CC BY
25
УДК 548.1
ИНФОРМАЦИЯ И СТРУКТУРА: МОДУЛЯРНЫЙ ДИЗАЙН ДВУМЕРНЫХ НАНОСТРУКТУР И ФРАКТАЛЬНЫХ РЕШЕТОК
В. В. Иванов1, В.М. Таланов1, В. В. Гусаров2'3
1 Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский
политехнический институт) 2Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) 3Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе Российской академии наук [email protected], [email protected]
PACS 81.05.Zx
Обсуждается принцип модулярного строения и предложена система структурных и генетических информационных кодов двумерных наноструктур. Сформулировано положение о связи информационных кодов и структур. Предложены эволюционные модели формирования двумерных наноструктур и фрактальных структур в двумерном пространстве. Проанализированы вероятные топологические взаимосвязи двумерных наноструктур. Показана возможность формирования фуллереноподобных наночастиц из некоторых сконструированных предфракталов путем их свертки на сферической поверхности.
Ключевые слова: информация, структурный код, генетический структурный код, фрактальные структуры, эволюционно-итерационная модель, двумерные наноструктуры.
1. Введение
Понятие информации определяется как «сведения об окружающем мире и протекающих в нем процессах» [1]. В химии информация выступает, отчасти, как знание о структуре вещества. При этом структура вещества в общем случае рассматривается как иерархически организованная [2]. Взаимодействие веществ может быть представлено в рамках «конфигурационного» языка, включающего программы формирования связей, приводящих к образованию более крупных агрегатов (программы комплементарности) [3, 4]. Комплемен-тарность структурных единиц вещества закодирована содержащейся в них информацией (зарядом, полярностью, размерами, нуклеофильностью и т.д.). Следует отметить, что агрегирование структурных единиц в наносистемах происходит по особым программам [5]. Структура регистрирует информацию и выступает как память пути образования нанораз-мерного объекта. Рост структуры в общем случае происходит по ветвящимся путям в конфигурационном пространстве.
В данной работе в продолжение исследования [6] приведенные выше общие положения конкретизируются в предлагаемых эволюционных моделях формирования двумерных наноструктур и детерминистических фрактальных решеток с дробной размерностью. Следует отметить, что такие структуры, обладая рядом уникальных химических и физических свойств, представляют большой интерес для создания новых функциональных наноматери-алов, в том числе, катализаторов, сорбентов и материалов для энергетики. В связи с этим исследования, ориентированные на разработку методов структурного и физико-химического конструирования подобных наноматериалов крайне актуальны.
2. Информационные коды наноструктур
В общем случае под информационным кодом кристаллической структуры можно понимать ее символьное описание, в котором содержится информация о геометрии и кристал-лохимической топологии определенных модулей и законе их упаковки в трех кристаллографических независимых направлениях. Данная информация о кристаллической структуре, представленная в символьном виде, является необходимой и достаточной для получения ее графического изображения, а, следовательно, и для определения ее пространственной симметрии и последующей идентификации.
В случае полигонных или полиэдрических наноструктур символьное описание их с помощью информационных кодов может быть упрощено. Характер упаковки структурных модулей (полигонов или полиэдров) в двух кристаллографических независимых направлениях полностью определяется геометрией и кристаллохимической топологией полигонов. Поэтому в символьном описании полигонных наноструктур достаточно указать их вид и необходимые топологические характеристики структурного модуля. Таким образом, информационные коды наноструктур, полученные с помощью комбинаторного модулярного дизайна, в данной работе будут представлены трехпозиционной символьной записью вида: })(?). В информационном коде на первой позиции (М) стоит символ, характеризующий разновидность наноструктуры, например: Ь (линейная), С (циклическая) или Б (спиральная) — для одномерно-периодических наноструктур и их производных, Р (плоская) или а (цилиндрическая) — для двумерных дважды периодических наноструктур и их производных. На второй позиции символами (£{Р}) представлена информация о геометрии полигона {Рд} или полиэдра {РЪ} (или, в общем случае, их комбинации), выполняющих в данной наноструктуре роль структурного модуля. Последняя позиция предоставлена для информации о топологии полигонов или полиэдров, образующих данную наноструктуру.
