CC BY
67
УДК 004.41
Бидайбеков Е.Ы., Камалова Г.Б., Бостанов Б.Г., Умбетбаев К.У.
Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Алматы, Казахстан
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
НАСЛЕДИЮ АЛЬ ФАРАБИ
АННОТАЦИЯ
В статье освещены вопросы использования информационных технологий для повышения эффективности обучения уникальным алгоритмам геометрических задач на построение с помощью циркуля и линейки, а также тригонометрическим линиям и теории составления тригонометрических таблиц из математического наследия аль-Фараби.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Математическое наследие аль-Фараби, геометрические задачи на построение, GeoGebra, информационные технологии.
Bidaibekov E.Y., Kamalova G.B., Bostanov B.G., Umbetbaev K.U.
Kazakh National Pedagogical University named after Abai, Almaty, Kazakhstan
INFORMATION TECHNOLOGY IN TEACHING MATHEMATICAL HERITAGE OF AL-
FARABI
ANNOTATION
The given paper covers the issues of use of information technology for improvement of efficiency of teaching unique algorithms of geometric construction problems with help of compass and ruler, also trigonometric lines and theories of creation of trigonometric tables from the mathematical heritage of al-Farabi.
KEYWORDS
Mathematical heritage of al-Farabi, geometric construction problems, GeoGebra, information technology.
Аль-Фараби (870-950 гг.) - один из величаиших ученых, мыслителеи и энциклопедистов раннего средневековья, уроженец Казахстана и представитель древних тюркских племен, на основе которых был образован нынешнии Казахскии народ. Как обладателю незаурядных способностеи во всех отраслях знании, ему принадлежит почетное место среди огромнои плеяды ученых средневекового Востока, которые еще при жизни называли его вторым учителем - «ал - муаллимас-сани» после Аристотеля.
Аль-Фараби является одним из основоположников прогрессивнои общественно-философскои мысли на мусульманском Востоке, в том числе в Среднеи Азии и Казахстане, откуда вышли такие философы и ученые, как Ибн-Сина, аль-Бируни, Омар Хаиям, Наср ад-Дин ат-Туси и др. Написал кроме чисто философских и логических сочинении, множество естественно-математических и натурфилософских работ. Оставил богатеишее научное наследие, которое оказало огромное влияние на последующее развитие науки, как на Востоке, так и на Западе. Изучение научного наследия этого мыслителя, определение его влияния на мировую науку и цивилизацию были и продолжают оставаться актуальными и сегодня.
В научнои деятельности аль-Фараби и физико-математические науки также занимают большое место. Математическое наследие аль-Фараби достаточно хорошо изучено Ауданбеком Кубесовым (1932-2008 гг.), которои является крупным ученым в области истории математическои науки и педагогики исламского Востока. Его труды «Математическое наследие аль-Фараби», «Математические трактаты» оцифрованы в Мичиганском университете (2007 г., 2010 г.), а «Комментарии к «Альмагесту» Птолемея» - в Калифорнииском университете (2008 г.) [1, 4].
В исследованиях А. Кубесова приведены основные сведения о рукописях, изданиях, переводах и исследованиях сочинении аль-Фараби, содержащих физико-математические сведения. Некоторые другие сведения о зарубежных изданиях, переводах и исследованиях этих сочинении можно наити в библиографическои книге Н. Решера [2].
Широко известна монография А. Кубесова «Математическое наследие аль-Фараби» [10], получившая высокую оценку зарубежных ученых [1]. В ней на основе опубликованных и неопубликованных рукописеи ученого освещены математика в классификации аль-Фараби, геометрия, тригонометрия и ее применение в астрономии, арифметика, алгебра аль-Фараби, учение о вероятностях и математическои теории музыки, и др., краткои обзор которых приведен в статье
[5].
А. Кубесовым был обнаружен до него неизвестным геометрическии трактат аль-Фараби, которыи называется «Книга духовных искусных приемов и природных таин о тонкостях геометрических фигур».
Данныи труд аль-Фараби, целиком посвященныи геометрическим построениям, важным в землемерии, архитектуре, технике и геодезии, состоит из введения и 10 книг (макалат). Он был создан, как видно из названия «духовные искусные приемы», для приложении геометрии к различным вопросам практики и других наук, что соответствует общеи характеристике математики средневекового Востока, которая, в основном, была прикладно-вычислительнои.
Так, в первои книге им рассматриваются элементарные построения с помощью циркуля и линеики. Вторая книга трактата посвящена правильным многоугольникам, строящимся на данном отрезке, а третья книга - правильным многоугольникам, вписанным в круг.
В четвертои книге решаются задачи построения круга, описанного около треугольника и правильных многоугольников, а в пятои книге - построения круга, вписанного в треугольник. Шестая книга посвящена построению правильных многоугольников, вписанных друг в друга. Построение треугольников в некоторых задачах основаны на применении метода гомотетии.
В седьмои книге рассматриваются задачи разделения треугольника на равные части, увеличения и уменьшения его в несколько раз; применяется метод гомотетии.
Восьмая книга посвящена разделению параллелограммов и трапеции прямыми, удовлетворяющими различным условиям. Здесь также применяется метод гомотетии.
В девятои книге решен ряд задач на преобразование квадрата из п2 квадратов, построение квадрата из 2п2 и п2 + т2 квадратов и обратные задачи, различные способы построения квадрата из трех равных квадратов. В этои же книге приводится критика аль-Фараби решения ремесленниками задачи утроения квадратов.
Десятая книга посвящена различным построениям на сфере, в том числе разделению сферы на правильные сферические многоугольники, равносильные построению вписанных правильных многогранников, вершинами которых являются вершины многоугольников.
Вопросам геометрических построении придавалось большое значение и многими предшественниками аль-Фараби. Самая древняя книга, где специально рассматривались задачи на построение - это сочинение индииских математиков VII-V вв. до нашеи эры, посвященное, в основном, правилам построики алтареи. Имелось значительное количество сочинении о геометрических построениях и у древних греков, и у ряда ученых средневекового Востока. Поэтому, естественно, при составлении указанного труда по геометрическим построениям аль-Фараби в значительнои степени опирался на достижения своих предшественников. Многие идеи, высказанные в этом труде, были развиты в дальнеишем в трудах математиков, как средневекового Востока, так и Европы эпохи Возрождения.
