CC BY
22
УДК 621.391
Б.В. ГОРЛИНСЬКИЙ*
1НФОРМАЦ1ЙНА ТЕХНОЛОГИЯ СИНТЕЗУ МОДЕЛЕЙ БЕЗПРОВОДОВИХ ЗАСОБ1В ПЕРЕДАЧ1 ДАНИХ НА ОСНОВ1 АДАПТИВНОГО КОДУВАННЯ
Державна служба спецiального зв'язку та захисту шформаци Украшн, м. Кшв, Украша
Анотаця. У cmammi запропонована тформацтна технолог1я синтезу моделей безпроводових за-co6ie передачi даних на основi застосування адаптивного кодування Шформаци pi3HUMU завадос-тткими кодами: блоковыми кодами Хеммтга, БЧХ-кодами та багатокомпонентними турбокода-ми. Застосування рiзних завадосттких кодiв вiд бшьш простих до бшьш складних у залежностi вiд вiдношення сигнал-шум у каналi приводить до спрощення варiантiв синтезу моделей безпроводових засобiв передачi даних, особливо за умов нестащонарних навмисних завад. Ключов1 слова: безпроводовi засоби передачi даних, адаптивне кодування, турбокоди, алгоритми декодування.
Аннотация. В статье предложена информационная технология синтеза моделей беспроводных средств передачи данных на основе использования адаптивного кодирования информации разными помехоустойчивыми кодами: блочными кодами Хемминга, БЧХ-кодами и многокомпонентными турбокодами. Использование разных помехоустойчивых кодов от более простых до более сложных в зависимости от отношения сигнал-шум в канале приводит к упрощению вариантов синтеза моделей беспроводных средств передачи данных, особенно при условиях нестационарных преднамеренных помех.
Ключевые слова: беспроводные средства передачи данных, адаптивное кодирование, турбокоды, алгоритмы декодирования.
Abstract. The article proposes information technology for the synthesis of wireless data transmission models based on the use of adaptive information coding with different noise-proof codes: block Hamming codes, BCH codes and multicomponent turbo codes. The use of different noise-immune codes, from simpler to more complex ones, depending on the signal-to-noise ratio in the channel, leads to simplification of the synthetic variants of wireless data transmission models, especially under conditions of non-stationary pre-intentional interference.
Keywords: wireless data transmission facilities, adaptive coding, turbo codes, decoding algorithms. 1. Вступ
У роботах [1, 2] дослщжуються схеми адаптацп сигнально-кодових конструкцш (змша по-зицшносп сигналу та швидкосп кодування завадостшкого коду) систем WiMax та LTE за первинними параметрами залежно вщ вщношення сигнал-шум у канал1 передача При цьо-му розглядаються канали з адитивним бшим гаусавським шумом, Реле'1'вськими завмиран-нями, Райсовськими завмираннями та завмираннями Накагамь В роботах шших автор1в [3, 4] адаптащя вщбуваеться теж за рахунок змши позицшносп сигналу та швидкосп кодування, але вже за вторинними параметрами. Залежно вщ значень вщношення сигнал-шум розраховуються значення ймов1рносп помилки для р1зних схем модуляцш сигналу та здш-снюсться пор1вняння цього значення з заданими, i залежно вщ результат пор1вняння здшснюеться вибiр необхщно! сигнально-кодово'1 конструкцп.
Недолгом зазначених схем адаптацп е те, що первинним параметром при адаптацп е вщношення сигнал-шум, а також те, що вони не враховують тд час адаптацп застосування рiзних завадостшких кодiв вщ бшьш простих до бшьш складних у залежносп вщ вщношення сигнал-шум в канал^ що може привести до спрощення варiантiв синтезу моделей безпроводових засобiв передачi даних (БЗПД), особливо за умов нестацюнарних завад.
Метою статп е розробка шформацшно'1 технологи синтезу моделей безпроводових засобiв передачi даних на основi застосування адаптивного кодування.
© Горлинський Б.В., 2017
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2017, № 3
Таким чином, виникае завдання синтезу моделей БЗПД на основi застосування адаптивного кодування шформацп рiзними завадостшкими кодами, простими та складними.
