CC BY
26
УДК 519.6:514.1
ИНТЕРВАЛЬНОЕ КАСАНИЕ ТОЧЕК ИНТЕРВАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА 13 r
РОМАНОВА Т.Е., РУДОЙ Д.С.
Вводится понятие интервального касания точек интервального пространства 13 R , необходимое для построения интервальной ф - функции пары интервальных точечных множеств пространства I3 R . Рассмотрим пространство центрированных интервалов IsR [1,2]:
I s R = Д X) = { x, V х)
a + b
x =------,v x
2
b - a 2
Va, b є R
1
где x — центр, а v x — радиус центрированного интервала (х) є IsR.
Воспользуемся определениями, приведенными в работах [3-5].
Определение 1. Интервальным расстоянием между точками (х 1^ , ^X2) в пространстве IsR называется отображение р ;I^R ^ IsR вида
р(( X 1>>(х 2>) = ( |х1 - х 2І
Определение 2. Точки
v + v,
(1)
(х 1) = ( х1, V х) Є IsR ,(X 2 = ( х2 , V х2) Є IsR
интервально касаются, если
V х + Ух2
Х1 х2
Как известно [1], прообраз точки
(2)
2
хє !sR ={< хє IsR lv х * °}
в пространстве R1 есть замкнутый интервал X = [х-V х, х + v х] (рис. 1,а), а прообраз точки
(х) є ISR = {(х-vх) є ISR I -vх < О} в пространстве R1 есть замыкание дополнения
интервала X до всего пространства R1, т.е. X = с/(С X), X = C1 u С2 , где
X
X > 1 X х х + V х
а
C1 X C2
X > 1 X х б х + V х
Рис.1
С1 = |х 'є R11 х '< х -V хI, С 2 = |х 'є R11 х '> х + v х J, (рис. 1, б).
Очевидно, что
X u X = R1, X n X = {х -V х, х + v х}.
В пространстве R1 прообраз точки (х) = (х,0) є IsR
есть замкнутый интервал X0 = [х, х], т.е. собственно точка х є R1; а прообраз х° точки
(х^ = (х,-0) є IsR совпадает с пространством R1, в этом случае
X 0 п X 0 = {х}; X 0 и X 0 = R1.
Геометрическая интерпретация некоторых случаев интервального касания точек пространства I s R приведена на рис.2:
в случае а - X, n Xj = {х, +vх,} = ^j -v х] ),
в случае б - Xi nXj = \х, +vх.) = |ху +vх^ , в случае в —
Xi nхj = Iхj -vх] (C1i ^С2j) =
= И +v хг )u (C2j u C1i ) ,
в случае г —
Xi n X j = Iх j -v х} [ хі +v щ , +v х} ] =
= |хі -v х )u [хі +v *г , xj +v х} ] .
V х +V х2
'1 а xj
Гх -Vj к----->\
xj хі
— v —v
хі ^
УУУУУУУ.
.. ХУУ/У/У* У/////////.-'
\ТК\\\\\\Т XT------------[ШГ
Рис. 2
РИ, 2000, № 2
53
Заметим, что распространяя понятие интервального касания точек подмножества IsR на подмножество IsR, в общем случае, теряется теоретикомножественный смысл касания замкнутых множеств пространства R1 как прообразов точек (х) є IsR (рис. 2, в, г).
Рассмотрим две произвольные точки Zi, Z2 двумерного интервального пространства
12 * R = I s R х I s R [4]:
Z =((х>-<Y>). (х>.У) <ХИvv„>. (У) = (.VvЛ).
е 1 s R ,
i = 1,2.
~i / ' > •' \ • ■'i t
Определение 3. Интервальным расстоянием между точками Zi, Z2 є 12 R называется отображение р: I4 R ^ IsR вида
p(z.Z 2 . (3)
где Р Х{Х i),{ х2», Р ЛУі), <У2>) — интервальное расстояние между точками (х^ , ^Х^ є I s R и точками (У22) є IsR, соответственно.
