CC BY
30
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 1 (2015). С. 46-58.
УДК 517.9
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ В H(D), С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ УЗЛАМИ
С.Г. МЕРЗЛЯКОВ, С.В. ПОПЕНОВ
Аннотация. В пространстве голоморфных функций в выпуклой области, изучается проблема кратной интерполяции посредством сумм рядов экспонент, сходящихся равномерно на всех компактах в области. Дискретное множество узлов кратной интерполяции лежит на вещественной оси в области и имеет единственную конечную предельную точку. Получен критерий разрешимости этой проблемы в терминах распределения предельных направлений показателей экспонент в бесконечности.
Ключевые слова: голоморфная функция, выпуклая область, кратная интерполяция, ряд экспонент, замкнутый идеал, замкнутый подмодуль, сильно сопряженное пространство, двойственность.
Mathematics Subject Classification: 30E05
1. Формулировка задачи и предварительные сведения
Пусть D - выпуклая область в C. Обозначим через H(D) пространство голоморфных функций в D с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из D. Рассмотрим произвольное бесконечное дискретное в C множество комплексных чисел
Л = {Ага }ra€N. Обозначим
= {f G H (D) : f (z) = ^ cra ex"z, z G D}.
n= 1
Предполагается, что сходимость ряда экспонент абсолютная для каждой точки z G D, тогда ([1]) такой ряд сходится в топологии пространства H (D). Для многомерной ситуации это показано, например, в работе [2].
Предположим, что D П R не пустое множество. Пусть задано бесконечное дискретное в области D множество вещественных узлов интерполяции, M = {ßk}ь=1, M С D П R. Кроме того, будем полагать, что каждому узлу ßk G M приписана кратность mu G N. Если f,g G H (D), будем писать f = g на M, если f (j\ßk ) = g(j\ßk ) для всех к G N и j = 0,1,...,тк - 1.
Рассмотрим в H (D) следующую проблему интерполяции с вещественными узлами посредством сумм рядов экспонент:
Для произвольного множества узлов M С D П R и для любой функции g G H (D) существует функция f G Т^(Л,Б), такая, что f = g на M.
В силу классического результата об интерполяции голоморфными функциями ([3], Следствие 1.5.4), эта задача может быть сформулирована в традиционных терминах:
S.G. Merzlyakov, S.V. Popenov, Interpolation by series of exponentials in h(d) with real nodes.
© МЕрзляков С.Г., Попёнов С.В. 2015. Работа поддержана РФФИ (грант №11-01-00572-а). Поступила 27 октября 2014 г.
Для любых интерполяционных данных Ь3к Е С, к Е N, j = 0,1,... ,тк — 1, существует, функция / € £(Л, Б), такая что /) = Ь3к, для всех к и
Обозначим через ф^4 функцию из Н(Б) с нулями во всех узлах ^^ Е М, с кратностями тк, и только в них. Определим
) = [к Е Н (Б): к = фм • г, г Е Н (Б)} (1)
— замкнутый идеал в Н (Б), порожденный функцией фм. Легко видеть, что {фм) = 1м = [к Е Н(Б) : к ^ 0 на М}.
Для заданного множества узлов М разрешимость проблемы интерполяции в Н(Б) суммами рядов экспонент с показателями из заданного множества Л равносильна существованию следующего представления:
Н (Б) = £(Л,Б) + (фм). (2)
Единственности интерполяции в условиях рассматриваемой задачи быть не может, то есть Е(Л, Б) П [фм] = [0}. Это доказано в работе [4] для пространства целых функций, но приведенное там доказательство с очевидными изменениями переносится на рассматриваемый случай.
Если имеется представление (2) и Е(Л, Б) С X С Н(Б), то справедливо и представление Н (Б) = X + (фм).
В работе [5], в случае, когда Б = С, а X есть ядро некоторого оператора свертки в пространстве целых функций Н(С), найдены достаточные условия для интерполяции функциями из ядра оператора свертки в терминах расположения нулей Л характеристической функции этого оператора. Множество М в [5] имеет две предельных точки В работе [4] удалось найти другие методы доказательства и, для всех возможных случаев расположения предельных точек М, были получены критерии разрешимости проблемы кратной интерполяции в Н(С) посредством сумм рядов экспонент из Х(Л, С) С X. В случае, когда множество узлов имеет две предельные точки критерий в [4] формулируется в тех
же терминах, как и в работе [5].
В данной статье метод доказательства достаточности [4] распространяется на случай пространства голоморфных функций в выпуклой области. Получен критерий интерполяции в случае, когда М имеет единственную предельную точку, которая лежит на границе д Б области Б. Критерий состоит в том, что распределение предельных направлений показателей Л в бесконечности связывается с геометрической структурой части границы выпуклой области Б, которая содержит эту предельную точку.