Геометрическии трактат аль-Фараби сыграл большую роль в развитии конструктивнои геометрии. Более того, алгоритмы геометрических построении, как известно, рассматриваются и в вычислительнои геометрии, которая является разделом современнои информатики. Так что есть основание считать, что в трактате рассматривается начало современнои вычислительнои геометрии.
Геометрические задачи на построение, составляя одну из содержательных линии школьного курса геометрии, и сегодня являются весьма существенным элементом в обучении геометрии, неотъемлемои ее частью.
В трактатах аль-Фараби предлагаются уникальные алгоритмы огромного количества геометрических задач на построение с помощью циркуля и линеики даже для задач, в которых точное построение сделать просто невозможно. Для них приводится алгоритм, позволяющии осуществить построение только лишь приближенно. Особыи интерес среди них вызывают классические задачи древности: о трисекции угла, построении правильных многоугольников, вписанных в круг и ряд других задач, неразрешимых точно с помощью циркуля и линеики.
Правильные многоугольники всегда привлекали к себе внимание ученых, строителеи, архитекторов и многих других. Алгоритмы построения некоторых из них рассмотрены еще Евклидом, но большои вклад в решение задач построения подобных многоугольников внес немецкии математик Гаусс (1801 г). Он указал все значения п, при которых возможно построение
правильного n-угольника с помощью только циркуля и линейки. Этими многоугольниками оказались лишь такие многоугольники, у которых количество сторон является простым числом вида 22 +1, а также те, которые получаются из них удвоением числа сторон.
С помощью циркуля и линеики оказалось невозможным построение правильного 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28....- угольников и т.д.
Отметим, что Евклидом построение правильных многоугольников при n=7,8,9,10 вообще не рассматривалось.
А у аль-Фараби в трактате приведены уникальные алгоритмы построения с помощью циркуля и линеики и семи, и девятиугольников, благодаря которым достаточно просто, но с некоторои сравнительно малои погрешностью осуществляется их построение.
К примеру, алгоритм построения правильного вписанного семиугольника он описывает так: «Если он сказал: как построить на линии АВ равностороннии семиугольник, то сделаем линию ВС, равнои линии АВ, построим на линии АС равностороннии треугольник DAC и опишем около треугольника ADC круг. Проведем в нем хорду - линию АЕ, равную линии АВ, и разделим АЕ пополам в точке G, восставим перпендикуляр GH и продолжим его до окружности круга [рис.1].
Разделим АВ пополам в точке F, восставим в неи перпендикуляр FI, равньш перпендикуляру GH. Проведем через точки А, В и I круг ABI и отложим [на нем] дуги АК, KL, LI, IM, MN и NB, равные дуге АВ. Проведем линии АК, KL, LI, IM, MN и NB; это — равностороннии и равноугольным семиугольник» [3, стр. 110—111].
Данное построение, впрочем, как и все остальные, у аль-Фараби приведено без доказательства.
Обоснование ее с опорои на современные знания в области школьнои математики и с использованием современных вычислительных средств, позволяет приближенно, с любои заданнои точностью, определить значение стороны правильного вписанного семиугольника. С точностью до трех десятичных знаков оно равно: 2^R^sin(360°/14)~2^R^sin25°71'~R*0,868. ~~~~ ~ 2Rsin25°43' « R • 0.868По алгоритму построения аль-Фараби сторона правильного семиугольника с точностью до тысячных равна (R^3)/2xR0,866. Эта точность не улучшаема. Для остальных n - от 3 до 10 - предложенные аль-Фараби алгоритмы построения многоугольников не вызывают затруднении и точны.
Обоснование подобных задач на построение требует привлечения огромного количества сведении из геометрии, что должно способствовать закреплению и более глубокому, осознанному усвоению учащимися теоретического материала, обобщению и систематизации их знании. Безусловно, все они достоины внедрения в математическое образование сегодняшних школьников. Знакомство с ними, включая многочисленные искусные приемы, предлагаемые ученым для их решения, позволит повысить и теоретическии, и практическии уровень обучения геометрии.
Обращение к научному наследию аль-Фараби важно еще и потому, что перед педагогическои наукои Казахстана сегодня стоит ответственная миссия, связанная с реализациеи
Государственной программы « Культурное наследие», которая ставит на повестку дня вопрос об изучении наследия выдающихся мыслителей прошлого, источников и документов, имеющих историческое значение в культурном наследии казахского народа [8]. Использование при изложении материала урока исторических сведении подчеркнет практическое его значение, поднимет интерес учащихся к изучаемому материалу и будет способствовать прочному его усвоению.
А использование при этом современных информационных технологии позволит усилить мотивацию учения, обеспечить формирование интереса учащихся к ним и, что очень важно, повысить эффективность и качество их обучения. Возможность их применения обусловлена, прежде всего, уникальностью исследования аль-Фараби, заключающеися в использовании алгоритмического подхода при решении математических проблем и прикладнои направленностью проведенных им исследовании.
Одним из современных средств информационных технологий, специально предназначенных для применения в обучении геометрии, безусловно, являются интерактивные геометрические среды, позволяющие создавать качественные планиметрические и стереометрические чертежи. Здесь можно создавать конструкции с точками, векторами, линиями, коническими сечениями, а также математическими функциями, а затем динамически изменять их, строить анимации. В них можно напрямую вводить уравнения и манипулировать координатами. Программы динамической геометрии позволяют выполнять геометрические построения на компьютере таким образом, что при изменении одного из геометрических объектов чертежа остальные также изменяются, сохраняя заданные отношения неизменными.
Наибольшей популярностью среди подобных программ пользуется GeoGebra. Обладая огромными возможностями, она позволяет не только осуществлять геометрические построения, демонстрировать доказательства утверждений, строить анимации, что позволяет совместно с учащимися устанавливать, открывать заново те или иные свойства рассматриваемой фигуры. В отличие от других программ для динамического манипулирования объектами в ней имеется возможность интерактивного сочетания геометрического, алгебраического и числового представления. Созданный в ней анимированный файл можно использовать не только в самой среде, но и во многих других средах в виде видео файла, анимированного gif-файла, web-страницы и т.д.
Представление всех алгоритмов в трактате аль-Фараби в виде четкой последовательности действий существенно облегчает их компьютерную реализацию. Принимая это во внимание, а также учитывая возможности данной программной среды, на кафедре информатики и информатизации образования Казахского национального педагогического университета имени Абая проводимой под эгидой научно-исследовательской работы по теме «Математическое наследие аль-Фараби в современном образовании» в экспериментальном порядке разработан и внедрен в подшефной школе курс «Задачи на геометрические построения аль-Фараби в среде GeoGebra» в рамках внеклассных мероприятий [6]. Основными развивающими его целями явились:
- повышение уровня математической подготовки школьников, а именно развитие логического, эвристического, алгоритмического, пространственного мышления;
- личностное развитие, выраженное в выработке навыков самоконтроля, рефлексии, изменения роли в учебном процессе от пассивного наблюдателя до активного исследователя.
