Информационное обеспечение выбора оптимального положения трассы газопровода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.64 К.Е. Трифонов СГГ А, Новосибирск

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ТРАССЫ ГАЗОПРОВОДА

Успешное применение в технико-экономическом моделировании новых разделов современной математики может значительно расширить инструментальную базу, позволяя решать задачи, которые на современном инструментальном уровне представляются крайне сложными. Используя методы условной оптимизации, мы можем, выразить через относительные показатели целевой функции любой из основных критериев оптимальности, используемых при выборе оптимальных трасс трубопровода, что обуславливает комплексность использования таких методов.

K.E. Trifonov

Siberian State Academy of Geodesy(SSGA)

10 Plachotnogo UI., Novosibirsk, 630108 Russian Federation

INFORMATIONAL SUPPLY OF THE CHOICE OF OPTIMAL POSITION OF THE LINE OF THE GAS PIPELINE

Successful application in technical and economic modelling of new sections of modern mathematics can expand considerably tool base, allowing to solve problems which at modern tool level are represented by the extremely difficult. Using methods of conditional optimisation, we can, express through relative indicators of criterion function of any of the basic criteria of an optimality used at a choice of optimum lines of the pipeline that causes integrated approach of use of such methods.

Началу строительства любого магистрального трубопровода предшествует выполнение проектных работ, включающих выбор трассы, технико-экономические, конструктивные и технологические характеристики. От того, насколько удачно они определены, в значительной мере зависят эксплуатационные показатели и экономическая эффективность будущего трубопровода. Понятно поэтому стремление использовать уже на ранних стадиях проектирования как можно больше исходных данных (данные справочного характера, картографический материал, данные полевых изысканий и т. п.) с тем, чтобы получить лучшее проектное решение.[1] В настоящие время для решения таких задач используются различные методы математического моделирования.

Системный анализ отечественных и зарубежных методик техникоэкономического математического моделирования показал, что в последнее время этот инструментарий развивается, в основном, в направлении совершенствования существующих моделей или разработки новых на старой инструментальной базе. Принципиально новых моделей, расширяющих его арсенал появляется мало. Это вызвано не столько отсутствием потребности в

новых математических моделях, сколько использованием в производственном процессе привычного математического аппарата.

Поэтому успешное применение в технико-экономическом моделировании новых разделов современной математики может значительно расширить инструментальную базу, позволяя решать задачи, которые на современном инструментальном уровне представляются крайне сложными. Одним из таких аппаратов выступают методы условной оптимизации, применение которых в математическом моделировании открывает новые возможности, существенно расширяет совокупность технико-математических и экономико-математических моделей.

Задача условной оптимизации заключается в поиске минимального или максимального значения скалярной функции f(x) n-мерного векторного аргумента (в дальнейшем без ограничения общности будет рассматриваться задача поиска минимального значения функции):

-> min при ограничениях: gi(x) = 0, / = 1,к:; hj(x) < О J = 1,т; а <х <Ь.

Здесь x, a, b — векторы-столбцы:

Оптимизируемую функцию f(x) называют целевой функцией.[2] Применительно к нашей задачи, в качестве такой функции, мы используем аналитическую модель, с помощью которой представляем и формализуем поставленные перед нами цели.

Каждая точка x в w-мерном пространстве переменных хь в которой выполняются ограничения задачи, называется допустимой точкой задачи. Множество всех допустимых точек называется допустимой областью G и в нашем случае является ограниченной областью допустимого проектирования. Решением задачи считается допустимая точка х*, в которой целевая функция f(x) достигает своего минимального значения. Вектор х* называют оптимальным. Другими словами, область допустимого проектирования представляет собой пространственный объект ГИП состоящий из географической и атрибутивной частей. Вектор х* является оптимальным, как участок проложения трассы продуктопровода, и в соответствии своего физического значения, и как объект описания целевой функции.

Существует целый ряд методов условной оптимизации, обладающих различными особенностями, которые могут как способствовать, так и быть совершенно непригодными для решения нашей задачи. В нашем представлении решению задачи выбора оптимальной трассы трубопровода в наиболее полной мере способствует непрямой метод решения задач

нелинейного программирования, т.к условиями ограничения задачи в нашем случае является соответствие координат отрезков условным территориальным границам, которые нельзя описать линейными функциями, а результатом оптимизации с помощью предлагаемого нами подхода является географическое положение линейного объекта которое описывается вспомогательными функциями, ограничения исходной задачи (критерии оптимизации), учитываются при этом неявно:

-> шт;

&(х) =0,1 - 1,к,

И/х) <0,у = 1,

а <х <Ь.