Доказательство достаточности условия сводится к рассмотрению интерполяции рядами экспонент в пространстве функций, голоморфных в некоторой полуплоскости. Кроме того, оказалось, что, в рассматриваемой ситуации одной предельной точки, для доказательства необходимости этого условия нужно использовать идеи совсем другой природы, по сравнению с пространством Н(С). Дело в том, что ряды экспонент, абсолютно сходящиеся на некотором множестве, обладают свойством распространения сходимости [2]. Следует отметить, что аналитическое продолжение для элементов общих инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, изучалось в работе [6].
Замечание при корректуре. Задача интерполяции в ядре оператора свертки в выпуклой области рассматривалась в работе [7]
2. Схема сведения к интерполяции в ядре оператора свертки. Двойственная формулировка проблемы интерполяции
В дальнейшем, как и в работе [4], используется схема доказательства, описанная в работе [8], основанная на двойственности с использованием преобразования Лапласа С функционалов. При доказательстве достаточности условий интерполяции предлагается рассматривать естественные двойственные утверждения, отдельно для каждого из возможных вариантов расположения предельных точек множества М.
Кратко опишем эту схему, так как в работе [4] она описана достаточно подробно для пространства Н(С). В случае Н(И) укажем на некоторые изменения в приведенных там рассуждениях.
Обозначим через Рв — пространство всех целых функций экспоненциального типа с традиционной топологией индуктивного предела, которая обеспечивает топологический изоморфизм между сильным сопряженным пространством Н*(И) и пространством Рв, реализующийся с помощью преобразования Лапласа С функционалов Р Е Н*(Р). Точнее, линейное непрерывное взаимнооднозначное преобразование Лапласа С функционалов Р Е Н*(Р) определяется следующим образом: С : Р -—> СР(г) = (Р\, еХг) , СР Е Рв.
Топология в (ЬМ*)-пространстве Рв не описывается в терминах сходимости последовательностей, однако секвенциально замкнутые подпространства являются замкнутыми ([9]). Точное определение сходимости последовательностей в этой топологии будет приведено в доказательстве достаточности условий леммы 4.
Определим раздельно непрерывную билинейную форму [•, •] : Н(И) х Рв -—^ С, согласно формуле [ф,р] = (С-1р, ф) , ф Е Н(Р),р Е Рв. С помощью отображения
-—> [•, ф] = (С-1р, •) , где С-V Е Н*(Р), задается изоморфизм между Рв и сильным сопряженным пространством Н*(Р). Согласно введенной двойственности, любая функция из пространства Рв взаимнооднозначно соответствует некоторому линейному непрерывному функционалу из Н*(Р).
Хорошо известно, что каждая функция С Е Рв, С ф 0, имеющая минимальный тип при порядке один, порождает в пространстве Н(И) оператор свертки Мс : Н(И) -—> Н(Р), который в рассматриваемой двойственности можно определить как
Мс[ф](г) = {ф(Х)),Сх} = ((С-1С)х,ф(г + X)) ,
где — оператор сдвига: (ф(\)) = ф(Х + г).
Известно, что Мс линейный, непрерывный и сюръективный оператор. Сопряженный оператор к оператору свертки Мс это оператор Ас умножения на характеристическую функцию С, корректно определенный на функциях ш Е Рв следующим образом: ш -—> С • ш (подробности в [10], [11]).
Обозначим КегМс = Е Н(И) : ] = 0} — ядро оператора свертки Мс, которое является замкнутым подпространством в Н(И), инвариантным относительно оператора дифференцирования.
Подпространство Кег Мс допускает спектральный синтез [11], [12], то есть совпадает с замыканием в топологии пространства Н(И) линейной оболочки множества всех полиномиально-экспоненциальных мономов ех"г, содержащихся в нем.
Подпространство рядов экспонент Х(Л, И), вообще говоря, не замкнутое в Н(И). В связи с этим, в доказательстве достаточности условий интерполяции, для каждого из возможных вариантов расположения множества узлов М, выделяется подпоследовательность Л из Л, таким образом, чтобы она являлась нулевым множеством некоторой целой функции
С Е Рв минимального типа, причем Кег Мс = Х(Л,И). Затем доказывается наличие представления (2) с заменой Л на Л, но в таком случае оно будет справедливо и для Л.
После того, как выделена подпоследовательность Л, достаточно доказать следующие два утверждения.
(I) Подпространство КегМс + ('фм) — всюду плотное в пространстве Н(И);
(II) Подпространство КегМс + (фм) — замкнутое в пространстве Н(И).
Замкнутый идеал (фм) определен выше в (1). В дальнейшем в этом параграфе для упрощения обозначений ф = фм.
Если Х1— подпространство в топологическом векторном пространстве X, через X0, обозначим его поляру (или аннулятор), то есть множество функционалов из X*, которые обращаются в нуль на Х\.
Утверждение (I) равносильно тому, что (Кег Мс + (ф)) = (Кег Мс)0 П {(ф))0 = {0}. Из Леммы 2 работы [13] следует, что Утверждение (II) равносильно тому, что подпространство (Кег Мс) + {(Ф)) — замкнутое в Рв.