Определение 4. Точки Zi, Z2 є 12R интервально касаются, если выполняется условие:
(4)
Очевидно, система (4) порождает следующие системы равенств:
xi -x 2 = V xi +V x2
yi - y 2= V Уі +V y2
lxi - x2 =v x +v х2;
I Zi - y2 =V л +V у2,
xi -x2 =-(v+Vx2);
. yi - У2 =v yi +v У2 ,
[ xi - x2 =-(v xi +v x2);
iyi - y2 =-(v yi +v y2),
J xi - x2 =v xi +v x2;
Iyi - y2 =-(V Уі +V y2)
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
именно: (Х),(Y) є IgR ; (х),(y) є IgR ; (х) є IsR ,
Y * IsR; Х * IsR , Y є isr .
Г еометрическая интерпретация этих случаев приведена на рис. 3-6.
Если (х),(У) є IsR , то прообразом точки
Z = (^х^^Y^j е Is2R в пространстве R 2 является множество (рис.3)
[z] = |(x', y') Є R2 I (x -V x < x'< x + v x) A Л (y - Vy < y < y + vy)j
Y 4
y- v
Рис. 3
Если (х},(У} є IsR , то прообразом точки Z = «х> • Y) * I,2 R в пространстве R2 является
множество
Z = clCZ = |x',y')є R2|
(x'> x + V J A (y '> y + V y) V
V (x'> x + v Ja (y'< y-vyj V
v (x'^x-vJA\y'~y“vy)v
(x x-v x)л \yy + v Л (рис. 4).
Каждой системе соответствует определенное взаимное положение точек пространства 12 R .
Прообраз [Z ] е R2 точки Z = ((х>.<Z)) е I,2 R в пространстве R 2 есть прямое произведение прообразов х,Y є R1 точек (х>.У * IsR , т.е.
[Z ] = х х Y .
Очевидны следующие комбинации принадлежности точек (х),У є I,R пространствам IsR , lsR , а
y+ v ySS
y- V
x-V x+V
x x
Рис. 4
Если (х) є IsR , (Y) є IsR , то прообразом точки Z = (<х>, <>» є I,2R в пространстве R2 является множество [z ]x = Ci u C2 , где
54
РИ, 2000, № 2
C1 =tX'> y Оє R 2| (X'^ X-v J л л(y-vy ^ y'<y + vy)} ’
C2 = fx',/)є R2| x + vx)л
л (y - Vy < y'< y + Vy)}, (рис. 5 ); /
YA
>+ v y С1
т ■-
^ V y •yssssss\
O
X- V x
x
С2
x+ v X
X
Рис. 5
Если (x) є IsR , Y є IsR , то прообразом точки Z = (<X) і Z)) * I,2 R в пространстве R2 является множество [z ]y = Ci u C2, где
C1 = lX', y')e R^(X “V X ^ X'^ X + v x) Л л (y'> y -Vy|, ,
C2 =fx', y')e R2|(x-v X < x'< X + v x) A
л (y'< y -Vy)} (рис. (5).
Yk
У-v,
I
У
У+v
r
о
x— V
X+\
Рис. 6
Получаем десять случаев интервального касания точек в зависимости от их сочетаний:
Z1 ’ 2.2 ;. Z1,_Z 2д Z1 > Z2 ; . Zp Z 2)х ;, Z1 ’ Z 2)X ;
Z1 ’!Z4S Z1 ’z2)y; za,\Z2)x; ZOy,Z^y;
Z0x , Z2)y .
Иллюстрации некоторых случаев приведены на рис. 7. Случай рис. 7,а соответствует интервальному
касанию (4.3) точек Z1, Z2 ; случай рис.7,б —
интервальному касанию (4.2) точек Z1, Z 2 ; случай рис.7,в — интервальному касанию (4.2) точек Z1, Z 2 ; случай рис.7,г — интервальному касанию
(4.3) точек Z1, (Z2)х .
