Интегрирование на ориентированном множестве по проекции Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 517.2/.3 ББК 22.161.1 Ш 65

Шишкин А.Б.

Доктор физико-матаиатических наук, профессор кафедры математики, информатики и .методик их преподавания факультета математики, информатики и технологии Славянского-на-Кубани государственного педагогического института, тел. 89897601384, e-mail: [email protected]

Интегрирование на ориентированном множестве по проекции

(Рецензирована)

Аннотация

Изложены основы конструктивной теории интегрирования по проекции на частично ориентированных множествах в пространстве Rn.

Ключевые слова: интергирование по проекции, ориентированные множества, ранг, ячейки, до, .

Shishkin A.B.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Department of Mathematics, Informatics and Techniques of Their Teaching, Faculty of Mathematics, Informatics and Technology, Slavyansk-on-Kuban State Pedagogical Institute, ph. 89897601384, e-mail: [email protected]

Integration on the focused set on a projection

Abstract

The paper contains bases of constructive theory of integration on a projection on to the partially oriented set in space Rn .

Keywords: integration on the projections, the focused sets, a rank, cells, the domain, calculating additivity of a measure on a projection.

Мера ориентированного множества по проекции. Выберем натуральное число v и рассмотрим покрытие пространства Rn := {x := (x15...,xn): xj e R} счетной системой n -мерных кубов

sit k, := {X: 2-k, < ^ < 2~v(kt +1)}, kp,,kn e Z

с длиной ребра 2-v. Отмечая зависимость этого покрытия от числа v, называем его каноническим покрытием ранга v, а его элементы S называем ячейками ранга v.

Объединения конечных совокупностей ячеек ранга v называем элементарными множествами ранга v. Пустое множество 0 тоже считаем элементарным множеством ранга v.

Если e - элементарное множество ранга v, m - общее количество ячеек ранга v, составляющих множество e, то число v(e):= 2-vnm называется (n -мерным) объемом множества e.

Пусть k Е N и k < n. Проекцию Rn ^ Rk: x ^ x' := (x1,..., xk) обозначаем п. Проекция п отображает всякое элементарное множество e с Rn ранга v на

элементарное множество пе с R* ранга V. Связное элементарное множество

d с Rn ранга V называем доменом ранга V , если оно проецируется в одну ячейку

S' с Rк.

Проекция домена d с Rn ранга V имеет к -мерный объем v(nd) = 2-Vk. Всякое элементарное множество составлено из конечного числа отдельных доменов. Если m - общее количество доменов ранга V , составляющих элементарное множество e, то число vn(e):= 2-Vk m называется объемом множества e по проекции п.

Символом Ък обозначим совокупность всех ограниченных частично ориентированных множеств E с Rn размерности к (см. [1]). Отношение ориентирования на множестве E индуцирует отношение ориентирования на любом его подмножестве. Значит, любое подмножество частично ориентированного множества E е Ък само является элементом совокупности Ък. Совокупность всех ориентированных таким образом подмножеств множества E е Ък обозначается Ък (E). Пространство Rк наделяем отношением естественного ориентирования. Это означает, что любая ячейка S' с Rк ранга V и каждое элементарное множество е' с Rk ранга V являются ориентированными множествами, то есть принадлежат Ък ^к).

Пусть E е Zк - объединение всех ячеек ранга V , пересекающихся с множеством E. Домен d с Rn называем положительным (соотв. отрицательным), если он обладает свойством: отображение п: d П E ^ S' является изоморфизмом (соотв. антиизоморфизмом) ориентированных пространств. Положительный (соотв. отрицательный) домен d с Rn называем минимальным, если всякий «меньший» домен d с d не является положительным (соотв. отрицательным). Объединение всех минимальных положительных (соотв. отрицательных) доменов d с Rn обозначим p^ (соотв. n^).

Придавая всевозможные натуральные значения, получаем три числовые последовательности

{vn(pE )>;=i, {vn(nEv )>;=i, к« )>;=i.

Первые две последовательности не убывают, а третья последовательность не возрастает. Кроме того, для любых V , v' Е N справедливо неравенство

vn(pE) + vn(nEv ) < vT(eEv).

По теореме о пределах монотонных последовательностей существуют пределы

H+(E) := lim vn(pEv ) = supvn(pEv ),

V V

H-(E) := lim vn(n^) = supvn(rf),

V^“ V

\ß%E) := lim^(e^) = inf ^(e^).