Пространство Рв - модуль над кольцом многочленов. С учетом двойственности поляра (Кег Мс) совпадает с подмодулем, определяемым как
{р)Ро = {к Е Рв : к = С • г; г Е Рв}. (3)
В доказательстве достаточности в лемме 4 будет доказано, что (С) = (С) П Рв, где (С) - замкнутый идеал в Н(С), порожденный функцией С. В частности отсюда следует, что подмодуль [С) р - замкнутый.
Как известно, (М*)-пространство Н(И) - рефлексивное ([9], [10]), то есть его сильное второе сопряженное пространство Н**(И) канонически изоморфно пространству Н(О). Поэтому отображение гф -—> [ф, •] , с учетом этого канонического изоморфизма, определяет изоморфизм между (М*)-пространством Н(И) и сильным сопряженным Рв. Любая функция из Н(И) взаимнооднозначно соответствует некоторому линейному непрерывному функционалу из сильно сопряженного пространства Рв.
Более точно, это отображение понимается следующим образом: канонический изоморфизм Н(Б) и Н**(Б) имеет вид ф -—у вф = Рф, Рф Е Рв, {Рф= [ф,р] = {£-1р, ф) . Здесь ф Е Н(И), у Е Рв.
Каждая функция гф Е Н(О), ф ^ 0, порождает в пространстве целых функций экспоненциального типа Рв оператор свертки Мф : Рв ^ Рв, Мф[ф](г) = [(вф)х,Бг(р(А))] , где — оператор сдвига, (^(А)) = + г), X Е С.
Далее получаем, что Мф[<р](г) = {[С-18гф)\, ф(\)) = (ехХ(С ф(^)) =
= ((£-1р)х, е*хф(\)), <р Е Рв.
Отметим, что, используя известную формулу для обратного преобразования Бореля [14], отсюда можно получить явное интегральное представление этого оператора [5], [4].
Известно, что Мф линейный, непрерывный и сюръективный оператор. Оператор Мф является сопряженным к оператору Аф умножения на функцию гф в пространстве Н(О), действующему на функциях д Е Н(И) следующим образом: д -—у гф • д. Оператор Аф -линейный и непрерывный, а его образ совпадает с замкнутым идеалом (ф). Обозначим Кег Мф = {/ Е Рв : Щ [/] = 0}. _
С учетом двойственности, поляра {(ф)) совпадает с Кег Мф.
В начале этого параграфа была описана схема того, как доказательство существования представления (2) сводится к утверждениям (I) и (II), а затем было доказано следующее.
Предложение 1. Утверждения (I) и (II), в (М*)-пространстве Н(Б), равносильны двум двойственным утверждениям в (ЬИ*)-пространстве Рв, соответственно: (I*) Справедливо равенство (С) П Кег Мф = {0}.
(II*) Подпространство (С) + Кег Мф — замкнутое в пространстве РЪ.
3. Вспомогательные результаты
Справедливо следующее простое, но важное, утверждение. Предложение 2: Пусть - некоторая область, причем И С и области имеют, общие части границы, на которых лежат все предельные точки множества М. Если найдены некоторые условия на Л, при выполнении которых имеет место представление (2) с множеством узлов М для пространства Н(Ох), тогда такое представление имеется и для Н(О), с тем же самым множеством узлов.
Доказательство. Для любой функции д € Н(И) существует дх € Н(Ох), д = дхна М. Тогда д = дх + (д — дх) в области И. По условию существует Д € Е(Л, Их) С Е(Л, И), такая, что = дх1м. В области Б получили представление д = + (дх — /х) + (д — дх). Функции в скобках лежат в Н(И) и равны нулю на М с учетом кратностей. Доказательство закончено.
В дальнейшем нам потребуются некоторые свойства полиномов из экспонент с вещественными показателями. Такие полиномы изучены в монографии [15]. Рассмотрим произвольный полином из экспонент вида
р(г) = ак (г)еШк *, < ••• <^8, (4)
к=0
где ак^) — некоторые многочлены, и пусть а0 • а3 ф 0.
Из Теоремы 12.9 монографии [15] легко получить, что справедливо следующее.
Лемма 1. Существует такое сх > 0, что во внешности круга {г € С : | ^ сх} выполнено: существуют положительные постоянные с2, с3 и два вещественных числа т0, т3, причем т0 > т3 или т0 = т3 = 0, такие, что
1рШ > с2еШ0 Ке*, (5)
для всех г в области и0 = {г € С : И,е(г + т01п г) < —с3}, и
Ш1 > с2еш°Ке2, (6)
для всех г в области из = {г € С : И,е(г + т31п г) > с3}.
Для любого фиксированного с € К, рассмотрим кривую И,е(г + т 1п г) = с, т = 0. Она
симметрична относительно вещественной оси. Для т > 0 эта кривая лежит в некоторой
полуплоскости И,е г < А, А > 0, а для т < 0 она лежит в некоторой полуплоскости
У
х
^ ж, arg z ^
2'
И,е г > —А, А > 0,. Если точка г = х + гу лежит на кривой, то
М = Ы(1 + °(1)), при 1г1 ^ ж. Рассматриваемая кривая асимптотически приближается к показательной кривой х + т 1п 1у1 = с.