Приведем примеры информационных кодов некоторых тетрагонных наноструктур. Одномерно-периодическая наноструктура и ее производные с одинаковыми топологическими характеристиками тетрагонов: Ь{4}(2(2)-2(1)) — линейная, С6{4}(2(2)-2(1) — циклическая шестизвенная, ¿б-^хад-^) — спиральная с шагом спирали из шести тетрагонов. Двумерная дважды периодическая плоская тетрагонная наноструктура и ее производные: Р{4}(4(3)), Р{4}(2(3)-2(2)) и Р{4}(4(2) — плоские, основанные на сетке 4444 с разными топологическими характеристиками тетрагонов, Наноструктура с информационным кодом Сг6{4}(4(4)) — цилиндрическая (нанотрубка), основанная на упаковке в направлении оси цилиндра ше-стизвенных циклических лент с кодом С6{4}(4(2)).
Генетический код структуры может быть представлен в виде структурного кода, символьное описание которого дополнено информацией о происхождении и процессе формирования данной структуры из определенного модуля — генератора структуры — с описанием его локальной геометрии и топологии. Символьное описание генератора определяется характеристиками конкретной эволюционной модели формирования наноструктуры и должно кроме описания его геометрии и топологии включать описание закона эволюционного роста и-подструктур из подструктуры 1-го поколения (собственно генератора).
Как будет показано ниже, между структурным кодом и наноструктурой должно выполняться условие взаимно однозначного соответствия. В случае соотношения «генетический структурный код и структура» допускается гомеоморфизм, т.е. одна и та же наноструктура может быть сформирована не единственным способом.
3. Эволюционная модель формирования двумерных наноструктур
В качестве основы для получения локальной структуры может быть выбран один из типов универсальных оптимумов, в частности, полигоны или полиэдры. В их вершинах могут располагаться элементарные структурно-химические единицы [2]: атомы (ионы), электронейтральные или заряженные вакансии и атомные комплексы, в частности, молекулы. Процедура создания локальной структуры Rioc из этих универсальных оптимумов {Р} определяется законом Tim : Rioc = L{p},im ({Р}j, Tim), а процедура размножения подобных локальных структур — эволюционным законом : R{p}im = Rioc (Tk) [7]. В общем случае процесс получения совокупностей атомов, которые соответствуют образующимся структурам с дальним порядком, может быть записан следующим образом:
где: {Р} = {Рд} или {РЪ} — символ типа изогона — «ядра» локальной структуры: или полигон вида {п} или полиэдр типа призмы {п44}; г — индекс ветвления «ядра», который определяется типом изогона и способом ветвления (посредством вершин , ребер (сторон) гг или граней %д изогона); т [0, 1, 2, ...] — целочисленный индекс, характеризующий размерный параметр локальной структуры и численно равный количеству изогонов-«звеньев» между «ядрами» в ветви структуры, при этом относительное «межъядерное» расстояние в единицах размерного параметра изогона в направлении ветвления равно (т +1); к ^ г — 1 — индекс ветвления вторичных «ядер».
Цикл работы генератора (1) (одна генерация ветвлений «ядер») определяет параметр идентичности структуры дальнего порядка в направлении ветвления, а количество этих циклов — протяженность упорядоченной структуры. Тип промежуточных между «ядрами» изогонов-«звеньев» определяется типом «ядер», а индексы их ветвления считаются следующими: ь0 = гг = гд = 1. Для «ядер» в виде полигонов {п} имеем V = г = п, а возможные значения индексов ветвления = гг ^ п. Для полиэдров-«ядер» {^,44} в соответствии с формулой Эйлера имеем п = д = г — V + 2, а возможные значения индексов ветвления ^ (2 + г — п), гг ^ (п + V — 2) и гд ^ п. В процессе размножения локальных структур Рг0к допускается сращивание соседних ветвей структуры между собой за счет вторичных изогонов-«ядер», обуславливающее образование К{р}гт-структур, элементы которых полностью или частично заполняют предоставленное им пространство. В случае ограничения роста ветвей другими ветвями этой же структуры образуются фрактальные структуры — кластеры или дендримеры [5].