Остановимся более подробно на решении в среде GeoGebra нескольких примеров из данного
курса.
Интересной представляется задача построения правильного девятиугольника, которая относится к категории задач на геометрические построения, неразрешимых с помощью циркуля и линейки. В основе алгоритма его решения, предложенного аль-Фараби [3], лежит задача о делении угла на три равные части.
Следует отметить, что и задача о трисекции угла, сводящаяся к кубическому уравнению sin(P)=3x-4x3, sin(P/3)=x, где в рассматриваемый угол, за исключением случая трисекции прямого угла, не может быть решена точно с помощью только линейки и циркуля постоянного раствора. Неразрешимость данной задачи в общем случае показана в работе [11, стр.164.].
Аль-Фараби же в своих трактатах приводит два способа ее решения. Решения эти, разумеется, приближенные с незначительной погрешностью. Но в работе он не отмечает приближенного характера своих построений.
Один из этих алгоритмов описан им следующим образом:
«Если он сказал: как разделить угол АВС на три равные части, то если угол прямой, построим на линии ВС равносторонний треугольник DBC. Тогда угол ABD - треть прямого угла. Разделим угол DBC пополам. Вот рисунок этого (рис.2)».
Если угол меньше прямого угла, то «построим острый угол - угол ABC и, если мы хотим разделить его на три равные части, опустим из точки A перпендикуляр AH на линию BC и проведем из точки A линию AD параллельно BC. Приложим линеику к точке B и будем двигать ее по линиям
AD и AH до тех пор, пока линия, которая находится между линиями AD и AH, не станет равнои удвоеннои линии AB. Это, например, линия DEB, так что линия DE - удвоенная линия AB. Тогда угол DBC треть угла ABC. Вот рисунок этого (рис.3)».
Ша
Полотно
'-• h: О.ОЗх + 8.38у = 11.4Í" :; rt с:-»
• i: -8.38Х + 0.08у = -56.2 Текст • надпись1 = 'DE=2AE - Т ./ IK-L • А= (6.72,1.3) В = (9.7. -1.78) • С = (1.32, -1.7) : • D = (-1.55,1.38) ; • Е = (6.7,-0.95) E, = (-3.9,2.04) I • F = (3.66, 1.82) F, - (6.7, -0.94) : * Н = (6.69,-1.76) I = (-1.55,1.38) J = (-1.55,1.38) К = (-1.55,1.38) L = (5.53, 2.53) М = (-1.55,1.38) N - (-1.55,1.38) 0=13.92,-0.16) Q = (5.53, 2.53) Угоп ABF= 15.13° DBC = 15.14° FBD = 15.13° DE=2*AB ¡У
с \. ; / \ \
......i........... i \ V i \ i
Рис.3. Построение трисекции острого угла по алгоритму аль-Фараби
Это построение у аль-Фараби также приведено без доказательства.
Алгоритм построения правильного девятиугольника, основанный на построении трисекции угла, аль-Фараби описывает так: «Если он сказал: как построить на линии АВ равностороннии и равноугольныи девятиугольник, то опишем круг CDE произвольного размера с центром в точке G, отметим на нем точку С, примем ее за центр и на расстоянии полудиаметра круга отметим [точки] Е и D. Разделим дугу DE на три равные части [рис. 4]. Пусть одна такая дуга - ЕН. Проведем линии EG, ЕН и HG. Проведем между линиями EG и HG линию FI, равную линии АВ и параллельную линии ЕН. Примем точки А и В за центры и на расстоянии FG опишем круги, которые пересекутся в точке К. Примем точку К за центр и на расстоянии КА [опишем] круг АВЬ. Разделим дугу АЬВ на восемь равных частеи и соединим эти точки деления хордами. Получится равностороннии и равноугольным девятиугольник на линии АВ» [3, стр. 113-114].
Данный алгоритм аккуратно, с математической точностью несложно реализовать в описанной выше программной среде GeoGebra (рис.4).
а ааншшЕ
Панель объектов
• с: (х-6)2 + (у + 1}2:'
I № I 53/531 I I и* I
!> Проиграть
и±11 з
9 с,: |х + 2.48]* + (у -
• Л: (л -4.21)2 (у + 1
• Л,-|х + 3.45)" +(у-1
• е: (х + 6.4]2 + (у-3.
• £х + 5.31)3 + (у
• (х + 7.21Р + |у + » д,: (х + 8.28)" + (У-
• ч2: [к + 4.4Г + (у-:
• г: (х »■ 5.4)4- |у - О.
• з: (х+4.4]г + (у-3. ■ 1; (х + 2.86]г + (у - 2 Луч
• к: -0.23х - 1.99у = I
• I: 1.1х - 1.67у = 8.2
Многоугольник
• многоугольник ! Отрезок
• а = 2 а, = 2
• Ь = 2 ..... Ь, = 2
• д = 1.37
■ Протокол
в-|в-|Н|а|в
Окруж. Точка С Окруж... Точка О Точка Е Угол а Точка О Угол р
Пряма.
(3 = 16,-1)
Окружность с центром в и Точка на с
Окружность, проходящая через Точка
пересечения с и [1 Точка
пересечения с и б Угол по точкам О,
С, Е_
Объект О, повёрнутый на
Угон по точкам О, 0,0
Биссектриса угпа, построенного по
Точка прпргрчрния г и Г
1« чг • (/ • С - £4 . 21, -011) & (х-4.21 )=+(у.. О - (5.88, 1) Е - (4.33, -2.1) а = 120* О = (4 62, 0 45) Р = 40°
Г-011Х -0.8
Н = (4.01, -0.77)
И | <Я 53 / 531 № ] М |
> Прои
Рис.4. Построение девятиугольника по алгоритму аль-Фараби
Видно, что полученный в результате построений по описанному алгоритму компьютерный чертеж в среде GeoGebra выглядит не просто аккуратно и математически точно, но и представляет собой совершенно новое явление. Его можно сохранять и видоизменять. Элементы чертежа легко измерить, выделить палитрой цвета, сопровождать надписями. От учащихся требуется осуществление не только соответствующих построений в данной программной среде, но и обоснование алгоритма с опорой на современные знания в области школьной геометрии.