Зафиксируем ß Е
*к\ г к \
0, 2 / и для а Е 0,-—ßj , обозначим Aa(ß) = {z Е C : | argz — ßl ^ а}.
'к 2
Лемма 2. Пусть и3 < 0. Для произвольного полинома из экспонент р вида (4), существует такое г = г(р) > 0, что для всех г, 1г1 > г, в угле Аа(@) справедлива следующая оценка
1р(г)1 ^ с3еШв (7)
Доказательство. Легко видеть, что все точки г из угла Аа(0), лежащие вне некоторого круга, лежат в области из. Поэтому, из оценки (6) полинома из экспонент р в области из для | > С\ вытекает оценка вне некоторого круга | > г в угле Аа(0). Неравенство (7) вытекает из (6): если г = |г|ег^, то в этом угле 0 > и3 И,е ^ и3 оов(Р + а). Лемма 2 доказана.
Пусть некоторая выпуклая область И содержит все показатели , к = 0,1,...,з, полинома р из экспонент вида (4). Тогда легко показать, что р Е Рр.
Следующая лемма по существу доказана в [4] в несколько другой формулировке. Рассмотрим произвольную бесконечную дискретную последовательность комплексных чисел V = {vj}, причем И,е г^- > 0. Предположим, что
И,е Vj
пт вир -—:—- = то. (8)
1п |Vj |
Для дальнейшего важно заметить, что если последовательность V лежит в угле Аа(0), то условие (8) выполняется.
Обозначим = Е Н(С) : f (vj) = 0, ] Е М} - замкнутый идеал в Н(С). (сравните с
(3)).
Лемма 3. В описанной ситуации, если для V выполнено условие (8), то никакой многочлен из экспонент р ф 0 вида (4) не может содержаться в идеале 1у.
Дело в том, что условие (8) на нули идеала противоречит оценке (6).
4. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Для множества Л введем множество Р(Л) предельных направлений в бесконечности как совокупность точек в Е 8, для которых найдется последовательность {ХПк что
оо Ап,/|А пк | = S, ^пк | = ТО. Множество Р(Л) замкнутое.
Аналоги следующего понятия, под различными названиями, часто возникают в комплексном анализе, например, при изучении эффекта аналитического продолжения сумм рядов экспонент, их аналогов, а также элементов инвариантных подпространств [2], [16], [17], [6]. Приведем некоторые необходимые нам определения и результаты из работы [2]:
Обозначим 8 = {в Е С : |з| = 1}. Пусть Б - замкнутое подмножество 8. Пусть И -некоторая область в С. Обозначим Н(ф) = вир^д И,е(ег^а). Если к(ф) : С м- (-то, +то] -опорная функция (в смысле К2) выпуклой области И, то Ь,((р) = к(-(р).
Легко также видеть, что Ь,((р) это опорная функция (в смысле К2) области, комплексно сопряженной с Б. Функция Н(г) = вирстеР И,е(га) = И^)^^ г = ^|ег^ Е С, - позитивно однородная, полунепрерывная снизу, выпуклая функция. Из этого несложно получить, что функция К(ф) - полунепрерывная снизу на 8.
Для ^ Е 8, 5 = ег{р, определим функцию ¿(з) = к(-ф), d : §4 (-то, +то]. По определению, для каждого в Е 8, с1(в) - это наименьшая верхняя грань проекций точек области И на направление в = е-г1р.
Например, для заданных Ь Е 8 и с Е К, обозначим Пс(£) = {г Е С : И,е(£г) < с} -полуплоскость с направлением 1 внешней нормали к границе, точка г = сЪ лежит на ее границе. Для Б = Пс(£) имеем, что ^в) = +то, в = I, и ¿(в) = с, 8 = Ь.
Множество
= {г Е С : Ифг) < ^в), в = Е в,} называется в-выпуклой оболочкой области И.
По определению, ¿"-выпуклая оболочка Д^ любой области И это пересечение, по всем 5 = ег1р Е Б, множеств П(?, И) = {г Е С : И,е(зг) < ^в)}. Если существует Ь Е Б : ¿(Ь) = то,
тогда n(i, D) = C. Если при этом существует хотя бы одно число s Е S, для которого d(s) < то, такие t Е S в определении Ds можно не учитывать.
Если d(s) < то, множество П(з, D) - это опорная полуплоскость области D, то есть D С n(s,D) и dD П д n(s,D) = 0. Легко видеть, что n(s,D) = П0(з) + sd(s). Здесь П0(s) = {z Е C : Re(sz) < 0}).
Множество Ds - выпуклая область, более того, она ¿"-выпуклая [2], [16]. Если S = S, ¿"-выпуклая оболочка множества - это обычная выпуклая оболочка.
Предложение А. Пусть D выпуклая область и S = Р(Л). Если ряд экспонент, = 1 cn,eX"z абсолютно сходится для всех z Е D, т,о он абсолютно сходится и для z Е Dp (л). Его сумма — аналитическая функция в выпуклой области DP (Л).