Для полигонных и полиэдрических структур параметр ветвления «ядра» г (совместно с параметром к = г — 1) определяет метрическую размерность структуры дальнего порядка К{р}гт и форму ячейки. Параметр т определяет размеры этой ячейки в единицах размерного параметра «ядра» в направлении его ветвления. Для получения полигонных структур в качестве исходных элементов рассматривали только полигоны с п = 3, 4, 6, 8 и 12, а для получения полиэдрических структур — полиэдры призматического вида {^,44}. Закон генерирования структур с помощью этих элементов определим следующим образом:
В случае генерирования двумерных однослойных структур (2) (табл. 1) в качестве вершин элементов-полигонов можно рассматривать атомы. При генерировании двумерных двухслойных базовых структур (3) (табл. 2) в качестве геометрических центров элементов рассматриваются геометрические центры соответствующих полиэдров. Для всех вариантов
R = L{P ],im{{P {Tim, Тк)),
(1)
R{Pg}nm L{Pg},nm({Pg}nj (Tnm,Tn-\)') , R{Ph}(n/2) L{Ph}, (n/2)m ({Ph}
n/2' (T(n/2)m ,T(n/2)-l))
(2) (3)
полученных совокупностей элементарных структурно-химических единиц в виде полигонных или полиэдрических слоев перфорированного и не перфорированного типа рассмотрено условие топологической идентичности вершин в кристаллохимическом смысле (табл. 1,2).
ТАБЛИЦА 1. Двумерные однослойные базовые структуры (двумерные сетки по Шлефли) и соответствующие им варианты К[р9}т-структур
Базовая структура Характеристики полигона-«ядра» Характеристика Я{Рд^т "Структуры
Символ Симметрия Обозначение структуры Топология полигонов
333333 {3} Зт Д{3}30 3(6)
Д{3}31 3(5)
33336 {3} Зт Д{3}32 3(4)
{б}иб{3} бтт Д({б}иб{з})бо 3(3), 6(1)
33344 {4}и2{3} тт2 Д({4}и2{3})40 4(2), 3(3)
33434 {3}и{3} тт2 Д({3}и{3})40 3(3)
444 {4} 4тт И{4}40 4(4)
Д{4}41 4(3)
И{4}40 4(2)
3636 {3} Зт Д{3}30, Д{3}31 3(2)
{6} бтт И{6}60 6(2)
{6}и3{3} Зт Д({6}и3{3})30 6(2), 3(2)
3464 {4}и{3} т Д({4}и{3})20 4(2), 3(1)
{6}иЗ{4} Зт Д({6}и3{4})30 6(1), 4(2)
666 {6} бтт Д{6}30 6(3)
488 {8} 8тт Д{8}40 8(2)
{8}и{4} 4тт Д({8}и{4})40 8(2), 4(1)
46.12 {6}и{4} т Д({6}и{4})30 6(1), 4(1)
{12} иЗ {6} Зт Д({12}и3{6})30 12(1), 6(1)
{12} иЗ {4} Зт Д({12}и3{4})30 12(1), 4(1)
3.12.12 {12} 12тт 12}60 12(2)
{12} иЗ {3} Зт Д({12}и3{3})30 12(2), 3(1)
4. Эволюционная модель формирования фрактальных решеток
Представителями фракталов с конечным ветвлением и определенной симметрией являются, в частности, детерминистические фрактальные решетки, построенные из затравки в виде определенного фрагмента двумерной решетки. Конструкция таких фрактальных решеток полностью описывается заданием геометрического генератора и итерационной процедуры. Бесконечное повторение итерации дает полную фрактальную решетку [8-10].