2. Виклад основного матер1алу
На рис. 1 представлена структурна схема БЗПД на основi адаптивного кодування, що скла-даеться з модуля об'екта управлшня, модуля задано! достовiрностi, модуля поточно! досто-вiрностi, модуля фшсованих параметрiв завадостiйких кодiв, модуля ощнки каналу, модуля критерiальноi ощнки, модуля адаптаци.
До складу об'екта управлшня на фiзичному рiвнi входять: джерело даних (приймач даних) - буферний пристрш, кодек багатокомпонентного турбокоду (блокового коду або коду Рща-Соломона), модем сигналiв ФМ-М, КАМ-М, модем псевдовипадково! перебудо-ви робочо! частоти, синтезатор частот, генератор псевдовипадково! послщовносп, при-стрiй перетворення квадратурних складових.
Як ощнка достовiрностi шформацп в робот прийнята середня ймовiрнiсть б^ово! помилки шформацшно! послiдовностi, тому що ця ощнка е загальновизнаною [5, 6].
Модуль задано! достовiрностi мютить запрограмоване значення задано! середньо! ймсдарносп б1тово! помилки, яке передаеться до модуля критер1альноТ ощнки у вигляд1 вектора Ф = {срх ), де елемент ф1 вщповщае задашй середшй ймов1рносп бггово! помилки прийнято! послiдовностi Р , що вщповщае певному вiдношенню сигнал-завада.
Рис. 1. Структурна схема БЗПД на основ1 адаптивного кодування
По значению елемеьтв вектора Z у модул1 поточно! достов1рносп формуеться вектор Ф = (ср*), де елемент ф* вщповщае поточнш середшй ймов1рносп б1тово! помилки
прийнято! послщовносп Рв , що вщповщае певному вщношенню сигнал-завада. Вектор
Ф надходить до модуля критертльно1 оцiнки.
Модуль ощнки каналу, анал1зуючи стан каналу зв'язку з використанням послщовносп з об'екта управлшня, формуе вектор Ъ — г2, гъ, де елемент - вид навмис-но'1 завади, елемент г2 - параметр завади у, елемент г, - вщношення енергп сигналу до спектрально! щшьносп потужносп шуму Ъ^ =ЕЪ! О0 (вщношення сигнал-шум), елемент - вiдношення енерги сигналу до спектрально! щiльностi потужносп завади (вщношення сигнал-завада) с/ = Иь / (}. = КРЬ / PJ - для шумово! завади в частиш смуги, ( И~ - Еь! (¡1 - для завади у вiдповiдь), де К - коефщент розширення спектра сигналу, Рь - потужнiсть сигналу, Р3 - потужнiсть завади. Вектор Z поступае до модуля поточно! достовiрностi та модуля адаптацп.
Модуль критер1ально! ощнки, анал1зуючи Ф та Ф*, визначае поточне значения по-казника завадозахищеносп, тобто виконуе пор1вняння Рв < Рв зад або Рв > Рв зад . Результат анал1зу передаеться у вигшцц вектора К = (А:,,к2,...,кх) розмрносп 5 до модуля адаптацп. Елементи вектора К вiдповiдають критерш оцiнки поточно! середньо! ймовiрностi бгтово! помилки.
Модуль визначення фiксованих параметрiв мiстить запрограмованi параметри зава-достшких кодiв, якi будуть незмiнними для турбокодiв i початковими для кодiв Рща-Соломона та блокових кодiв при функцiонуваннi програмовано! радюстанцп в умовах ра-дiоелектронного подавлення. Для багатокомпонентного турбокоду значення цих парамет-р1в передаеться до кодека турбокоду у вигшцц вектора фшсованих параметр! в турбокоду Т(1) = де ¿1(1) - кшыасть ¡терацш декодування / , ^ - розм1р кадру пе-
редано! б^ово! послщовносп N, ¿3(1) - тип використовуваного перемежува-ча/деперемежувача, - алгоритм декодування турбокоду, tf> - обмеження довжини рекурсивного систематичного згорточного коду (РСЗК) К . Основш вщомосп про структуру турбо коду представлен! в [7]. Для блочного коду вектор початкових параметр! в буде таким: Т(2) = (Х(2),42),42)) , де - кшыасть шформацшних 61т к, ~ кшыасть 61т у кодовому словi п, t¡2) - здатнiсть коду виправляти помилки Для коду Рiда-Соломона вектор начальних параметр1в буде мати такий вид: Т(3) = (71(3),43), , де - кшыасть шфо-
рмaцiйних бiт к, t<('3 - кiлькiсть бiт у кодовому словi п, - здатшсть коду виправляти
помилки I, - кiлькiсть бiт у символi т. Мaтемaтичнi моделi турбокодiв, кодiв Рща-Соломона та блокових кодiв предстaвленi в [8-10].