Первое утверждение вытекает из предложений 16 и 8 работы [2]. В работе [1] доказано, что ряд, абсолютно сходящийся в выпуклой области D, сходится и в топологии пространства Н(D) равномерной сходимости на компактах.
"Ж
Область D — полуплоскость. Зафиксируем ß, | arg ß | < — , и обозначим Sß = ег13.
Рассмотрим случай, когда D = П0(е-г^) - "левая"полуплоскость.
Пусть задано произвольное бесконечное дискретное в области ^множество вещественных узлов интерполяции М С П0(§д) П R-. Каждая точка ^ Е М имеет кратность m-k, m-k Е N.
Лемма 4. Пусть множество М имеет единственную предельную точку z = 0. В пространстве Н(П0(^д)) разрешима проблема кратной интерполяции рядами экспонент из Е(Л, n0(s^^ с множеством узлов М, тогда, и только тогда, когда Sß Е Р(Л).
Отметим, что направление Sß - комплексно сопряженное к направлению Щ = е-г/3 внешней нормали к границе д П0 (~Sß).
Доказательство. Из соображений симметрии (рассматривая функции f (z)), в доказа-
г п \
тельстве можно считать, что ß Е 0, —J. Условие леммы означает, что множества ЛП Aa(ß)
- бесконечные, для всех достаточно малых а.
Необходимость. Пусть проблема кратной интерполяции рядами экспонент из Е(Л, с множеством узлов М разрешима. Предположим, что Sß Е Р(Л). Тогда
замкнутое множество Р (Л) отделено от направления Sß, сопряженного к направлению Щ, внешней нормали к границе д П0 (sß).
Для любого числа s = e%v Е Р (Л) выполнено s = Sß. Поэтому, для области D = ),
d(s) = +то, следовательно, множество n(s, D) = C, для любого s Е Р(Л). По определению S-выпуклой оболочки, Dp (л) = C.
Из предложения А получаем следующее. Если ряд экспонент абсолютно сходится в П0(sß) и Sß Е Р(Л), тогда этот ряд абсолютно сходится всюду в C. Тогда его сумма -целая функция.
Интерполяция целыми функциями с произвольными (например, неограниченными) данными на множестве узлов М, имеющем конечную предельную точку, невозможна. Противоречие.
Достаточность. Доказательство состоит из двух этапов.
1. Сначала сведем задачу к интерполяции в ядре некоторого оператора свертки. Если утверждение леммы доказано для Л С Л, то оно будут доказано и для Л. В дальнейшем, мы перейдем к специальному подпространству в Т,(Л,0), замкнутому в Н(D). Для этого заменим множество показателей на некоторую подпоследовательность из Л.
Переходя к подпоследовательности, можно считать, что: 1) Л С Аа([3), для некоторого малого а, 2) Р(Л) = {вр}, и 3) выполняется условие разделенности
|Ага+1| > 2|Ага|. (9)
Обозначим через С целую функцию с простыми нулями \п,
в*)=П(1 - £)
П--N '
Величина 8 = Иш вир^^ -— 1п -,—-—-г есть индекс Гельфонда-Леонтьева.
|Ага| |С(Ага)|
Из условия (9) вытекает, что функция С имеет минимальный тип при порядке 1, и индекс конденсации 8 = 0. Это показано в работе [4].
Из результатов монографии [11] (Теорема 4.2.2) вытекает следующее утверждение.
Пусть 8 = 0. Тогда любая функция из замыкания в топологии Н(И) линейной оболочки системы полиномиально-экспоненциальных мономов с множеством показателей, имеющим конечную верхнюю плотность с учетом кратностей, представляется в виде ряда экспонент.
Подпространство Кег Мс допускает спектральный синтез. Тогда, с учетом Теоремы 4.2.3 из монографии [11], получаем следующее утверждение.
Предложение Б. Ядро Кег Мс состоит из всех функций f (г), которые представляются рядами экспонент,
f (г) = ^ сгаеХпХе С,
^ПЛ
п= 1
сходящимися в топологии пространства Н(И), то есть КегМс = Т^(Л,Б).
Следует отметить, что в многомерном случае, в более общей ситуации инвариантных подпространств, в работе [18] изучался фундаментальный принцип (в нашей ситуации это утверждение предложения Б). Самая общая постановка этой задачи для комплексной плоскости рассмотрена в [19]. В работе [20] подробно изучен случай рядов с вещественными показателями Л.
В этих работах введена новая характеристика в л, используя которую удалось получить критерии наличия фундаментального принципа для инвариантных подпространств в выпуклых областях. В силу этапа 1, Л лежит в угле, а тогда, повторяя почти дословно доказательство из [20], с. 100, получаем, что 5д = 0, и предложение Б можно получить и из результатов [18], [19], [20].
2. На этом этапе переходим к доказательству двойственных утверждений.
Обозначим через гф - функцию из Н(И) с нулевым множеством М с учетом кратностей тк.