Геометрическим генератором фрактальных решеток может быть фрагмент двумерных дважды периодических полигонных К[р9}т-структур, в частности, тетрагонных К{}т-структур, соответствующих двумерной сетке 4444 или ее производным. Предполагается, что в вершинах тетрагона могут располагаться атомы, комплексные частицы, или определенные локальные совокупности атомов одного или нескольких сортов — молекулы, кластеры.
ТАБЛИЦА 2. Двумерные двухслойные базовые структуры (полиэдрические слои) и соответствующие им варианты Щрн^т-структур
Комбинации Характеристика Характеристика
полиэдров-изогонов полиэдра-«ядра» /|(/'/,},:ш-структуры
Символ Симметрия Обозначение структуры Топология полиэдров
4(333} + 3(3333} (333} 43т Д{333}30 4(4)
(3333} тЗт Д{3333}60 » Д{3333}30 6(3)
6(344} (344} Зт Д{344}30 6(6)
Д{344}31 6(5)
4(344} + (644} (344} Зт Д{344}32 6(4)
(644}иб(344} 6/ттт Д({644}иб{344})60 6(3), 12(1)
3(344} +2(444} (444}и2(344} ттт Д({444}и2{344})40 8(2), 6(3)
3(344} +2(444} (344}и(344} ттт Д({344}и{344})40 6(3)
Д{444}40 8(4)
4(444} (444} тЗт Д{444}41 8(3)
Д{444}40 8(2)
(344} Зт Д{344}30? Д{344}31 6(2)
2(344} +2(644} (644} 6/ттт Д{644}60 12(2)
(644}и3(344} Зт Д({644}и3{344})30 12(2), 6(2)
(344} +2(444} + (444}и(344} тт2 Д({444}и{344})20 8(2), 6(1)
+(644} (644}иЗ(444} Зт Д({644}и3{444})30 12(1), 8(2)
3(644} (644} 6/ттт Д{644}30 12(3)
(444} + 2(844} (844} 8/ттт Д{844}40 16(2)
(844}и(444} тт2 Д({844}и{444})40 16(2), 8(1)
(444} + (644} + (644}и(444} тт2 Д({644}и{444})30 12(1), 8(1)
+ (12.44} (12.44}иЗ(644} Зт Д({12.44}и3{644})30 24(1), 12(1)
(12.44}иЗ(444} Зт Д({12.44}и3{444})30 24(1), 8(1)
(344} +2(12.44} (12.44} 12/ттт Д{12.44}60 24(2)
(12.44}и3(344} Зт Д({12.44}и3{344})30 24(2), 6(1)
Процедура формирования генератора С из квадратного фрагмента тетрагонной Щ4}гт структуры определяется законом Т^ :
с = Ьм ш,к (М {4^ ,Тгк), (4)
а процедура получения самоподобных фрактальных решеточных п-структур — итерационным законом Тп :
Рм [4}1к = С(Тп) = {4},г,к (N {4}1 ,Т^к ,Тп). (5)
где N — количество тетрагонов {4} в квадратном фрагменте со стороной Ь; I — характеристика «ядра» двумерной тетрагонной структуры, которая определяла способ его ветвления (посредством вершин ь0 или сторон гг тетрагона); к = Ь-1 — коэффициент самоподобия генерируемой фрактальной Ры{4}^к-структуры; п — целочисленный индекс, характеризующий количество применяемых итераций, где п =1 соответствует генератору.