Модуль адаптацп мютить множини сигнальних структур Ер i множини пaрaметрiв багатокомпонентного турбокоду, коду Рща-Соломона та блочного коду Е^, якi форму-ються на етaпi проектування системи. У модулi адаптацп по вщповщному значенню еле-ментiв векторiв К та Z вiдбувaеться вибiр з множин Ер та Ерр сигнально! структури, яка представлена у вигляд1 вектора Г = ( /,, /2), а також параметр! в багатокомпонентного турбокоду, представлених вектором Т = (7г|,/г2,..., /г/г) розм1рносп /г, параметр! в коду Рща-Соломона у вигляд1 вектора К. = (^,г2,...,г.) розм1рносп ] та параметр1в блокових код1в Хеммшга у вигляд1 вектора И = (к1,к2,...,к1) розм1рносп /. Вектор Р мютить таю елементи: / - використовуваний метод модуляцп сигналу, / - розмiрнiсть сигнального сузiр'я
M застосовуваного методу модуляцп. Елементами вектора параметрiв Ту е: К\ - кшькють компонентних кодерiв (декодерiв) турбокоду, - параметр декодування p, - швид-кiсть кодування ТК, - полiном зворотного зв'язку РСЗК турбокоду , ,..., ^ - по-лшоми прямих зв'язюв РСЗК турбокоду Елементами вектора Я е: /, - б1това
послiдовнiсть кодового символу m, г2 - кшьюсть помилкових бiт у символi d. Елементи вектора Н такi: \ - довжина коду п , Ъ2 - число iнформацiйних б^ к .
Вибiр сигнально-кодово'1 конструкцп на основi турбокодiв здiйснюeться з викорис-танням вiдомого методу адаптаци по оцiнцi стану каналу зв'язку.
Структура об'екта управлiння адаптуеться до змши завадово'1 обстановки шляхом варiащi векторiв структури та параметрiв кодiв.
Символом Я будемо визиачати поле дшсних чисел, символом Я" - лшшний прос-т1р Я(К) над полем дшсних чисел з розм1ршстю сЦт{Я(7?)} = п.
Процес адаптивного управлшня повинен включати в себе таю положення:
1. Динам1чш процеси розглядаються як багатошагов1 процеси змши стану, тобто процеси в дискретш момента часу к = 1, 2,..., яи вщтворюють послщовну змшу стану ди-намiчноi системи. В окремому випадку ця змша задаеться диференцiальними рiвняннями, а деколи - послiдовнiстю функцш
,к=0
де к(хк): К" - задана функщя стану х^ . Ця функщя е функщ ею початкового стану
та числа шапв N при умов1, що визначено перетворення ^(х) :Я" —>Кп, яке мае власти-вють: = ), х_,, - стан на одну одиницю часу шзшше. В загальному випадку
приймаеться х^, = 1<'(хк_^ и,., ск), дем- вектор управлшня, що змшюе стан вщповщно до заданоi мети, £ - випадкова змша з фшсованою, але невщомою функцiею розподiлу, та
Р(ь) ~ апрюрна ощнка для ще! функцп розподшу. В цьому випадку пара (л", Р(ьУ) е станом об'екта, що управляеться.
2. Стан системи спостершаеться на кожному крощ.
3. На кожному крощ розраховуеться апрюрна оцiнка.
4. 1снуе систематична процедура для модифшаци апрюрно'1' функцп розподiлу по мiрi того, як розгортаеться даний процес. Ця процедура може бути з адаптащею, якщо в результат вибору % нова функщя розподшу залежить вщ старо'1' функцп розподiлу, вiд реалiзацii , вiд початкового стану х0, нового стану хк та управлiння и^ .
5. Нехай M{JN}-J(x,P)- математичне о1пкування функщ! критер1ю "сумарного" типу ^ = д(хк, и^, 4к+1) . Тод1 Л^с,Р) розраховуеться у вщповщносп з принципом оптимальносп Белмана в виглядi функцiонального рiвняння i з нього на кожному крощ к = 1, 2,... необхщно розраховувати оптимальне керування и^ = пип J(x, Р) .
