CC BY
48
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 4. С. 17-20.
УДК 519.65 Н.А. Задорин
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ
И КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПОГРАНСЛОЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НА СЕТКЕ ШИШКИНА*
Исследуются полиномиальные интерполяционные формулы для функций с по-гранслойной составляющей на сетке Шишкина в случаях двух и трех узлов интерполяции. Доказано, что погрешность исследуемых формул не зависит от градиентов погранслойной составляющей. На основе этого показано, что погрешность соответствующих квадратурных формул Ньютона-Котеса тоже не зависит от градиентов погранслойной составляющей.
Ключевые слова: функция, погранслойная составляющая, полиномиальная интерполяция, сетка Шишкина, оценка погрешности, квадратурная формула.
Приближение функций интерполяционными многочленами Лагранжа и построение квадратурных формул на их основе хорошо известно [1]. Однако если интерполируемая функция имеет большие градиенты, то применение интерполяционных многочленов Лагранжа может привести к существенным погрешностям. В соответствии с [2] использование формул полиномиальной интерполяции функций с погранслойной составляющей на равномерной сетке может приводить к погрешностям порядка 0(1). Функции с погранслойной составляющей соответствуют решению сингулярно возмущенных краевых задач. Для того чтобы погрешность интерполяционной формулы не зависела от градиентов погранслойной составляющей, в [3] предложено строить формулы не полиномиальной интерполяции, точные на погранслойной составляющей.
В данной работе рассматривается другой подход для обеспечения равномерной точности: используются формулы полиномиальной интерполяции на сетке, сгущающейся в пограничном слое, точнее на сетке Г.И. Шишкина [4]. Затем исследуется точность формул Ньютона-Котеса на данной сетке.
Итак, пусть на интервале [0,1] функция и(х) представима в виде:
и( х) = р( х) + Ф( х), (1)
где регулярная составляющая р( х) и погранслойная составляющая Ф( х) удовлетворяют ограничениям:
I р °)(х)| < с;,о < ] < к, (2)
| Ф() (х) |<Схе~ехр(-ае—х), 0 < ] < К, (3)
где а> 0,ее (0,1], постоянные С,С,! не зависят от е. Представление (1)-(3) справедливо для решения сингулярно возмущенной краевой задачи [4]:
еи"(х) + а(х)и'(х) - Ь(х)и(х) = /(х), и(0) = А, и(1) = В, (4)
где функции а (х), Ь( х), / (х) - достаточно гладкие, а( х) >а> 0, Ь( х) > 0, ее (0,1].
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 11-01-00875). © Н.А. Задорин, 2012
Исследуем точность полиномиальной сплайн-интерполяции функции и(х) , имеющей представление (1) на сетке Г.И. Шишкина О. Зададим сетку О с узлами {хп, п = 0,1,..., N, х0 = 0, хы = 1} и шагами:
h =
2а
N -
1 й n й
N
, 2(1 -а) N
h = —---------, — < n й N,
n N ’2 ’
где
(S)
а = шт{1/2, кеа 11п N},
к > 0 - задаваемый параметр.
Оценка погрешности интерполяции
Для формулы линейной интерполяции х - х х - х ,
х) =—----ип-1 +---ип,
К К
х е [хп-1, хп ] на сетке Шишкина при к = 2 в [5] получена оценка точности:
max x i L2 (u, x) - u( x) |й C
ln2 N
N2 '
(б)
Остановимся на случае квадратической интерполяции. В соответствии с [4], [6] для решения задачи (4) и(х) найдутся функции р(х), Ф(х) такие, что при К = 3 будут выполнены ограничения (2), (3). Предполагаем, что N кратно четырем, в (5) - к = 3. Строим интерполяционную формулу на интервале Ап = [хп-и хп+г1 п = и^.^N -1. В силу того, что N кратно четырем, интервал Ап будет в области [0,ст] или вне ее, поэтому кп = Кп+1 Формула квадратической интерполяции имеет вид:
L3(u, x) = un-1 + (un - un-1)
x - xn h
un-1 - 2un + un
2h
-( x - xn-1)( x - xn ).
1 L3(^ x) - u(x)|ü x Є An . (7)
Лемма 1. Для некоторого C.
,ln3 N N3
Доказательство. Для интерполяции многочленом Лагранжа известна оценка погрешности:
1 П+1
|L3(u,x) -u(x) |< — max | u(3)(s) | П Ix-Xj I.
6 j=n-1
Следовательно,
1
|L3(u,x) -u(x) |< —j= max |u()(s) |hn. (8)
9v3
Учитывая представление (1), получим:
| L3 (u, x) - u(x) |<
<| L3(p,x) -p(x)| +14(ф,x) - ф(x) |.