Используя этот метод, мы можем, выразить через относительные показатели целевой функции любой из основных критериев оптимальности, используемых при выборе оптимальных трасс трубопровода.

- Приведенные затраты. Общепризнанным критерием, универсально учитывающим большинство требований, при которых достигается основной экономический эффект (нормативная отдача от каждого вложенного в дело рубля при минимуме эксплуатационных издержек), являются приведенные затраты, определяемые выражением

^пр = Кс + Э, (1)

где К — капитальные вложения; с — нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений; Э — ежегодные эксплуатационные издержки.

Капиталовложения на строительство магистрального трубопровода складываются из затрат на строительство линейной части трубопровода (К1), на строительство компрессорных или насосных станций (К2), резервуарных парков и промежуточных хранилищ газа, если они необходимы (К3), и других сооружений, т. е.

К= К1 + К2+.. + Кп. (2)

Нормативный коэффициент эффективности капиталовложений принимается для всех сооружаемых промышленных объектов равным 0,12.

- Длина трубопровода. Необходимость в использовании такого критерия может возникнуть при выборе кратчайшей трассы, проходящей по местности, на характеристики которой наложены определенные ограничения. Например, трасса должна пройти только по равнинным участкам или по участкам определенных категорий сложности.

- Трудовые затраты.

- Время строительства. [1]

Условиями ограничения мы можем описать условные территориальные границы участков местности с однообразными топографическими, климатическими, геологическими, природными и другими влияющими на сооружение и эксплуатацию трубопровода условиями, а любой из приведённых выше критериев оптимальности можно выразить через показатели целевой функции, что говорит о комплексности предлагаемого нами подхода.

В качестве наглядного примера продемонстрируем использование предлагаемого нами подхода при выборе трассы газопровода, выбрав в качестве критерия оптимальности - длину трубопровода. Основным проектным значением является величина общей длинны, изначально зависящая от расположения крайних пунктов и группы территориальных факторов - природных и техногенных - выступающих в роли ограничения области допустимого проектирования.

Характеристики трубопровода выражены относительными показателями, где в качестве базисного принимается нормированный показатель, выраженный в метрах:

п

Дтр='Еа1х Д> ’ (3)

1=1

где Дтр - длина трубопровода;

а - коэффициент ограничения. В том случае, если участок трассы проходит по местности, характеристики которой удовлетворяют изначально заданным условиям, то этот коэффициент считается равным единице, если же по местности, на характеристики которой наложены ограничения, то

коэффициент искусственно завышается;

Д - длина трубы;

1 - количество отрезков.

Так существует газопровод, который необходимо соединить с

распределителем расположенным вблизи населенного пункта. В данном случае мы имеем один конечный пункт и другой - “плавающий”,

местоположение, которого может меняться, но должно совпадать с

положением основного трубопровода.

Как мы видим, трасса состоит из отрезков образованных за счет существования различных типов местности по ходу предполагаемого проложения трассы.

Для возможного численного расчета оптимальных значений, были определены граничные условия, отображенные в условной системе и представлены в векторной форме (рис. 1).

Рис. 1. Отображение граничных условий, в условной системе координат в

векторной форме

В целевой функции используется коэффициент ограничения, значение которого зависит от качественных характеристик местности, по которой предполагается проложить трубопровод. Соответственно значение длины отрезков не соответствует их физическому значению и оптимальным проектом становится тот, в котором сумма длин отрезков принимает минимальное значение.

Нахождение таких значений относится к задачам численного поиска условного экстремума, где условиями являются соответствие координат отрезков условным территориальным границам различных типов местности.

/(х*) = тт /(х), ааа

хеХ

X = <х

g(х) = 0,і = 1,...,т; т < п\ gl (х)<0, і = т + 1,...,р

(4)

Поэтому граничные условия необходимо представить в виде математической зависимости значений координат х и у, определяющих линию граничных условий.

В работе был использован картматериал и программа «Mapmfo» с помощью которой определен векторный формат границ.

Получение математических зависимостей к существующим условиям положения точек проводятся двумя приближениями.

В первом приближении получены уравнения со стандартной ошибкой до 0.5 см что соответствует ошибке 50 м исходя из М 1:10000 масштаба. Подгонка уравнений проводилась полиномами высших порядков, для которых рассчитывалось несоответствие реальных значений с полученными. На данном этапе подгонка не требует абсолютной точности, что связано с громоздкими вычислениями, так как в некоторых местах достаточно сложно математически описать прохождения границы.