Y к
O
X
а
[Z1] Y І
[Z2]
O
►
X
б
[Z1]
в
Y
[Z1]
»
O
„[Z2]
X
г
Рис. 7
Используя формулы (1)-(5), введем понятие интервального касания точек в трехмерном интервальном пространстве I: R = I s R х I s R х I s R.
Рассмотримдве произвольные точки M1, M2 є 13s R ,
Mi =(iXі) ’ Y Цzі)) ,(Хг), Y Ц 2г) Є I s R , i = 1,2 .
Определение 5. Точки M1, M 2 пространства I ^ R интервально касаются, если их координаты удовлетворяют следующему условию:
РИ, 2000, № 2
55
|x1 - х2| = bi - у2 =
V xp +V x2
V + V
Уі У2
V, + v„
z1 zo
(5)
Ц z2
Определение 6. Интервальным расстоянием между точками Mi, M2 в пространстве 13 R называется отображение р :I6R ^ IsR вида
р(мр, M 2)=
ТЕРРОР) + P2y«>l)^Р) + ZS ,
где Pu((u i (u 2)), — интервальное расстояние между точками (Ui) , (Uє IsR .
Рассмотрим геометрическую интерпретацию интервального касания точек пространства 13 R .
Прообраз [м] є R3 точки M є l3 R есть прямое произведение прообразов [х], [y], [z] точек И.(Ґ).(Z в I,R. В зависимости от принадлежности (х),{Y),{Z) множеству IsR или lsR существует восемь видов прообразов точек, которые обозначим так:
[M] = [X]х [Y]х [z], MJx = [X]х [Y]х [Z],
P]y = [х] х И х И, MJz = И х Y х [z],
Ply=Их Их И, MLz=[х] х и х [z] ,
P\yz =И x И x И, [м] = [X] x [f] x [z] .
Таким образом, получим тридцать шесть случаев интервального касания интервальных точек в тер -минах прообразов:
И К]; Mil M2І; M2 м2L; И Iм2І;
Mi] M21;м11м2Іxy; рi J M2L;Mi 1м2у ; M ij x, P 21 Iм 1] x >M 2]y;|M 1] x, M 2] zJm J x >M 2 p MiL, P2Lz ; P Jx> P2]yZ ; P Jy, р2І;
Pp,P21; Pi]y,M 2Іу; Pply,P2\yz;
P ply, P tIxz ; P ply, P ТІ; P p|z, P 2І;
Mi]z> M Jxy^Mi I, M2UR.M Jyz^Mi]xy.M2Іxy;
M pty >M 2.UM ply>M 2 JM i Lz, M 2 UM РІ xz >M 2Іyz;
M p|xz, M ТІ; M PJ yz ’P ТІyz ; P p|yz ’ M ТІ; P p[ P ТІ ■ Раскрыв модуль в системе (5), получим следующие системы:
xi - x2 =v xp +v x2 , ■yi -y2 =vyi +vy2 , zi - z2 =V zi +v z2 ;
(5.1)
xi - x2 = -(V xp + V x2),
Уі - У2 "V Уі + V У2 , (5.2)
. z1 - z2 = V zp + V z2 ;
x1 - x2 = -(V xp + V x2),
Уі - У2 = -(v У + v y2), (5.3)
z1 - z2 = V zp + Vz2 ;
x1 - x2 = V xp + V x2 ,
Уі - У2 = -(v y +v y2}, (5.4)
z1 - z2 = V zp + Vz2 ;
x1 - x2 = V xp + V x2 ,
Уі - У 2 " V Уі + V У2 , (5.5)
. z1 " z2 = -(V zp + V z2>;
x1 - x2 = -(v xp + V x2),
Уі - У2 “ V Уі + V У2 , (5.6)
z1 - z2 = -(V zp +v z2);
x1 - x2 = -(v xp + V x2) ,
Уі - У2 = -(v y + v y2), (5.7)
. z1 “ z2 = -(V zp + V z2);
x1 - x2 = V xp + V x2 ,
Уі - У2 = -(v y + V y2) , (5.8)
. z1 “ z2 = -(V zp + Vz2) .