Фрактальная (хаусдорфова) размерность И решетки в соответствии с [8] может быть определена из соотношения И = 1п N(1пб)-1, где N — число тетрагонов в генераторе, Ь — сторона генератора (в относительных единицах). Тогда, если (Ь2 — Ж) —число лакун
в квадратном генераторе, то Д = 1п(Ь2 — N)(1пЬ)-1 — лакунарная размерность фрактальной решетки, характеризующая возможное дополнение данной фрактальной решетки до двумерной тетрагонной К{}т-структуры. Это дополнение может образоваться в процессе формирования основной фрактальной -структуры за счет «захвата» структурных элементов с определенным набором размерных характеристик и в этом случае также, по-видимому, будет обладать фрактальными свойствами. В таблицах 3 и 4 приведены основные характеристики представителей двух групп фрактальных {4}^к-структур.
ТАБЛИЦА 3. Характеристики некоторых фрактальных щ^к-структур, основанных на фрагментах тетрагонных Д{4^т-структур
Характеристики генератора С^щ^к Размерность фрактальной структуры
Информационный код генератора Форма Симметрия, Г<2 Ьц N Локальная, Р>вь = Р> Лакунарная, Во
Сз{4},2(г),1/2 ь т 3 1 1,585 0
сР 2тт 2 2 1,000 1,000
Са2{4},2('г),1/4 п 1 т 12 4 1,792 1,000
^8{4},1(г)),1/4 2тт 8 8 1,500 1,500
5. Обсуждение результатов
5.1. Двумерные полигонные и полиэдрические наноструктуры
Динамика образования простых К{рд}гт-структур (т.е. из полигонов {3}, {4} и {6}) и особенности их эволюции в процессе роста характеризуют их топологические характеристики. Фрагменты некоторых Кщт-структур представлены на рис. 1. Очевидно, что только структуры с минимальными значениями параметра т состоят из полигонов с топологически идентичными вершинами.
Двумерные полигонные структуры получены данным методом из набора возможных Р{рд]1т-структур при значениях индексов г = п и т = 0 или 1 (см. табл. 1). Однако только часть структурных представителей этого набора соответствуют одиннадцати полигонным структурам с топологически идентичными вершинами полигонов (двумерным сеткам в обозначениях Шлефли). В частности, двумерным сеткам 33336, 488 и 666 соответствуют только структуры Щ3}32, Щ8}40 и Д{6}зо (рис.2). Кроме того, большинство гетерополигон-ных структур могут быть получены только в том случае, если в качестве «ядра» К{рд}гт-структуры выбраны объединения двух разных типов полигонов (см. табл. 1, структуры 2 — 4, 6, 7, 9-11) (рис. 3).
Отметим, что для большинства полигонных структур возможны два или более вариантов их образования. Данная многовариантность может быть обусловлена особенностями роста и эволюции структуры из заданного полигона или гетерополигонного модуля. Эти особенности являются результатом наличия как минимум двух типов ветвления «ядер»: ветвление с помощью вершин гь или ветвление с помощью сторон гг полигона (см. табл. 1),
ТАБЛИЦА 4. Характеристики некоторых фрактальных Рк{4}^к-структур, основанных на фрагментах тетрагонных Д{4^т-структур
Характеристики генератора С^щ^к
Ь2-N
Размерность фрактальной структуры
Информационный код
Форма
Симметрия,
2
и 0
N
Локальная,
ВВь = В
Лакунарная,
^5{4} , 4(г),1/3
#
4шш
1,465
1,262
С
5{4},3(г),1/3
с
5{4},2(г),1/3
ш
1,465
1,262
С
5{4},4(^),1/3
4шш
1,465
1,262
С
5{4},2(^),1/3
с
5{4},1(^),1/3
¥
ш
1,465
№
1,262
С
20{4},4(г),1/6
^20{4},4(^),1/6
4шш
20
16
1,465
1,262
^20{4},4(г),1/6
С
20{4},4(^),1/6
4шш
20
12
1,548
52
1,114
1,431
1,770
4
5
4
5
4
5
4
5
РИС. 1. Динамика роста тетрагонных К{}т-структур, отличающихся количеством тетрагонов-«звеньев» (т = 0,1 и 2) и способом ветвления тетрагонов-«ядер» (с помощью сторон 1Г = 4 (а) или с помощью вершин = 4 (б))
РИС. 2. Динамика роста Щрд}гт-структур, соответствующих сеткам 3636 (а), 33336 (б), 666 (в) и 488 (г)
а также многовариантностью ветвления вторичных «ядер» И{рд}гт-структур при пересечении в них соседних ветвей.