Построение девятиугольника по алгоритму аль-Фараби, как было отмечено выше, является приближенным и допускает некоторую достаточно маленькую погрешность, которую на чертеже заметить очень сложно, но необходимо ее показать при обосновании. Сторону правильного девятиугольника аль-Фараби определяет с помощью трисекции дуги, равной одной трети окружности. Если обозначить sin(P/3)=x, то sin(P)=3•x-4•x3, где в=а/2, а=1200. Отсюда значение стороны определяется с точностью до тысячных и равно 2^^т(36°°/18)^°,684, чем и объясняется погрешность в построении.
Подобные задания увлекают школьников. Они позволяют не только углубить знания учащихся по программе, но и способствуют развитию их мышления и ключевых компетентностей.
Большой интерес у учащихся вызывают и, представленные в трактатах, задачи на построение в пространстве. В их числе задачи по разделению сферы на некоторое число сферических многоугольников, что равносильно построению правильных вписанных многогранников типа октаэдра, тетраэдра, куба, икосаэдра. Сферические многоугольники являются соответственно проекциями их граней на поверхности сферы, проведенными из ее центра.
Одной из таких задач является задача разделения сферы на четыре равные части, являющиеся правильными сферическими треугольниками. Аль-Фараби предлагает следующий способ ее решения: «Если он сказал: как разделить сферу на четыре равных треугольника с равными сторонами и углами, если известен диаметр сферы, то если диаметр сферы равен линии АВ, построим на линии АВ полукруг, отложим линию АС, равную трети АВ, проведем линию СБ перпендикулярно к линии АВ; она встретит полукруг АБВ в точке Б. Возьмем на круге произвольную точку Е, примем ее за полюс и на расстоянии ВБ опишем круг FGH, разделим его на три равные части в точках G, Н, F и проведем через полюс и через каждую точку G, Ни F дуги большого круга, пересекающиеся в точке J, а через каждые две из точек G, Н и F - дугу большого круга. Тогда получим сферу, разделенную на четыре равносторонних и равноугольных треугольника. Это треугольники JHF, FJG и GHF».
Использование среды GeoGebra при реализации данного алгоритма значительно упрощает построение, предоставляет возможность более наглядного оформления и динамического манипулирования частями чертежа для лучшего понимания, как алгоритма, так и полученных результатов, способствует вовлечению учащихся в активную познавательную деятельность, путем выдвижения различных гипотез и поиска ответов (рис. 5-6).
| 1> Проиграть
Рис.5. Разделение сферы на четыре равные части по алгоритму аль-Фараби
> Панель объектов
► Поло1но 30
Вектор • «1 =
2.84 I 3.8В )
2.03 -4.47
, -4.87
* ^ = I 0.47
( ^
• "1=| 0
Коника
• с: X = (0,0,0) +
• (х - 2.39)2 ■«- (у
• е: (х + 0.46)2 + О
«",Тррг: ->К
• I О
• Я = 4.9
• И 2.Ю
• I = 4.9
• I 9.79
• к = 4.9
• I 4.9
• ш = 6.93
• И 8.49
• р = «.18
• Я 8.49
• I = Л. 14
• в 5.2
• I = Ь.? ркЬри<!.1. = Ц.4!
0 робров.1 8.4!_
т плйппГ.М 4 ? —
1-шаг
2-шаг
3-шаг
7-шаг
8-шаг
®
Рис.6. Анимирование частей сферы, разделенной по алгоритму аль-Фараби
Достаточно увлекательными являются и алгоритмы решения задач на разделение квадратов, их составление и построение фигур, вписанных в них, которые часто встречаются на практике.
В их числе следующии алгоритм: «Если даны квадраты, число которых состоит из двух неравных квадратов, то построим два прямоугольника, длина каждого из них равна стороне большого квадрата, а ширина равна стороне меньшего квадрата. Рассечем каждьш из них пополам диагональю; получатся четыре равных треугольника со сторонами, равными сторонам квадратов, их диагональ равна стороне искомого квадрата. Если мы расположим в середине квадрат, сторона которого равна разности сторон двух данных квадратов, и расположим стороны треугольников на его сторонах, получится один квадрат, построенныи из квадратов», сформулированныи для общего случая.
Здесь же им дано его применение в конкретном случае: «если мы хотим построить квадрат из тринадцати квадратов с равными сторонами и диагоналями, то один квадрат состоит из единичных квадратов, их девять, сторона этого квадрата равна трем; другои составлен из четырех единичных квадратов, его сторона равна двум. Построим два прямоугольника, одна сторона которых - три, а другая - два. Получатся два прямоугольника, каждыи из которых состоит из шести
квадратов. Рассечем их по диагонали; получатся четыре треугольника, длинныи катет каждого из которых - три, короткии - два, а гипотенуза - корень из тринадцати. Выделим из квадратов единичныи, поместим его в середине и приложим к нему треугольники большими катетами к стороне квадрата. Из них составится квадрат, каждая сторона которого - гипотенуза треугольников, т.е. корень из тринадцати» [3].
И в этом случае при реализации алгоритма очень кстати использование интерактивнои среды GeoGebra, которая позволяет подготовить необходимые чертежи, осуществить их разделение и перетаскивание (рис.7).
ШГ^П ® #
Е
► Панель объектов
Полотно
Отрезок
• а= 1
• 3^1
• *2 = 1
• а3 = 1
• а4 = 1
• а5 = 1
• *е = 1
• «7 = 1
• *8 = 1
• аэ = 3
♦ а10 = 2
• Ь = 1
• Ь1 = 1
• Ь2=1
• ь3=1
• Ь4=1
• ь5=1
• ь6=1
• Ь7=1
• ь8=1
• ь =3.51
•\, Если мь>| хотим построить квадрат из тринадцати квадратов с равными сторонами и диагоналями, то один квадрат состоит из единичных квадратов, их девять, сторона этого квадрата [равна] трем; другой [составлен] из четырех [единичных квадратов], его сторона
Выделим из квадратов единичный, поместим его в середине и приложим |к нему [треугольники] большими катетами к стороне квадрата. Из них составится квадрат, каждая сторона которого - гипотенуза треугольников, т. е. корень и:
<
Рис. 7. Разделение квадратов по диагонали и составление на их основе нового квадрата
Подобных задач на построение, описанных аль-Фараби в трактатах и включенных в программу разработанного для школьников элективного курса множество. Знакомство с ними, включая многочисленные искусные приемы, предлагаемые ученым для их решения, позволит расширить представления учащихся как о самих задачах на построение, так и возможных способах их решения, систематизировать знания учащихся. И, несомненно, будет способствовать развитию познавательных интересов, пространственного и логического мышления учащихся, развитию навыков построения фигур, исследовательских их навыков, повышению уровня их графической культуры.