I I V V

При этом 0 <ßl(E ) + H_(E )<\u\(E). Если Ц (E) + H (E^H^E), то говорим, что частично ориентированное множество E измеримо по проекции п. При этом число цп(E):= ul (E)-H(E) называем мерой E по проекции п, а неотрицательное число \Ц\(E) = H(E) + Ц (E) называем полной вариацией меры E по проекции п .

Совокупность всех множеств Е Е Хк, измеримых по проекции *, обозначаем X*. Если Е Е X*, то символом Х*(Е) обозначаем совокупность всех подмножеств Е, принадлежащих X*.

Функция множества \м*\ определена на совокупности Хк и обладает свойством полуаддитивности:

Свойство 1. Если Ех,Е2 €Хк(Е) и Е сЕ1 иЕ2, то Ц(Е) <Ц(Ех) + Ц(Е,).

Доказательство. Из очевидного соотношения еЕ с еЕ1 и еЕ2 вытекает неравенство Vп( еЕ) < V* ( еЕ1 ) + уп( е*). Переходя в этом неравенстве к пределу при V , получаем требуемое неравенство.

Функции множества ц*, цп_ определены на совокупности X* и обладают свойством аддитивности:

Свойство 2. Если Е1, Е2 Е Х*(Е), Е = Е1 и Е2 и при этом Е1 П Е2 =0, то справедливы равенства ¡1+ (Е) = 1 (Е1) + Ц (Е2) и 1(Е) = 1(Е1) + ц_(Е2).

Доказательство. Действительно, из очевидных соотношений рЕ з рЕ и рЕ2, пЕ з «Е1 и пЕ2 вытекает, что V* (рЕ) > V* (рЕ1) + V* (рЕ2), V* (пЕ) > V* (пЕ1) + V* (пЕ2). Переходя в последних неравенствах к пределу при V ^~, получаем

1 (£)>!(£, )+мП(Ег), 1(£)>1(£, )+Мп_(Е2).

С другой стороны, V* ( еЕ) < V* ( еЕ1) + V* ( еЕ2), значит

vп(eE) _ * рЕ) < ^(еЕ1) _ * рЕ1)]+^(еЕ2) _ vп( рЕ2)], vп(eE) _vп(nE) < [vп(eE1) _vп(nE1)] + ^(еЕ2) _VП(nEv2)].

Переходя в последних двух неравенствах к пределу при V ^~, получаем

мКЕ )<1(Е )+1(Е. )• 1(Е )<1(Е ) + 1 (Ег).

Аддитивность функций 11 влечет аддитивность функций 1, Ц. Заметим, что аддитивные функции множества часто называются мерами.

Если к = п, то говорим не об измеримости ориентированного множества по проекции и не о его мере по проекции, а об измеримости ориентированного множества и

об его мере соответственно. При этом вместо символов 1, Ц*_,1, \м*\, Хк, X*

используются символы 1+ , 1_ ,1, Ц, Хп, X.

Если к = п и отношение ориентирования на множестве Е с Rп индуцировано из Rп, то пишем Е Е Хп ^п). При этом ц_ (Е) = 0; мера 1 (Е) := /и+ (Е) совпадает с внутренней (нижней) мерой множества Е по Жордану; мера 1(Е) := Ц(Е) совпадает с внешней (верхней) мерой множества Е по Жордану; условие измеримости множества Е принимает классический вид 1 (Е) = ¡1 (Е).

Если множество Е Е Хп ^п) является измеримым, то пишем Е Е Х^п).

Общее значение мер 1 (Е),1 (Е) совпадает с мерой Жордана множества Е и обозначается /и( Е).

Критерий измеримости по проекции. Пусть Е Е Хк и V е N. Символом z1E обозначим объединение всех доменов элементарного множества еЕ, которые не входят ни в рЕ ни в пЕ. Пересечение П Ж=2Е обозначаем символом Е0 и называем границей ориентирования множества Е по проекции *. Если Е+ := и Г=рЕ, Е_ := и гпЕ, то, как легко заметить, Е\ (Е+ иЕ_)с Е0. Существует

простое необходимое и достаточное условие измеримости Е по проекции * в терминах границы ориентирования множества Е .

Теорема 1. Частично ориентированное множество Е Е Хк принадлежит Х* тогда и только тогда, когда Е0 Е Х* и Щ (Е0 ) = 0 .