В силу Предложения 1 разрешимость интерполяционной проблемы вытекает из двух двойственных утверждений:
(I*) Справедливо равенство П Кег Мф = {0}.
(II*) Подпространство (С)р + Кег Мф — замкнутое в пространстве РЪ.
Подмодуль определен выше в (3).
Важным моментом в доказательстве утверждений (I*) и (II*) является следующий известный факт.
Подпространство Кег Мф С Рв представляет собой линейную оболочку системы всех мономов вида {хи*}, к Е N и = 0,1, • • • ,ти - 1, то есть оно состоит только из полиномов из экспонент вида (4), где ши = ^к ■ Это несложно доказываемый фундаментальный принцип для Кег Мф в пространстве Рв.
Двойственное утверждение (I*) следует из Леммы 3: покажем, что полином из экспонент р Е Кег Мф, р ф 0, не может принадлежать (С) р . Действительно, после этапа 1, считаем, что множество Л лежит в Аа(@). Из этого следует, что для! последовательности Пк = Х^ выполнено условие (8) из Леммы 3. Заметим, что /д = (С) - замкнутый идеал в Н(С). Как уже отмечалось выше в (3), (С)р = (С) П Рв. Утверждение (I*) доказано.
Докажем последнее равенство. По определению, (С)р С /д П Рв. Согласно теореме [14] о делении на функцию минимального типа в пространстве Рв, верно и обратное включение. Другими словами, это следствие из теоремы о сложении индикаторов. Подмодуль в правой части последнего равенства — замкнутый, так как топология в Рс сильнее топологии поточечной сходимости. Значит подмодуль (С)рв замкнут в Рв. Эти факты были необходимы выше, при выводе двойственной формулировки проблемы интерполяции (Предложение 1).
Получили, что имеется алгебраическая прямая сумма (С)рв ф Кег Мф С Рв. Докажем замкнутость этого подпространства в Рв (это утверждение (II*)). Как известно [9], в (ЬМ*)-пространстве Рв замкнутость любого подпространства X равносильна его секвенциальной замкнутости.
Сходимость последовательности в (ЬИ*)-топологии пространства Рв означа-
ет следующее:
1■ Последовательность {д{} сходится к д в топологии пространства Н(С). 2■ Существуют такие А > 0, ] Е N что для всех I Е N справедлива оценка
\ф)\ ^ АензЕ С. (10)
Здесь {Kj} - произвольное фиксированное счетное исчерпание области D выпуклыми компактами: Kj С int и D = (JjeN Kj, Hj(z) = Re zu. Если z = IzIelv, hj(ф) = Hj(z)/lzI - опорная функция (в смысле R2) компакта, комплексно сопряженного
с К,.
Рассмотрим произвольную последовательность {giфункций из (G)pd ф Кег Мф и предположим, что она сходится в пространстве Рв к функции g Е Рв. Покажем, что предельная функция g принадлежит (G)pD ф Кег Мф.
Последовательность {gi} состоит из функций вида gi = pi + Ri, где функции Ri Е (G)pD, то есть Ri |л = 0, а функции pi Е Кег Мф.
Если в последовательности {д{} содержится бесконечно много членов с Ri = 0, то предельная функция д Е Кег Мф. Если в {д{} содержится бесконечно много членов с pi = 0, то д Е (G)pd . Для последовательностей {gi} такого типа предельная функция д Е (G)pd ф Кег Мф.
Следовательно, далее можно считать, что последовательность {д{} такова, что Ri ф 0, pi ф 0 для всех I.
Полагаем, что < ^к+1 < 0, ^ 0, к ^ ж. Так как рг Е Кег Мф, р ф 0, это полином из экспонент вида
рг (*) = £ .
FinM
J
Здесь, для любого к Е N, функции ак — произвольные многочлены степени не выше m,k — 1. Для каждого I Е N справа стоит сумма по некоторому конечному подмножеству FinlM С М. Обозначим через щ номер максимального из ^к в этом представлении, то есть
< Ф 0.
Пусть последовательность {g¡} такова, что множество чисел {u¡} бесконечное. Покажем, что оно ограниченное. Предположим, что множество {u¡} является неограниченным.
Выберем в качестве исчерпания полуплоскости П0(§д) полукруги Kj = е-г/3 ■ В~, где В- = (—1/j + {И ^ j})fl{Re z ^ —1/j}. Для каждого j обозначим tj = arctg j2. Обозначим 1 , п .
£j — ^j), тогда несложно показать, что справедливы оценки:
—1 |z| ^ Hj(z) ^ — Aj|z| для z Е Ае.ф), (11)
3 J
где Aj J sin£j = 2^2 (1 + o(í^ i ^
к
Все многочлены из экспонент p¡ имеют вид (1). Выберем к > j, такое, что £к < — — [i.