Шк В шн т Ш ЛВС аш с 1
► Панель объектов Вй - Полотно 13
Коника
• с: (х - 5)2 + (у + 1 Отрезок
1 = 6 Ь = 3 ¡ = 1.39 I = 5.84 т = 1.35 п = 2.68 Прямая д: х = 5 у. х = 7.68 к: у = 0.35 Точка
• А= (8, -1)
• В = (5, 2)
• О = (7.68, -1)
• Е=(5,-1)
• 6 = (7.68, 0.35)
• Н = (5, 0.35)
• С = (2, -1)
| > Проиграть I 2В! б
Рис. 8. Основные тригонометрические линии по аль-Фараби
Исторический контекст учебного материала значительно усилит доказательность и убедительность важности полученных результатов, позволит расширить и обогатить систему предметных знаний учащихся, повысит их прочность за счет анализа и повторения учебного материала в новом - историческом - контексте, интересном и эмоционально насыщенном для восприятия учащимися.
Среди математических трудов аль-Фараби наряду с геометрией особое место занимает довольно развитая тригонометрия, созданная им в связи с применением математических методов для решения разнообразных задач математической астрономии и географии.
В начале своих тригонометрических глав аль-Фараби дает разъяснение основных тригонометрических линии - хорды, синуса, косинуса и др. Он пишет «ABC - круг, его центр - E, его диаметр - AC (рис. 8). Проведем EB под прямым углом из точки E. Зададимся дугои AG, проведем линию AG, опустим GD перпендикулярно к AC и GH - перпендикулярно к BE, соединим G и C. Тогда линия AG - хорда дуги AG, GC -хорда ее дополнения, GD - синус дуги AG, GH - ее косинус, равньш линии DE, AD - стрела дуги AG; BH - стрела дуги GB, дуга GB - дополнение дуги AG до четверти круга, дуга GBC - дополнение AC до половины круга» [10].
Как видно из текста, синусы и косинусы он рассматривает в первои четверти, а хорды, как и Птолемеи, на верхнеи полуплоскости. Более того, из текста и рисунка легко можно установить основное тригонометрическое тождество sin2a + cos2a = R2 и следующие формулы приведения 90 90
sin( |0 — а) , а также то, что величина линии синуса в первои четверти возрастает, а линии cos( 10 —a), cosa =
sina = косинуса убывает.
Далее он дает определение синуса «как половины хорды удвоеннои дуги», т.е. если BD =
chd2a (рис.9), то BC - линия синуса дуги АВ = а, и
i
sina = - • chd2a. (1)
ШВИШВШнганиим ¿ © о
► Панель объектов SI ' Полотно Е) ж Протокол
Коника • с: (х -3)г+ (у-1)г = 1' Отрезок • b = 4 • с^ =4 • f = 4 • о = 5.26 Точка • А= (7, 1) • В = (6.01,3.64) • С = (6.02, 1) • D = (6.02, -1.62) • О =(3,1) Треугольник • многоугольник1 = 7 Угол □ - Ш" I 0- US ® | О
Ia N2 Имя Описание Значение
1 Точка О О = (3,1)
ОуГ а \ В С 2 Окружн.. Окружность с центром О и с: (х- З)2 + (у ...
3 Точка А Точка на с А = (7, 1)
4 Отрезо.. Отрезок[А, О] f = 4
5 Точка В Точка на с В " (6.01, 3.64)
Ю Точка D Точка на с D = (6.02.-1... "
7 Треуго... Polygon В. D, О многоугольн...
< 7 Отрезо.. Отрезок [В. D]. принадлежащи о = 5.26
7 Отрезо.. Отрезок [D, О] принадлежащи b = 4
7 Отрезок с1 Отрезок [О, В], принадлежащи сЛ =4
8 Точка С Точка пересечения f С = (6.02, 1) -
I ея 11 I Э / Q Г м> I . ИД I I > П
Рис.9. Определение синуса по аль-Фараби
Это одно из первых известных нам введении синуса при комментировании Птолемея. Аль-Фараби в дальнеишем всюду хорду дуги 2а заменяет синусом углаа. Хотя такая замена сама по себе кажется не столь существенной однако переход от хорды к полухорде благоприятствовал широкому внедрению в астрономии различных тригонометрических функции, связанных со сторонами и углами прямоугольного треугольника в круге.
В своих тригонометрических главах аль-Фараби приводит серию задач по определению величины хорды четверти, трети круга, однои десятои и пятои круга, задачу определения по известнои хорде дуги величины хорды ее дополнения, а также задачи определения величины хорды суммы и разности двух дуг и ряд других задач. Каждая из них изложена в отдельнои главе его «Книги приложении», примыкающеи к «Комментариям к «Алмагесту»» и представляет собои, как отдельную, самостоятельную задачу, так и служит подготовительным материалом для доказательства последующих задач, необходимых для составления таблиц тригонометрических функции.
Отдельная глава посвящена доказательству известнои теоремы Птолемея, которую аль-Фараби формулирует следующим образом: «В каждом четырехугольнике, вокруг которого описан круг, произведение каждои из противоположных сторон на другую, если сложить их, равно произведению диагоналеи четырехугольника». Она также нужна для доказательства дальнеиших его предложении.
Безусловно, все эти задачи, так же как и задачи на геометрические построения, достоины изучения в современном математическом образовании, как в рамках обязательного курса алгебры
и геометрии, так и в виде самостоятельного элективного курса. Школьники должны иметь прочные знания по тригонометрии, так как они имеют огромную практическую направленность и играют большое значение в реализации межпредметных связеи.