Учитывая (2), (8), получим, что ЗС:
1 Lз(p, x) - p(x) |й c .
(9)
Для оценки погрешности на составляющей Ф( х) рассмотрим два случая.
Пусть хп+1 <а, <т< 1/2. Учитывая (3), (8), получим:
873^, 1п3 N
14(фx) -ф(x)|ü^~C1- лгз aN
Из (9) и (10) получим (7).
(10)
Пусть хп-1 >о, о < 1/2. В соответствии с (3) и заданием параметра о | Ф(х) |< C1 / N3. Следовательно,
| ¿з(Ф, х) - Ф( х) |<| Ф( х) | +1 ¿з(Ф, х ) |< 3.
Учитывая (9), получим (7).
Остается рассмотреть случай о = 1/2. Тогда £><a/(6ln N). Учитывая (8) применительно к функции Ф( х) и (3), получим (10), что доказывает лемму.
Замечание. Анализ точности формулы сплайн-интерполяции многочленом Лагранжа степени больше двух можно провести по аналогии с леммой 1. В этом случае представление ( 1)—(3) необходимо при K > 3 и в формуле (5) при задании о к > 3. В соответствии с [4], [6] можно задать р(х), Ф(х) таким образом, что представление (1)-(3) для решения задачи (4) будет иметь место для K > 3.
Квадратурные формулы
В соответствии с [7] точность формул Ньютона-Котеса на равномерной сетке может понизиться до величины порядка O(h) при наличии погранслойной составляющей у интегрируемой функции. Проведем анализ точности таких квадратурных формул в случае сетки Шишкина.
Рассмотрим вопрос вычисления интеграла
I (u ) =| u( x ) dx,
(11)
где для функции и(х) справедливо представление (1)-(3).
Остановимся на составной формуле трапеций на сетке Шишкина, в (5) к = 2. Запишем квадратурную формулу:
N Ы и + и
зд=£ ^ (и) =1 -£-і2-і к . (12)
П=1 П = 1 ^
Для каждого п
хп
£2 п (и) =| Ь2 (и, х) dx.
Хп-1
Учитывая оценку (6), получим:
х} 1п2 N
I $2п (и) - | и(х) dx |< СН.
n N2
x
n -1
Интерполяционные и квадратурные формулы..
19
Следовательно,
|ЗД -1 (и) |< С ^. (13)
В соответствии с (13) составная формула трапеций (12) на сетке Шишкина имеет почти второй порядок точности равномерно по параметру е.
Остановимся теперь на составной формуле Симпсона на сетке Шишкина при к = 3 в (5). Предполагаем, что N кратно четырем. Выпишем составную формулу Симпсона:
N-1 К
>%(и) =Е “3 (ип-1 + 4ип + ип+1). (14)
п=1,2 3
Учитывая оценку (7), по аналогии со случаем формулы трапеций, можно доказать, что для некоторой постоянной С
^(и) -1(и) |< С^. (15)
Составная формула Симпсона (14) на сетке Шишкина обладает почти третьим порядком точности, равномерно по е.
Аналогичным образом можно получить оценку точности, равномерную по параметру е, в случае большего количества узлов квадратурной формулы. Это соответствует замечанию о точности формул полиномиальной интерполяции на сетке Шишкина.
Численные эксперименты
Численный анализ точности формул интерполяции на сетке Шишкина проводился в [5]. Проведем анализ точности квадратурных формул. Остановимся на вычислении интеграла
1
I(и) = | [е08(^х /2) + ехр(-е 1х)] ^
0
при различных значениях параметра ее(0,1]. При этом Ф (х) = ехр(-е-1х).
В табл. 1 приведена погрешность
А =| I (и) - S2(u )| составной формулы трапеций на равномерной сетке в зависимости от е и N. В случае е=1 А = 0(1/N2) при е< 1/N погрешность А становится величиной порядка 0(1/^.
Таблица 1 Погрешность составной формулы трапеций на равномерной сетке
s N
23 24 26 26 27 28
1 1,2 e-3 3,1e-4 7,6 e-6 1,9e-6 4,8 e-6 1,2 e-6
2-3 8,2 e-3 2,1 e-3 6,2 e-4 1,3 e-4 3,3 e-6 8,2 e-6
2-6 3,3 e-2 9,3 e-3 2,4 e-3 6,2 e-4 1,6 e-4 3,9 e-6
2-7 6,3 e-2 2,3 e-2 8,3 e-3 2,4 e-3 6,3 e-4 1,6 e-4
2-9 6,9 e-2 2,9 e-2 1,4 e-2 6,8 e-3 2,1 e-3 6,1 e-4
2-11 6,G e-2 3,G e-2 1,6 e-2 7,3 e-3 3,4 e-3 1,6 e-3
В табл. 2 приведена погрешность А составной формулы трапеций в случае сетки
Шишкина. Подтверждается оценка точности A = O(ln2 N / N2).