Полученным системам соответствуют различные виды интервального касания точек. Иллюстрации некоторых из них приведены на рис. 8, 9.
56
РИ, 2000, № 2
Y
a
[Ml]
O
[M2]
►
X
Z
а
Случай рис. 8 ,a соответствует интервальному касанию (5.3) точек Mі, M2; случай рис. 8,6 — интервальному касанию (5.7) точек Zi, Z2 ; случай рис. 9,а — интервальному касанию (5.2) точек Zі, Z2 ;
случай рис.9,6 — интервальному касанию (5.4) точек Zi, (z2)х .
Литература: 1. Stoyan Yu.G. The extended interval space and elementary mappings// Proceedings of the IMACS— GAMM International Symposium on Numerical Methods and Error Bounds, Oldenburg, Germany, 1995. P. 270— 279. 2. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов// Доклады НАН Украины, Сер. A, 1996. N 7. C. 23—25. 3. Стоян Ю.Г. Квазилинейные интервальные отображения. Интервальная метрика. Харьков, 1995. 23 с. (Препринт. НАН Украины. Ин— т проблем машиностроения; №387) 4. Стоян Ю.Г. Интервальное пространство 12 R. Интервальные уравнения// Доклады НАН Украины, Сер. A,1998. N 6. C. 109—116. 5. Stoyan Yu.G., Romanova T.E. Account oferrors in optimization placement problem //Journal of mechanical engineering. 1998. Vol. 1, №2. С.31-40.
Поступила в редколлегию 02.03.2000
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Яковлев С.В.
Романова Татьяна Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. 95-95-36.
Рудой Дмитрий Сергеевич, студент ХТУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61202, Харьков, пр. Победы, 48-А, кв. 292.
УДК 519.673
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ ИНТЕРАКТИВНАЯ СИСТЕМА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
ГРИЦЮКЕ.М., ШЕВЧЕНКО Л.П.____________
Рассматриваются вопросы создания специализированных систем, основанных на знаниях. Предметной областью рассматриваемой системы является исследование температурных полей в телах сложной геометрической формы. Для этих исследований используется аппарат теории R-функций. Рассматриваются некоторые характеристики базы знаний системы, а также метод представления знаний.
Моделирование на ЭВМ процессов теплопроводности является важной задачей, решаемой при проектировании изделий в машиностроительной, энергетической, атомной промышленности, в технологических процессах химической, строительной, текстильной и других ее отраслях. При решении этой задачи возникает необходимость в проведении расчетов температурных полей с учетом самых различных факторов физического и геометрического характера.
В большинстве случаев математические модели полей имеют вид краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.
Рассмотрим температурное поле u = u(x, y, z, t) в теле, занимающем область Q в пространстве xOyz. Пусть C = C(x, y, z, t) — функция, характеризующая удельную теплоемкость тела, р = р(x, y, z, t) - его плотность, а 9 = б(x, y, z, t) — плотность источников тепла внутри области q . Тогда во внутренних точках области q выполняется условие
Jj- (pCu) = div(Xgradu)+0 , (1)
где X — коэффициент теплопроводности. Если среда изотропна р , C, X — константы, то уравнение принимает вид
f = a2Au + f , (2),
здесь a2 =X(pC)_1 — коэффициент теплопроводности по Максвеллу, f = 9(pC)_1, Д — оператор Лапласа. Для стационарного температурного поля получим уравнение
Ди = -fa“2 • (3)
Картина температурного поля тела сложной геометрической формы зависит не только от теплофизи -ческих характеристик материала тела, но также от формы тела Q, формы площадок контакта тел, составляющих тело, характера их теплового взаимодействия между собой и с внешней средой, а также начального распределения температуры в теле. Это отражается существованием бесчисленно -го множества решений, из которых единственное может быть выделено с помощью краевых и начальных условий. Например, краевые условия вида
РИ, 2000, № 2
57