Отметим, что первичные тригонометрические знания учащихся зачастую представлены фрагментарно. Связано это с высоким уровнем абстракции понятии, сложнои логическои структурои их определении, недостаточностью учебного времени для осмысления сложности вопросов и др. Нынешнее отношение школьников к тригонометрии вызвано также и непониманием ее роли в общечеловеческои культуре. Знакомство с задачами аль-Фараби, прежде всего, будет способствовать более глубокому усвоению учащимися материала, предусмотренного программои, осознанному пониманию тригонометрических формул, позволит расширить их представления, как о тригонометрических задачах в целом, так и возможных способах их решения, систематизировать знания учащихся. И, несомненно, будет способствовать развитию логического мышления учащихся, развитию познавательных и исследовательских их навыков, повышению уровня их математическои и информационнои культуры. Использование же при их обучении современных математических пакетов, цифровых образовательных ресурсов сделает процесс обучения тригонометрии более увлекательным, позволит усилить мотивацию учения, и, что очень важно, позволит повысить эффективность и качество их обучения.
Одним из целесообразных средств при этом является программная среда GeoGebra, позволяющая не только готовить геометрические иллюстрации ко всем этим задачам в качестве наглядности для лучшего их понимания, но и, главное, обеспечить широкое и целенаправленное использование познавательнои функции этои наглядности, что является одним из главных положении когнитивно-визуального подхода к формированию знании, умении и навыков учащихся. Эффективность использования такого подхода в обучении математике не вызывает сомнения.
0 А ■ а щ ы й а А а = 2
► Панель объектов ® ■*■ Полотно
• с = 9.42 Отрезок
• Г=6
• д = 2.9
• !'| = 5.32
• ¡ = 3.32
• ] = 2.77
• к = 5.25
• 1 = 1.99
• т = 1.99
• надпись1
• надпись2
• надписьЗ
Точка
• А= (9, -1)
• В = (7.6,1.54)
• С = (4.28,1.46)
• 0 = (3, -1)
• Е=(-2,4)
• Р = [-1.99,-2.01]
• С = (-1.18, -3.99)
• Н = (-1.18, -2) Угоп
а = 90°
"АО'Е
АР*ВС=АС*В й-АВ'С й
ЕР=АР*ВС
СН=АС*ВО-АВ*СО
Рис.10. Определение величины хорды разности двух дуг, хорды которых известны
Использование среды GeoGebra, в частности, при решении задачи «О нахождении величины хорды разности двух дуг, хорды которых известны» облегчает понимание доказательства правила вычисления хорды, стягивающеи разность двух дуг, когда известны хорды, стягивающие эти дуги, описанного аль-Фараби:
«Пусть ABCD - полукруг, диаметр его - AD и его хорды АВ и АС известны. Соединим В и С (рис.10). Я утверждаю, что ВС известна.
Доказательство этого. Проведем BD и CD, которые известны, так как они хорды дополнении АВ и АС. Тогда по тому, что доказано в предпосылке (т.е. по теореме Птолемея), произведение АС на BD равно сумме произведении АВ на CD и AD на ВС; но произведение АС и BD известно; известно и произведение АВ и CD; следовательно, оставшееся произведение AD и ВС известно. Диаметр AD известен, поэтому известна и хорда ВС. Это и есть то, что мы хотели доказать. [3, стр.64-65].
Динамичность созданного в среде объекта, возможность визуализации всех утверждении, получаемых в процессе доказательства, облегчает его понимание.
Если воспользоваться соотношением (1), полученным аль-Фараби для осуществления
перехода от хорды к синусу, то легко доказывается равносильность этого правила известной нам формуле синуса разности аргументов:
sin(a — р) = sina • cosfí — sinfí • cosa Действительно, по доказанному предположению имеем
AD • ВС = АС • BD — АВ • CD (2)
Пусть данные дуги AC и AB соответственно равны 2а и 2^, тогда по соотношению (1), заменяя хорды синусами, получим: AD = chd180° = 2sin90° = 2, ВС = chd2(a — р) = 2sin(a — fí), АС = chd2a = 2 sina,
BD = chd( 180o — 2$) = 2sin(90° — P) = 2 cosfl, AB = chd2¡3 = 2 sinfi,
CD = chd( 180o — 2a) = 2sin(90° — a) = 2cosa
Подставляя эти значения хорд в равенство (2), получим указанную формулу sin(a — р) = sina • cosfí — sinfí • cosa.
В главе «О нахождении величины хорды половины дуги с известнои хордои» аналогичным
1 — cosa
образом доказывается формула синуса половинного аргумента s¿n2 » = .
2
А в главе «О нахождении величины хорды суммы двух дуг, хорды которых известны» доказывается правило нахождения хорды суммы двух дуг, которое в силу соотношения (1) принимает вид sin(a + р) = sina • cosp + sinfí • cosa.
Именно эти формулы считаются основными и наиболее важными формулами преобразования тригонометрических выражении, поскольку из этих формул без особого труда выводятся практически все формулы тригонометрии. Кроме того, используются они для преобразования заданного тригонометрического выражения к виду, позволяющему облегчить нахождение его решения.
Доказательство формул синуса и косинуса суммы (разности) аргументов в силу сложности, как правило, не включено в базовыи курс обучения. Однако доказательство, вытекающее из рассуждении аль-Фараби и приведенное выше, достаточно простое и посильно для учащихся. Рассмотрение его позволит прояснить суть этих формул, обеспечит сознательное их усвоение. Использование при этом программнои среды GeoGebra, безусловно, будет способствовать повышению интереса учащихся к изучаемому материалу.
Заметим, что в задачах по определению величины хорды четверти, трети круга, однои десятои и пятои круга описаны способы вычисления хорды 900,1200, 360 и 72°. Доказывается, что
chd90° = fiV2, chd120° = R43, chd720 = R J^ и chd36° = й^р, откуда по формуле (1) легко
. „_п сШ90° . R-/3 . __n R 5-/5 . „ „п Я V5-1
получить sm45u =-, sin60u = —, sin36u = - I-и sm18u =--, которые точно измеримы.
J 2 2 2 у 2 2 2 ^ ^
Для широкого применения тригонометрических функции в теоретических и практических целях этих значении, конечно, недостаточно. Необходимы специальные таблицы значении тригонометрических функции, важным этапом при составлении которых является нахождение числового значения синуса одного градуса. Поэтому математики средневекового Востока придавали большое значение разработке различных методов решения этои задачи. В своеи «Книге приложении к «Алмагесту»» аль-Фараби, насколько нам известно, первым на Востоке определяет значение синуса и косинуса одного градуса. Хотя метод вычисления хорды одного градуса, примененныи им, по существу, совпадает с методом Птолемея, аль-Фараби значительно улучшает точность вычислении Птолемея путем совершенствования приемов вычислении над шестидесятеричными дробями.
