CC BY
25
Информационные технологии и преподавание математики в школе
Н.Х. Розов, ФПО МГУ им. М.В.Ломоносова,[email protected]
Сегодня первостепенной задачей информатизации школьного математического образования является обеспечение учебного процесса эффективными средствами для решения особо трудной и весьма запущенной проблемы формирования пространственного мышления учащихся.
Школьная математика состоит из двух компонент: аналитической, включающей изучение чисел, логики, преобразований, функций, уравнений, неравенств, и геометрической, включающей изучение свойств линий, фигур, тел. Для интеллектуального развития молодёжи и её подготовки к практической жизни обе эти компоненты равноценно значимы.
Однако анализ преподавания математики в нашей школе показывает, что практически целиком оно сориентировано на выработку важнейшего навыка считать, проводить преобразования. В начальной школе в центре внимания - автоматизм в использовании таблицы умножения. Основная школа начинается с освоения арифметических вычислений - в «чистом» виде или в «текстовых» задачах. Затем наступает весьма длительный период алгебраических и тригонометрических «тождественных преобразований», решения разных уравнений и неравенств.
Между тем, человеческое бытие настоятельно требует и другого важнейшего навыка - геометрического, или пространственного воображения (часто говорят также про пространственное мышление). К сожалению, подавляющее большинство выпускников, прошедших через горнила школьного курса математики, на поверку не обладают даже его начатками.
Как и навыки счета, как логику и язык, геометрическое воображение необходимо развивать постоянно и непрерывно, с первого до последнего класса. Но вместо этого вся школьная геометрия переполнена логическими рассуждениями и формулами, изобилует искусственными и вычурными сугубо вычислительными задачами - достаточно вспомнить «задачи по стереометрии с применением тригонометрии», где решение достигается как итог длинных формальных цепочек преобразований. Дело доходит до того, что подчас в методических публикациях для учителей стереометрические задачи вместо «геометрически просматриваемого» решения сопровождаются нетворческим традиционно -вычислительным.
Воспитание умения «видеть в пространстве» - задача исключительно сложная, её невозможно решать теоретическими объяснениями, даже самыми талантливыми. Здесь необходим деятельностный контакт обучающегося с реальными объектами окружающего мира или, по крайней мере, с их качественными виртуальными дублёрами.
Ещё совсем недавно школа располагала лишь единственным средством как-то способствовать формированию геометрического воображения - материальными моделями. Эти учебные пособия были громоздкими, конкретно специализированными, лишёнными динамики, дорогими и могли весьма фрагментарно помогать учителю. Упомянем и любопытный альбом стереоскопических (анаглифических) вариантов чертежей из «Стереометрии» А.П.Киселёва ([1]) - своеобразное продукт «3Б-технологии начала XX века», но он не получил сколько-нибудь широкого распространения (сегодня о нём вообще мало кто знает).
И вот теперь компьютер открыл перед нами воистину неограниченные возможности для модернизации всех аспектов методики преподавания математики, для разработки и внедрения новых форм обучения, для повышения самостоятельности и творческой активности учащихся. В частности, специалисты по разработке информационных технологий, по созданию компьютерных продуктов могли бы, в тесном содружестве с педагогами и методистами, эффективно содействовать формированию пространственного воображения школьников.
Какое задачи здесь можно было бы решать в первую очередь?
Очень важно реализовать современный комплекс программ-пособий для развития геометрических представлений у учеников младшей школы (см., напр., [2]). Этот комплекс должен максимально учитывать ме-тодико- педагогические аспекты и особенности возрастной психологии, а также обеспечивать лёгкую техническую доступность для школьников. Младшеклассникам надо предоставить возможность не только знакомиться с «материально» исполненными «стандартными» телами (куб, шар и др.), смотреть на их графические плоскостные изображения, но и «повертеть» представленные виртуально объекты, в том числе высоко художественно выполненные и даже нетрадиционные.
Сегодня всё настойчивее в основную школу пробивается новый предмет - «Наглядная геометрия», который призван заполнить вакуум в геометрическом образовании до 7 класса. Если говорить коротко, цель этой пропедевтической дисциплины - продемонстрировать учащимся всё неисчерпаемое многообразие форм окружающего мира, но на интуитивно-ознакомительном уровне, без развития «серьёзной теории» (см., напр.,[3-5]). Несомненно, что успех этого полезнейшего начинания в значительной мере зависит от того, сумеем ли мы найти такие удачные темы, которые - обязательно с использованием возможностей ком-
пьютерных технологий - способствовали бы развитию геометрических, и в том числе - пространственных, представлений. Например, было бы очень интересно и полезно (и с житейской точки зрения, и для воспитания «видения» в пространстве) создать компьютерный продукт для ознакомления учеников со свойствами разнообразных узлов ([6]).
Пора начать активное использование такой нетрадиционной для нашей школы, но эффективной формы обучения, как лабораторные работы по математике - это у нас было совсем не принято.