Адаптивна система забезпечення достовiрностi шформацп, представлена на рис. 1, може бути замшена структурною моделлю системи забезпечення достовiрностi шформацп в безпроводових засобах передачi даних на основi мереж Петрi та адаптаци. Для опису структурно! моделi адаптивно! змши параметрiв в умовах впливу навмисних завад будемо використовувати теор^ мереж Петрi. При цьому адаптивна система забезпечення достовь рностi БЗПД представляеться мережею Петрi адаптивно'1' змши параметрiв (мережа адаптаци) [7].
Мережа адаптаци складаеться з чотирьох елемешив: множина позицш Р, множина переходiв T, вхiдна функцiя I та вихщна функцiя O. Вхщна та вихiдна функцп пов'язанi з переходами та позищями. Вхiдна функщя I вщображае перехiд t. у множину позицш
I), яю називаються вхiдними позищями переходу. Вихщна функщя O вщображае пере-хiд tj у множину позицш 0(^), як називаються вихiдними позицiями переходу. Структура мережi адаптаци визначаеться и позицiями, переходами, вхiдною та вихщною функщя-ми.
Визначення 1. Мережа адаптаци е четв1ркою С = (Р,Т, I, О) . Р = {рх, р2,...,рп} -кшцева множина позицш, п> 0. Т = - кшцева множина переход1в, т> 0.
Множина иозищй [ множина переход1в не перетинаються, Р глТ = 0 . /:Г—е вхщ-ною функщею - вщображенням з переход1в у комплекта позицш. О :Т —» Р°° е вихщною функцiею - вщображенням з переходiв у комплекти позицш.
Потужнють множини Р е число п, а потужшсть множини Т - число т . Деякий
елемент Р позначимо символом р{, / е 1,п , а деякий елемент Т - символом tj, у е 1 ,т . Позищя р: е вхщною позищею переходу tj в тому випадку, якщо р: е 1(1.); /г е вихщною позищею переходу / ,, якщо р1 еО(^). Входи та виходи переход! в являють собою
комплекти позицш, в яю включеш елементи, що повторюються багато разiв. Використання комплектiв, а не множин для входiв та виходiв переходiв дозволяють позицп бути кратним входом або кратним виходом переходу.
Кратшсть вхщно!' позицп р для переходу ^ е число появ позицш у вхщному ком-
плектi переходу, #(pi, I(^)) . Аналогично кратнiсть вихщно!' позицп р для переходу tj е
число появ позицiй у вихщному комплектi переходу, #(р, 0(tj)) . Якщо вхщна та вихщна
функцп е множинами, а не комплектами, то кратшсть кожно!' позицп е або 0, або 1.
Структура мереж адаптаци являе собою сукупнють позицш та переходiв. У зв'язку з цим, граф мережi адаптаци мае два типи вузлiв. Коло е позищею, а планка - переходом. Орiентованi дуги (стршки) з'еднують позицп та переходи, при цьому деяк дуги направлен вщ позицiй до переходiв, а деякi - вщ переходiв до позицiй. Дуга, що направлена вщ позицп р до переходу tj, визначае позищю, яка е входом переходу. Вихщна позищя познача-
еться дугою вщ переходу до позицп.
Маркування ц е належнiсть фiшок позищям мережi адаптаци. Фiшка - це прим^и-вне поняття теорп мереж Петрь Фiшки належать позицiям. Кшькють i положення фiшок при виконанш мережч може змшюватися.
Визначення 2. Маркування (д мережч адаптаци С = (Р, Т, I, О) е функщя, яка вщображае множину позицш P у множину невщ'емних цiлих чисел N.
ц-.Р^Ы.
Маркування ц може бути також визначено як п -вектор ц = (//1,//2,...,//й), при цьому кожне |а; е N, / е 1,//. Вектор (д визначае для кожно! позицп р1 мереж1 Петр1 кшькють ф1шок у щй позищ!. Кшьюсть ф1шок у позищ! pi е цг, / е \,п .