Таблица 2 Погрешность составной формулы трапеций на сетке Шишкина
s N
23 24 26 26 27 28
1 1,2 e-3 3,1e-4 7,6 e-6 1,9e-6 4,8 e-6 1,2 e-6
2-3 8,2 e-3 2,1 e-3 6,2 e-4 1,3 e-4 3,3 e-6 8,2 e-6
2-6 1,G e-3 2,9 e-4 2,8 e-4 1,3 e-4 6,G e-6 1,7 e-6
2 7 4,8 e-3 1,2 e-3 2,8 e-4 6,6 e-6 9,G e-6 8,7 e-7
2-9 6,9 e-3 1,7 e-3 4,3 e-4 1,1 e-4 2,6 e-6 6,1 e-6
2-11 6,2 e-3 1,8 e-3 4,7 e-3 1,2 e-4 3,G e-6 7,6 e-6
В табл. 3 приведена погрешность
А =| I(и) - S3(u) | составной формулы Симпсона на равномерной сетке в зависимости от е и N. При е = 1 А = 0(1/N4), при
е< 1/N погрешность А, как и в случае формулы трапеций, становится величиной порядка 0(1/N).
Таблица 3 Погрешность составной формулы Симпсона на равномерной сетке
s N
23 24 26 26 27 28
1 3,8 e-7 2,4 e-8 1,6 e-9 9,3e-11 6,8 e-12 3,6 e-13
2-3 4,2 e-6 2,7 e-6 1,7 e-7 1,1 e-8 6,7 e-1G 4,2 e-11
2-6 1,9 e-3 1,6 e-4 1,1 e-6 6,7 e-7 4,2 e-8 2,7 e-9
2-7 1,3 e-2 3,4 e-3 4,6 e-4 3,9 e-6 2,6 e-6 1,7 e-7
2-9 1,9 e-2 8,6 e-3 3,3 e-3 8,4 e-4 1,2 e-4 9,7 e-6
2-11 2,G e-2 9,9 e-3 4,7 e-3 2,1 e-3 8,2 e-4 2,1 e-4
В табл. 4 приведена погрешность А составной формулы Симпсона на сетке Шишкина в зависимости от е и N. Подтверждается оценка А = 0 (1п3 N / N3).
Таблица 4 Погрешность составной формулы Симпсона на сетке Шишкина
s N
23 24 26 26 27 28
1 3,8 e-7 2,4 e-8 1,6 e-9 9,3e-11 6,8 e-12 3,6 e-13
2-3 4,2 e-6 2,7 e-6 1,7 e-7 1,1 e-8 6,7 e-1G 4,2 e-11
2-6 1,8 e-4 3,8 e-6 6,G e-6 6,7 e-7 4,2 e-8 2,7 e-9
2 7 6,7 e-6 9,8 e-6 1,6 e-6 2,G e-7 2,3 e-8 2,4 e-9
2-9 2,6 e-6 2,9 e-6 4,G e-7 6,G e-8 6,8 e-9 6,2 e-1G
2-11 1,8 e-6 1,2 e-6 1,2 e-7 1,4 e-8 1,6 e-9 1,6 e-1G
Итак, в случае равномерной сетки при наличии погранслойной составляющей погрешность квадратурной формулы Ньюто-на-Котеса может стать величиной порядка O (1/ N ). Построение составной квадратур-
ной формулы на сетке Шишкина приводит к тому, что ее погрешность становится равномерной по параметру s, точность увеличивается с увеличением числа узлов. Подтверждаются оценки точности (13), (1S) для анализируемых квадратурных формул.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Бахвалов Н. С. Численные методы. М. : Наука, 1987. 598 с.
[2] Задорин А. И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Сибирский журнал вычислительной математики. 2007. Т. 10. № 3. С. 267-275.
[3] Задорин А. И., Задорин Н. А. Сплайн-интерполяция на равномерной сетке функции с погранслойной составляющей // Ж. вычисл. ма-
тем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 2. С. 221233.
[4] Miller J. J. H., O’Riordan E, Shishkin G. I. Fitted numerical methods for singular perturbation problems. Singapure: World Scientific, 1996. 163 p.
[5] Задорин А. И. Метод интерполяции на сгущающейся сетке для функции с погранслойной составляющей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 9. С. 1673-1684.
[6] Roos H. G., Stynes M, Tobiska L. Numerical methods for singularly perturbed differential equations. Convection-diffusion and flow problems. Berlin: Springer, 2008. 348 p.
[7] Задорин А. И., Задорин Н. А. Квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 11. С. 952-1962.