Полиэдрические слои, соответствующие двумерным двухслойным базовым структурам, получены из 11 двумерных полигонных структур. Все они могут быть представлены как результат размножения локальных Д{р^т-структур, образованных из полиэдров призматического вида {п44} или их возможных объединений (табл. 2), по аналогии с полигонными структурами (см. табл. 1). Исключение представляет октатетраэдрический слой, представленный из тетраэдров {333}, из октаэдров {3333} или их возможного объединения (4{333}и3{3333}) (см. табл. 2).
Таким образом, дизайн в соответствии с геометрико-топологическим способом вывода вероятных двумерных структур отражает рост и эволюцию структуры из заданного изогона-модуля (полигона или полиэдра). В зависимости от условий образования и размножения исходной локальной структуры, а также пересечения ближайших ветвей роста И{р}гт-структуры, имеем более широкое многообразие соответствующих им вероятных
РИС. 3. Формирование из гетерополигонных «ядер» К[рд]т-структур, соответствующих сеткам 3464 (а, б), 33344 (в), 33434 (г) и 468 (д, е, ж)
двумерных структур. При этом не все они являются структурами с топологически идентичными вершинами изогонов, а, следовательно, не все соответствуют двумерным базовым структурам, которые характеризуются кристаллографически эквивалентными позициями для элементарных структурно-химических единиц.
5.2. Детерминистические фрактальные решетки на квадратной сетке
Очевидно, в частности, что -структуры основаны на разных фрагментах тет-
рагонных Кщгт-структур, отличаются информационными кодами генераторов и их симметрией, однако по остальным характеристикам, в том числе и фрактальным размерностям, не идентифицируются. При этом также очевидно, что это существенно разные -
структуры (рис. 4, 5). В определенной степени такой же вывод можно сделать и относительно ^20(4},^-структур (рис. 6).
Различными являются и дополнения этих структур. Это становится очевидным после сравнительного анализа их лакунарных спектров на диаграммах вида ^ — ^ А„отн, где Щп- число лакун 1-й группы с определенным относительным диаметром А«0™ для предфрактала п-то поколения, Апотн'= (5гга0тн)1/2 и в общем случае определяется из относительной площади лакун [8]. Все Р5(4},2,к-структуры отличаются по своим лакунарным спектральным характеристикам, которые в определенном смысле можно считать диагностическими (рис. 7, б-г).
На диаграммах вида (№Ъ2) — D значения фрактальных размерностей анализируемых ^-структур и известной структуры Р8(4},3(г),1/3, представляющей собой классический квадратный ковер Серпинского с к = 1/3 [9], находятся на одной прямой (рис. 8). Необходимо отметить, что эта прямая занимает промежуточное положение между двумя другими прямыми, которые аппроксимируют два множества значений для соответствующих п-х членов гомологических рядов ковров Серпинского: Р(6+2п)(4},1,(3(2+п))_1/2-структур и Р(4+4п)(4},1,1/(2+п)-структур (п =1, 2, 3, . . . ) [8, 9].