Прежде всего здесь речь надо вести о разработке содержания, о методике проведения и о информационно-компьютерном обеспечении таких работ именно по геометрии. Опыт показывает, что имеет смысл предварять теоретическое изучение конкретной темы программы курса геометрии определённым поисковым этапом, осуществляемым каждым учеником самостоятельно с использованием интерактивной геометрической среды (см., напр., [7]). Нащупывать подходы к новым понятиям и фактам, искать эвристические соображения и аналогии очень важно не только для математического образования, но и для развития креативного мышления учащихся, повышения их мотивации, получения ими навыков исследовательского поиска.
Темами лабораторных работ могут быть также и специально продуманные темы или задачи, рассмотрение которых разбито на отдельные «ступени», самостоятельно «поднимаясь» по которым учащийся приходит к искомому результату (эталоном может служить классическая книга [8]). Важно только, чтобы на каждом этапе требовалось выполнять определённые исследовательские действия, требующие оперирования с комбинациями виртуально представленных реальных объектов. Отметим, что материалом для лабораторных работ могут служить как «классические», привычные объекты, так и другие, в традиционную программу не входящие, но достойные быть познанными (например, червячная передача).
Наиболее широкие перспективы открывает перед информационными технологиями курс математики старшей школы. Особенно большое значение имеет разработка удобного комплекта 3Б-представлений всех тех чертежей, которые есть в школьном учебнике стереометрии, а также чертежей, которые возникают при решении стереометрических задач. Такие представления позволят «думать руками» в процессе общения с «реальным» виртуальным объектом, посмотреть на него «с разных сторон» и «повертеть» его, «видеть» в пространстве расположения и конфигурации тел, проследить динамическую картину ситуации. Всё это, а также разработка содержания специальных лабораторных работ с использованием компьютерных изображений, будет способствовать успешному формированию у учащихся геометрического воображения, что
в свою очередь исключительно важно для подготовки будущих инженерно-технических специалистов.
Например, в школе часто рассматриваются многочисленные задачи на «сечение многогранника плоскостью». Здесь компьютерные представления могли бы сыграть особо важную роль, поскольку дали бы возможность учащимся «живо» предоставить себе динамическую картину построения сечения (скажем, сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью, которая проходит через три точки, лежащие внутри его граней), проследить эволюцию ситуации в процессе перемещения плоскости и, в частности, наблюдать явление бифуркации в ходе этого процесса. Кстати, компьютер позволил бы наглядно представить и достаточно нетривиальные картины пересечения других объектов в пространстве (цилиндра с цилиндром или с конусом и др.).
В то же время практически незатронутыми остаются в школе важные и интересные задачи на «проектирование пространственных тел на плоскость». Во многих таких задачах гораздо сложнее «увидеть в пространстве» вид конфигурации, особенно если речь идёт о динамической ситуации. (Вот только один пример: «На плоскости р стоит правильный тетраэдр с основанием ABC. Можно ли этот тетраэдр расположить в пространстве так, чтобы его ортогональная проекция на плоскость р помещалась строго внутри треугольника ABC?».)
Хотелось бы остановиться и на ещё одном моменте. Школьный курс геометрии целиком сосредоточен на однообразном и быстро надоедающем «массовому школьнику» выяснении череды скучных свойств и соотношений для треугольников и параллелепипедов, для пирамид, окружностей, конусов и трапеций. Педантичному соблюдению педагогической традиции принесена в жертву вся фантастическая причудливость многообразия плоских и пространственных линий, потрясающая красоты неповторимых форм в пространстве. Ни одной кривой, ни одного тела, кроме тех, с которыми «работал» Евклид! Лишь ничтожный процент молодёжи знают, что такое циклоида или геликоид, видели репродукцию «Листа Мёбиуса» Родена или фотографии картин и конструкций модернистов.
А ведь знакомство с разнообразием линий, фигур, поверхностей, тел, в том числе на ярких художественных образцах и реальных примерах из жизни, очень важно и для развития «пространственного видения» учащихся, и для познания ими окружающего мира, и для ориентировки в нем, и для их эстетического воспитания. Всё это - неограниченный простор для создателей компьютерных материалов для школы.
Литература
1. Владимирский Г. А. Альбом стереоскопических фигур по стереометрии к учебнику Киселева. Таблицы в папке, текстовое приложение, очки. - М.: Главучтехпром, 1941.
2. Пышкало А.М. Геометрия в 1-4 классах. - М.: Просвещение, 1968.
3. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5-6 кл. Пособие для общеобразоват. учреждений. - М.: Дрофа, 2008.
4. Григорьева Т.В., Вихай Т.А., Потапов А.С. Геометрическое черчение. Учеб. пособие для 5-6 кл., 7 кл. средней школы. - Воронеж: ВГПУ, 2003.
5. Рослова Л.О. Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5-6 классов // Математика. 2009. №№ 17-24.
6. Розов Н.Х., Рейхани Э., Боровских А.В. Узлы в школе. Уроки развития пространственного мышления. - М.: КДУ, 2007.
7. Розов Н.Х., Сергеева Т.Ф., Ягола А.Г., Сербис И.Н. Наглядная планиметрия. Комплекты для 7, 8, 9 классов: диск и рабочая тетрадь. М.: ФПО МГУ, 2009.
8. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Выпуклые фигуры. - М.-Л.: ГТТИ, 1951.