Соответственно полученные уравнения имеют вид:

а) У2=-0.42*Х2 + 7.4;

б) уз=3366.36-1747.2*хз+339.431*х32-29.193*х33+0.937509*х34;

в) у4=-0.047*х4+1*22-7.3*Х4+26.

Так как речь идет о поиске минимального значения нелинейной целевой функцией с нелинейными ограничениями, применим метод штрафных функций.

Р(х,гк) = /(х) + Р(х,гк) —» пт (5)

хеК"

Р(х, Г ) =

0, = %

Р > 0, Ф %

к

тпраг Р(х, гк ) = /(х) + — I ^][% (х)]Ч,

где Р(х, г ) - штрафная функция, гк - параметр штрафа, задаваемый на каждой ^й итерации.

Используя данную запись условия задачи выглядят как:

т2

Р (х, гк ) = / (х) + —

[у2 - (-0.42* x2 + 7.4)]2

2

[у3-(3366.36 -1747.2 *я3 +339.431 *?в2 -29.193 *>63 +0.937509 *?в4)] +

[у4 - (-0.047 *к43 +1*22- 7.3 *к4 + 26)]2

(6)

/О) = д/((х2 "9-5^2 +(у2 -7143) 2) + а*]1((х2 -хз)2 +(^2 + -\/((хЗ 'х4^2 +(у3 -У4)2)’

(7)

Так как первое приближение было осуществлено с максимальной ошибкой порядка 50 метров, необходимо сравнить полученные значения с величиной ошибки в данном пределе. Так по первому ограничению есть возможность несоответствия значений порядка 20 метров по второму ограничению ошибкой в данном примере 1 -2 метра можно пренебречь.

к

га

к

9000 8800 8600 8400 8200 8000

5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000

40 20 0 -20 -40

5000 5500 6000 6500 7000 7500

Рис. 2. График аппроксимации и распределения ошибок области ограничений

Для первого ограничения строим второе, более точное приближение. Так как прогнозную область мы сформировали первым приближением, поэтому необходимо использовать только небольшой интервал, Позволяющий получить проектные значения координат поворота трассы с точность определения пункта 0.1*масштаб.

Таблица 1. Координаты поворота трассы

Х У

А 7828 6771,3

Б1 8158,3 5695,2

В 7984,1 5580

Г 5493,3 4539,8

Г (х,У) 5304,7

Рис. 3. Поворот трассы

(где красными линиями изображён участок проектируемой трассы при первом приближении, а чёрными - участок реально существующей трассы)

Проверка результата на выполнение условий минимума проводилась с помощью так называемого критерия Сильвестра при котором основные миноры матрицы Гессе являются положительными а сама матрица положительно определена формулой.

Н ( X) =

82/(х) д2/(х) дх 2 йх1хи

д2/(х) д2/(х)

дхпх1

(8)

Матрица вторых производных по значениям определяемых пунктов: Н ^ (х*) )=

4.6706 -6.4194 -3.7715 6.3810 0.1202 0.0404

-6.4194 10,399 5,4088 -10,0133 0,014 0,0026

-3.7715 5,4088 7,4670 -5,668 0,0414 0,0358

6.3810 -10,0133 -5,668 10,3592 0,2121 -0,4268

0.1202 0,014 0,0414 0,2121 0,4298 0,0143

0.0404 0,0026 -0,4268 -0,4268 0,0143 0,3539

п

(Н(х ) > 0) С х (ггап) тппгпг^И А > О.Д,, > О,..., А > О

Так все основные миноры матрицы положительны, значения являются глобальным минимумом целевой функции. Это значит, что расчетные значения проекта являются минимальными с точки зрения комплексных затрат.

А, = 20.51, А, = 7.01, А. = 0.02 4 5 6

В результате мы скорректировали значение координат и получили уникальные параметры проекта отвечающего оптимальным комплексным условиям.

Таким образом, комплексность использования непрямых методов решения задач нелинейного программирования при выборе оптимальной трассы газопровода обусловлена тем, что любые условия природного и техногенного характера возможно выразить через относительные показатели целевой функции, а математическая интерпретация условий задачи с применением ГИС позволяет автоматизировать данный процесс.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бородавкин, П.П. Сооружение магистральных трубопроводов [Текст] / П.П. Бородавкин, В. Л. Березпн.- М.: Недра 1977.- 407 с.

2. Трифонов, А.Г. Постановка задачи оптимизации и численные методы ее

решения [Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://matlab.exponenta.ra/optimiz/book_2/Lphp.

© К.Е. Трифонов, 2010