Предварительно им доказывается лемма, играющая особую роль при вычислении хорды и
„ chda а
синуса одного градуса: если а < р, то <-. На ее основе далее строятся таблицы хорды, синусов
и косинусов. Следуя Птолемею, аль-Фараби сначала находит хорду дуги разности
з0
72°-60°=120, а затем последовательно определяет ее для 6°, 3°, 0.5° и —, достаточно близко
з0 з
приближаясь к 10. С помощью доказаннои леммы получает неравенства chd10:chd—< 1:-chd1° < - • chd — < 11Р2'49"52"' и chd — :chd1° <-:1,chd1° >-^chd—* 1^2'49"48'". Из
3 4 4 2 4 3 2
которых следует, что V>2'49"48"' < chd10 < V>2'49"48"'.
За приближенное значение хорды одного градуса он принимает среднее арифметическое
двух найденных значений chdI0 « 1Р2'49"50"'.
И если значение хорды одного градуса, найденное Птолемеем, точно до пяти десятичных знаков, то у аль-Фараби оно точно до шести десятичных знаков включительно. Эта точность обеспечена им путем совершенствования приемов вычислении над шестидесятеричными дробями. Указанное достижение аль-Фараби по улучшению точности вычислении синуса одного градуса в дальнеишем было развито другими математиками средневекового Востока.
Далее аль-Фараби по значению chdl0 находит значение chd1790 (как хорды его дополнения), и по доказанному им утверждению об определении величины хорды суммы двух дуг, хорды которых известны, определяет все хорды дуг от одного до 1800, откуда получает sinl0 и cosl0. В десятичных дробях приближение аль-Фараби для sinl0 равно 0,017452389 вместо правильного 0,017452406.
Значение косинуса одного градуса необходимо ему для вычисления тангенса и котангенса одного градуса. Они, в свою очередь, необходимы для составления таблиц этих функции.
Авторами статьи разработано электронное средство для вычисления значении тригонометрических функции по алгоритму аль-Фараби, которое доступно на специально созданном научно-образовательном портале [7]. Главное его назначение - понять идею вычисления значении синуса одного градуса и других тригонометрических функции, но, при необходимости, оно может быть использовано и как online калькулятор. Убедиться в правильности вычислении значении тригонометрических функции по алгоритму аль-Фараби, которое точно до шести десятичных знаков, позволят и реализованные в нем алгоритмы вычислении тригонометрических функции через разложение в ряд с некоторои наперед задаваемои точностью (рис.11).
(Еайп Алгоритм аль'DapaPn '.правка
Значения sir?
по аль Фараби
через разложение в ряд с задзной точностью (
¡г(1]=1,745239Е-02 ln(2j= 3,439343Е-02 ЩЙ 0,0523353 ¡nl15]= 0,2538133 in(30]= 0,4533936 ¡n(45)= 0,7071062 ¡n(60]= 0,8660249 ¡nf90]= 1
sHIH 745241 F.Щ sln(2)= 0,0343395 iin(3)= 5,Й3536Е-02 sin:; 5!= 0.253319 sin(30)= 0,5 m(45)= 0,7071068 sin[60]= 0,8660254 sini90]= 1
cleat sih
clear sin
Значения COS и хард!>1
COS chd
cos(1 ]= 0,99984769515639' cos(2j= 0,99933032701909! cos(3l= 0,333623^7^7.
chd[1 )= 1,74530709967479 chd[2)= 0,03430431237456
Веедг-те значение
OK,
Отмена
clear cos
clear chd
Программа составлена в рамка:-: научного проекта 8 ре значении тригонометрическим Функции расшитаны по алгоритмам аль Фараби
Рис.11. Электронное средство для вычисления значений тригонометрических функций по
алгоритму аль-Фараби
Научно-образовательньш портал наряду с данным электронным средством содержит и все необходимые для обучения математическому наследию аль-Фараби материалы, включая математические трактаты аль-Фараби и методические рекомендации по решению задач, представленных в них, а также чертежи ко всем задачам, выполненные в результате соответствующих построении в программе GeoGebra, в виде анимированных фаилов. Дизаин портала адаптивныи, рассчитанныи, в первую очередь, на мобильные устроиства [9, 12].
Безусловно, и все задачи аль-Фараби по тригонометрии, так же как и его задачи на геометрические построения, достоины изучения в современном математическом образовании, как
в рамках обязательного курса алгебры и геометрии, так и в виде самостоятельного элективного курса. Возможно их изучение и в рамках внеклассных занятии. Школьники должны иметь прочные знания по тригонометрии, так как они имеют огромную практическую направленность, являются звеном огромнои цепи понятии и имеют большое значение в реализации межпредметных связеи.
Отметим, что первичные тригонометрические знания учащихся зачастую представлены фрагментарно. Связано это с высоким уровнем абстракции понятии, сложнои логическои структурои их определении, недостаточностью учебного времени для осмысления сложности вопросов и др. Нынешнее отношение школьников к тригонометрии вызвано также и непониманием ее роли в общечеловеческои культуре. Знакомство с задачами аль-Фараби, прежде всего, будет способствовать более глубокому усвоению учащимися материала, предусмотренного программои, осознанному пониманию тригонометрических формул, позволит расширить их представления, как о тригонометрических задачах в целом, так и возможных способах их решения, систематизировать знания учащихся. И, несомненно, будет способствовать развитию логического мышления учащихся, развитию познавательных и исследовательских их навыков, повышению уровня их математическои и информационнои культуры. Использование же при их обучении современных математических пакетов, цифровых образовательных ресурсов сделает процесс обучения тригонометрии более увлекательным, позволит усилить мотивацию учения, и, что очень важно, позволит повысить эффективность и качество их обучения.
На основании вышеизложенного следует отметить, что внедрение в систему современного образования математического наследия аль-Фараби на основе информационных технологии окажет значительное влияние на качество предметнои подготовки учащихся в ее обучающем, развивающем и воспитательном аспектах. Будет способствовать формированию и развитию научного мировоззрения, чувства патриотизма и интернационализма, а также других социально-ценных мотивов учения за счет осознания общественнои значимости богатого математического наследия великого ученого. Полученные при этом знания станут более осознанными и прочными. Использование при этом современных средств информационно-коммуникационных технологии способствует повышению интереса учащихся, увлеченности предметом, а также мотивирует, стимулирует и активизирует их поисково-познавательную деятельность.
Работа поддержана грантом МОН РК (договор №274 от 03 мая 2016 г. №5736/ГФ-15-ОТ).