Доказательство. Пусть Е Е Х* и V е N. Рассмотрим четыре элементарных множества рЕ, пЕ, zE, еЕ ранга V. Эти множества дизъюнктны (то есть их внутренности не пересекаются) и связаны очевидным соотношением еЕ = рЕ и пЕ и zE. Значит

,*(еЕ ) = л*( рЕ)+,*(пЕ)+,’’(2?).

Переходя в последнем равенстве к пределу при V ^ж , получим ^(Е) = 1(Е) + 1(Е) + !* (Е0), значит 1*1 (Е0) = 0. При этом 1 (Е0)<|цп(E0) и 1 (Е0 )< 1*| (Е0), значит Ц (Е0) = 1 (Е0) = 0. Следовательно,

КЕ, )+1(е, ) = И(Е )•

Это означает, что Е0 € Х*.

Обратно. Пусть Е е Хк, Е0 € Х* и 1 (Е0 ) = 0. Переходя в равенстве V* (еЕ) = vп(рЕ) + vП(nE) + vп(2Е) к пределу при V ^ ж, получаем

т(Е ) = 1(Е )+1(Е)+0,

то есть Е Е Х* .

Из доказанного критерия вытекает, что совокупность Х*(Е) замкнута относительно основных теоретико-множественных операций. Убедимся в этом.

Во-первых, если А,В Е Х*(Е), то А \ В Е Х*(Е). Действительно, выберем произвольную точку х € (А \ В)0 и для любого натурального V обозначим какой-либо домен элементарного множества 2^, содержащий точку х. Если все домены пересекаются с В, то х Е В0. Если какой-либо из этих доменов не пересека-

ется с В, то х Е А0. Следовательно, (А \ В)0 с А0 и В0. На основании полуаддитив-ности функции множества Ц заключаем, что 111 ((А \ В)0 ) = 0. Следовательно А \ В Е Х*(Е).

Во-вторых, пусть А, В Е Х*(Е). Выберем произвольную точку х € (А и В)0 и

для любого натурального V обозначим какой-либо домен элементарного множе-

ства 2АВ, содержащий точку х. Если все домены пересекаются с А, то х Е А0. Если какой-либо из этих доменов ё у не пересекается с А, то х Е В0. Следователь-

за-

но, (A U B)0 с A0 U B0. На основании полуаддитивности функции множества ключаем, что I цп I ((AUB)0) = 0. Это означает, что AUB е (Е).

В-третьих, если A, B е ЪП(Е), то из соотношения A П B = E \ [(E \ A )U (E \ B)] вытекает, что A П B е (E).

Счетная аддитивность меры по проекции. Меры f, f обладают свойством счетной аддитивности:

Свойство 3. Если A,A1,A2,... е(E), A = V!Tj=1Aj и множества A1,A2,... попарно не пересекаются, то f (A) = Y,“fl(A.) и jf (A) = £°°=1ßn_ (Aj).

Доказательство. Пусть натуральные v(е) и v(j, е) подобраны так, что выполняются неравенства

vn(p^) > f (E) _е, vn(nE(e,) > f (E) _е,

ПPEjj,е)) > U(E) _е, v'rfjj,е)) > U(E) _2е,

vn(eEjj ,е)) <I U I (Ej) + е, V(е) < v(j,£) < v (j +1, е).

Компакт E покрывается открытыми множествами int e^. е), j Е N. Значит, найдется натуральное N > v(е) такое, что pE(N ,е) U nE(N ,е) с E с UN^vi.,еу При этом

E I N E) e i N Et

Pv(N ,е) — U j=ipv(j ,е), nv(N ,е) — U j=Pv (j ,£).

Следовательно,

V"(PE(N,е)) + ^(<N,е)) < Z

V"(PEn,е)) > ZN=1V(PEUе)), V(nE(N,е)) > Zе)).

Из этих неравенств вытекает, что

V"(Pns)) < V"(Pv(N,е)) < Z'¡=1[Vn(eE(jj,е)) _ Vn(nvuеД

Vn(nE(s)) < V^ (nv(N ,е)) < Z ,е)) _ V"( Pvi] ,е))].

Значит U (E) < Y7=iU (Ej)+3е, fU_ (E) < Y7=^ (E.)+3е. Отсюда в силу произвольности е вытекают неравенства f (Е) < £(Е.), U(Е) < £“If (Ej).