Виконанням мереж адаптаци керують кiлькiсть та розподш фiшок у мережi. Фшки знаходяться в кружках та керують виконанням переходiв у мережь Мережа адаптаци ви-конуеться запуском переходiв. Перехiд запускаеться видаленням фiшок з його вхiдних по-зицiй та утворенням нових фшок, якi помщуються в його вихiднi позицп. Перехщ може запускатися тiльки тодi, коли вш дозволений. Перехiд називаеться дозволеним, якщо кож-
на з його вхщних позицш мае число ф1шок р1вним числу дуг з позици в перехщ.
Визначення 3. Перехщ 7. е Г у маркованш мережп адаптацп С = (Р, Р, I, О) з мар-
куванням ц дозволений, якщо для вах рг. е Р :
Перехiд запускаеться видаленням фiшок з його вхщних позицш та наступним пок-ладанням у кожну з його вихщних позицiй по однш фiшцi для кожно! дуги.
Визначення 4. Перехщ ^ у маркованш мережi адаптацп з маркуванням ц може бути здшснений кожний раз, коли вш дозволений. У результат запуску дозволеного переходу tj створюеться нове маркування ц', яке визначаеться таким сшввщношенням:
Стан мережi адаптацп визначаеться п маркуванням. Запуск переходу змшюе стан мережч адаптацп шляхом змши маркування мережч. Змши у стаж визначаються функщею змш 8, яку ми назвемо функщею наступного стану. Коли ця функщя застосовуеться до маркування ц (стану) та переходу tj, вона створюе нове маркування (стан), яке отриму-
еться при здшсненш переходу tj у маркуванш ц. Якщо tj дозволений, то .) = ц , де
ц' е маркування, отримане в результат видалення ф1шок ¡з вход1в tj, та добавлениям фь
шок у виходи ^ .
Визначення 5. Функщя наступного стану 5 : И" х Р —»И" для мережч Петр1 С = (Р, Р, I, О) з маркуванням ц 1 переходом I] е Р визначена тод1 1 лише тод1, коли
>#( рп/(!/)) для вах /г е Р . Якщо ) визначена, то ) = Ц , де
11(р1) = 11(р1)-#(р1,Щ)) + #(р1,0^)) для вах /;, еР.
При виконанш мереж1 адаптацп отримуються дв1 послщовносп: послщовшсть мар-кувань (ц0,^,1,^2,...) та послщовшсть переход1в, яи були запущеш Ц1 дв1
послщовносп пов'язаш таким сшввщношенням: , = \ьк+1 для к = 0,1, 2,... .
На рис. 2 показана маркована модель адаптацп М = (С, ц.) для кшькосп позицш (потужносп множини Р) та переходiв (потужносп множини Т), рiвних чотирьом.
При такому маркуванш дозволений перехщ тшьки ^ (початковий стан х0 адаптивно! моделi БЗПД вiдповiдaе позицп р, тобто деякiй сигнально-кодовш конструкцп). При цьому - {рх}, 0(^) — {р2,р3,р4}. Якщо перехщ запущений, то вщбуваеться видалення фшки iз входу та перемщення п в кожний вихiд. При цьому фшка видаляеться з р та перемiщуеться в р2, р3 та р4. Таким чином, БЗПД може перейти в позищю р2 або в р3, або в р4 (що вiдповiдaе деякiй сигнaльно-кодовiй конструкцп). При цьому стан хх = . Нове маркування мереж1 адаптацп показане на рис. 3.
У маркованш моделi адаптацп, зображенш на рис. 3, дозволен переходи ^, ^ та t4. При запуску ^ вiдбувaеться видалення фшки з р2 та помщення п в р, р3 та р4. Аналопчно при запуску 1Ъ та При запуску 12 7(72) = {р2}, - {р1,р3,р4}. Таким
чином, стан мереж1 адаптацп х2 = /<'(хии2,д2). Нове маркування мереж1 адаптацп показане на рис. 4.
