The numerical distance effect and individual differences in children's mathematics achievement. Journal of Experimental Child Psychology 2009; 103(1):17-29.
28. Hurewitz F, Gelman R, Schnitzer B. Sometimes area counts more than number. Proceedings of the National Academy of Sciences of USA 2006; 103(51):19599-19604.
29. Hyde DC, Spelke ES. All numbers are not equal: an electrophysiological investigation of small and large number representations. Journal of Cognitive Neuroscience 2009; 21(6):1039-1053.
30. Hyde DC, Spelke ES. Neural signatures of number processing in human infants: evidence for two core systems underlying numerical cognition. Developmental Science 2011; 14(2):360-371.
31. Inglis M, Gilmore C. Indexing the approximate number system. Acta Psychologica 2014; 145:147-155.
32. Kucian K et al. Non-symbolic numerical distance effect in children with and without developmental dyscalculia: a parametric fMRI study. Developmental Neuropsychology 2011; 36(6):741-762.
33. Leibovich T, Henik A. Magnitude processing in non-symbolic stimuli. Frontiers in Psychology 2013; 4:375.
34. Libertus ME, Feigenson L, Halberda J. Is approximate number precision a stable predictor of math ability? Learning and Individual Differences 2013; 25:126-133.
35. Libertus ME, Woldorff MG, Brannon EM. Electrophysiological evidence for notation independence in numerical processing. Behavioral and Brain Functions 2007; 3(1):1.
36. Lyons IM, Nuerk HC, Ansari D. Rethinking the implications of numerical ratio effects for understanding the development of representational precision and numerical
processing across formats. Journal of Experimental Psychology: General 2015; 144(5):1021-1035.
37. Mix KS. Similarity and numerical equivalence: Appearances count. Cognitive Development 1999; 14(2):269-297.
38. Odic D, Halberda J. Eye movements reveal distinct encoding patterns for number and cumulative surface area in random dot arrays. Journal of Vision 2015; 15(15):5. doi: 10.1167/15.15.5.
39. Odic D et al. Developmental change in the acuity of approximate number and area representations. Developmental Psychology 2013; 49(6):1103-1112.
40. Park J et al. Rapid and direct encoding of numerosity in the visual stream. Cerebral Cortex 2015; 26(2):748-763.
41. Piazza M, Izard V. How humans count: numerosity and the parietal cortex. The Neuroscientist 2009; 15(3):261-273.
42. Piazza M et al. Developmental trajectory of number acuity reveals a severe impairment in developmental dyscalculia. Cognition 2010; 116(1):33-41.
43. Price GR et al. Nonsymbolic numerical magnitude comparison: Reliability and validity of different task variants and outcome measures, and their relationship to arithmetic achievement in adults. Acta Psychologica 2012; 140(1):50-57.
44. Revkin SK et al. Does subitizing reflect numerical estimation? Psychological Science 2008; 19(6):607-614.
45. Rodic M et al. Cross-cultural investigation into cognitive underpinnings of individual differences in early arithmetic. Developmental Science 2015; 18(1):165-174.
46. Sasanguie D et al. The approximate number system is not predictive for symbolic number processing in kindergarteners. The Quarterly Journal of Experimental Psychology 2014; 67(2):271-280.
47. Sathian K et al. Neural evidence linking visual object enumeration and attention. Journal of Cognitive Neuroscience 1999; 11(1):36-51.
48. Simon TJ, Vaishnavi S. Subitizing and counting depend on different attentional mechanisms: Evidence from visual enumeration in afterimages. Perception & Psychophysics 1996; 58(6):915-926.
49. Smets K, Moors P, Reynvoet B. Effects of presentation type and visual control in
numerosity discrimination: implications for number processing? Frontiers in Psychology 2016; 7:66.
50. Smets K et al. Concurrent validity of approximate number sense tasks in adults and children. Acta Psychologica 2014; 150:120128.
51. Starr A, Libertus ME, Brannon EM. Number sense in infancy predicts mathematical abilities in childhood. Proceedings of the National Academy of Sciences of USA 2013; 110(45):18116-18120.
52. Stoianov I, Zorzi M. Emergence of a «visual number sense» in hierarchical generative models. Nature Neuroscience 2012; 15(2):194-196.
53. Strauss MS, Curtis LE. Infant perception of numerosity. Child Development 1981; 52(4):1146-1152.
54. Szucs D et al. Visual stimulus parameters seriously compromise the measurement of approximate number system acuity and comparative effects between adults and children. Frontiers in Psychology 2013; 4:444.
55. Tokita M, Ishiguchi A. Effects of perceptual variables on numerosity comparison in 5-6-year-olds and adults. Frontiers in Psychology 2013; 4:431.
56. Tosto MG, Petrill SA, Malykh S et al. Number sense and mathematics: Which, when and how? Developmental Psychology 2017; 53(10):1924-1939.
57. Viswanathan P, Nieder A. Neuronal correlates of a visual «sense of number» in primate parietal and prefrontal cortices. Proceedings of the National Academy of Sciences of USA 2013; 110(27):11187-11192.
58. Wang JJ, Odic D, Halberda J, Feigenson L. Changing the precision of preschoolers' approximate number system representations changes their symbolic math performance. Journal of Experimental Child Psychology 2016; 147:82-99.
59. Whalen J, Gallistel CR, Gelman R. Nonverbal counting in humans: The psychophysics of number representation. Psychological Science 1999; 10(2):130-137.
60. Xu F., Arriaga R.I. Number discrimination in 10-month-old infants. British Journal of Developmental Psychology 2007; 25(1):103-108.
INTUITIVE NUMBER SENSE: MEASUREMENT PROBLEMS AND CONTROL OF VISUAL PROPERTIES
Yu.V. KUZ'MINA Psychological Institute of RAE, Moscow
This review includes studies that consider different issues of measurement of Approximate Number Sense (ANS). Different types of tasks to measure ANS and indicators of ANS accuracy are reviewed. The main focus of the review is on the discussion of the effect of stimulus visual properties on ANS accuracy. The results of the previous studies revealed that the types of ANS tasks and ways to control visual properties should be considered during ANS assessment and the comparison of results of different studies.
Keywords: Approximate Number Sense, visual properties, congruency effect, math achievement.
Address:
Kuzmina J.V.
junior researcher of Psychological Institute of RAE
E-mail: [email protected]