С другой стороны, в силу аддитивности мер f, ff для любого натурального N справедливы неравенства f(E)> YN^n (E. ), f (Е)> YNf- (E. ). Это означает,

что ряды Y (Е.), £ °°=u"_ (Е.) сходятся и при этом f(E )> £ (Е.),

Е )> Е ~=и (Е).

Счетная аддитивность мер и+, и~ влечет счетную аддитивность мер ип, ип

Интеграл по проекции. Пусть на множестве Е Е Ъп определена ограниченная действительная функция /. Элементарные множества рЕ и пЕ состоят из конечной совокупности доменов ё с Rп ранга V. Каждый из этих доменов проецируется на отдельную ячейку 8' с Rк ранга V. Напомним, что к -мерный объем ячейки 8 равен 2~ук. Пусть

тё := 1П£/, мё := 8иР /,

аС\Е

dC\E

.= £ 2-.ч _ £ 2-.м,

d с pv d cn

<- := £ 2_» Md _ £ 2d с pv d сПу

Укажем два очевидных свойства сумм o'™11 и ст”“: последовательность

«”Т=1 не убывает, а последовательность (o1max}7=1 не возрастает; если v, v' е N и

V" = max{v, V'}, то о”1“ < о™11 < ст”“ < ст”“. Из этих свойств вытекает, что последовательности (ovmin};=1 и {o,max}“=1 являются сходящимися. При этом

I, := lim о”1“ = sup о““, I* := lim ovmax = sup о”

_max

v

Число I, называется нижним интегралом функции / по множеству Е по проекции п, а число I* называется верхним интегралом функции / по множеству Е по проекции п. Если 1,= I*, то функцию / называют интегрируемой на множестве Е по проекции п, а число I := I, = I * называют интегралом функции / по множеству Е по проекции п и обозначают \Е/(х)ёх'.

Легко увидеть, что интегрируемость функции / на множестве Е по проекции п равносильна условию

оГ-о;1“ = X 2_vk(Md _md) ^ 0

d с Pv-nVy

при v ^™. Множество E является измеримым по проекции п, значит

I 1 I (E0) = 0. Следовательно V(zf^ 0 при v Отсюда вытекает, что

Еd=^2-vk (Md - md) < (M - m)vn {zEv ) ^ 0

при v ^^, где M := supE f, m := infE f. Это означает, что интегрируемость функции f на множестве E по проекции п равносильна условию

Aav := ^ 2-vk (Md - md) ^ 0 при v ^ ~.

d QeE

Пару последовательностей {p v} ^, {nv} ^ подмножеств Rn будем называть

парой, исчерпывающей множество E по проекции п, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) всякий домен множества p v является доменом множества pE, а всякий домен множества nv является доменом множества nЕ;

2) limv^ vn(pv) =1 (E), limv^ vn(nv) = 1 (E).

Пара последовательностей { p E} = , {n E} = является примером пары, исчерпывающей множество E по проекции п .

Выберем произвольную пару {p v} ^, {nv} ^, исчерпывающую множество E.

Пусть

(af)’ := £2-4 - £2-'kMd,

d с pv d с nv

(a-)’ := £ 2-vkMd - £2-v‘m„.

d с pv d cn

Легко убедиться, что

a - (amin)’,amax - (am“)’< m [vn( pE) - vn( pv)] - m[vnn) - v>v)],

где m := infEf, M := supE|f|. Следовательно,

limv ^ (or - (amin)’) = limv ^ «“ - (am“/)=0.

Это означает, что при определении интеграла JEf (x)dx' можно заменить последовательности { p E } , { n E } произвольной парой, исчерпывающей множество E.

L v J v=1 I v J v=1

Если k = n, то говорим не об интегрируемости на E (интеграле по E) по проекции п, а об интегрируемости на E (интеграле по E). При этом вместо символа JEf (x)dx используем символ JEf (x)dx. Если E Е X(Rn), то вместо интегрируемости (интеграла) на измеримом ориентированном множестве говорим об интегрируемости (интеграле) на измеримом множестве. В последнем случае понятия интегрируемости и интеграла эквивалентны аналогичным понятиям по Риману.

Критерий интегрируемости по проекции. Пусть E Е Хп. Множество е0 с E называем нуль-множеством по проекции п, если для любого е> 0 существуют измеримые множества е1, е2,... Е X(Rn), удовлетворяющие условиям:

1) множества е1,е2,... покрывают множество е0, то есть е0 сUT=iek;

2) ряд £ гЦпек) сходится и его сумма меньше е.