Литература
1. Carry J. Tee (University of Aucland), Kubesov A.K. The Mathematical Heritage of al-Farabi(in Russian). Journal for the history of Arabic science. -No.1 (1978), pp. 150-153.
2. Rescher N. Al-Farabi: An Annotated Bibliography. University of Pittsburgh, 1962.
3. Аль-Фараби Математические трактаты. Алма-Ата, «Наука», 1972 г. - 318 с.
4. Бидайбеков Е.Ы., Бостанов Б.Г., Камалова Г.Б. The mathematical heritage of Al-Farabi by A.Kubesov in modern conditions of educations // Материалы IX международного математического конгресса ISAAC. г. Краков, Польша, 5-9 августа 2013 г. - C. 33-34.
5. Бидайбеков Е.Ы., Камалова Г.Б., Бостанов Б.Г., Джанабердиева С.А. Эл Фэрэбидщ математикалык; муралары заманауи бшм беру аясында // Цаз¥У Хабаршысы. Саясаттану, философия, мэдениеттану сериясы. №2(51), Алматы. - 2015. - 50-57 б.
6. Бидайбеков Е.Ы., Камалова Г.Б., Бостанов Б.Г., Салгожа И.Т., Торебекова Р.К. Формирование ИКТ - компетенции во внеклассной работе математическому наследию аль-Фараби // Мат-лы I Международной научно-практической конференции «Информатизация образования и методика электронного обучения - 2016». - Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 27-30 сентября 2016. - С.172-176
7. Бидайбеков Е.Ы., Гриншкун В.В., Бостанов Б.Г., Умбетбаев К.У. О разработке и использовании образовательного портала по геометрическому наследию Аль-Фараби в качестве средства информатизации обучения истории математики // Вестник Московского городского педагогического университета №4(34), Москва, 2015
8. Государственная программа «Мэденимура» - Культурное наследие Казахстана:- http://www.madenimura.kz/ru /government-program-madenimura/programs-madenimura/
9. Камалова Г.Б., Бостанов Б.Г., Умбетбаев К.У. Об использовании компьютерной программы Geogebra при обучении математическому наследию аль-Фараби // Мат-лы I Международной научно-практической конференции «Информатизация образования и методика электронного обучения - 2016». - Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 27-30 сентября 2016. - С.199-204.
10. Кубесов А.К. Математическое наследие аль-Фараби. Алма-Ата, «Наука», 1974 г., 246 с.
11. Курант Р., РоббинсГ. Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов) - 3-е изд., испр. и доп. -М.:МЦМНО, 2001. -586 с.
12. Математическое наследие аль-Фараби. Научно-образовательный портал. - http://alfarabi.kaznpu.kz
References
1. Carry J. Tee (University of Aucland), Kubesov A.K. The Mathematical Heritage of al-Farabi(in Russian). Journal for the history of Arabic science. -No.1 (1978), pp. 150-153.
2. Rescher N. Al-Farabi: An Annotated Bibliography. University of Pittsburgh, 1962.
3. Al'-Farabi Matematicheskie traktaty. Alma-Ata, «Nauka», 1972 g. - 318 s.
4. Bidajbekov E.Y., Bostanov B.G., Kamalova G.B. The mathematical heritage of Al-Farabi by A.Kubesov in modern conditions of educations // Materialy IX mezhdunarodnogo matematicheskogo kongressa ISAAC. g. Krakov, Pol'sha, 5-9 avgusta 2013 g. - C. 33-34.
5. Bidajbekov E.Y., Kamalova G.B., Bostanov B.G., Dzhanaberdieva S.A. Al Farabidin matematikalyk myralary zamanaui bilim beru ajasynda // Kaz¥U Habarshysy. Sajasattanu, filosofija, madeniettanu serijasy. №2(51), Almaty. - 2015. - 50-57 b.
6. Bidajbekov E.Y., Kamalova G.B., Bostanov B.G., Salgozha I.T., Torebekova R.K. Formirovanie IKT - kompetencii vo vneklassnoj rabote matematicheskomu naslediju al'-Farabi // Mat-ly I Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Informatizacija obrazovanija i metodika jelektronnogo obuchenija - 2016». - Krasnojarsk: Sib. feder. un-t, 27-30 sentjabrja 2016. - S.172-176
7. Bidajbekov E.Y., Grinshkun V.V., Bostanov B.G., Umbetbaev K.U. O razrabotke i ispol'zovanii obrazovatel'nogo portala po geometricheskomu naslediju Al'-Farabi v kachestve sredstva informatizacii obuchenija istorii matematiki // Vestnik Moskovskogo gorodskogo pedagogicheskogo universiteta №4(34), Moskva, 2015.
8. Gosudarstvennaja programma «Madenimura» - Kul'turnoe nasledie Kazahstana:- http://www.madenimura.kz/ru /government-program-madenimura/programs-madenimura/.
9. Kamalova G.B., Bostanov B.G., Umbetbaev K.U. Ob ispol'zovanii komp'juternoj programmy Geogebra pri obuchenii matematicheskomu naslediju al'-Farabi // Mat-ly I Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Informatizacija obrazovanija i metodika jelektronnogo obuchenija - 2016». - Krasnojarsk: Sib. feder. un-t, 27-30 sentjabrja 2016. - S.199-204.
10. Kubesov A.K. Matematicheskoe nasledie al'-Farabi. Alma-Ata, «Nauka», 1974 g., 246 s.
11. Kurant R., RobbinsG. Chto takoe matematika? (Jelementarnyj ocherk idej i metodov) - 3-e izd., ispr. i dop. - M.:MCMNO, 2001. -586s.
12. Matematicheskoe nasledie al'-Farabi. Nauchno-obrazovatel'nyj portal. - http://alfarabi.kaznpu.kz
Поступила: 10.09.2016
Об авторах:
Бидайбеков Есен Ыкласович, д.п.н., профессор, заведующий кафедрой Информатики и информатизации образования Казахского национального педагогического университета имени Абая, email: esen_bidaibekov@mail.ru;
Камалова Гульдина Большевиковна, д.п.н., профессор кафедры Информатики и информатизации образования Казахского национального педагогического университета имени Абая, email: g_kamalova@mail.ru;
Бостанов Бектас Ганиевич, к.п.н., старший преподаватель, заместитель заведующего кафедры Информатики и информатизации образования Казахского национального педагогического университета имени Абая, email: bbgu@mail.ru;
Умбетбаев Кайрат Усенбаевич, докторант 3-курса по специальности 6D011100-информатика, email: kairatuu@mail.ru.