Рис. 4. Предфракталы второго и третьего поколения, полученные из генератора Ь5{4},4(г),1/3 (а) и производного от него Ь5{4},/д/3 (б), а также детерминистические фрактальные решетки, полученные за один шаг итерационного построения из генераторов £20{4},4^)д/6 (в) и ^оедд^д/б (г)
РИС. 5. Предфракталы второго и третьего поколения, полученные из генераторов Ь5{4},4(г),1/3 (а), Ь5{4}>4^)>1/3 (известный как фрактал Вичека [1]) (б) и производных от них типа Ь5{4}л/3
5.3. Гомологические соотношения и топологические преобразования двумерных наноструктур
Если в качестве вершин полигонов в некоторых полигонных сетках рассматривать не атомы, а более сложные структурно-химические единицы, в частности, совокупности атомов в виде полигонов с определенной пространственной ориентацией [2], то между этими сетками (исходной и преобразованной) имеем гомологическое соотношение. Из числа однослойных базовых наноструктур гомологическими преобразованиями связаны следующие пары:
4444 ({4}) ^ 488; 333333 ({6}) ^ 666; 666 ({3}) ^ 312.12; 3636 ({4}) ^ 612.
РИС. 6. Детерминистические фрактальные решетки с симметрией 4шш, полученные за один шаг итерационного построения из соответствующего генератора: Ь20{4},4(г),1/6 (а), Ь20{4},4(г),1/6 (б), 1/20(4},4^),1/6 (в) и ¿20(4},4^),1/6 (г)
Полигоны, которые использованы для получения соответствующего гомолога, выделены в скобках. Гомологическими преобразованиями связаны и соответствующие этим базовым наноструктурам Д{рй^т-структуры:
Д{4}40 ^ Д{8}40; Д{3}30 ^ Д{6}30; Д{6}30 ^ Д{12}30; Д({6}и{3})30 ^ Д({12}и{6})30.
Указанные выше переходы от одного гомолога к другому можно рассматривать как непрерывное (топологическое) преобразование, связанное с расщеплением узлов двумерных сеток на п узлов в виде вершин определенным образом пространственно ориентированных полигонов {п}. Непрерывное расширение площадей этих полигонов без изменения их ориентации при некоторых фиксированных размерах его сторон приводит к получению определенных последовательностей полигонных сеток:
4444 ({4}) ^ 488 ^ 4444 ^ 488 ^ 4444, 333333 ({6}) ^ 666 ^ 3636 ^ 3.12.12 ^ 666, 666 ({3}) ^ 312.12 ^ 3636 ^ 666 ^ 333333, 3636 ({4}) ^ 4612 ^ 3464 ^ 666.
Аналогичные гомологические соотношения имеются и между некоторыми полиэдрическими наноструктурами и соответствующими им К{ри}гт-структурами: 4{444} ({444}) ^ ({444} + 2{844}), %44}40 ^ П{844}40; 6{344} ({644}) ^ 3{644}, Д{344}30 ^ %44}зо;
3{644} ({344}) ^ ({344} + 2{12.44}), %44}зо ^ Д{12.44}зо;
(2{344} + 2{644}) ({444})^ ({444} + {644} + {12.44}), Д({б44}и{з44})зо ^ Д({12.44}и{б44})зо.
РИС. 7. Диаграммы вида ^ — ^ и (М/Ь2) — И для ^4} >м/з-структур (б, в) и Р20(4},г,1/6-структур (г) в сравнении с соответствующими характеристиками ковра Серпинского Р8(4},3(г),1/3 (а)
РИС. 8. Диаграмма вида (М/Ь2) — И для двух гомологических серий фрактальных структур ^(6+2п){4},/,(3(2+п))-1/2 (1), ^(4+4п)(4},/,1/(2+п) (2) и для анализируемых детерминистических фрактальных решеток (3) и (4)
В данном случае для получения соответствующего гомолога полиэдры, указанные в скобках после каждой исходной комбинации, рассматриваются в базовой наноструктуре вместо ребер, перпендикулярных полиэдрическому слою.
Для полиэдрических наноструктур возможные топологические преобразования могут быть записаны следующим образом:
4{444} ({444}) ^ ({444} + 2{844}) ^ 4{444} ^ ({444} + 2{844}) ^ {444},
6{344} ({644}) ^ 3{644} ^ (2{344}+2{644}) ^ ({344}+2{12.44}) ^ 644},
3{644} ({344}) ^ ({344} + 2{12.44}) ^(2{344}+2{644}) ^3{644} ^{344}, (2{344} + 2{644}) ({444})^({444} + {644} + {12.44}) ^ ({344}+{644}+2{444})^3{644}.