На рис. 2-4 вибiр конкретно! позицп залежить вщ вектора завад Z. Для цього по-
винна бути вiдoма база даниx, в якш заданi мнoжини EF та Ерр , а кoнкpeтнi F, Tv, R, H oбиpаютьcя на eтапi пpoeктyвання БЗПД для заданoï завадoвoï oбcтанoвки.
phc. 2. Mаpкoвана мepeжа адаптаци, пoбyдoвана на ocнoвi мepeж №тр1. Пepexiд tj дoзвoлeний
phc. 3. Mаpкoвана мepeжа адаптаци, пoбyдoвана на ocнoвi мepeж Пeтpi, yтвopeна при запуоту пepexoдy tj . Пepexoди t2, t3 , t4 дoзвoлeнi
Phc. 4. Mаpкoвана мepeжа адаптаци, пoбyдoвана на ocнoвi мepeж Пeтpi, yтвopeна при запycкy пepexoдy t2 . Пepexoдн tj , t3, t4 дoзвoлeнi
Для фyнкцioнyвання oб'eкта yпpавлiння poзpoблeнo мeтoд нeчiткoгo дeкoдyвання багатoкoмпoнeнтниx тypбoкoдiв у бeзпpoвoдoвиx заcoбаx пepeдачi даниx та матeматичнy мoдeль пiдгoтoвки пepвиннoï iнфopмацiï для адаптивниx бeзпpoвoдoвиx заcoбiв пepeдачi даниx.
3. Висновки
У статп запропонована шформацшна технологiя синтезу моделей безпроводових 3aco6ÏB передачi даних на основi застосування адаптивного кодування шформаци рiзними завадос-тiйкими кодами: боковими кодами Хеммшга, БЧХ-кодами та багатокомпонентними тур-бокодами.
Застосування рiзних завадостiйких кодiв вщ бiльш простих до бiльш складних у за-лежностi вiд вщношення сигнал-шум в каналi призводить до спрощення варiантiв синтезу моделей безпроводових засобiв передачi даних, особливо за умов нестащонарних навмис-них завад.
Результати розрахунку складносп реалiзацп моделей засобiв передачi даних на ос-новi адаптивного кодування показали, що впровадження адаптивного вибору кодiв Хеммь нга, БЧХ-кодiв та багатокомпонентних турбокодiв дозволили зменшити кiлькiсть елемен-тарних операцiй цифрових сигнальних процесорiв при цифровiй обробщ кодованих даних на 60-80 % у випадку впливу нестащонарних навмисних завад при змш вщношення сиг-нал-завада з 6 до 1 дБ.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Zhenhuan W. Layered Adaptive Modulation and Coding For 4G Wireless Networks: Thesis presented to the University of Waterloo in fulfillment of the thesis requirement for the degree of Master of Applied Science in Electrical and Computer Engineering / W. Zhenhuan. - Waterloo, Ontario, Canada, 2011. -49 p.
2. A Simple SNR Representation Method for AMC Schemes of MIMO Systems with ML Detector / K. Jihoon, L. Kyoung-Jae, S. Chang Kyung [et al.] // IEEE Transactions on Communications. - 2009. -Vol. 57, N 10. - P. 2971 - 2976.
3. Liang Huang J. Adaptive MIMO Systems with Channel State Information at Transmitter: PhD Thesis, KTH School of Information and Communication Technology / J. Liang Huang. - Stockholm, 2009. -79 p.
4. Goldsmith A. Variable-rate variable-power MQAM for fading channels / A. Goldsmith, S. Chua // IEEE Transactions on Communications. - 1997. - Vol. 45, N 10. - P. 1218 - 1230.
5. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации / А.Г. Зюко, А.И. Фалько, И.П. Панфилов [и др.]; под ред. А.Г. Зюко. - М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.
6. Банкет В.Л. Цифровые методы в спутниковой связи / В.Л. Банкет, В.М. Дорофеев. - М.: Радио и связь, 1988. - 240 с.
7. Имитационное моделирование характеристик помехоустойчивости системы передачи информации с турбокодами / С.В. Зайцев, С.П. Ливенцев, Б.В. Горлинский [и др.] // Зв'язок. - 2006. - № 7. -С.38 - 42.
8. Holma H. HSDPA/HSUPA for UMTS: High Speed Radio Access for Mobile Communications / H. Holma, A. Toskala. - Chichester, UK: John Wiley & Sons, 2006. - 268 p.
9. Ergen M. Mobile Broadband. Including WiMax and LTE / Ergen M. - New York: Springer, 2009. -513 p.
10. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Скляр Б. - [2-е изд]. - М.: Вильямс, 2003. - 1104 с.
11. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем / Питерсон Дж. - М.: Мир, 1984. -264 с.
Стаття над1йшла до редакцИ' 10.05.2017