Легко убедиться в справедливости следующих утверждений: конечные и счетные множества являются нуль-множествами по проекции п ; любое подмножество нульмножества по проекции п является нуль-множеством по проекции п ; измеримое множество, имеющее нулевую вариацию меры по проекции п , является нульмножеством по проекции п; объединение счетной совокупности нуль-множеств по проекции п является нуль-множеством по проекции п .

Говорим, что функция f, определенная на множестве E, непрерывна почти всюду на E по проекции п, если точки разрыва этой функции образуют нуль-

множество по проекции п.

Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на множестве E е Хп функция f была интегрируема на нем по проекции п, необходимо и достаточно, чтобы f была непрерывна почти всюду на E по проекции п.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f ограничена на E е Ъп и интегрируема на множестве E по проекции п, е0 с E - множество точек разрыва функции f по проекции п. Предположим, что множество е0 не является нульмножеством по проекции п. Обозначим е01) множество точек х из е0, удовлетворяющих условию: для любой окрестности U (х) точки х выполняется неравенство

SUPu (х)ПEf - lnfU (х)ПEf > 1 •

Из определения точек разрыва вытекает, что е0 = ^j=f(01). Следовательно, для некоторого натурального j0 множество е0 := е010) не является нуль-множеством по проекции п. Это означает, что существует е> 0 такое, что для любого покрытия е1,е2,... ЕХ(Rn) множества е0 выполняется неравенство £^=1^(пек) >е. Выберем

произвольное V Е N и из семейства доменов d, составляющих множество е^, удалим те, внутренности которых не пересекаются с множеством е0. Полученное множество е v с еЕ содержит множество е0, является измеримым и, значит,

ц(яеу) = Уп(еу) = Е dсе; 2-Vk > е. При этом

£2-k(Md -m„) >- > О

d сеу j0

для любого V е N. Но это противоречит интегрируемости функции f на множестве E по проекции п.

Достаточность. Будем считать, что множество е0 с E точек разрыва функции f является нуль-множеством по проекции п. Пусть

е> 0, M := supE I f I, е := е, е :=—пе-.

’ rE J ’ 1 6M ’ 2 3(1^п1(E)+l)

По определению нуль-множества существует покрытие е1, е2, ... Е Х(Rn) множества е0, для которого выполняется неравенство £ к=1^(пек) <f. Заменим каждое множество ек из этого покрытия открытым множеством ек := int е^(к), где ранг V(к) подобран из условия уп (е^к)) < ц(пек) + -^. Множества е1, е2,... покрывают множество е0, и при этом £ 1=^(пек) <е1. В каждой точке х Е E \ е0 функция f является непрерывной, значит, для некоторого натурального V (х) выполняется неравенство sup^^f - inf enEf <е2, где ех := int е{у Кроме того, для некоторого натурального V0 выполняется неравенство уп(zE4) < е1.

Пусть е0 := int zEo. Семейство открытых множеств е0, ек, ех, где к Е N, х Е E \ е0 покрывают компакт E. Выберем из этого покрытия конечное подпокрытие

е0,е'ь,ех , где i Е{1,Nj}, j Е{1,N2} и обозначим N наибольшее из чисел maxi6{1Ni} v (ki), max je{1_ N } v (xj) и v0. Пусть для любого v > N’ выполняется неравенство v71 (еЕ) <111 (E) +1. Тогда для всякого v > max{N, N'} сумма

Да = £ 2- 'k (Md - m,)

d се^

распадается на три суммы Aav = Aav+Aav+Aav. В сумме Aav суммирование ведется по доменам d 'с pE U nE, покрываемым системой множеств ек , i Е {1,..., N1}; в сумме Aav суммирование ведется по всем доменам d"с zE; в сумме Aav сум-

E

мирование ведется по всем остальным доменам d с ех,. Из соотношений Aav< 2Ме1 + 2Ме1 + (111(E) + 1)е2 = |+|+-| = е вытекает, что Aav ^ 0 при v .

Примечания: References:

1. Шишкин А.Б. Ориентирование множеств // 1. Shishkin A.B. Orientation of sets // FORA

Труды ФОРА. 2011. № 16. С. 27-31. URL: Works. 2011. No. 16. P. 27-31. URL:

http://fora.adygnet.ru http://fora.adygnet.ru