Топологические преобразования определяются известными соотношениями между полиэдрами-изогонами: куб {444} ^ усеченный куб {388} ^ кубооктаэдр {3434} ^ усеченный октаэдр {466} ^ октаэдр {3333}, а также тетраэдр {333} ^ усеченный тетраэдр {366} ^ октаэдр {3333} ^ усеченный дуальный тетраэдр {366} ^ дуальный тетраэдр {333} [11].
6. Заключение
Основные результаты комбинаторного дизайна двумерных структур можно свести к следующим положениям.
1. С помощью метода модулярного дизайна получено многообразие двумерных полигонных структур.
2. Проведен анализ возможностей геометрико-топологического подхода к получению базовых структур. Установлено целенаправленное и алгоритмизированное формирование структур в априори структурированном (ячеистом) пространстве путем заполнения его в соответствии с определенными эволюционными правилами.
3. Предложена информационно-итеративная модель формирования детерминистических фрактальных решеток в двумерном пространстве с помощью генераторов {4} ,^^ в виде симметричного фрагмента тетрагонной Кщт-структуры. Получены два множества Ри{4},г,к-структур с коэффициентами самоподобия к =1/3 и 1/6.
4. Показано, что информационный код генератора в виде щ^к необходимо дополнить информацией о локальной симметрии ) генератора и вероятном лакунарном спектре как индивидуальной характеристики фрактальной структуры ^щ^к.
5. Детерминистические фрактальные решетки могут служить матрицами для формирования дискретных фрактальных структур, обладающих свойствами, подобным свойствам канторовых множеств. Показана возможность образования простейших фракталов Р5{4}^> 1/3 7-го поколения и Рщ4},^ 1/6 3-го поколения.
6. Между некоторыми двумерными базовыми наноструктурами и соответствующими им И{р^„-структурами установлены гомологические соотношения. Определены ряды двумерных базовых наноструктур, которые связаны друг с другом непрерывными топологическими преобразованиями.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки (Федеральная целевая программа «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы», ГК№ 16.516.11.6073).
Литература
[1] Словарь русского языка / Под редакцией А.П. Евгеньевой. — М.: Русский язык, 1981. — 674 с.
[2] Гусаров В.В. Статика и динамика поликристаллических систем на основе тугоплавких оксидов // Авто-реф. дис. ... докт. хим. наук, СПб., 1996. — 44 с.
[3] Лен Ж.-М. Супрамолекулярная химия: концепции и перспективы. — Новосибирск: Наука, 1998. — 334 с.
[4] Алесковский В.Б. Информация как фактор самоорганизации и организации вещества // Журнал общей химии. — 2002. — Т. 72, № 4. — С. 611-616.
[5] Таланов В.М., Ерейская Г.П., Юзюк Ю.И. Введение в химию и физику наноструктур и наноструктурированных материалов. — М.: Изд-во «Академия естествознания», 2008. — 389 с.
[6] Иванов В.В., Таланов В.М. Принцип модулярного строения наноструктур: информационные коды и комбинаторный дизайн // Наносистемы: физика, химия, математика. — 2010. — № 1. — С. 72-107.
[7] Иванов В.В. Комбинаторное моделирование вероятных структур неорганических веществ. — Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2003. — 204 с.
[8] Фракталы в физике / Под ред. Л. Пьетронеро и Э. Тозатти. — М.: Мир, 1988. — 420 с.
[9] Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991. — 260 с.
[10] Третьяков Ю.Д. Дендриты, фракталы и материалы // Соросовский образовательный журнал. — 1998. — № 11. —С. 96-102.
[11] Урусов В.С. Теоретическая кристаллохимия. — М.: МГУ, 1987. — 276 с.