Так как a—!qi ф 0, можно применить оценку (7) для p¡ из леммы 2, в которой а = £к. Используя еще оценку (10), получаем следующую оценку для R¡ = g¡ — pi, pi ф 0, R¡ ф 0 :
|Дг(;г)| ^ lpi(z)l — l9l(z)l ^ c3e^i co<^+a)\z\ — Аен(z),
для всех z в области {z Е А£к(0), Izl > г}. Здесь г = г(1). Так так к > j, А£к(0) С А£.(0), и тогда из (11) следует, что
lRt(z)l > Ipi(z)l — Igi(z)| ^ c3e^ — Ае-л
вне некоторого круга lz | > г в угле А£к (0).
По предположению, множество щ неограниченное, поэтому в представлениях полиномов Pi из экспонент существуют ¡iUl, сколь угодно близкие к 0.
Выберем ^U > Aj/ cos(^ + а), тогда из последней оценки вытекает, что lRi0(z)| > 0 для всех z вне некоторого круга {lzl > Г\(/0)} в угле А£к (0).
Получили противоречие: действительно, в силу этапа 1, Р(Л) = {s^}, поэтому для любого к вне любого круга, в угле А£к (0) лежит бесконечная последовательность точек из Л, а нам дано, что R¡0 |л = 0.
Следует отметить, что для произвольной последовательности {g¡} компакт Kj может быть сколько угодно большим, а тогда величина £к может быть сколь угодно малой. В этом смысл условия леммы.
Итак, в представлениях полиномов p¡ из экспонент в произвольной сходящейся последовательности {g¡}, g¡ = pi+Ri, множество чисел u¡ ограниченное. Следовательно, последовательность {pi} принадлежит некоторому конечномерному подпространству X С Ker Мф1. Утверждение (I*) означает, что все элементы сходящейся последовательности gi = p¡ + R¡ лежат в алгебраической прямой сумме X 0 (G)Pd С Ker Мф1 0 (G)Pd .
В любом топологическом векторном пространстве алгебраическая сумма конечномерного подпространства и замкнутого подпространства является замкнутым подпространством ([21], стр. 41). Итак, предельная функция д последовательности д1 = р1 + принадлежит Кег Мф ф (0)ро. Утверждение (II*) доказано.
Из доказанных утверждений (I*) и (II*) вытекает утверждение леммы 4.
Замечание 1. В доказательстве достаточности показано следующее. Пусть Л - произвольное множество показателей. Тогда одно лишь общее условие (8) (оно следует из условий леммы 4) - достаточное для того, чтобы множество Х(Л, П0(§д)) + 1м было всюду плотным в топологии пространства Н(П0(§д)).
Замечание 2. После преобразования г 4-х плоскости С получим формулировку, соответствующую случаю "правой"полуплоскости. Кроме того, для любого И Е К, в рассматриваемой задаче допустимо преобразование г 4 г + И комплексной плоскости, после которого соответствующим образом нужно изменить формулировки. Действительно, в результате этого преобразования, множество рядов экспонент сохраняется, а множество узлов сдвигается.
Область И — выпуклая, на ее границе лежит конечная предельная точка М.
Пусть И - выпуклая область в С.
Обозначим И(^) = 8ирстеР Ке(е^а). Для каждого р, число И(^) - это значение опорной функции к(-ф) (в смысле К2) области И в направлении е-%{р. Пусть в = ег1р, ранее была определена функция ¿(в) = к(-ф).
Прямая 1(Ъ) = {г = х + гу : И,е(зг) = х сов(-ф) + у вт(-ф) = ¿} называется опорной для области И в направлении = е-г1р, если на границе И существует точка, принадлежащая 1(в), причем область И лежит в опорной полуплоскости П(й, И) = {г Е С : Ке(зг) < ¿}. Эту точку назовем точкой опоры для прямой 1(в). Легко видеть, что прямая 1(~&) - опорная, тогда и только тогда, когда й = й(з).
Пусть 0 Е д И. Обозначим через Тр (0) С 8 совокупность всех в Е 8, для которых точка 0 на границе И является точкой опоры для 1(~£). Ясно, что Тр(0) = {в Е 8 : ¿(з) = 0}. Заметим, что, в условиях леммы 4, И = П0(§д), Тр(0) = {вр}.
Теорема 1. Пусть И выпуклая область, причем 0 Е дБ и И П К = 0. Предположим, что множество М С И П К - дискретное в И и имеет единственную предельную точку г = 0. В пространстве Н(И) разрешима проблема кратной интерполяции рядами экспонент из Е(Л,Д) с множеством узлов М, тогда, и только тогда, когда множество Р(Л) П То(0) = 0.
__-к
Доказательство. Случай И = ), ^| < —, рассмотрен в лемме 4.
Без ограничения общности можно считать, что И П К- = 0, тогда М С И П К-. В противном случае можно использовать преобразование г 4-х плоскости С.
Тогда И(ф) ^ 0, и из полунепрерывности снизу следует, что множество Тр(0) - замкнутое. Из выпуклости и однородности функции Н(г) = И(ф)|z| следует, что То(0) - связное
множество. Легко также видеть, что | а^ з| < — для всех 5 Е Тр(0), так как М П К- = 0.
Необходимость условия Р(Л) П Тр(0) = 0 следует из Предложения Б, а достаточность доказывается сведением к лемме 4.
Необходимость. Предположим, что проблема интерполяции разрешима, но условие теоремы не выполнено, Р(Л) П Тр(0) = 0. Далее будет показано, что в этом случае точка г = 0 лежит в Ирщ.
Множества Р(Л) и Тр(0) = {в Е 8 : ¿(в) = 0} замкнутые.
Для любого подмножества X С S и числа 5 > 0 обозначим
Xô = {s Е S : Зи Е X, \s - и\ ^ 5}.
Найдется такое 5 > 0, что Р(Л) П {(То(0))s = 9, поэтому существует такое связное замкнутое множество Si Е S, что Р(Л) G int Si, Si П To(0) = 9.
Из определения ¿"-выпуклой оболочки вытекает, что
DSl С Dp(a). (12)
Для всех s G Si выполнено d(s) > 0, поэтому из полунепрерывности следует, что Зс, d(s) > с > 0, s G Si. Обозначим В (с) = {z G C : \z\ = с}. Для всех z Е В(с) и любого s G Si, Re(sz) < с < d(s). Отсюда следует, что точка 0 Е д D лежит в nc(s) С n(s, D), для любого s G Si. Доказано, что 0 Е (В(с))s С DSl.
Из (12) получаем, что 0 Е Dp (л). Доказательство завершается следующим образом.
В силу предложения А, любой ряд экспонент, который сходится абсолютно в выпуклой области D, абсолютно сходится и в выпуклой области Dp (л). Его сумма — аналитическая функция в Dp (л).
Точка z = 0 лежит в области Dpщ и, по условию, она является предельной для множества узлов М. Для множества узлов М, имеющем предельную точку в области, интерполяция аналитическими функциями в этой области невозможна для произвольных (например, неограниченных) интерполяционных данных. Противоречие. Доказательство необходимости условия теоремы закончено.
Достаточность. По условию, существует предельное направление Sß = ег13 Е Р(Л), ле-
ж
жащее в Tu(0), тогда \ß\ < — , так как множество D П R- непустое.
Так как Sß Е TD(0), точка z = 0 - точка опоры прямой l(~Sß) = {z : Re(zs^) = 0}. Область D лежит в опорной полуплоскости П0(^д) = {Re(zs^) < 0}, и 0 Е д П0(^д) = l(~Sß). Таким образом, множество М С П0(§д) можно использовать в качестве множества узлов для интерполяции рядами экспонент в пространстве H (П0(§д)) С H (D). При этих условиях, разрешимость проблемы интерполяции рядами экспонент в пространстве H(П0(§д)) доказана в лемме 4. Разрешимость проблемы в H (D) следует из Предложения 2. Доказательство закончено.
Авторы выражают благодарность участникам Уфимского городского семинара по теории функций за внимание к работе и полезное обсуждение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983. 175 с.
2. Мерзляков С.Г. Интегралы от экспоненты по мере Радона // Уфимск. матем. журн., 3:2. 2011. C. 57-80.
3. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир. 1968. 279 с.
4. Мерзляков С.Г., Попенов С.В. Кратная интерполяция рядами экспонент в H(C) с узлами на вещественной оси // Уфимск. матем. журн., 5:3. 2013. C. 130-143.
5. Напалков В.В., Нуятов А.А. Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки // Матем. сб., 203:2. 2012. С. 77-86.
6. Кривошеев А.С. Критерий аналитического продолжения функций из инвариантных подпространств в выпуклых областях комплексной плоскости // Изв. РАН., Сер. матем., 68:1. 2004. C. 43-78.
7. Напалков В.В., Зименс К.Р. Кратная задача Валле-Пуссена на выпуклых областях в ядре оператора свёртки // Доклады РАН. Т. 458, № 4. 2014. С. 387-389.
8. Напалков В.В., Попенов С.В. Голоморфная .задача Коши для оператора свертки в аналитически равномерных пространствах и разложения Фишера // Докл. РАН., 381. 2. 2001. C. 164-166.
9. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых простраств, важных в приложениях // Сб. перев. Математика., 1:1. 1957. С. 60-77.
10. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982. 240 с.
11. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980. 384 с.
12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях. Матем. сб., 88(130):1(5). 1972. C. 3-30.
13. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки., 33:5. 1983. C. 701-713.
14. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976. 536 с.
15. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548 с.
16. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимск. матем. журн., 3:2. 2011. C. 43-56.
17. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных многочленов // Уфимск. матем. журн., 5:4. 2013. C. 84-90.
18. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Изв. РАН., Сер. матем., 68:2. 2004, C. 71-136.
19. Кривошеева О.А., Кривошеев А.С. Критерий выполнения фундаментального принципа для инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости // Функц. анализ и его прил., 46:4. 2012. C. 14-30.
20. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Замкнутость множества сумм рядов Дирихле // Уфимск. матем. журн., 5:3. 2013. C. 96-120.
21. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975. 443 с.
Сергей Георгиевич Мерзляков, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
Сергей Викторович Попёнов, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
